HOÀNG THỊ THU HUYỀNPHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC XUÂN HÒA, 2014... HOÀNG THỊ THU HUYỀNPHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI C
Trang 1HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
XUÂN HÒA, 2014
Trang 2HOÀNG THỊ THU HUYỀN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
XUÂN HÒA, 2014
Trang 3Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình củathầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thànhhơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáodạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền
Trang 4Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan rằng nội dung trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Thu Huyền
Trang 5Mở đầu 1
1.1 Biến đổi Fourier trong L1(R) 3
1.1.1 Khái niệm 3
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 4
1.2 Biến đổi Fourier trong Lp 7
1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 8
1.4 Một số bài toán biên cho phương trình song điều hòa trong miền hình dải 11
1.4.1 Bài toán biên thứ nhất 11
1.4.2 Bài toán biên thứ hai 12
1.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn 14
1.5.1 Công thức Poisson 14
1.5.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt 19
1.6 Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 19 2 Biến đổi tích phân Hankel 23 2.1 Khái niệm về hàm Gamma, hàm Beta và các hàm Bessel 23
2.1.1 Hàm Gamma và hàm Beta 23
2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai và loại ba 24
2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo 25
2.1.4 Biến đổi tích phân Hankel 25
2.2 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục 27
2.3 Phương trình truyền nhiệt trong mặt phẳng đối xứng trục 29
2.4 Bài toán Robin đối với phương trình Laplace trong nửa không gian đối xứng trục 30
Trang 6đối xứng trục 32
2.6 Bài toán rung tự do của màng lớn 35
2.7 Phương trình khuếch tán trong mặt phẳng đối xứng trục 36
2.8 Phương trình song điều hòa trong nửa không gian đối trục 37
3 Biến đổi tích phân Mellin 39 3.1 Biến đổi Mellin thuận và ngược 39
3.1.1 Định nghĩa 39
3.1.2 Ví dụ 40
3.2 Một số tính chất của phép biến đổi Mellin 40
3.3 Một số bài toán Dirichlet đối với thế vị trong cái chêm vô hạn 43
3.3.1 Bài toán thứ nhất 43
3.3.2 Bài toán thứ hai 44
3.4 Bài toán biên Dirichlet đối với một phương trình đạo hàm riêng cấp hai hệ số biến thiên trong miền nửa dải 46
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giải tíchhữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng vàcác phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi quan trọng nhưbiến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu đã được sử dụngtrong việc giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân tuyến tính
hệ số hằng số
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các phươngtrình đạo hàm riêng, các phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát thíchhợp có thể được chuyển về các phương trình đại số tương ứng Từ đó, sử dụngcác công thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn
Hệ thống hóa và phân loại các bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằngphương pháp biến đổi tích phân là việc làm thiết thực cho công việc học tập,giảng dạy hay nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, đề tài luậnvăn được lựa chọn là “Phương pháp biến đổi tích phân giải các phươngtrình đạo hàm riêng”
Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu thamkhảo Nội dung chủ yếu của luận văn này là trình bày cơ sở lý thuyết của cácbiến đổi tích phân sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel và biếnđổi Mellin Đối với mỗi phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn đã xét một sốứng dụng giải các bài toán biên hay bài toán Cauchy cho các phương trình đạọhàm riêng cơ bản, đặc biệt là phương trình truyền sóng và truyền nhiệt Bảnluận văn được hình thành chủ yếu từ tài liệu [2]
Trang 82 Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các dạng bài toán giải phương trình đạo hàm riêng bằng phươngpháp biến đổi tích phân
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biếnđổi Hankel, biến đổi Mellin
Trong chương 1, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier vàmột số ứng dụng giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điềuhòa trong miền vô hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài toánCauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trongmột thanh dài vô hạn
Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel vàxét một số ứng dụng giải bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêngtrong hệ tọa độ cực và tọa độ trụ
Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giảicác phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sauđây: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụngcủa chúng trong giải các phương trình đạo hàm riêng
5 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6 Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong cáctài liệu tham khảo
Trang 9Chương 1
Biến đổi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứngdụng giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn.Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2, 3]
1.1 Biến đổi Fourier trong L1(R)
Trang 10Định lý 1.1 (Định lý Riemann - Lebegues) Giả sử f ∈ L1(R) thì f ∈ Cˆ 0, với
C0 là không gian các hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa,
khi đó, g (x) = f (x) hầu hết trên R.
1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất 1.1 fr(x) = f (rx) Ta có
ˆ
f (λ) = 1
r ˆ
λ r
λ r
Trang 11Tính chất 1.3 Chof ∈ L1(R)thỏa mãnsupp f ⊂ [−a, a] Khi đó,f (z), z = λ+iτˆ
Trang 12Chứng minh Sử dụng định lý Fubini dễ dàng chứng minh được f ∗ g ∈ L1(R).
xpf(q)(x)
< M.
Khi đó, f ∈ S.ˆ
Chứng minh Cho p, q ∈N bất kỳ, ta có
xp+2f(q)(x)
... data-page="29">
Chương 2
Biến đổi tích phân Hankel
Chương trình bày biến đổi tích phân Hankel số tốn củaphương trình đạo hàm riêng giải phương pháp biến đổi tích phânHankel Nội dung chương... (1.41) thỏa mãn phương trình truyềnnhiệt (1.35) với điều kiện đầu (1.36) Để chứng minh, ta cần chứng tỏ rằngtích phân (1.41) tích phân nhận cách đạo hàm hình thức dướidấu tích phân hội tụ hình... h có điều kiện kẹp
Chúng ta giải toán phương pháp biến đổi Fourier rút gọn
về hệ phương trình kép giải biến đổi Fourier ngược Cho trực tiếp 1hàm phù hợp f (x), x ∈R(