A
T
H
V
M
Thêi gian lµm bµi: 90 phót
§Ò chÝnh thøc
Ph n chung (7 đi m) Câu I (3 đi m)
Cho hàm s y = x3- 3 x2 (1) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1)
2) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (C) và ti p tuy n c a (C) t i đi m có hoành đ
2
x = thu c (C)
Câu II (3 đi m)
1) Tính các tích phân: a)
tan 3 2
0 cos
x
e
x
p
= ò ; b) 2 ( )
1
ln 2
J=òx x dx
2) Tính th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ ng: 2
2
x
y = , y = và 0 x = 2 quay quanh tr c Ox
Câu III (1,0 đi m)
Cho t di n OABC có các c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc và
OA=a OB=b OC= vc i a, b, c là nh ng s d ng thay đ i mà 2 2 2
3
a +b +c = Tính chi u
cao OH = ch a hình chóp O.ABC theo a, b, c Tìm giá tr l n nh t c a h
Ph n riêng (3 đi m): H c sinh ch làm đ c m t trong hai ph n ( ph n 1 ho c 2)
1.Theo ch ng trình Chu n
Câu IV.a (2 đi m)
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; –3) và m t ph ng (P): 2x + 2y – z + 9 = 0
1 Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (P) Tính t a đ hình chi u H c a A xu ng m t ph ng (P)
2 Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm A và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n có chu vi
b ng 6p
Câu Va (1 đi m)
1 Tìm môđun c a s ph c: 3 2
2
i i
+
-2 Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c: 2
2x +3x+ = 4 0
2.Theo ch ng trình nâng cao
Câu IVb (1 đi m)
Cho hai m t ph ng ( )a và ( )b có ph ng trình l n l t là : ( ) : 2a x-2y+ - = ; z 3 0 ( ) :b x-2y+2z- = 9 0
Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm I n m trên tr c Oy ti p xúc v i c ( ) a và ( ) b
Câu Vb (2 đi m)
1) Vi t s ph c sau d i d ng l ng giác 1
2 2
z
i
= +
2) Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c 2- + =
Trang 2A
T
H
V
M
H t
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kiểm tra học kỳ II năm học 2009-2010
Sở Giáo dục và đào tạo Môn: TOáN - Lớp 12
ÁP ÁN VÀ THANG I M
I I.1 (2 đ)
3
y=x - x ,
D = Ă ; lim , lim
x y x y
2
' 3 6 ;
2
x y
x
=
= Û
=
ộ ờở
B ng bi n thiờn:
Hàm s đ ng bi n trờn cỏc kho ng (-Ơ,0),(2;+Ơ)
Hàm s ngh ch bi n trờn kho ng (0; 2) Hàm s đ t c c đ i t i x = 0 và giỏ tr c c đ i (0) 0
f = ; Hàm s đ t c c ti u t i x = 2 và giỏ tr c c ti u (2) 4
f = -
'' 6 6; '' 0 1
y = x- y = Û =x th nh n U(1;-2) làm
đi m u n
Cỏc đi m đ c bi t (0;0); (3;0)
th :
x -Ơ 0 2 +Ơ
y’ + 0 – 0 +
y
0 +Ơ
-Ơ – 4
0,25 0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
I.2 (1đ) đi m c c ti u c a (C) M(2; )y ẻ( )C ị = - ; y 4 M(2; 4)- chớnh là
Nờn ph ng trỡnh ti p tuy n c a (C) t i M(2;-4)
là đ ng th ng: y = - 4
Ph ng trỡnh xỏc đ nh hoành đ giao đi m c a
đ th (C) v i đ ng th ng y = – 4 là:
3 4 ( 1)( 4 4) 0
x - x = - Û x+ x - x+ = 1
2
x x
= -ộ
Û ờ = ở
Hỡnh ph ng gi i h n b i (C) và ti p tuy n c a (C) t i đi m cú hoành đ x = thu2 c (C) cú
di n tớch là:
2 2
3 2 3 2
1 1
3 4 ( 3 4)
S x x dx x x dx
-
-=ũ - + =ũ - +
0,25
0,25
0,25
Trang 3A
T
H
V
M
1
4 - 4
II
II.1.a (1đ)
cos
dx
x
i c n: x= Þ =0 u tan 0= ; 0 tan 3
x=p Þ =u p =
V y:
3 tan
3
3 2
1 cos
x
u e
x
p
-0,25
0,25
0,5
II.2.b (1đ)
b) 2 ( )
1
ln 2 ;
J =òx x dx t ln(2 ) 2
2
dx du
v
ì = ï
=
Þ
ïî
( )
2
ln(2 ) 1
ln 2
2 2
1
2 ln 4 ln 2 ln 2
x
0,5
0,25
0,25
II.3 (1đ) Th tích kh i tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i các đ ng: 2
2
x
y = , y = 0
và x = quay quanh tr2 c Ox là:
2
V =p æç ö÷ dx=p dx
è ø
2 5
0
8
20 5
x
= = (đvtt)
0,5
0,5
III
(1 đ) + ChOx chn h tr c t a đ Oxyz sao cho a OA, Oy ch a OB, Oz ch a
OC Khi đó: (0;0; 0),O
( ; 0; 0), (0; ; 0)
A a B b và (0; 0; )C c
+ Ph ng trình m t ph ng (ABC):
a+ + = Ûb c a +b +c - =
Do đó chi u cao OH = h c a hình
chóp O.ABC là kho ng cách t O đ n mp(ABC):
1
1 1 1
h OH
+ +
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng
1 1 1
; ;
0,25
0,25
Trang 4A
T
H
V
M
3
a +b +c ³ a b c
Theo gi thi t 2 2 2 3 2 2 2
3=a +b +c ³3 a b c (2)
L y (1) nhân v i (2) v theo v
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
æ + + ö³ Þ + + ³
ç ÷
è ø
1 3
h
Þ £
V y: h l n nh t là 1
3 khi và ch khi 2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 ( , , 0) 1
a b c a b c
a b c
a b c
ì = = ï
Û = = = >
í
ï = = = î
Chú ý: H c sinh có th làm theo cách 2: hình h c không gian thu n túy, n u đúng v n cho đi m t i đa
0,25
0,25
IV
IVa.1 (1 đ)
d vuông góc v i m t ph ng (P) nên d có vect ch ph ng ur(2; 2; 1- )
M t khác d qua A(1; 2; 3- ) nên d có ph ng trình tham s :
1 2
2 2 3
= + ì ï
= + í
ï = -î
T a đ hình chi u vuông góc c a A trên m t ph ng (P) là giao đi m H(x; y; z)
c a d v i m t ph ng (P), nên x, y, z là nghi m c a h ph ng trình:
1 2
2 2 3
= + ì
ï í
= -ï
ï + - + = î
Gi i h ph ng trình ta đ c: x= -3; y= -2; z= - 1
V y: H -( 3;-2; 1- )
0,25
0,25
0,25
0,25
IVa.2 (1 đ) M6p , nên bán kính ct c u (S) c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là đ ng tròn có chu vi b ng a đ ng tròn giao tuy n là: r = 3
Kho ng cách t đi m A(1; 2; –3) đ n m t ph ng (P) là:
2 1 2 2 ( 3) 9
6
2 2 ( 1)
d ´ + ´ - - +
+ + -Suy ra, bán kính c a m t c u (S) là: 2 2 2 2
3 6 45
V y: Ph ng trình m t c u (S) tâm A và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n có chu vi b ng 6p là:
( ) (2 ) (2 )2
x- + y- + z+ =
0,25
0,25 0,25
0,25
Va
3 2 2
i z
i
i i
+
=
-2
5 2 (5 2 )(7 ) 35 19 2 33 19
i
-0,25
0,25
Trang 5A
T
H
V
M
è ø è ø
9 32 23 23i
D = - = - =
V y ph ng trình có hai nghi m 1 2
;
0,25 0,25
IVb (1 đ) Vì mI x y z( ; ; )t c u (S) ti p xúc v i c ÎOyÞI(0; ; 0)b ( ) a và ( ) b nên ta có
| 2 3 | | 2 9 | ( ; ( )) ( ; ( ))
R=d I mp a =d I mp b Û R= - - = -
-| 2b 3 | | 2b 9 | b 3
Û + = + Û = - Suy ra: R = 1
V y: Ph ng trình m t c u (S): 2 2 2
x + y+ +z =
0,25
0,25 0,25 0,25
Vb
Vb.1
i
1 i- có d ng l ng giác: 2 os i sin
+
V y z có d ng l ng giác: 2 os i sin
+
0,25
0,5
0,25
Vb.2
2
4 5 0 (1)
( 4 )i 20 16i 20 36i
D có m t c n b c hai là 6i
V y (1) có 2 nghi m 1 4 6 5
2
= = ; 2 4 6
2
i i
= = -
Cách khác:
( 2 ) 4 5 0 ( 2 ) 9
2 3
- = - =
0,25 0,25 0,25 0,25
0,5 0,25 0,25