Đề thi thử đại học môn Toán năm 2015 (7)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!KhoágiảiđềTHPTQuốcGia–Thầy:ĐặngThànhNam Môn:Toán;ĐỀSỐ13/50 Ngàythi:04/03/2015 Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờig

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)

Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)13/50) Ngày)thi):)04/03/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))

Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x4−2mx2+1 (1).!

1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!

2 Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y =−3tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!

Câu)2)(1,0)điểm).)

a) Giải!phương!trình! cos5x +2sin2x=1.!

b) Giải!phương!trình!

1 log3x+ 2+

2 2log3x+1=1.!!!!

Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!

I= (x−1)2+1

(x+1)2 dx

0

1

Câu)4)(1,0)điểm).)

a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4−2i).z =12−4i !Tính!mô!đun!của!số!phức!

w=

1+ i + z

z2 !

b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!

Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!

SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!

Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!

C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!

Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!

bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm!

F (

6

5;

13

5).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!

x + y −3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!

Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình

x2−2y2−3x + 6y = 2y x −1

(2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! (x + y)2+ 4x2y2+1= (2z2+1)2.! Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức

P= 16x3

( y + z)3+ 16y3

(x + z)3+ 3.xy+1

z2+1.!!

mmmHẾTmmm) ) )

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

PHÂN)TÍCH)BÌNH)LUẬN)ĐÁP)ÁN) Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x4−2mx2+1 (1).!

1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!

2 Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y =−3tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!

1 Học!sinh!tự!giải.!

2 Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm: x4−2mx2+1= −3 ⇔ x4−2mx2+ 4 = 0.!!

Đặt! t = x2≥ 0 ⇒ t2−2mt + 4 = 0 (2).!

Để!(1)!cắt!đường!thẳng!y=É3!tại!4!điểm!phân!biệt!khi!và!chỉ!khi!(2)!có!hai!nghiệm!dương!phân! biệt!

⇔

Δ' = m2−4 > 0

S = 2m > 0

P= 4 > 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⇔ m > 2.!

Khi!đó!hoành!độ!giao!điểm!là!

− t2<− t1< t1< t2với! t1= m − m2−4,t2= m + m2−4.! Yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:!

!

m + m2−4 < 2 ⇔ m + m2−4 < 4 ⇔ m2−4 < 4−m

⇔ 4−m > 0

(m−4)2> m2−4

⎧

⎨

⎪⎪

m< 4

8m< 20

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ ⇔ m <

5 2

.!

Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!

2< m <

5

2.!!!

Kết)luận:!Giá!trị!cần!tìm!là!

2< m <

5

2.!!

Câu)2)(1,0)điểm).)

a) Giải!phương!trình! cos5x +2sin2x=1.!

b) Giải!phương!trình!

1 log3x+ 2+

2 2log3x+1=1.!!!!

a)!Phương!trình!tương!đương!với:!

cos5x=1−2sin2x = cos2x ⇔ 5x = 2x + k2π

5x = −2x + k2π

⎡

⎣

⎢

x = k.2π

3

x = k.2π

7

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

,k∈ !.!

Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = k.

2π

3 ,x = k.2π

7 ,k∈ !.!

b)!Điều!kiện:!

x> 0 log3x+ 2 ≠ 0 2log3x+1≠ 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⇔ 0 < x ≠ 1

9;

1 3

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭⎪⎪.!

Đặt! t =log3xphương!trình!trở!thành:!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

!

1

t+ 2+

2

2t+1=1 ⇔ 2t +1+ 2(t + 2) = (t + 2)(2t +1)

⇔ 2t2+ t −3 = 0 ⇔

t=1

t= −3 2

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⇔

log3x=1 log3x= −3

2

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⇔

x = 3(t / m)

x= 1

3 3(t / m)

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

.!

Kết)luận:!Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm!là!

x = 3;x = 1

3 3.!

Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!

I= (x−1)2+1

(x+1)2 dx

0

1

Ta!có:!

I= (x−1)2+1

(x+1)2 dx

0

1

(x+1)2 dx

0

1

(x+1)2 dx

0

1

∫

= 1− 4

x+1+

5

(x+1)2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟dx

0

1

x+1)

1

0=7

2−4ln 2

.!

Kết)luận:!Vậy!

I=

7

2−4ln 2.!!

Câu)4)(1,0)điểm).)

a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4−2i).z =12−4i !Tính!mô!đun!của!số!phức!

w=

1+ i + z

z2 !

b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!

a) Giả!sử! z = x + y.i(x,y ∈!)theo!giả!thiết!ta!có:!

!

x + yi −3i + (4−2i)(x − yi) =12−4i

⇔ x + ( y −3)i + 4x −2y −2xi −4yi =12−4i

⇔ 5x −2y −12+ (−2x −3y +1).i = 0

⇔ 5x −2y −12 = 0

−2x −3y +1= 0

⎧

⎨

⎪⎪

x= 2

y= −1

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ ⇒ z = 2−i

!.!

Vì!vậy!

w=1+ i + z

z2 =1+ i + (2−i)

(2−i)2 = 3

3−4i=

3(3+ 4i)

25 =9+12i

25 ⇒ w = 81

625+144

625 =3

5.!!

b) !Giả!sử!số!thuộc!M!có!dạng:! abcd !

+)!

a∈ 1,2,3,4,5,6,7,8,9{ }⇒ acó!9!cách!chọn.!

+)! bcd có! A9

3cách!chọn.!

Vậy!trong!M!có!tất!cả! 9.A93= 4536số.!

+)!Gọi!A!là!biến!cố!chọn!một!số!từ!M!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.! không!gian!mẫu!Ω = 4536.!

Một!số!chọn!ra!thoả!mãn!nếu! 1≤a <b <c <d ≤9 !

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

+)!Chọn!4!số!trong!tập!{1,2,3,4,5,6,7,8,9}!có! C94=126!cách.!

Với!mỗi!4!số!chọn!ra!!có!duy!nhất!một!cách!sắp!xếp!chúng!thành!một!số!tự!nhiên!có!4!chữ!số! thoả!mãn!yêu!cầu.!

Vậy!trong!M!có!tất!cả!126!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!

Vì!vậy:!

ΩA =126 ⇒ P(A) = ΩA

Ω =

126

4536= 1

36.!!!!

Bài)tập)tương)tự)m!Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!phân!biệt.!Chọn!ngẫu!nhiên!

một!số!từ!M,!tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!

a) Được!một!số!lẻ.!

b) Được!một!số!mà!chữ!số!đầu!lớn!hơn!chữ!số!đừng!liền!sau.!

c) Được!một!số!lớn!hơn!2015.!

!

Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!

SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!cách!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!

!

Ta!có:! AC ⊥ BD,EF //AC ⇒ EF ⊥ BD !

Kẻ!AH!vuông!góc!với!EF!tại!H!ta!có! AH ⊥ EF !

Kết!hợp!với! EF ⊥SA⇒ EF ⊥ (SAH).!

Vì!vậy!góc!giữa!mặt!phẳng!(SEF)!và!mặt!đáy!(ABCD)!

bằng!góc! SHA! = 600.!

Gọi!I!là!tâm!hình!vuông,!J!là!trung!điểm!của!đoạn!ID.! Ta!có:!

AH = IJ =

BD

4 =2a 2

4 =a 2

2 !

Tam!giác!vuông!SAH!có!

SA = AH.tan60

2 3=a 6

2 !!!!!!!

!Vì!vậy!

V S ABCD=1

3SA.S ABCD=1

3.

a 6

2 .4a2=2a3 6

3 (đvtt).!

+)!Ta!có:!

d(B;(SEF ))=

BJ

IJ d(I ;(SEF )) = 3d(I;(SEF )) = 3d(A;(SEF )).!

Kẻ!AK!vuông!góc!với!SH!tại!K!ta!có! AK ⊥ (SEF ).!

Tam!giác!vuông!SAH!có:!

!

1

AK2= 1

AH2+ 1

SA2= 2

a2+ 2

3a2= 8

3a2 ⇒ AK = a 6

4 !.!

Vậy!

d(B;(SEF ))= 3.

a 6

4 =3a 6

4 !!!!!

Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!

C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

Giả!sử!mặt!cầu!(S)!có!dạng:! x2+ y2+ z2−2ax −2by −2cz + d = 0(a2+ b2+ c2−d > 0).!

Vì!O,A,B,C!thuộc!(S)!nên!

d= 0 9−6a + d = 0 9−6b + d = 0 9−6c + d = 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⇔ a = b = c =

3 2

d= 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

.!

Vì!vậy! (S): x2+ y2+ z2−3x −3y −3z = 0.!

Mặt!cầu!(S)!có!tâm!

I (

3

2;

3

2;

3

2),R=3 3

2 !

+)!Ta!có:!

AI

! "!

= (−3

2;

3

2;

3

2) //(−1;1;1).!Mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A!nên!nhận! AI! "! làm!véc!

tơ!pháp!tuyến!vì!vậy! (P): x − y−z −3= 0.!!!!!!!!!

Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!

bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm!

F (

6

5;

13

5).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!

x + y −3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!

!

+)!Tứ!giác!DCMF!nội!tiếp!đường!tròn!đường!kính!DM!nên!

DFM ! = DCM! = 900.!

Vì!vậy!DF!vuông!góc!với!MF,!đường!thẳng!DF!đi!qua!F!và! nhận

FM

! "!!

= (14

5 ;

22

5 ) //(7;11)làm!vtpt!nên!có!phương!trình!là:!

7x +11y −37 = 0 !

!

Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ!

7x +11y −37 = 0

x + y −3 = 0

⎧

⎨

⎪⎪

x= −1

y= 4

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ ⇒ D(−1;4).!

+)!Gọi!C(a;b)!ta!có! S ABCD = CD.CB = 2CD.CM = 4S CDM =16 ⇒ S CDM = 4.!

Đường!thẳng!DM!có!phương!trình!là! 3x −5y+23= 0 !

Ta!có:!

S CDM =1

2DM d(C;DM )= 4 ⇔1

2 3

2+ 52.3a −5b + 23

32+ 52 = 4 ⇔ 3a −5b + 23 = 8.!

Và!tam!giác!CDM!vuông!nên!theo!Pitago!ta!có:!

!

CM2+CD2= DM2⇔ (a −4)2+ (b −7)2+ (a +1)2+ (b −4)2= 32+ 52

Vậy!ta!có!hệ!!

!

a2+ b2−3a −11b + 24 = 0 3a −5b + 23 = 8

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

a = 3,b = 8

a = 0,b = 3

a= −24

17,b=91

17

a=75

17,b=96

17

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⇒ C(3;8).!

Câu)8)(1,0)điểm).

+

x y

Kết)luận:)

Bài)tập)tương)tựm)

2

Bài)số)02.

Câu)9)(1,0)điểm).

= 16 3 ( + )3+ 16 3

( + )3+ 3 2+1

+1

⎧

⎨

⎪⎪

x3

( y + z)3+ y3

(x + z)3≥1

4(

x

y + z+

y

z + x)

3

≥1

4 3(

x

y + z+

y

x + z)−2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟≥

1

4(

5

2− 3z

x + y)

x

y + z+

y

z + x+

z

x + y≥

3 2

xy+1

z2+1≥ 4

z

x + y

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟

2

(x + y)2(xy +1) ≥ 4z2(z2+1) = (2z2+1)2−1 ⇔ a2(b +1) +1≥ (2z2+1)2

a2(b +1) +1= a2b + a2+1≥ a2+1+ 4b2

a2+1+ 4b2= (2z2+1)2

P≥ 4(

5

2− 3z

x + y)+12(

z

x + y)

x + y−

1

2)

2+7 ≥7

x = y = z