Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA^ ABCD Tính theo a thể tích khối nón H, biết rằng đường tròn đáy của H ngoại tiếp tứ giác AMGN và đỉnh O của H n
Trang 1Đề Số 6, số 453, tháng 4 năm 2015.
ĐỀ (Thời gian làm bài:180 phút)
Câu 1 (2,0 điểm). Gọi ( ) C m là đồ thị của hàm số y=x3 -3 x+ m ( m là tham số thực).
b) Định tham số m để qua điểm uốn của đồ thị ( ) C m kẽ được một đường thẳng( ) d tạo với đồ thị( ) C m một
bằng nhau đều bằng 2 (đvdt)
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) ( 2 )
tan cot 2x x= 1 s inx+ 4 cos x+4sinx - 5
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân ( )
( )
3
4
ln 4 tan
sin 2 ln 2 t anx
x
x
p
p
Câu 4 (1,0 điểm).
1 + x n ta có hệ số chứa 8
x bằng 210
Tính tổng các hệ số của các số hạng được khai triển từ biểu thức trên theo trường hợp đó.
số phức z z đồng thời thỏa mãn hai điều kiện trên sao cho 1, 2 z1- z 2 là lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, qua hai điểm M( 1; 1;1 ,- ) N ( 0; 1;0 - ) lập
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA^ (ABCD )
Tính theo a thể tích khối nón (H), biết rằng đường tròn đáy của (H) ngoại tiếp tứ giác AMGN và đỉnh O của
(H) nằm trên đáy ABCD của hình chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy tính diện tích tam giác ABC biết rằng hai
điểm H (5;5) , I ( 5; 4 ) lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và x+y - = 8 0 là
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm thực ( ) 2
Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 0 x< < y< z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4 3 3
2
2 2 2 2
15
P
x z
+
Nguyễn Lái ( GV THPT Chuyên Lương Văn Chánh.
Tuy Hòa, Phú Yên.)
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 2Câu 1.
a) Bạn đọc tự giải.
b) Tọa độ điểm uốn của đồ thị ( ) C m là I( 0; m ) nên đường thẳng ( ) d có dạng y=kx+ m
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( ) C m và phương trình đường thẳng ( ) d là
3
3
x - x + m =kx+ m 3 ( )
Để ( ) d chắn được trên đồ thị ( ) C m một diện tích thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm Þk > - 3 , lúc đó 3 nghiệm của phương trình (1) là x=0,x= - k+3,x= k + 3 .
Vì I là tâm đối xứng của đường cong ( ) C m nên diện tích của hình phẳng (H) là:
( )
3
2
3
0
1
2
k
+
2
Lúc này đưởng thẳng ( ) d viết lại y= - + x m nên (d) cắt hai trục tọa độ tại hai giao điểm
( 0; ) ( , ;0 )
2
theo giả thiết S =2Þm=2,m = - 2 .Vậy có hai giá cần tìm là m=2,m = - 2 .
Câu 2. Điều kiện : cos 0
x
x
p
¹
ì
í
¹
î
.
x
Nghiệm phương trình xảy ra :
3
n
x=p +mp x= p + m p
vô nghiệm
ln 2 ln 2 t anx
ln 2.
+
Tính
( )
( )
3
4
ln 2 t anx
d
dx
x x
p
p
Tính
4
4
dx
x
p p
I = æç ö ÷ +
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 3,
k k
n
C x k< n
210
k
n
k
C
=
ì
í
=
4 !
n
n
n
-
Đặt ẩn phụ và giải phương trình này ta được n = 10 .
10 10 10 10
10 10 10 10 1 1 2
b) Giả sử M a b ( ; ) là điểm biểu diễn số phức z=a bi a b+ ,( , Î R ) , vì
( ) 2 2
( ) :C x-1 +y = 34 . Vì ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) ( )
z+ +mi = z+m+ i Þ a+ + b m+ = a+m + b+ Þ -m a+ m- b - =
Þ M nằm trên đường thẳng ( ) : d 2 1( -m x) +2( m-2) y - = 3 0
Để tồn tại hai số phức z z 1, 2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện đã cho nghĩa là tồn tại hai điểm biểu diễn M M 1, 2 của hai số phức lần lượt nằm trên hai giao điểm của ( ) C và (d) , và để z1- z 2 lớn nhất khi và chỉ khi M M 1 2 là đường kính của ( C ) hay (d) qua tâm I (1;0) của ( C )
2
Lúc nầy đường thẳng (d) viết lại 3x-5y - = 3 0 . Do đó M M 1, 2 là nghiệm của hệ
( )
( ) ( )
2 2
1 2
x y
ï
í
ï
î
. Vậy hai số phức cần tìm là z3 = +6 3 ,i z4 = - - 4 3 i .
Câu 5. Mặt cầu (S) có tâm I - - ( 2; 1;1) và bán kính R = 5 .
S =p Ûr p =p Þ = r
Ax+B y+1 +Cz=0ÛAx+By Cz+ +B=0 A +B +C ¹ 0 . Mặt khác a qua M ( 1; 1;1 - ) nên thỏa A C+ = Þ0 a: Ax+By-Az+B= 0 .
2 2
3
2
B
+
0
A +B +C ¹ )
Do đó có hai mặt phẳng a cần tìm là : 2x+y-2z + = 1 0 , 2x-y-2z - = 1 0 .
Câu 6. Ta có BC SA BC ( SAB) BC AM
^
ì
í
^
î
( vì AM Ì (SAB ) ) (1)
Mặt khác SC^a ÞSC^ AM ( vì AM Ì a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM ^(SBC ) ÞAM ^ MG ( vì MGÌ (SBC ) )
AMG
H
N
G
M
O
S
D
C
B
A
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 42
AG
SA AC
SC
1
2
2
3
3
AC
SC
.
H
V = pR OH = pa .
Câu 7 Kéo dài đường cao AH lần lượt cắt BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm
E và K, ta dễ dàng chứng minh được E là trung điểm HK.
Đường cao AH ^ BC nên có phương trình x-y = 0 , E là giao điểm của BC và AH Þ E (4; 4) và H là trung điểm HK Þ K (3;3) , suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R=IK = 5
Þ phương trình đường tròn là ( x-5) ( 2+ y-4) 2 = 5, ( ) C
Vậy hai điểm B, C là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng BC và đường tròn
Diện tích tam giác ABC là
ABC
Câu 8. Điều kiện x > 0 ta có ( ) 2 ( )
2
+
+
Xét hàm số
2
f(x)
+
=
+
2 2
-
Lập bảng biến thiên ta có f x( ) 1,£ " > x 0 , đẳng thức xảy ra khi x = 1.
-
Lập bảng biến thiên ta có g x( ) 1,³ " > x 0 , đẳng thức xảy ra khi x = 1.
Vậy phương trình có đúng một nghiệm x = 1.
Câu 9 Ta có
3 3
2
15
P
. Đặt a x,b y,c z a b c 1, c 1.
Biểu thức viết lại
3 3
2 15
3 3
3 3 a b 1
Ta có f c'( ) 2c 16 2 f c'( ) 0 c 2
c
2
c= Þa=b= Þz= y= x .
Vậy giá trị nhỏ nhất P = 12 khi và chỉ khi z= 2y= 2 x
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk