100 đề thi thử đại học môn toán tập 6

Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các em hệ thống lại kiến thức

Các em học sinh thân mến!

Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp

để các em tự ôn luyện.

Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau Sau mỗi bài toán nên rút ra cho mình những điểm chú ý quan trọng

Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM

MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!

Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014

Tác giả

ĐỀ SỐ 61Câu 1.(2,0 điểm).

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: y x= −3 6x2+9x−2 (C)

2/Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (C m ), đường thẳng d

có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (C m) tại ba

điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Câu 2.(2,0 điểm)

1 Cho phương trình 2cos2x – mcosx =

4

1

sin4x + msinx, m là tham số (1).

a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trong đoạn [0,

4

π]

2 Giải phương trình 3x+ −3 5 2− x x− +3 3x2+10x−26 0, = x∈¡

Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân

2 2

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(-5;1)

là tâm đường tròn ngoại tiếp; phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:

2 13 0 và 13 6 9 0

x− y− = x− y− = Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C.

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(4;4;0); điểm B thuộc

mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 4x−4y−4z=0 sao cho tam giác OAB đều Viết phương trình mặt phẳng (OAB)

LỜI GIẢICâu 1.(2,0 điểm)

1.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: y x= −3 6x2+9x−2 (C)

Đồ thị nhân điểm I(2;0) làm tâm đối xứng

2.(1,0 điểm) Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (C m),

đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m để

d cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 ⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = 0  + + + = ( )

=

⇔

*022

0

x x

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

x

y/

y

- 1 3 + + 0 - 0 +

'

m m

m m

Khi đó B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 là hai nghiệm của (*).

2

2

2 1

2 1

m x x

m x

⇔4cos2x - sin2x.cos2x – 2m(sinx + cosx) = 0

⇔cos2x(4 - sin2x) – 2m(sinx + cosx) = 0

⇔(cos2x – sin2x)(4 - sin2x) - 2m(sinx + cosx) = 0

⇔(sinx + cosx)[(cosx – sinx)(4 - sin2x) - 2m] = 0

*Giải (3): (cosx- sin )(4 sin 2 ) 2x - x - m=0.

Đặt t = cosx - sinx, t £ 2Þ sin 2x=2sin cosx x= -1 t2

Nghiệm của (2) không thuộc đoạn [0,

PT (3) phải có nghiệm thuộc đoạn [0,

4

π] hay PT (4) có nghiệm thuộc đoạn [0, 1]

Ta có: t3+ 3t- 2m=0Û t3+ 3t=2m (5).

Xét hàm số f(t) = t3 + 3t liên tục trên ¡ có f '(t) = 3t2 + 3 > 0 "tÎ ¡

Suy ra: min ( )[0,1] f t = f(0)=0, m ax ( )[0,1] f t = f(1)=4.

PT (5) có nghiệm trên đoạn [0, 1]

⇔ min ( )[0,1] f t £ 2m£ m ax ( )[0,1] f t Û £0 2m£ Û £4 0 m£ 2.

Vậy mÎ [0, 2] là giá trị cần tìm của m.

2 (0,5 điểm) Giải phương trình 3x+ −3 5 2− x x− +3 3x2+10x−26 0, = x∈¡ Điều kiện: 1;5

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Câu 3.(1.0 điểm) Tính tích phân

2 2

dx x I

2 15

15(2) ( 1)

i

i i i

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(-5;1)

là tâm đường tròn ngoại tiếp; phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:

x x

=



⇔  =

⇒ B(2; 7) ; C(4;3) hoặc B( 4;3) ; C(2;7)

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(4;4;0); điểm B thuộc

mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 4x−4y−4z=0 sao cho tam giác OAB đều Viết phương trình mặt phẳng (OAB)

1.(0,5 điểm) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, AA’ và B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể

tích của hai phần đó

2.(0,5điểm) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn

1 Gọi V là thể tích của khối tứ diện Tìm giá trị lớn nhất của V

Theo giả thiết DACD và DBCD có tất cả các cạnh không lớn hơn 1

6

1

.3

AH CD BN AH

K J

M N H C

D B

f(a)

f'(a)

a

Suy ra max 1

8

=

V khi DACD và ∆BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1, hai mặt phẳng

(ACD) và (BCD) vuông góc với nhau Khi đó tính được 6 1

3 2 2 3 2 2 3 2 2

3

⇒ + + ≤ Vậy (2) đúng, thay vào (1) ⇒ ĐPCM

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

ĐỀ SỐ 62Câu1.( 2,0 điểm ) Cho hàm số y x= −3 3mx+2( )C m

1 Với m=1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )C1

2 Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt đường tròn tâm

2 Cho số phức z thỏa mãn |z – 1| = |z – 2i| Tìm số phức z biếtz + – 5iđạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành

ABCD tâm I, biết A(0; 1) và B(3; 4) thuộc parabol ( ) 2

P : y x= −2x 1,+ điểm I nằm trên cung

AB của (P) sao cho tam giác IAB có diện tich lớn nhất Tìm tọa độ C và D

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

(P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 5x 2y 5z 0− + = và tạo với mặt phẳng (R):

x 4y 8z 6 0− − + = góc 45o

Câu 7.(1,0 điểm).Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi có AC=2 3a,BD=2a.Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách từ tâm hình bình thoi ABCD đến (SAB) là 6

LỜI GIẢICâu 1.(2,0 điểm)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1)và (1;+∞),

nghịch biến trên khoảng,(-1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x= −1,y CD =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y CT =0

•Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn

f(x )=x ^3 -3x+2

-1 1 2 3 4

x y

2.(1,0 điểm) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt đường tròn tâm I( )1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt

m

m m

+Kết luận:

023

1.(0,5 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: x + = 1 (2 x + 1) x + + 1 2

2

≠ Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2 3 sin 2x cos x cos3x cos 2x 3 sin 2x 3cos x 2 0

3 sin 2x 2cos x 1 cos3x cos x cos 2x 1 2cos x 1 0

3 sin 2x 2cos x 1 4cos x.sin x 2sin x 2cos x 1 0

3 sin 2x 2cos x 1 2sin x 2cos x 1 2cos x 1 0

2cos x 1 3 sin 2x 2sin x 1 0 2cos x 1 3 si

Câu 5 (1,0điểm ).Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành

ABCD tâm I, biết A(0; 1) và B(3; 4) thuộc parabol ( )P : y x= 2−2x 1,+ điểm I nằm trên cung

AB của (P) sao cho tam giác IAB có diện tich lớn nhất Tìm tọa độ C và D

Tìm tọa độ C và D.Đường thẳng AB: x y 1 0− + = ; I nằm trên cung AB của (P)

f(m)

0 0

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

(P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 5x 2y 5z 0− + = và tạo với mặt phẳng (R):

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là x-z=0 hoặc x+20z+7z=0

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi có AC=2 3a,BD=2a.Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách từ tâm hình bình thoi ABCD đến (SAB) là 6

4

a Tính thể tích khối chóp SABCD

a O D

C

A

B

H K I

Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗiđường chéo Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó · 0

60

A DB =Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có

DH ⊥ AB và DH = a 3; OK // DH và 1 3

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2

2

a SO

12

34

mx m y

b)Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng ∆: y x= +3 tại 2 điểm A, B sao cho

tam giác ABI có diện tích bằng 3, với điểm I(-1;1)

2/Giải phương trình: tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx).

0

cos

.sin cos

3

 ÷

  thuộc đường thẳng CD Viết phương

trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x y z+ + =0

và hai điểm A(4;-3;1), B(2;1;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) sao cho tam giác ABM vuông cân tại M

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a BC= , =2a

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm H của AC, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách 0

giữa hai đường thẳng AA’ và BC theo a

Câu 8.(1,0 điểm).Giải hệ phương trình:

2

113log ( 2 6) 2log ( 2) 1

y x x e

1

mx m y

−

=+ .

y’ + +

y +∞

• Đồ thị:

Đồ thị nhân giao điểm của hai tiệm cận I(-1;2) làm tâm đối xứng

2.(1,0 điểm) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng ∆: y x= +3 tại 2 điểm A, B

sao cho tam giác ABI có diện tích bằng 3, với điểm I(-1;1)

Phương trình hoành độ giao điểm:

-1 1/2

Nhận thấy: bpt f x( )≤m có nghiệm trên D= +∞[1; ) khi và chỉ khi min ( ) 3

2 3

6 4

2 log 1 2 log 1 8log 2 log 1

11

log

104

x x

x x

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm (3;3) I và

3

 ÷

  thuộc đường thẳng

CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

Gọi N’ là điểm đối xứng của M qua I⇒N' ∈CD Dễ có: ' 4;14

;

B b

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x y z+ + =0

và hai điểm A(4;-3;1), B(2;1;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) sao cho tam giác ABM vuông cân tại M

Gọi M(a;b;c) khi đó M∈( )Q ⇔ + + =a b c 0 ( )1

Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi

AB a BC= = a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm H của

AC, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ đã 0

cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC theo a

A

•N M

I D

C B

N’ H

Dựng Ax BC// , dựng HI ⊥Ax tại I.

Ta thấy mp AIA( ') //mp BCC B( ' ') nên

(·(BCC B' '),(ABC)) =(·(AIA'),(ABC))

t

t t t

Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: (x y; ) (= 3; 3 , 7;7− ) ( ) .

Câu 9.(1,0 điểm).Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn acb≥ 1

C’

x

x y x

1 có đồ thị ( )C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2 Tìm các giá trị mđể đường thẳng ( )d1 :y= − +3x m cắt đồ thị ( )C tại A và B

sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng ( )d2 :x−2y+ =2 0 ( O

bi vàng có bán kính khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A( ) ( )1; 2 ,B 4;3 Tìm toạ độ điểm M sao cho · 0

135

MAB= và khoảng cách từ M đên đường thẳng AB bằng 10

2

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C(0;0; 2 ,) (K 6; 3;0− )

Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua C K, sao cho ( )P cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại

,

A B và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3.

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB a AD= , =2a Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của ACvà DM , Hlà hình chiếu vuông góc của A lên SB.Biết góc giữa SCvà mặt phẳng (ABCD)là α , với tan 2

LỜI GIẢICâu (2,0 điểm) Cho hàm số = +

−

x y x

1 ( )C Tập xác định là ¡ \{ }1

2.(1,0 điểm) Tìm các giá trị mđể đường thẳng ( )d1 :y= − +3x m cắt đồ thị ( )C tại A và B

sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng ( )d2 :x−2y+ =2 0 (O là gốc toạ

Gọi x x1, 2 là nghiệm của ( )1 Khi đó A x( 1; 3− x1+m B x) (; 2; 3− x2+m)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Z ( Thoả mãn điều kiện ( )* )

Vây phương trình có một họ nghiệm duy nhất :x= +π4 kπ2 (k∈Z)

2.(0,5 điểm) Giải bất phương trình: 2 ( )

Phương trình đã cho tương đương:

Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x> 10

Câu 3.(1,0 điểm).Tính tích phân : I=π∫2( 10x+ 10x+ 6x 4x+ 6x 4x dx)

0

Ta có: sin10x+ cos10x+ sin cos6x 4x+ cos sin6x 4x=(sin6x+ cos6x)(sin4x+ cos4x)

2.(0,5 điểm) Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau

và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?

Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là : 9

18

Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:

+ Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8.+ Không có bi xanh: có 9

Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: 9 9 9 9

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C(0;0; 2 ,) (K 6; 3;0− )

Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua C K, sao cho ( )P cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là ( )P1 : 2x+2y+ − =3z 6 0 ; ( )P2 :x+4y− + =3z 6 0;

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB a AD= , =2a Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của ACvà DM , Hlà hình chiếu vuông góc của A lên SB.Biết góc giữa SCvà mặt phẳng (ABCD)là α , với tan 2

AC= AB +BC =a AClà hình chiếu vuông góc củaSCtrên mặt phẳng

DM = CD +CM =a ∆SBCvuông tại B nên ta có SM = SB2+BC2 =2a

nên ta có ∆SMD vuông tại M 1 2 2

2

22

,

32

B SMD SMD

y

y

 > −

+ >

( ) ( )

2t+ +2− +t +9t+ +9− +t ≤11t+ +11− +t dấu bằng xẩy ra khi t= ⇔ − = ⇔ =0 x y 0 x y

Thế vào pt( )2 được 5log 83( x+ =3) 3log 92( x+5) đặt 5log 83( x+ =3) 15u, ta có hệ

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y, ) ( )= 3,3

Câu 9.(1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

t t

+Bảng biến thiên

Theo bảng biến thiên ta thấy T ≤ f t( ) ≤58 Dấu bằng xẩy ra khi a b c= = =2

Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 5

8 khi a b c= = =2

ĐỀ SỐ 65

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M, biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ :y= 2x− 1 bẳng

+

= 2

0

.2cossin

32

cos23cos

dx x x

x x

7 1

i z

z z

BC

AD// , = 2 , đỉnh B(4;0), phương trình đường chéo AC là 2x-y-3=0, trung điểm E

của AD thuộc đường thẳng ∆ :x− 2y+ 10 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thang đã

7

21 Tính theo

a thể tích khối hộp ABCD.A,B,C,D, và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A,BC,D,

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( )

log

0 3 2

2 4

2 2

2 2

R y x y x y

−

=

− +

− +

Câu 9.(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1

4

35)(5)(

2 2

2 2

2

b a ca a

c

b bc

c b

a

++

+++

=

LỜI GIẢI