Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2HOÀNG THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG * LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC XUÂN HÒA, 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH

PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

*

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

XUÂN HÒA, 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH

PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

XUÂN HÒA, 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Hoàng Thị Thu Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan rằng nội dung trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Hoàng Thị Thu Huyền

Mục lục

1.1 Biến đổi Fourier trong L1(R) 3

1.1.1 Khái niệm 3

1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 4

1.2 Biến đổi Fourier trong Lp 7

1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 8

1.4 Một số bài toán biên cho phương trình song điều hòa trong miền hình dải 11

1.4.1 Bài toán biên thứ nhất 11

1.4.2 Bài toán biên thứ hai 12

1.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn .14

1.5.1 Công thức Poisson 14

1.5.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt 19

1.6 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 19 2 Biến đỗi tích phânHankel 23 2.1 Khái niệm về hàmGamma, hàm Beta và các hàm Bessel 23

2.1.1 Hàm Gamma và hàm Beta 23

2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai và loại ba 24

2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo 25

2.1.4 Biến đổi tích phân Hankel 25

2.2 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục 27

2.3 Phương trình truyền nhiệt trong mặt phẳng đối xứng trục 29

2.4 Bài toán Robin đối với phương trình Laplace trong nửa không gian đối xứng trục 30

2.5 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong lớp vô hạn đối xứng trục 32

2.6 Bài toán rung tự do của màng lớn 35

2.7 Phương trình khuếch tán trong mặt phẳng đối xứng trục 36

2.8 Phương trình song điều hòa trong nửa không gian đối trục 37

3 Biến đổi tích phân Mellin 39 3.1 Biến đổi Mellin thuận và ngược 39

3.1.1 Định nghĩa 39

3.1.2 Ví dụ 40

3.2 Một số tính chất của phép biến đối Mellin 40

3.3 Một số bài toán Dirichlet đối với thế vị trong cái chêm vô hạn 43

3.3.1 Bài toán thứ nhất 43

3.3.2 Bài toán thứ hai 44

3.4 Bài toán biên Dirichlet đối với một phương trình đạo hàm riêng cấp hai hệ số biến thiên trong miền nửa dải 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp biến đối tích phân là một trong những phương pháp giải tích hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi quan trọng như biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu đã được sử dụng trong việc giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân tuyến tính hệ số hằng số

Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các phương trình đạo hàm riêng, các phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát thích hợp có thể được chuyển về các phương trình đại số tương ứng Từ đó, sử dụng các công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn

Hệ thống hóa và phân loại các bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp biến đổi tích phân là việc làm thiết thực cho công việc học tập, giảng dạy hay nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, đề tài luận văn được lựa chọn là “Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng”

Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chủ yếu của luận văn này là trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel và biến đổi Mellin Đối với mỗi phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn đã xét một số ứng dụng giải các bài toán biên hay bài toán Cauchy cho các phương trình đạọ hàm riêng cơ bản, đặc biệt là phương trình truyền sóng và truyền nhiệt Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ tài liệu [2]

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa các dạng bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp biến đổi tích phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin

Trong chương 1, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều hòa trong

miền vô hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trong một thanh dài vô hạn Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel và xét một

số ứng dụng giải bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng trong hệ tọa độ cực và tọa độ trụ

Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giải các phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm

4 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu

Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau đây: biến đối Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụng của chúng trong giải các phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Những đóng góp mới của đề tài

Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong các tài liệu tham khảo

Chương 1

Biên đôi Fourier

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2, 3]

1.1 Biến đổi Fourier trong LX(R)

Định nghĩa 1.1 Cho / e L 1 (R), A e R, hàm / định bởi

00

/(A) = F [ F } ( A) = ^J Ỉ ( T ) E I X T D T (1.1)

00

được gọi là biến đổi Fourier của / Biến đổi Fourier ngược của hàm / được xác định bởi công thức

00

f ( X ) = F ~ 1 [ f } ( X ) - ^ = J / ( í ) e ~ i X t d t ( 1 2 )

— 00 Biến đổi Fourier thuận và ngược còn được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt là bởi các công thức sau đây

00

f ( X ) = F [ f ] ( \ ) = J f ( t ) e i X t d t , ( 1 3 )

00

00

/ ( A ) = F - ' i m ) = Ị - Ị Ị ( t ) e ~ i X t d t ( 1 4 )

Định lý 1.1.(Định lý Riemann - Lebegues) G I Ả S Ử / e L 1(R) T H Ì/ € C O , V Ớ I

C o l à k h ô n g g i a n c á c h à m s ố l i ê n t ụ c t i ế n d ầ n v ề 0 t ạ i

Định lý 1.2 (Định lý về công thức Fourier ngược) Giả sử / € L1 (M) và / € Ll (R) Đặt

00

9 ( x ) = ^ = Ị f ( X ) e - i X x d \ , ( 1 6 )

k h i đ ó , g ( x ) = / (à) h ầ u h ế t t r ê n R.

1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier T í n h c h ấ t

1 1 f r ( x ) = f ( r x ) T a c ó

/(A) = -/(-)

r \ r J

C h ứ n g m i n h

00

/(A) = -±= J f ( r x ) e i X * d x

00

00

= —!= í ỉ { t ) e i U ! r d t

r y 2 T Ĩ J

—

□ Tính chất 1.2 Với Y e R, đặt F Y ( X ) = F ( X + Y ) Ta có

/y(A) = e-iAV(A)

C h ứ n g m i n h

/y (A) = ~ ! = Ị ỉ { x + y ) e ~ i X x d x = - j = J f ( t ) e i X ^ d t

= e - ^ f y ( X )

□

d t

Tính chất 1.3 Cho / ễ í1 (R) thỏa mãn supp / c [— a , a] Khi đó, f ( z ) , z — X + Ì T là hàm giải tích trên c

a

D m f ( A) = - j = J ( i x ) m f ( x ) e ị X x d x

Do / € i1(—A, A ) nên tích phân bên phải hội tụ với 771 nguyên dương Suy ra, / là hàm

Tính chất 1.4 Cho / E L1 (R) thỏa mãn tính chất /' € L L (R) và / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đó,

(/')A = -iA/

00

/(*) = / (0)+Ị Ỉ ' ( T )

0

í 1 1 ■ ?

Hơn nữa, /' e L1 (R) nên vế phải của đẳng thức trên cógiới hạn khi X ±oo Ngoài ra, giới hạn đó phải bằng 0 vì / € L1 (M)

Như vậy,

( / , ) B w = n x w x ’ d x = ử l ‘ ' , x ’ d f ( l ì

00

= *A/(A)

□

Mở rộng: Nếu đạo hàm e L1(R) thì

Tính chất 1.5 Với /, G e L 1 (R), tích chập của / và G được xác định theo công thức

00

(/ * ổ) (z) = J Ỉ ( X - T ) G (í) D T.

Khi đó, ta có / * G € L 1 (R) và (/ * G) A = 2 T Ĩ F G

Ộ

N

định lý Fubini, ta có

J ( f * g ) ( x ) e i X x d x = J ị j f (í) g ( x - t ) d t Ị e i X x

00/00

(a) (R) t h ì F {/} = / h ầ u h ế t t r ê n R.

( b ) N ế u đ ặ t

N

(*)= J F { f } ( X ) e ~ a x d X

- N

t h ì Ộ Ị Ị h ộ i t ụ t r o n g L 2 (R) đ ế n f k h i N ->• oo.

( c ) T o á n t ử F l à m ộ t đ ẳ n g c ấ u t ừ L 2 (R) v à o L 2 (R).

Hệ quả 1.1 Nếu / e L 2 (R) và / Ễ L1 (R) thì

00

/ (a:) = - / / (A) E~ I X X D\, với hầu hết X

V 2 T Ĩ J

— 00

Định lý 1.4 ( H a u s d o r f f - Y o u n g )

C h o f e L 1 (M) n L 2 (R) G i ả s ử 1 < p < 2 v à q l à s ố đ ố i n g ẫ u c ủ a p, n g h ĩ a

l à ,

- + - = 1

t h ì p q

V ớ i h à m / e L p (R), 1 < p < 2 , c h ú n g t a c ò n đ ị n h n g h ĩ a / n h ư l à g i ớ i h ạ n

t r o n g L q (R) c ủ a d ã y h à m

1 1 n

A —> (27ĩ) ^ 9 Ị f ( x ) e i ^ x d x , k h i n —» 00

L ú c đ ó , p h é p b i ế n đ ổ i F o u r i e r l à t u y ế n t í n h l i ê n t ụ c t ừ L p (R) v à o L q (R).

N ó k h ô n g c ò n ỉ à s o n g á n h v à đ ẳ n g c ự

1.2 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng

Xét bài toán sau đây Tìm hàm U ( X , Y) thỏa mãn phương trình D 2 U

D 2 U

7T^ + =°> -00 < X < oo, 0 < Y < 00 (1.8)

ơ x z ơ y z

và các điều kiện

ĩi ( a : ,0 ) = g(x), — o o < X < 0 0 , ( 1 - 9 )

(1-10) Lời giải hìnhthức Để giải bài toán (1.8) - (1.10), ta sử dụng phương pháp biến đổi Fourier Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) theo X hai

vế của (1.8), ta có

00 00 00