Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)12/50)
Ngày)thi):)01/03/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số!
y=
1
3x
3−5m
2 x
2−4mx + 2 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =−1.!
2 Tìm!m!để!(1)!có!hai!cực!trị! x1,x2sao!cho! (x12+ 5mx2+12m)(x22+ 5mx1+12m) =1.!!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!bất!phương!trình!
1 log2(x2− x + 2)≥
1 log2(x+1).!
b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! f (x) = (x +1).e x2−x!trên!đoạn![P1;2].!!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
I = (x −1).cos2x
2dx
0
π
Câu)4)(1,0)điểm).))
a) Cho!số!phức! z =1+i 3 !Viết!z!dưới!dạng!lượng!giác.!Tìm!n!nguyên!dương!nhỏ!nhất!để!
z nlà!số!nguyên!dương.!
b) Cho!2n!điểm! (n ≥2,n ∈!)là!các!đỉnh!của!một!đa!giác!đều.!Biết!số!tam!giác!vuông!tạo!
thành!từ!2n!điểm!đó!bằng!180.!Tìm!n.!!!
Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABC!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,! SA = a !Gọi!M,N!
lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!BC!và!SA.!Giả!sử!SM!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC).!Tính! thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!BN!và!AC.!!!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;0;4),!B(7;2;2)!và!
mặt!phẳng! (P): x + y+ z +8= 0.!Tính!khoảng!cách!từ!trung!điểm!của!đoạn!thẳng!AB!đến!mặt! phẳng!(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!(P)!để! MA2+ MB2nhỏ!nhất.!!!
Câu)7)(1,0)điểm).)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD!tâm!I.!Gọi!M,!
N,J!lần!lượt!là!trung!điểm!các!đoạn!thẳng!AI,!CD,BN.!Giả!sử!phương!trình!đường!thẳng!MJ!là!
y−
7
2= 0và!N(5;6).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD!biết!đỉnh!C!có!hoành!độ!lớn!hơn!3.!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
x2−3y2+ x + 4y −2 = ( y−1)2+1
x
y2−3x2−2x −2y + 2 = −2 x2+ x
y
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
(x, y∈ !).!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! ab +bc +ca =1.!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!
của!biểu!thức!
P= a2+ bc
a2+ (b + c)2+ b2+ ca
b2+ (c + a)2+ c2+ ab
c2+ (a + b)2−8 3(a2+ b2+ c2+ 2)
mmmHẾTmmm) )
Trang 2PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số!
y=
1
3x
3−5m
2 x
2−4mx + 2 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =−1.!
2 Tìm!m!để!(1)!có!hai!cực!trị! x1,x2sao!cho! (x12+ 5mx2+12m)(x22+ 5mx1+12m) =1.!!
1 Học!sinh!tự!giải.!
2 Ta!có:! y' = x2−5mx −4m; y' = 0 ⇔ x2−5mx −4m = 0.!
Để!(1)!có!hai!cực!trị!khi!và!chỉ!khi!y’!có!hai!nghiệm!phân!biệt!!
!
⇔ Δ = 25m2+16m > 0 ⇔
m> 0
m<−16 25
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Khi!đó!!theo!viPét!có! x1+ x2= 5mvà! x12−5mx1−4m = 0;x22−5mx2−4m = 0.!!
Vì!vậy!!
(x12+ 5mx2+12m)(x22+ 5mx1+12m) =1
⇔ (x12−5mx1−4m + 5m(x1+ x2)+16m)(x22−5mx2−4m + 5m(x1+ x2)+16m) =1
⇔ (5m(x1+ x2)+16m)2=1 ⇔ (25m2+16m)2=1 ⇔ 25m2+16m =1(do25m2+16m > 0)
⇔ m =−8± 89
25
.!!!!
Bài)tập)tương)tự)m)Tìm!m!để!(1)!có!hai!cực!trị! x1,x2sao!cho!
x12+ 5mx2+12m+
x22+ 5mx1+12m
m2 đạt!giá!trị!nhỏ!nhất.!!!!!
HD:!!
(x12−5mx1−4m) + 5m(x1+ x2)+16m+
(x22−5mx2−4m) + 5m(x1+ x2)+16m
m2
5(x1+ x2)+16+
5(x1+ x2)+16
5m+16+
5m+16
5m+16.
5m+16
.!
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!
m 5m+16=
5m+16
m =1 ⇔ 5m +16 = m ⇔ m = −4(t / m).!
Đ/s:! m =−4 !
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!bất!phương!trình!
1 log2(x2− x + 2)≥
1 log2(x+1).!
b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! f (x) = (x +1).e x2−x!trên!đoạn![P1;2].!!!
a) Điều!kiện:!
x+1> 0 log2(x+1) ≠ 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ −1< x ≠ 0.!
Trang 3+)!Nếu! −1< x < 0 ⇒ log2(x+1) < 0.!Bất!phương!trình!luôn!đúng.!
+)!Nếu! x >0⇒ log2(x+1) > 0.!!!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!
!
log2(x2− x + 2) ≤ log2(x +1) ⇔ x2− x + 2 ≤ x +1
⇔ x2−2x +1≤ 0 ⇔ x =1 !
Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S= (−1;0) ∪ 1{ }.!!
Bài)tập)tương)tự)m!Giải!bất!phương!trình!
1 log2(x2−3x + 4)>
2 log
2(x+1).!
Đ/s:! S = (−1;0)∪(1;3).!!!!
b) Hàm!số!f(x)!liên!tục!trên!đoạn![P1;2].!
Ta!có:! f '(x) = e x2−x + (x +1)(2x −1).e x2−x = (2x2+ x).e x2−x.!
!
f '(x) = 0 ⇔ 2x2+ x = 0 ⇔
x= 0
x= −1 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
+)!Tính!được:!
f (−1) = 0; f (−
1
2)=1
2.e
3
4; f (1) = 2; f (2) = 3e2.!
Vì!vậy!
max
x∈ −1;2 ⎡ ⎤f (x) = f (2) = 3e2; min
x∈ −1;2 ⎡ ⎤f (x) = f (−1) = 0.!!!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
I = (x −1).cos2x
2dx
0
π
Ta!có:!!!
I =1
2 (x −1)(1+ cos x)dx
0
π
2 (x −1)dx
0
π
∫
K
!#####"#####$
+1
2 (x −1)cos x dx
0
π
∫
M
!#######"#######$
.!
+)!
K=1
2 (x −1)dx
0
π
2(
x2
2 − x) π
0=π2
4 −π
2 !
+)!!
u = x −1
dv = cos xdx
⎧
⎨
⎪⎪
du = dx
v = sin x
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ M = (x −1)sin x
π
0− sin x dx
0
π
∫ = cos x π
0 = −2.!
Kết)luận:)Vậy!
K=
π2
4 −π
2−1.!
Câu)4)(1,0)điểm).))
a) Cho!số!phức! z =1+i 3 !Viết!z!dưới!dạng!lượng!giác.!Tìm!n!nguyên!dương!nhỏ!nhất!để!
z nlà!số!nguyên!dương.!
b) Cho!2n!điểm! (n ≥2,n ∈!)là!các!đỉnh!của!một!đa!giác!đều.!Biết!số!tam!giác!vuông!tạo!
thành!từ!2n!điểm!đó!bằng!180.!Tìm!n.!!!
a) Ta!có:!
z= 2(
1
2+ 3
2 .i)= 2(cosπ
3+ i.sin π
3).!
Trang 4Vì!vậy!
z n= 2(cosπ
3+ i.sin π
3)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
n
= 2n(cosnπ
3 + i.sin nπ
3 ).!
Để! z nlà!số!nguyên!dương!khi!và!chỉ!khi!
sinnπ
3 = 0
2n.cosnπ
3 ∈ ! *
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔nπ
3 = k2π ⇔ n = 6k,k ∈ ".!
Vì!n!nguyên!dương!nhỏ!nhất!nên! k =1⇒ n = 6 !
Vậy! n = 6là!giá!trị!cần!tìm.!!!!!!
b) +)!Tam!giác!vuông!được!tạo!thành!từ!một!đường!kính!của!đường!tròn!nội!tiếp!đa!giác!đều! và!1!đỉnh!không!nằm!trên!đường!kính.!
+)!Có!tất!cả!n!đường!kính.!Với!mỗi!đường!kính!có!(2nP2)!đỉnh!còn!lại!cùng!với!đường!kính!đó! để!tạo!thành!một!tam!giác!vuông.!
Vậy!có!tất!cả! n.(2n−2) = 2(n2−n)tam!giác!vuông.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
2(n2−n) =180 ⇔ n =10(t / m)
n = −9(l)
⎡
⎣
⎢
Vậy! n =10là!giá!trị!cần!tìm.!!
Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABC!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,! SA = a !Gọi!M,N!
lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!BC!và!SA.!Giả!sử!SM!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABC).!Tính! thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!BN!và!AC.!!!
!
+)!Tam!giác!vuông!SAM!có!
SM = SA
2− AM2 = a2−3a2
4 =a
2.! +)!
S ABC=
1
2AM BC=a2 3
4 !
Suy!ra:!
V S ABC =
1
3SM S ABC =1
3.
a
2.
a2 3
4 =a3 3
24 !(đvtt).!
+)!Tính!góc!giữa!BN!và!AC:!
Gọi!E!là!trung!điểm!cạnh!SC.!Ta!có!NE//AC!nên!góc!giữa!AC!và! BN!bằng!góc!giữa!NE!và!BN.!
Tam!giác!BNE!có:!
!
NE=
AC
2 =a
2;BN= 2(AB2+SB2)−SA2
2 ;
BE=
2(SB2+ BC2)−SC2
4 !
Suy!ra!
cos BNE ! = BN2+ NE2− BE2
2BN NE =
a2
2 +a2
4 −5a2 8
2.a
2.
a 2
2
= 2
8 !Vì!vậy!
cos(BN ;AC )! = 2
8 !!!
Cách)2:!Đặt!hệ!trục!gồm!M(0;0;0),!
A(
a 3
2 ;0;0),B(0;− a
2;0),C (0; a
2;0),S(0;0; a
2),N ( a 3
4 ;0;
a
4).!
Trang 5Suy!ra!
cos(BN ;AC )! = BN
" #""
.AC" #""
BN
" #""
AC" #"" =
2
8 !!!!!!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;0;4),!B(7;2;2)!và!
mặt!phẳng! (P): x + y+ z +8= 0.!Tính!khoảng!cách!từ!trung!điểm!của!đoạn!thẳng!AB!đến!mặt! phẳng!(P).!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!(P)!để! MA2+ MB2nhỏ!nhất.!!!
+)!Gọi!I!là!trung!điểm!của!AB!ta!có!I(4;1;3).!Ta!có:!
d(I ;(P ))= 4+1+ 3+ 8
1+1+1 =
16 3
3 !!
+)!Theo!công!thức!đường!trung!tuyến!ta!có!
MA
2+ MB2= 2MI2+AB2
2 !
Vì!vậy! MA2+ MB2nhỏ!nhất!khi!MI!nhỏ!nhất!,!điều!này!tương!đương!với!M!là!hình!chiếu! vuông!góc!của!I!trên!(P).!
+)!Đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!vuông!góc!với!(P)!nhận! n!"!P= (1;1;1)làm!véc!tơ!chỉ!phương!nên!có! pt!là!
d :
x = 4 + t
y =1+ t
z = 3+ t
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!Thay!x,y,z!từ!pt!của!d!vào!phương!trình!của!(P)!ta!được:!
!
4+ t +1+ t + 3+ t + 8 = 0 ⇔ t = −16
3 ⇒ M −4
3;−13
3;−7 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!
Vậy!điểm!cần!tìm!là!
M −4
3;−13
3;−7 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ !!
Câu)7)(1,0)điểm).)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD!tâm!I.!Gọi!M,!
N,J!lần!lượt!là!trung!điểm!các!đoạn!thẳng!AI,!CD,BN.!Giả!sử!phương!trình!đường!thẳng!MJ!là!
y−
7
2= 0và!N(5;6).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD!biết!đỉnh!C!có!hoành!độ!lớn!hơn!3.!!
!
Ta!chứng!minh!MJ!vuông!góc!với!NJ:!
Cách)1:!Dùng!độ!dài!cạnh!hình!vuông,!đặt! AB = a >0 !
Dùng!định!lý!hàm!số!côsin!cho!các!tam!giác!ABM;!CMN;!BCN!
Tính!được:! MB = MN = a 10,BN = 2a 5 !!!
Nên!tam!giác!BMN!vuông!cân!tại!M!suy!ra! MJ ⊥ NJ !
Cách!2:!!Gọi!K!là!trung!điểm!đoạn!DN.!
Ta!có:!
JK //BD
BD ⊥ AC
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ JK ⊥ MI (1);
MK //AD
IJ ⊥ AD
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ IJ ⊥ MK (2).!! Từ!(1)!và!(2)!suy!ra!I!là!trực!tâm!tam!giác!MJK.!
Vì!vậy!
IK ⊥ MJ
IK //NJ
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ NJ ⊥ MJ !!!
Đường!thẳng!NJ!đi!qua!N!và!vuông!góc!với!MJ!có!phương!trình!là! x −5= 0 !Toạ!độ!điểm!J!là!
Trang 6nghiệm!của!hệ!
x−5 = 0
y−7
2= 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇔
x= 5
y=7 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⇒ J (5;7
2).!
Vì!J!là!trung!điểm!BN!nên!B(5;1).!
Gọi!C(a;b)!với!a>3!ta!có!
BC = 2NC = 2BN
5 = 2 5.!!!
Ta!có!hệ!phương!trình:!
(a−5)2+ (b −1)2= 20
(a−5)2+ (b −6)2= 5
⎧
⎨
⎪⎪
(b−1)2−(b −6)2=15
(a−5)2+ (b −1)2= 20
⎧
⎨
⎪⎪
a = 7,b = 5(t / m)
a = 3,b = 5(l)
⎡
⎣
⎢
Vì!vậy! C(7;5) ,!do!N!là!trung!điểm!CD!nên!D(3;7)!và! DC! "!!= AB! "!! ⇒ A(1;3).!
Vậy!toạ!độ!bốn!đỉnh!cần!tìm!là A(1;3),B(5;1),C(7;5),D(3;7) !
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
x2−3y2+ x + 4y −2 = ( y−1)2+1
x
y2−3x2−2x −2y + 2 = −2 x2+ x
y
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
.!
Điều!kiện:! x ≠ 0;y ≠ 0.!
Hệ!phương!trình!tương!đương!với:!
x3−3xy2+ 4xy = y2− x2+ 2(x − y +1) (1)
y3−3x2y −2xy = 2( y2− x2− x − y) (2)
⎧
⎨
⎪⎪
Lấy!(1)!P!(2).i!!và!đặt! z = x + y.i !theo!vế!ta!được:!
⇔ z3+ (1−2i)z2−2z(1+ i)−2 = 0 ⇔ (z +1)(z2−2i.z −2) = 0
⇔ (z +1)(z −1−i)(z +1−i) = 0 ⇔
z= −1
z =1+ i
z = −1+ i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x + yi = −1
x + yi =1+ i
x + yi = −1+ i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = −1, y = 0
x =1, y =1
z = −1, y =1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết)luận:)Vậy!hệ!phương!trình!có!hai!nghiệm!là! (x;y) = (1;1);(−1;1) !!!
Chú)ý.!Ta!có:! z2= x2− y2+ 2xy.i;z3= x3−3xy2+ (−y3+ 3x2y).i.!Vì!vậy!dấu!hiện!sử!dụng!số!
phức!là!trong!phương!trình!có!các!đại!lượng! x2− y2;x3−3xy2; y3−3x2y.!!
Bài)tập)tương)tự)mGiải!hệ!phương!trình!
x3−3xy2− x −1= y2+ 2xy − x2
y3−3x2y + y +1= x2+ 2xy − y2
⎧
⎨
⎪⎪
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! ab +bc +ca =1.!Tìm!giá!trị!lớn!nhất!
của!biểu!thức!
P= a2+ bc
a2+ (b + c)2+ b2+ ca
b2+ (c + a)2+ c2+ ab
c2+ (a + b)2−8 3(a2+ b2+ c2+ 2)
Lời$giải:$
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!
a2+ bc
a2+ (b + c)2≤a
2+(b + c)2 4
a2+ (b + c)2 =1−3
4.
(b + c)2
a2+ (b + c)2.!
Tương!tự!suy!ra:!
Trang 7!
a2+ bc
a2+ (b + c)2≤ 3−3
4.
(b + c)2
a2+ (b + c)2
∑
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!ta!có:!
!
(b + c)2
a2+ (b + c)2≥ 4(a + b + c)2
(a2+ (b + c)2)
2
(a + b + c)2+ 2(a2+ b2+ c2)
Suy!ra:!
!
a2+ bc
a2+ (b + c)2≤ 3−3
4.
4(a + b + c)2
(a + b + c)2+ 2(a2+ b2+ c2)
∑
= 6(a2+ b2+ c2)
(a + b + c)2+ 2(a2+ b2+ c2)
≤ 6(a2+ b2+ c2)
(a + b + c)2+2
3(a + b + c)2
=18
5.
a2+ b2+ c2
(a + b + c)2
.!!
!!
Vì!vậy!!
!
P≤18
5.
a2+ b2+ c2
(a + b + c)2−8 3(a
2+ b2+ c2+ 2)
5 (1− 2
(a + b + c)2)−8 3
5 (a + b + c)
= f (t) =18
5 −36
5t2−8 3
5 t,t = a + b + c
.!
Ta!có:
f '(t)=
72
5t3−8 3
5 ; f '(t) = 0 ⇔ t = 3 !Vì!f’(t)!đổi!dấu!dương!sang!âm!khi!đi!qua! t = 3 !
Suy!ra!
P ≤ f (t) ≤ f ( 3) =
18
5 −36
15−24
5 = −18
5 !
Vậy!giá!trị!lớn!nhất!của!P!bằng!−18
5 !Dấu!bằng!đặt!tại!
a = b = c = 1
3.!!!!!
!
!
!!
!!