ĐỀ KIỂM TRA HKII MÔN TOÁN 12 NĂM 2013

Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng d đi qua A và vuụng gúc với mặt phẳng P.. Viết phương trỡnh mặt cầu S cú tõm A và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến cú chu vi bằng 6p... 1 Viết ph

M A

Sở Giáo dục và đào tạo

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề chính thức

Phần chung (7 điểm) Cõu I (3 điểm)

Cho hàm số y = x3- 3 x2 (1) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của (C) tại điểm cú hoành độ

2

x = thuộc (C)

Cõu II (3 điểm)

1) Tớnh cỏc tớch phõn: a)

tan 3

2

0 cos

x

e

x

p

= ũ ; b) 2 ( )

1

ln 2

J=ũx x dx 2) Tớnh thể tớch khối trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường:

2

2

x

y= , y= và 0 x= 2 quay quanh trục Ox

Cõu III (1,0 điểm)

Cho tứ diện OABC cú cỏc cạnh OA, OB, OC đụi một vuụng gúc và

OA=a OB=b OC = với a, b, c là những số dương thay đổi mà c 2 2 2

3

a +b +c = Tớnh chiều

cao OH = của hỡnh chúp O.ABC theo a, b, c Tỡm giỏ trị lớn nhất của h h

Phần riờng (3 điểm): Học sinh chỉ làm được một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu IV.a (2 điểm)

Trong khụng gian Oxyz, cho A(1; 2; –3) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 9 = 0

1 Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng d đi qua A và vuụng gúc với mặt phẳng (P) Tớnh tọa độ hỡnh chiếu H của A xuống mặt phẳng (P)

2 Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm A và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến cú chu vi bằng 6p

Cõu Va (1 điểm)

1 Tỡm mụđun của số phức: 3 2

2

i i

+

-2 Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức: 2x2+3x+ = 4 0

2.Theo chương trỡnh nõng cao

Cõu IVb (1 điểm)

Cho hai mặt phẳng ( )a và ( )b cú phương trỡnh lần lượt là : ( ) : 2a x-2y+ - = ; z 3 0 ( ) :b x-2y+2z- = 9 0

Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I nằm trờn trục Oy tiếp xỳc với cả ( ) a và ( ) b

Cõu Vb (2 điểm)

1) Viết số phức sau dưới dạng lượng giỏc 1

2 2

z

i

= +

M A

Hết

Sở Giáo dục và đào tạo Môn: TOá N - Lớ p 12

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

I I.1 (2 đ)

3 2

3

y=x - x ,

D=Ă ; lim , lim

đ+Ơ = +Ơ đ-Ơ = -Ơ

2

' 3 6 ;

y = x - x ' 0 0

2

x y

x

=

= Û

=

ộ ờở

Bảng biến thiờn:

Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (-Ơ,0),(2;+Ơ) Hàm số nghịch biến trờn khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giỏ trị cực đại (0) 0

f = ; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giỏ trị cực tiểu (2) 4

f = - '' 6 6; '' 0 1

y = x- y = Û =x Đồ thị nhận U(1;-2) làm điểm uốn

Cỏc điểm đặc biệt (0;0); (3;0)

Đồ thị:

x -Ơ 0 2 +Ơ

y’ + 0 – 0 +

y

0 +Ơ

-Ơ – 4

0,25 0,25

0,5

0,25

0,25

0,5

I.2 (1đ) M(2; )y ẻ( )C ị = - ; y 4 M(2; 4)- chớnh là

điểm cực tiểu của (C) Nờn phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M(2;-4)

là đường thẳng: y= - 4 Phương trỡnh xỏc định hoành độ giao điểm của

đồ thị (C) với đường thẳng y = – 4 là:

x - x = - Û x+ x - x+ = 1

2

x x

= -ộ

Û ờ =ở Hỡnh phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của (C) tại điểm cú hoành độ x = thuộc (C) cú 2 diện tớch là:

S x x dx x x dx

0,25

0,25

0,25

M A

1

II

II.1.a (1đ)

Đặt tan 2

cos

dx

x

Đổi cận: x= Þ =0 u tan 0= ; 0 tan 3

x= Þ =p u p =

Vậy:

3 tan

3

3 2

1 cos

x

u

e

I dx e du e

x

p

-0,25

0,25

0,5

II.2.b (1đ)

b) 2 ( )

1

ln 2 ;

J =òx x dx Đặt

2 ln(2 )

2

dx du

v

ì = ï

=

ïî ( )

2

ln(2 ) 1

ln 2

2 2

1

2 ln 4 ln 2 ln 2

x

0,5

0,25

0,25

II.3 (1đ) Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

2

x

y= , y= 0

và x= quay quanh trục Ox là: 2

2

2 2 2 4

0 2 0 4

V =p æç ö÷ dx=p dx

è ø

2 5

0

8

20 5

x

(đvtt)

0,5

0,5

III

(1 đ)

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

Ox chứa OA, Oy chứa OB, Oz chứa

OC Khi đó: (0; 0; 0),O

( ; 0; 0), (0; ; 0)

A a B b và (0; 0; )C c

+ Phương trình mặt phẳng (ABC):

1 1 1

a+ + = Ûb c a +b +c - =

Do đó chiều cao OH = h của hình

chóp O.ABC là khoảng cách từ O đến mp(ABC):

2 2 2

1

1 1 1

h OH

= =

+ +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1 ;1 ; 1

0,25

0,25

M A

3

2 2 2 2 2 2

3 (1)

a +b +c ³ a b c

Theo giả thiết 2 2 2 3 2 2 2

3=a +b +c ³3 a b c (2) Lấy (1) nhân với (2) vế theo vế

a b c a b c

1 3

h

Þ £

Vậy: h lớn nhất là 1

3 khi và chỉ khi 2 2 2

1 ( , , 0) 1

a b c a b c

a b c

a b c

í

ï = = = î

Chú ý: Học sinh có thể làm theo cách 2: hình học không gian thuần túy, nếu

đúng vẫn cho điểm tối đa

0,25

0,25

IV

IVa.1 (1 đ)

d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có vectơ chỉ phương ur(2; 2; 1- ) Mặt khác d qua A(1; 2; 3- nên d có phương trình tham số: )

1 2

2 2 3

= + ì

ï = + í

ï = -î

Tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) là giao điểm H(x; y; z) của d với mặt phẳng (P), nên x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:

1 2

2 2 3

2 2 9 0

= + ì

ï = + ï

í = -ï

ï + - + = î

Giải hệ phương trình ta được: x= -3; y= -2; z= - 1 Vậy: H(- - - 3; 2; 1)

0,25

0,25

0,25

0,25

IVa.2 (1 đ)

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6p , nên bán kính của đường tròn giao tuyến là: r= 3

Khoảng cách từ điểm A(1; 2; –3) đến mặt phẳng (P) là:

2 2 2

2 1 2 2 ( 3) 9

6

2 2 ( 1)

d ´ + ´ - - +

+ + -Suy ra, bán kính của mặt cầu (S) là: R= r2+d2 = 32+62 = 45 Vậy: Phương trình mặt cầu (S) tâm A và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến có chu vi bằng 6p là:

( ) (2 ) (2 )2

x- + y- + +z =

0,25

0,25 0,25

0,25

Va

3 2 2

i z

i

i i

+

=

-2

5 2 (5 2 )(7 ) 35 19 2 33 19

i

-0,25

0,25

M A

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 3 23; 2 3 23

0,25 0,25

IVb (1 đ) I x y z( ; ; ) Oy I(0; ; 0)b

Î Þ

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ( ) a và ( ) b nên ta có

| 2 3 | | 2 9 | ( ; ( )) ( ; ( ))

R=d I mp a =d I mp b Û =R - - =

-| 2b 3 | | 2b 9 | b 3

Û + = + Û = - Suy ra: R= 1 Vậy: Phương trình mặt cầu (S): x2 +(y+3)2 +z2 = 1

0,25

0,25 0,25 0,25

Vb

Vb.1

2 2 4 4 8 4

i

1 i- có dạng lượng giác: 2 os i sin

+

Vậy z có dạng lượng giác: 2 os i sin

+

0,25

0,5

0,25

Vb.2 (1 đ) 2 - + =

4 5 0 (1)

D có một căn bậc hai là 6i

Vậy (1) có 2 nghiệm 1 4 6 5

2

i i

= = ; 2 4 6

2

i i

= = -

Cách khác:

2 2

( 2 ) 4 5 0 ( 2 ) 9

2 3

- - - =

Û - =

- = - =

0,25 0,25 0,25 0,25

0,5 0,25 0,25

Thõa Thiªn HuÕ M«n: TO¸N - Líp 12

Thêi gian lµm bµi: 90 phót

§Ò chÝnh thøc

Câu 1: (3,5 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C), đường tiệm cận ngang của (C) và hai đường thẳng x =2; x =5 3) Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox

Câu 2: (1,5 điểm)

1) Tìm ngyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2 1

sin 2

x

= + + biết F( ) π =0

2) Tính các tích phân: a) ( )

6

0

1 2sin cos

π

1

0

3 2 x

I =∫ x+ e dx

Câu 3: (1,0 điểm) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=1,OB=2,OC=3 Tính

diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

B- PHẦN RIÊNG ( 4,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: ( phần 1 hoặc phần 2 )

Phần 1: Theo chương trình Chun

Câu 4a: (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1;3; 2 ,) B(4; 0; 3 ,− ) C(5; 1; 4− )

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC

3) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ABC) Viết phương trình tham số của d

Câu 5a: (1,5 điểm)

1) Cho hai số phức z1 = − +2 3 ;i z2 =3=4i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z=z z1 2

2) Tìm môđun của số phức 4 3

1

i z

i

−

= + 3) Giải phương trình x2− 3.x+ =1 0 trên tập số phức

Phần 2: Theo chương trình Nâng cao

Câu 4b: (2,5 điểm)

1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P :x+y−2z+5=0 và ( )Q : 2x−y+ +z 2=0 Viết

phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và song song với giao tuyến của (P) và (Q)

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 2 2

S x +y +z − x+ z− = Tìm tọa độ của điểm A trên

mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ +z 6=0 là lớn nhất

Câu 5b: (1,5 điểm)

1) Giải phương trình x2− 3.x+ =1 0 (1) trên tập số phức Viết các nghiệm của (1) dưới dạng lượng giác

2) Giải bất phương trình ( )log 2 ( )log 2

5 1+ x− 5 1− x+x≤0 (x∈» )

Thêi gian lµm bµi: 90 phót

§Ò chÝnh thøc

Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số 3

2

x y

x

−

=

− (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆:x−y+ =1 0

Câu 2: (1,0 điểm) Giải bất phương trình 22x−5.2x+1≥ − 9 (x ∈» )

Câu 3: (2,0 điểm) Tính tích phân 2 ( 2 )

1

ln

x

I =∫x e + x dx

Câu 4: (1,0 điểm) Cho số phức z=(1 2− i)(2+i)2 Tính mô đun của số phức z

B- PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: ( phần 1 hoặc phần 2 )

Phần 1: Theo chương trình Chun

Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(−1;1;1 ,) B(5;1; 1 ,− ) C(2;5; 2 ,) D(0; 3;1− ) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng CD

c) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm D, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng (P)

tiếp xúc với (S) và song song với mặt phẳng (ABC)

Phần 2: Theo chương trình Nâng cao

Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q : 2x−y+2z−2=0

1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I(3; 1; 2− ) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) Tìm tọa độ tiếp điểm 2) Viết phương trình mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q)

3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1;1 ,− ) B(0; 2;3− ) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính bằng 2

-HẾT -

Thõa Thiªn HuÕ M«n: TO¸N - Líp 12

Thêi gian lµm bµi: 90 phót

§Ò chÝnh thøc

Câu 1: (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2

y= −x + x − x+ (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Tìm m∈ » để phương trình 3 2

x − x + x− +m= có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Câu 2: (1,5 điểm) Giải bất phương trình 4.4x−5.6x ≥9.9x (x∈ » )

Câu 3: (1,5 điểm) Tính tích phân 1( )

0

x

I =∫ x+e xdx

B- PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: ( phần 1 hoặc phần 2 )

Phần 1: Theo chương trình Chun

Câu 4a: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) α :x+2y−2z+ = , 5 0 điểm B(−1; 2; 3− ) a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm B và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) α

b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) β chứa đường thẳng OB và vuông góc với mặt phẳng ( ) α

Câu 5a: (1,0 điểm) Giải phương trình 2z2−3z+ =4 0 trên tập số phức

Phần 2: Theo chương trình Nâng cao

Câu 4b: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − = và y z 3 0 đường thẳng d là

giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α :x+ − = và z 3 0 ( ) β : 2y−3z= 0

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 0; 2− ) và chứa đường thẳng d

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P)

Câu 5b: (1,0 điểm) Cho số phức 1 3

2 2

z= − + i Tính z2012

-HẾT -