!Cho!hàm!số! y x − m x m x− !
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1.!!
2 !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm! B(1;2)!một!khoảng!bằng! 2 !
a) Giải!hệ!phương!trình! x y= y xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
b) Tìm! m > !để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số! = +
+ !trên!đoạn![0;2]!bằng!4.!
!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!
y= 1
e x
3
+ 2; y = 0;x = 0;x = 3ln 2.! Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.!
!!
a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn! 1.!Tìm!số!phức!z!để! z z đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!! b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của! A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có! chứa!x.!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có! , ! 1200.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh! AB,!hình!chiếu!vuông!góc!của!S!trên!mặt!phẳng!(ABC)!là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA! và! mặt! đáy! bằng! 600!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt! phẳng!(SBC).!
Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng! P x + y+ z − = !Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm! toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho! MA MB 4 14 !!!!
!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!
B 21
5;
3
5 !Phương!
trình!tiếp!tuyến!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là! x +2y−7= 0.!Đường!phân!
giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có!tung!độ! dương.!!!!
Giải!bất!phương!trình! (x 3+ 2 x )3+ 2 x + 2x 13 + 3x 4.!
!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn! x + y+ z = !Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!
P= 3
cos x
+ 3cos y + 3cos z −3.max cos x , cos y , cos z{ }.!
!
Trang 2PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1.!!
2 !Gọi!A!là!giao!điểm!của!(1)!với!Oy.!Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!và!cách!điểm! B(1;2)!một!khoảng!bằng! 2 !
1 Học!sinh!tự!làm.!
2 Ta!có! A(0;−1).!Tiếp!tuyến!của!(1)!tại!A!có!dạng:! d : y = (2m+1)x −1.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!
d(B;d )= (2m+1).1−1−2
(2m+1)2+ (−1)2 = 2 ⇔ 2(m −1) = 2(4m2+ 4m + 2)
⇔ 4(m −1)2= 2(4m2+ 4m + 2) ⇔ 4m2+16m = 0 ⇔ m= 0
m= −4
⎡
⎣
⎢
⎢
.!!
Vậy! m =−4;m = 0là!giá!trị!cần!tìm.!!!
a) Giải!hệ!phương!trình! x y= y xy
x − y = xy −
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
b) Tìm! m > !để!giá!trị!lớn!nhất!của!hàm!số! = +
+ !trên!đoạn![0;2]!bằng!4.!
a)!Điều!kiện:! 0< x,y ≠1.!
Phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!tương!đương!với:!
logx y=1
2(logy x+1)⇔ 2logx y= logy x+1
⇔ 2logx2y−logx y−1= 0 ⇔
logx y=1 logx y= −1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = y
x= 1
y2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
+)!Nếu! x = y thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:! (x2−1)2= 0 ⇔ x = ±1(l).!
+)!Nếu!
x= 1
y2 thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!
1
y2− y = 3 1
y−1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
⇔1− y3= 3( y −1)2
⇔ y3+ 3y2−6y + 2 = 0 ⇔
y =1(l)
y = −2+ 6(t / m)
y = −2− 6(l)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
→ (x; y) = 5−2 6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x; y)= 5−2 6
2 ;−2+ 6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
Trang 3b) Ta có:
y '=
2 x2+1−x(2x + m)
x2+1
2−mx (x2+1)3; y' = 0 ⇔ x = 2
m∈ 0;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ Ta!có!
y(0) = m; y 2
m
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= m2+ 4; y(2) =
m+ 4
5 ⇒ ymax= y 2
m
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= m2+ 4.!
Vậy!yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:! m2+ 4 = 4 ⇔ m2+ 4 =16 ⇒ m = 2 3.!
Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!tham!số!là! m = 2 3 !!!!!
!Gọi!S!là!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!các!đường!
y= 1
e x
3 + 2; y = 0;x = 0;x = 3ln 2.! Tính!thể!tích!khối!tròn!xoay!sinh!ra!khi!quay!S!quanh!trục!hoành.!
Ta!có:!
( e3 x + 2)2 0
3ln 2
t = e
x
3
⇒ t3= e x ⇒ e x dx = 3t2dt ⇒ dx = 3dt
t !
Vì!vậy!!
V = π 3dt
t(t+ 2)2 1
2
4
1
t− 1
t+ 2−
2
(t+ 2)2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟dt
1
2
∫
=3π
4 ln
t
t+ 2+
2
t+ 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
2
1=3π
4 ln
3
2− 2 12
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !
!!
a) Trong!các!số!phức!z!thoả!mãn! 1.!Tìm!số!phức!z!để! z z đạt!giá!trị!lớn!nhất.!!! b) Cho!tập!A!gồm!n!phần!tử!phân!biệt!trong!đó!có!phần!tử!x.!Gọi!S!là!tập!hợp!các!tập!con!của! A.!Tính!số!phần!tử!của!S,!lấy!ra!ngẫu!nhiên!một!phần!tử!từ!S!tính!xác!suất!để!phần!tử!đó!có! chứa!x.!
a) Giả!sử! z = x + yi(x,y ∈!) !
Vì!
z =1 ⇔ x
2+ y2=1 ⇔ x2+ y2=1.!
Khi!đó!!!
1+ z + 31− z = (x +1)2+ y2+ 3 (x −1)2+ y2
= (x +1)2+1− x2+ 3 (x −1)2+1− x2 = 2( 1+ x + 3 1− x ).!
Xét!hàm!số! f (x) = 2( 1+ x +3 1−x )trên!đoạn![w1;1]!ta!có!
f '(x)= 2 1
2 1+ x−
3
2 1− x
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟; f '(x) = 0 ⇔ 1− x = 3 1+ x ⇔ x = −45
Ta có:
f (−1) = 6; f (1) = 2; f −4
5
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= 2 10
Vì vậy
fmax= f −4
5
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= 2 10 Từ đó suy ra
x= −4 5
y2=1− x2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= −
4
5, y= −3
5
x= −4
5, y=3 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
Trang 4
Vậy số cần cần tìm là
z= −
4
5−3
5i;z= −4
5+3
5i b) Số!tập!con!của!A!có!chứa!k!phần!tử!là! C n k (k = 0,n).!
Vì!vậy!tổng!số!phần!tử!của!S!là!!
C n
k
k=0
n
∑ = 2n.!
+)!Ta!tìm!!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x.!
Số!tập!con!không!chứa!phần!tử!x!chính!là!số!tập!con!của!tập!hợp!
A\ x{ }.!Tập!hợp!này!có!(nw1)! phần!tử.!
Vậy!số!tập!con!của!nó!bằng! 2 n−1.!
Vì!vậy!số!tập!con!của!A!chứa!phần!tử!x!là! 2 n−2n−1= 2n−1.!
Vậy!xác!suất!cần!tính!là!
P=
2n−1
2n =1
2.!!!!!
!Cho!hình!chóp!S.ABC!có! AB = AC = a,BAC! =1200.!Gọi!I!là!trung!điểm!cạnh! AB,!hình!chiếu!vuông!góc!của!S!trên!mặt!phẳng!(ABC)!là!trung!điểm!của!đoạn!CI;!góc!giữa!SA! và! mặt! đáy! bằng! 600!.! Tính! thể! tích! khối! chóp! S.ABC! và! khoảng! cách! từ! điểm! A! đến! mặt! phẳng!(SBC).!
!
Gọi!D!là!giao!điểm!của!AH!với!BC;!M!là!trung!điểm!cạnh! BC.!Do!tam!giác!ABC!cân!tại!A!nên!AM!vuông!góc!với!BC.! Ta!có:!
S ABC=
1
2AB.AC sin120
0=a2 3
4 !
Sử!dụng!định!lý!hàm!số!Côsin!cho!tam!giác!ACI!ta!có:!
!
CI = AI2+ AC2−2AI.AC cos1200
= a2
4 + a2−2.a
2.a.−1 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟=
a 7
2 !!
!
!
Sử!dụng!công!thức!đường!trung!tuyến!ta!có:!
AH=
2(AI2+ AC2)−CI2
4 !
Có!
SH ⊥ (ABC ) ⇒ SAH! = 600⇒ SH = AH tan600=3a
4 !
Vì!vậy!
V S ABC=1
3SH.S ABC =1
3.
3a
4 .
a2 3
4 =a3 3
16 (đvtt).!
+)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!BC!tại!K,!kẻ!HI!vuông!góc!với!SK!tại!I!ta!có! HI ⊥ (SBC) !
Ta!có!
HK=
1
2d(I ;BC )=1
4AM=a
8.!!
Sử!dụng!định!lý!Talets!ta!có:!
HD
AD = HK
AM =
1
2d(I ;BC )
4⇒ d(A;(SBC )) = 4d(H ;(SBC )) = 4HI
Trang 5Tam giác vuông SHK có
1
HI2= 1
SH2+ 1
HK2 = 16
9a2+64
a2 ⇒ HI = 3a 37
148
Vì vậy
d(A;(SBC ))= 4.
3a 37
148 =3a 37
37
Câu)6)(1,0)điểm) )Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;w2;3),!B(w5;10;w1)!
và!mặt!phẳng! (P):2x + y+2z −1= 0 !Chứng!minh!A,B!nằm!khác!phía!với!mặt!phẳng!(P).!Tìm! toạ!độ!điểm!M!thuộc!(P)!sao!cho! MA+ MB = 4 14 !!!!
Thay!toạ!độ!của!A,B!vào!mặt!phẳng!(P)!ta!được:(2.3−2+ 2.3−1) (2.(−5) +10+ 2.(−1))< 0.!! Vì!vậy!A,B!nằm!khác!phía!với!(P)!(đpcm).!
Ta!có:! AB! "!! = (−8;12;−4) ⇒ AB = MA+ MB = 4 14.!Vì!vậy!M!là!giao!điểm!của!AB!và!mặt!phẳng! (P).!
Phương!trình!đường!thẳng!AB!là!
x = 3+ 2t
y = −2−3t
z = 3+ t
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!!
Toạ!độ!điểm!M!là!nghiệm!của!hệ!
x = 3+ 2t
y = −2−3t
z = 3+ t 2x + y + 2z −1= 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔
x= −3
y= 7
z= 0
t= −2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇒ M (−3;7;0).!
Vậy! M (−3;7;0)là!điểm!cần!tìm.!!!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!
B 21
5;
3 5
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!Phương!
trình!tiếp!tuyến!của!tại!A!của!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!là! x +2y−7= 0.!Đường!
phân!giác!ngoài!của!góc!A!cắt!BC!kéo!dài!tại!điểm!E(9;3).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,C!biết!A!có! tung!độ!dương.!!!!
Đường!thẳng!BC!đi!qua!điểm!B,E!có!phương!trình!là! x −2y−3= 0.!!
Gọi!F!là!giao!điểm!của!tiếp!tuyến!và!đường!thẳng!BC.!
Toạ!độ!của!F!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình!
x −2y −3 = 0
x + 2y −7 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= 5
y=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ F (5;1).!
!
Gọi!D!là!chân!đường!phân!giác!trong!góc!A!của!tam! giác!ABC.!
Xét!tam!giác!ADF!có!! FA = FD bởi!vì!!!
FAD
! = FAC ! +CAD !;FDA ! = ABC ! + BAD!;
FAC
! = BAD !;CAD ! = BAD! !
Tức!tam!giác!FAD!cân!tại!F.!
AD,AE!là!hai!phân!giác!góc!A!nên!vuông!góc.!Vì!vậy!
tam!giác!ADE!là!tam!giác!vuông!có! FA = FD nên!F!là!
trung!điểm!đoạn!ED.!!!
!Vì!F!là!trung!điểm!của!ED!nên!D(1;w1).!
Gọi! A(7−2a;a),a >0là!điểm!thuộc!tiếp!tuyến! AD! "!! = (2a −6;−a −1),AE! "!!= (2a + 2;−a + 3).!
Trang 6Hotline:)0976)266)202)) Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!
Ta!có!
AD ⊥ AC ⇒ AD AE = 0 ⇔ (2a −6)(2a + 2) + (−a −1)(−a + 3) = 0
⇔ 5a2−10a −15 = 0 ⇔ a = −1(l)
a = 3(t / m)
⎡
⎣
⎢
.!
Gọi!I!là!tâm!ngoại!tiếp!của!tam!giác!ABC.!Do!IA=IB!và!IA!vuông!góc!với!tiếp!tuyến!tại!A!nên!
toạ!độ!I!là!nghiệm!của!hệ!
2(x −1)−( y −3) = 0 (x−1)2+ ( y −3)2= x −21
5
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
+ y −3
5
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ 2x − y +1= 0
4x −3y −5 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= −4
y= −7
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ !
Vậy!I(w4;w7).!Gọi!
C (2c + 3;c) ∈ BC,c ≠
3
5.!
Ta!có!
IC2= IA2=125 ⇔ (2c +7)2+ (c +7)2=125 ⇔
c = −9(t / m)
c=3
5(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ C(−15;−9).!
Vậy!toạ!độ!hai!đỉnh!cần!tìm!là! A(1;3),C(−15;−9) !!!!
Câu)8)(1,0)điểm).)Giải!bất!phương!trình! (x −3+ 2−x )3+ 2− x + 2x −13 + 3x ≥ 4.!
Điều!kiện:! x ≤2 !!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
! (x −3+ 2− x )3+ (x −3+ 2− x ) ≥ (1−2x) + 1−2x3 (1).!!
Xét!hàm!số! f (a) = a3+ a trên!R!ta!có! f '(a) = 3a2+1> 0,∀a ∈ !.!
Vì!vậy!f(a)!đồng!biến,!do!đó! (1) ⇔ f (x −3+ 2−x )≥ f ( 1−2x3 )⇔ x −3+ 2− x ≥ 1−2x3 !
Đặt! t = 2−x ≥0⇒ x = 2−t2.!Bất!phương!trình!trở!thành:!
!
2−t2+ t + 2(2−t3 2)−1≥ 3
⇔ 3−2t3 2≥ t2−t +1 ⇔ 3−2t2≥ (t2−t +1)3
⇔ (t −1)(t5−2t4+ 4t3−3t2+ 5t + 2) ≤ 0
⇔ t ≤1 ⇔ 2− x ≤1 ⇔ x ≥1
.!
Bởi!vì! t5−2t4+ 4t3−3t2+ 5t + 2 = t3(t−1)2+ t(3t2−3t + 5) + 2 > 0,∀t ≥ 0.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!bài!toán!ta!có! 1≤ x ≤2.!!
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= 1;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ !!!!!
Chú)ý.!Ta!có!thể!giải!bằng!cách!khác!sau!đây:!
Đặt!
a = x −3+ 2− x
b = 2x −13
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ .!Bất!phương!trình!trở!thành:!
a3+ a + b + b3≥ 0 ⇔ (a + b)(a2−ab + b2+1) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 0
Trang 7
⇔ x + 2− x −3+ 2x −13 ≥ 0 ⇔ (x −2+ 2− x ) + ( 2x −13 −1) ≥ 0
⇔ 2− x 1− 2− x( )+ ( 2x −13 −1) ≥ 0
⇔(x −1) 2− x
1+ 2− x +
2(x−1)
(2x−1)2
3 + 2x −13 +1≥ 0
⇔ (x −1) 2− x
1+ 2− x+
2
(2x−1)2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥≥ 0 ⇔ x ≥1
.!
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= 1;2⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ !!!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn! x + y+ z = 0.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!
P= 3
cos x
+ 3cos y + 3cos z −3.max cos x , cos y , cos z{ }.!
Do!vai!trò!của!x,y,z!như!nhau!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!
cos z = max cos x , cos y , cos z{ }.!!
Ta!có!!
cos x + cos y = cos2x+ cos2y + 2 cos x.cos y ≥ cos2x+ cos2y
= 1+cos2x + cos2y
2 = 1+ cos(x + y)cos(x − y)
≥ 1− cos(x + y).cos(x − y) ≥ 1− cos z ≥1− cos z
.!
Mặt!khác:!
3
cos x
+ 3cos y ≥ 2+ cos x + cos y !
Từ!đó!suy!ra:!
P≥ 3+ 3
cos z
−4 cos z !
Xét hàm số f (t) = 3 t −4t , ta có
f '(t)= 3tln3−4 < 0,∀t ∈ 0;1⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ Vì!vậy! P ≥ f (t)≥ f (1) = 2.!!
Dấu!bằng!đạt!tại!
cos x = cos y = 0; cos z =1;x + y + z = 0.!Chẳng!hạn!
x = y =
π
2;z = −π.! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!2.!!!
!
!!
!