100 đề thi thử đại học môn toán tập 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=3,BC=6,mpSAB vuông góc với mpABCD ,Hình chiếu S lên mpABCD nằm trên tia đối của tia AB,Các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với mặt

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp

và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các

em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các

em tự ôn luyện.

Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường

mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau Sau mỗi bài toán nên rút

ra cho mình những điểm chú ý quan trọng

Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM

MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!

Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014 Tác giả

ĐỀ SỐ 71Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x= 4+2m x2 2+1 1( ) , trong đó m là tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 khi m= 1

2 Chứng minh rằng đường thẳng d y x: = +1 luôn cắt đồ thị hàm số ( )1 tại hai điểm phân biệt với mọi m

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho elíp ( )E có tiêu điểm thứ nhất là F(− 3;0) và

đi qua điểm 1 ; 4 33

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

12

Câu 9.(1,0 điểm) Cho ba số , , , a b c d là các số thực bất kỳ

Chứng minh rằng : a b c d ad bc 3

LỜI GIẢI Câu 1.(2,0 điểm) ) Cho hàm số y x= 4+2m x2 2+1 1( ) , trong đó m là tham số

1 ( 1,0 điểm)Khi m= 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số :y x= 4 + 2x2 + 1

a) Tập xác định D= ¡

b) Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: y′=4x3+4x=4x x( 2+ ⇒ = ⇔ =1) y′ 0 x 0

Ta có y' 0 > ⇔ > x 0 ; ' 0y < ⇔ < x 0 :

hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ ;0 ,) và đồng biến trên khoảng (0; + ∞).

+) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= 0,y CT = 1

+) Giới hạn: xlim→−∞y=xlim→+∞y= +∞

+) Bảng biến thiên:

x −∞ 0 +∞

y′ − 0 +

y +∞ +∞

1

Đồ thị : Nhận xét : hàm số đã cho là (học sinh tự vẽ đồ thị) hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng 3 2.( 1,0 điểm) Chứng minh rằng đường thẳng d y x: = +1 luôn cắt đồ thị hàm số ( )1 tại hai điểm phân biệt với mọi m Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d y x: = + 1 là : ( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 2 3 2 0 2 1 1 2 1 0 * 2 1 0 ** x x m x x x x m x x m x =  + + = + ⇔ + − = ⇔  + − = 

Số giao điểm của hai đồ thị tương ứng số nghiệm phương trình ( )* Ta thấy pt ( )* có một nghiệm x= 0, ta sẽ chứng minh pt ( )** có đúng một nghiệm khác 0 với mọi giá trị của m

• Nếu m= 0 thì pt ( )** trở thành x3− = ⇔ = ⇒1 0 x 1 pt ( )* có đúng hai nghiệm

• Nếu m≠ 0 , xét hàm số f x( ) = +x3 2m x2 −1 trên ¡

Ta có f x′( ) =3x2+2m2 > ∀ ∈0 x ¡ ⇒ hàm số f x( ) luôn đồng biến trên ¡ ⇒ pt f x( ) =0 có

nhiều nhất một nghiệm trên ¡

Ta có f ( )0 = −1,f ( )1 =2m2 > ⇒0 f ( ) ( )0 1f < ⇒0 pt f x( ) =0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1 Vậy pt ( )** có đúng một nghiệm khác 0

Câu 2.(1,0 điểm).

1.(0,5 điểm) Phương trình cos 2x sin 4x2 sin 2x( ) 2

2

π

2

sin 2x sin 2x 2 0

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x= +π4 kπ(k∈¢)

2.(0,5 điểm).Giải phương trình:(x2− −x 1 3) ( x2+ − =x 3) 4x2

( chú ý: có thể từ pt ( )* nhận xét x= 0 không là nghiệm của pt( )*

Khi x≠ 0 chia hai vế của phưong trình ( )* cho x2, sau đó đặt t 3x 3

e e

  Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của elíp ( )E

Ta có: ( )E có tiêu điểm F(− 3;0) nên có c= 3

Phương trình chính tắc của ( )E có dạng: x22 y22 1 ,(a b 0)

a +b = > >

− − và A(−1; 2;0).Lập phương trình mặt phẳng ( )P song song với hai đường thẳng d d1, 2 và cách A một khoảng bằng 3.

S ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Gọi Hlà trung điểm của AC⇒SH ⊥AC ( do ∆SAC cân tại S )

Mà (SAC) (⊥ ABC) ⇒SH ⊥(ABC) đặt SH =x x,( >0)

Điều kiện:

2 2

Hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (− 2 3 3;1− − 2 3 3 ;− ) ( 2 3 3;1− + 2 3 3− )

Câu 9.(1,0 điểm) Cho ba số , , ,a b c d là các số thực bất kỳ

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y 2x 11( )C

Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn phương trình: z2+ z=0.Khi đó tính tổng lũy thừa bậc

4 của tất cả các nghiệm của phương trình đã cho

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=3,BC=6,mp(SAB) vuông

góc với mp(ABCD) ,Hình chiếu S lên mp(ABCD) nằm trên tia đối của tia AB,Các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.Hơn nữa ,khoảng cách giữa các đường thẳng BD và SA bằng 6.Tính thể tích khối chóp và cô sin góc giữa hai đường

Câu 9.(1,0 điểm): Với x,y là các số thực lớn hơn 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3( 3) ( 2 ) 2 ( )

Câu 1.(2,0 điểm): a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 2x 11( )C

x

−

=

− Tập xác định : \ 1

2

 

 

¡

Đồ thị nhận đường thẳng 1

2

y= làm tiệm cận ngang.Đường thẳng 1

2

x= làm tiệm cận đứng

/

2

1

0,

x

−

Hàm số đồng biến với mọi x D∈

Bảng biến thiên

x −∞ 1

2 +∞

y/ + || +

Y +∞ 1

2 1 2 −∞

Đồ thị:

b, Viết PTTT của đồ thị ( C) biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

Đồ thị hàm số không có tiếp tuyến dạng thẳng đứng

Giả sử tìm được đường thăng t tiếp xúc với đồ thị (C ) có hoành độ x0 có hệ số góc

/

0

3

x

Do hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên t tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân khi k = ±1

*Với k=1 ( )2

0

3

1

− Phương trình vô nghiệm

*Với k=-1 ( )2 0

0

1

2

±

−

Từ đó tìm được hai tiếp tuyến y= − + ±x 1 3

Câu 2.(1,0 điểm):

1.(0,5 điểm) Giải phương trình: tan cos3 2cos 1 3 sin 2( cos )

1 2sin

x

−

2

Nhận xét: 3 ( 2 ) 2

cos3x=4cos x−3cosx=cosx 4sin x−1 , 2cos 2x− = −1 1 4sin x nên đưa phương

trình về dạng:(4sin2 x−1 sin) ( x+ 3 cosx− =1) 0

Giải phương trình: 4sin2x-1=0 ,kết hợp với ĐK ta được: 2 , 7 2 ( )

2.(0,5 điểm) Giải phương trình: (3− 5)x+15 3( + 5)x =2x+ 3

chia hai vế cho 2x >0,

z = z = − z = + i z = − i thỏa mãn phương trình đã cho

Để ý rằng do zk là nghiệm của phương trình đã cho nên 4 2

k k

Đường tròn (C ) có tâm I(1;2) và bán kính R=3.Giả sử tìm được tam giác ABC thỏa mãn.Với A(a;-1), a>0 khi đó IA=2R=6 nên tìm được a=6.Dó đó A(6;-1)

Khẳng định đường thẳng y=-1 tiếp xúc với (C ) tại M(1;-1) nên

Nếu B nằm trên đường thẳng này thì M là trung điểm AB và C thỏa mãn ICuur= −2IMuuur

mp(Q) song song với (P),theo thứ tự cắt d1,d2 tại A.B sao cho 4 5

Vậy tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn: ( )Q1 : 5x z− − =2 0,( )Q2 : 55x−11z+ =14 0

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB=3,BC=6,mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) ,Hình chiếu S lên mp(ABCD) nằm trên tia đối của tia AB,Các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.Hơn nữa ,khoảng cách giữa các đường thẳng BD và SA bằng 6.Tính thể tích khối chóp

và cô sin góc giữa hai đường thẳng SA và BD

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD) và K là hình chiếu của H lên CD.Khi đó do giả

thiết SBH· =SKH· =α,HK/ /BC HK, =BC⇒HBCK là hình vuông,A là trung điểm HB,D là trung điểm KC.Do đó HB=HK=BC=KC=6, và SH =6 tanα

Từ chứng minh trên suy ra AK =BD=3 5=SA SK, =6 2

Theo định lý cô sin: ·

12

Từ (1) suy ra a=b=2 thay vào (2) rút gọn được 2b2+3b-27=0⇔ =b 3,a=5, 9 0( )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3( 3) ( 2 ) 2 ( )

  .Từ bảng biến thiên suy ra f(t) ≥ f ( )4 = −8.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x+y=4,x=y=2

Suy ra GTNN của P=-8 khi và chỉ khi x=y=2

ĐỀ SỐ 73Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y=2x4−m x2 2+m2−1 (1) (m là tham số).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , sao cho

bốn điểm O, A B C, , là bốn đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ)

Câu 2.(1,0 điểm)

1 Giải phương trình: 1 cot 2 4sin2

1 cos 4

x x

cos3 coslim

x x

1

n n

C x+ + y− = Tìm điểm M trên đường thẳng d để từ M

kẻ được tiếp tuyến MA đến đường tròn ( )C1 và tiếp tuyến MB đến đường tròn ( )C2 (với A, B

là các tiếp điểm) sao cho tam giác AMB cân tại M.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a Mặt

bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với mặt phẳng (SCD) với I là trung điểm của AB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB.

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( 2 ) ( )

1.(1,0 điểm)Với m= 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số :y=2x4−4x2+3

TXĐ: D=¡

Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; limx→−∞y= +∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+ ∞)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và ( )0;1

Điểm cực đại( )0;3 , cực tiểu ( ) (1;1 , 1;1− ).

Điểm uốn: '' 24 2 8; '' 0 1

3

y = x − y = ⇔ = ±x Điểm uốn 1 17;

93

Đồ thị: Giao với Oy tại ( )0;3 , đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

2.(1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, ,

sao cho bốn điểm O, A B C, , là bốn đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ)

Dễ thấy A Oy∈ còn B, C đối xứng nhau qua OA và O khác A khi m≠ ± 1.

Tọa độ trung điểm của BC là

4 2

sin 2

4

x k l x

cos3 coslim

x x

1.(0,5 điểm) Cho khai triển ( 3) 2 3

1

n n

a

=  ÷ Cho

Điều kiện x≥ 0 Xét x = 0 thay vào phương trình không thỏa mãn

Với x> 0viết lại phương trình: ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )

31

t t

Để (1) có nghiệm x> 0thì (2) có nghiệm t≥ 2

Từ BBT của g(t) thì cần có m≥7

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: − + =4 0 và hai

thẳng d để từ M kẻ được tiếp tuyến MA đến đường tròn ( )C1 và tiếp tuyến MB đến đường

tròn ( )C2 (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác AMB cân tại M.

Đường tròn ( )C1 có tâm I( )1;1 , bán kính R1=1; ( )C2 có tâm J(−3; 4), bán kính R2 =2

Do IJ = > +5 R1 R2 ⇒( ) ( )C1 , C2 rời nhau nên A và B phân biệt

Gọi nuurP = −(1; 1;1) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do MM//(P) nên MN nuuuur uur P = ⇔0 2m t+ − −1 (m t− − + −5) ( 2m t− − = ⇔ = −2) 0 t m 2

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,

cạnh bằng 2a Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với mặt phẳng (SCD) với I là trung điểm của AB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB.

Goi E là trung điểm của CD, suy ra AB⊥IE

Lại có AB⊥SI ⇒AB⊥(SEI), do đó (ABCD) ⊥(SIE)

Trong tam giác SEI kẻ đường cao SH ⇒SH ⊥(ABCD)

SI =a IE= a⇒SE a= (do tam giác SEI vuông tại S) 3

2

a SH

Qua O kẻ OF/ /BC F BC( ∈ ) ⇒d SO AB( , ) =d AB SOF( ,( ) ) =d I SOF( ,( ) ) =2d H SOF( ,( ) )

Kẻ HK vuông góc với SO tại K ⇒HK ⊥(SOF) ( , ) 2 3

2

a

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( 2 ) ( )

ĐỀ SỐ 74Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+m, ( )1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 ứng với m= 1.

b Tìm m để hàm số ( )1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm

số đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

(Vơi t là tham số) và căt mặt

cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a= Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI

LỜI GIẢICâu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+m, ( )1

1.(1,0 điểm) với m= 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :y x= −3 3x2

x

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0), (2;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Cực trị:

- Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại y=0

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và giá trị cực tiểu y= −4

Suy ra U(1; 2− ) là điểm uốn của đồ thị hàm số

Đồ thị giao với trục Oy tại điểm ( )0;0

Đồ thị giao với trục Ox tại điểm ( )0;0 và ( )3;0

f(x)=x^3-3*x^2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

O

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm U(1; 2− ) làm tâm đối xứng

1.(1,0 điểm) Tìm m để hàm số ( )1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Ta cóy′ =3x2−6mx+3(m2−1)

Để hàm số có cực trị thì PT: y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt⇔x2−2mx m+ 2− =1 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ ∆ = > ∀′ 1 0, m

Ta có: y′′ =6x−6m, y m′′( − = − <1) 6 0 và y m′′( + = >1) 6 0

Do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là A m( −1; 2 2− m) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

2.(0,5 điểm) Tìm m để bất phương trình: x3+3x2− ≤1 m( x − x−1)3 có nghiệm thực

Điều kiện x≥1 Nhân cả hai vế của bất phương trình với ( x+ x−1)3 >0

Khi đó bất phương trình có nghiệm⇔min ( )x≥1 f x = f(1) 3= ≤m

2.(0,5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện: 2 2

Đường thẳng AB đi qua A và có véctơ pháp tuyến uuurAD(− −1; 2)

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt cầu

(Vơi t là tham số) và căt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Mặt cầu (S) có tâm I(-3;1;1) bán kính R=5.Véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là

uuur∆ (0;1; 1− ) Vì M(1;0;0)∈∆ và mặt phẳng (P) chứa ∆ nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng :a x( − + + =1) by cz 0,a2+ + ≠b2 c2 0

Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n a b cuurP( ; ; ) ,khi đó n nuur uurP ∆ = ⇔ =0 b c suy ra

vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn: x-1=0.7x-4y-4z-7=0

Câu 7(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với mặt đáy và SA a= Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI

Gọi O là giao điểm của AC và BD; K là giao điểm của SO và MN; I là giao điểm của đường thẳng AK với SC ⇒I là giao điểm của SC và mp AMN( )

52

x

x y y

Câu 9.(1,0 điểm) Cho ba số thực a b c, , ∈( )0;1 và thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1 1

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 3, ( )0;3

ĐỀ SỐ 75

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−9x2+12x−4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N sao

cho N cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 3, biết

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD

có phương trình (x−2)2+ −(y 3)2 =10 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường

thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M( 3; 2)− − và điểm A có hoành độ dương.

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : P x+2y z+ − =7 0

và các điểm ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )A 2 0 0 B 0 3 0− C 0 0 1 Tìm M ∈( )P sao cho MAuuur−2MBuuur+3MCuuuur đạt giá

trị nhỏ nhất

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA a= và SA tạo

với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300 Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM =2MA Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng BC, SA và thể tích tứ diện SMHC theo a

Câu 8.(1,0 điểm).Giải hệ phương trình:

LỜI GIẢICâu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−9x2+12x−4

1.(1,0 điểm).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y=2x3−9x2+12x−4

Giao với Oy tại (0; 4)−

Giao với Ox tại 1; 0 , 2; 0( )

2

2.(1,0 điểm) Tìm điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp

tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N sao

cho N cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo

thành một tam giác có diện tích bằng 3, biết N có

Với N(3; 5), giả sử M x y( ;0 0) Pt tiếp tuyến với (C) tại M là: y= y x'( )(0 x x− 0)+y0.

Do tiếp tuyến đi qua N nên ta có: 2 3 2

5 (6= x −18x +12)(3−x ) 2+ x −9x +12x −4

0 2

Câu 2.(1,0 điểm)

1.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2+ 3(sin2x−3sinx) =cos2x+3cosx

Phương trình đã cho tương đương với:

1 3.sin 2 1cos 2 3 3sin 1cos 0

2.(0,5 điểm) Giải phương trình:x2− −(3 2x)x+2 1 2( − x)=0

Phương trình đã cho tương đương với: x2−3x+ +2 2x(x− =2) 0

Xét hàm số ( )f x =2x+ −x 1, '( )f x =2xln2 1 0+ > ∀ ∈, x ¡ Vậy f(x) đồng biển trên ¡

Lại có ( )f 0 =0 nên phương trình ( )f x =0 có nghiệm duy nhất x=0.

KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,x=2

3 0

(1 )

n

n k

=

Đồng nhất hệ số của x theo hai cách khai triển ta được đẳng thức cần chứng minh n

2.(0,5 điểm) Một hộp cầu đựng 4 viên bi xanh,5 viên bi đỏ,3viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 3

viên bi.Tính xác suất để ba bi được chọn ,trong đó có đúng một viên bi xanh

Kết quả có thể xảy ra là 3

12 220

C

Gọi A là biến cố “ 3 viên bi được chọn,trong đó có đúng một viên bi xanh”

Kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1 2

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD

có phương trình (x−2)2+ −(y 3)2 =10 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường

thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M( 3; 2)− − và điểm A có hoành độ dương

Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;-2) có dạng ax by+ +3a+2b=0 (a2+b2 >0)

Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R= 10

(C) tiếp xúc với AB nên d I AB( ; ) =R hay

Do đó phương trình AB là - 3 - 3 0 x y = hoặc AB:3 - x y+ =7 0.

+ Nếu AB:3 - x y+ =7 0 Gọi A(t;3t+7) vì A có hoành độ x A >0 nên t>0 và do 2 2

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : P x+2y z+ − =7 0

và các điểm ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )A 2 0 0 B 0 3 0− C 0 0 1 Tìm M ∈( )P sao cho MAuuur−2MBuuur+3MCuuuur đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi I là điểm sao cho IAuur−2IBuur+3ICuur r=0

R

C B A

D

I M

Câu7(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA a= và SA tạo

với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300 Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM =2MA Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng BC, SA và thể tích tứ diện SMHC theo a

Xét ∆SHA(vuông tại H), có AH =SAcos 0 = a 3

30

2

Mà ∆ABC đều cạnh a suy ra H là trung điểm cạnh BC, vậy AH ⊥ BC

Lại có SH ⊥ BC suy ra BC⊥(SAH) Hạ HK vuông góc với SA suy ra HK là khoảng cách giữa

C K

M

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:



Suy ra a3+ = +b3 (a 3 )(b a2+ +b2 ab)⇔b b( 2+2ab+2 ) 0a2 = ⇒ =b 0 (vì a>0)Với b= ⇒ = ⇒ =0 y 0 x 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1

0

x y