Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà.. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc.. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2011 (đợt 2)
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (2,5 điểm).
1) Cho hàm số yf x( ) x2 2x 5
a Tính f x( ) khi: x0;x3
b Tìm x biết: f x( )5; ( )f x 2
2) Giải bất phương trình: 3(x 4) x 6
Câu 2 (2,5 điểm).
1) Cho hàm số bậc nhất ym– 2x m 3 (d)
a Tìm m để hàm số đồng biến.
b Tìm m để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y2x 3
2) Cho hệ phương trình 3 2
x y
Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x y; sao cho 2 5 4
1
y
Câu 3 (1,0 điểm).
Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì
xong công việc Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất
được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4,5
ngày (bốn ngày rưỡi) nữa thì hoàn thành công việc Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau
Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M (M khác A và O) Tia CM cắt đường tròn
(O; R) tại điểm thứ hai là N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại N Tiếp
tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại M ở P
1) Chứng minh: OMNP là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh: CN // OP
3) Khi 1
3
Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho ba số x y z, , thoả mãn 0x y z, , 1 và x y z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: A =
(x 1) (y 1) (z 1)
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
1
1.b Khi f(x) = -5 tìm được x = 0; x = - 2Khi f(x) = -2 tìm được x = 1; x = -3 0,50,5
2 Biến đổi được về 3x – 12 > x – 6 Giải được nghiệm x > 3 0,250,25 2
1.a Để hàm số đồng biến thì m – 2 > 0Tìm được m > 2 và kết luận 0,250,25 1.b
Để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y = 2x – 3 thì m m 2 23 3
0,5
Trang 34 6
m m
2
Đặt điều kiện: y + 102m – 3 + 1 0 m 1 0,25 Có:
2
5
1
y
2
x 5y 9 0
Thay x = m + 1; y = 2m – 3 ta được: (m + 1)2 – 5(2m - 3) – 9 = 0
m2 – 8m + 7 = 0 Giải phương trình được m = 1; m = 7
0,25
So sánh với điều kiện suy ra m = 1 (loại); m = 7 (thoả mãn) 0,25
3
Gọi thời gian người 1, người 2 làm một mình xong công việc lần lượt là x,
Trong một ngày người 1 và người 2 lần lượt làm được 1x và 1y công việc
suy ra phương trình: 1x 1y 16
0,25
Người 1 làm trong 3 ngày và người 2 làm trong 7,5 ngày lần lượt được 3
x
và 7,5y công việc suy ra phương trình: 3 7,5 1
0,25 Giải hệ được x = 18, y = 9 So sánh với điều kiện và kết luận 0,25
4
1
Do đó OMP ONP 90 0 suy ra OMNP là tứ giác nội tiếp 0,25 2
Do OMNP là tứ giác nội tiếp nên ONC OPM (cùng chắn OM) 0,25
Ta có: MP // CD (cùng vuông góc với AB) nên OPM POD ( so le trong) 0,25
Mà tam giác OCN cân tại O (OC = ON) nênONC OCN 0,25
3
Do OMP ONP 90 0 nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác OMNP có đường
kính là OP Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN có đường kính là
OP
0,25
Ta có: CN // OP và MP // CD nên tứ giác OCMP là hình bình hành và suy
Ta có AM = 1
3AO = 1
3R OM = 2
3R Áp dụng định lý Pytago trong tam 0,25
P N
D C
Trang 4giác vuông OMC nên tính được MC = R 13
3
Suy ra OP = R 13
3 từ đó ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng R 13
6
0,25
5
Do x, y, z 1 đặt a = 1 – x 0, b = 1- y 0, c = 1- z 0 và a + b + c = 1 suy ra z = 1 – x + 1- y = a + b, y = 1 – x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b
Khi đó A = a2 b2 c2
a b b c c a
0,25
Với m, n 0 thì m n2 0 m n 2 mn (*) Dấu “=” khi m = n
Áp dụng (*) ta có: a2 a b 2 a2 .a b a2 a b a
2
a
Tương tự ta có: b2 b b c
0,25
Suy ra: a2 b2 c2
a b b c c a
a b c 2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
3 suy ra x = y = z = 2
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 1
2 khi x = y = z = 2
3
0,25
