Bất đẳng thức trên thang thời gian

Lí do chọn đề tài Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach, nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục hệ phương trình vi phân và

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trường

Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học và các thầy cô giáo dạy cao học

chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng,

người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá

trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và

tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thơm

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thơm

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Giải tích trên thang thời gian 3

1.1 Thang thời gian 3

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 3

1.1.2 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép toán vi phân 4

1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui 4

1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục 5

1.2.3 Định nghĩa đạo hàm 6

1.2.4 Các tính chất của đạo hàm 6

1.3 Phép toán tích phân 8

1.3.1 Tồn tại tiền-nguyên hàm 8

1.3.2 Nguyên hàm 8

1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh 9

Chương 2 Bất đẳng thức trên thang thời gian 10

2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz và Minkowski 10

2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari 15

2.3 Bất đẳng thức Opial và Wirtinger 23

2.4 Bất đẳng thức Jensen 31

2.5 Bất đẳng thức Lyapunov 32

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan

Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian Từ đó tới nay, đã có một số quyển

sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian

Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mô hình khác nhau (liên tục và rời rạc) dưới cùng một khái niệm và công cụ

Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm nghiên cứu Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh

tế vĩ mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái, bài toán tối ưu và phép tính biến phân,

Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian

Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích, đồng thời so sánh các bất đẳng thức vi phân và sai phân với bất đẳng thức trên thang

thời gian, tôi đã chọn Bất đẳng thức trên thang thời gian làm đề tài luận văn cao

học của mình

.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu và trình bày chi tiết chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong một luận văn cao học

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức trên thang thời gian

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu tiếng Anh viết về bất đẳng thức trên thang thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận

và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt

là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về bất đẳng thức trên thang thời gian

Chương 1 Giải tích trên thang thời gian

1.1 Thang thời gian

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian

Thang thời gian là một tập con đóng T khác rỗng bất kì trong tập hợp các số

= ∪ + là những thang thời gian;

Các tập ℚ ℝ ℚ ℂ, \ , , 0;1[ ) không phải là thang thời gian

Ta luôn giả thiết rằng thang thời gian T được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô của không gian các số thực, nghĩa là các tập mở của T là giao của các tập

mở trong ℝ với T

Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô cảm

sinh

1.1.2 Các khái niệm cơ bản

Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T ta có các định nghĩa sau

1.1.2.1 Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử :σ T → T được xác định bởi:

(t) : inf

σ = { s ∈T, s> } t

Hàm :µ T → T xác định bởi (t)µ = σ(t)− t ∈T được gọi là hàm hạt (graininess) t,của thang thời gian T

Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử :ρ T→T được xác định bởi:

(t) : sup

ρ = { s ∈T, s< } t

1.1.2.2 Một số thuật ngữ và định nghĩa quan trọng

t là điểm phân tán phải t< σ(t) t right-scattered

t là điểm trù mật phải t= σ(t) T right-dense

t là điểm phân tán trái ρ(t)< t T left-scattered

t là điểm trù mật trái ρ(t)= t T left-dense

t là điểm cô lập ρ(t)< < σt (t) T isolated

t là điểm trù mật ρ(t)= = σt (t) T dense

1.2 Phép toán vi phân

1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui

Hàm f :T → ℝ được gọi là chính qui nếu giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn)

tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái của T

1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục

Hàm f :T → ℝ được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật

phải trong T và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T.

Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:

rd rd

C =C (T)=C (T, ℝ ) rd Thí dụ: Hàm σ là rd-liên tục

Kí hiệu T T \ sup T ,{ } sup T ;

Với hai hàm hồi qui p,q : T→ ℝ ta xác định phép toán

p⊕ = + +q p q µpq Θ : ;

1

p p

p

µ

= −+ p Θ :q = ⊕ ( Θ q ) p

Nhận xét rằng tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi qui cùng với phép toán cộng

⊕ ở trên tạo thành một nhóm Abel

1.2.3 Định nghĩa đạo hàm

Giả sử f :T → ℝ và t ∈T κ Delta đạo hàm (đạo hàm Hilger) của hàm f tại

điểm t ∈Tκ là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu là f (t)∆ , nếu với mỗi ε > cho 0trước tồn tại một lân cận U của t (nghĩa là, U= − δ + δ ∩T với một δ nào (t , t )

1) Nếu f ∆ -khả vi tại t ∈Tκ thì f liên tục tại t

2) Nếu f liên tục tại t ∈Tκ và t là điểm cô lập phải thì f là ∆ -khả vi tại t ∈Tκ

3) Nếu t ∈Tκ là điểm trù mật phải thì f là ∆ -khả vi tại t ∈Tκ khi và chỉ khi tồn

tại giới hạn hữu hạn

s t

f (t) f (s)lim

1) Nếu T= ℝ thì mọi điểm t ∈ ℝ là điểm trù mật phải Do đó f là ∆ -khả vi tại

t ∈ ℝ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn

s t

f (t) f (s)lim

Định lí 1.3 Nếu hàm f :T → ℝ là chính qui thì tồn tại hàm ∆ -khả vi F với miền

khả vi D ⊆ Tκ sao cho F (t)∆ =f (t) với mọi t∈D

Ta gọi một hàm ∆ -khả vi F trong Định lí 3.1 là tiền nguyên hàm của f

Tích phân xác định của một hàm f :T → ℝ chính qui là

t s

Định lí 1.4 Mọi hàm rd-liên tục có nguyên hàm Trong trường hợp riêng, nếu

0

t ∈T thì hàm F xác định bởi công thức

0

t t

F(t)= ∫f ( )τ ∆τ với t ∈T là nguyên hàm

của f

1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh

q= q : n∈ℕ ,q 1>

thì

Tích phân từng phần trong ℝ

Nếu T = ℝ thì

Tích phân từng phần trong ℤ Nếu T= ℤ thì

f (t)g (t) (t)(fg)(b) (fg)a

2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz và Minkowski

Ta bắt đầu bằng một định lí tồn tại duy nhất nghiệm hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian, một mở rộng của định lí tồn tại duy nhất nghiệm của

phương trình vi phân, được chứng minh bởi Hilger dưới đây

Định lí 2.1.1 Giả sử t ∈T Nếu hàm p(.) là rd-liên tục và hồi qui, thì hệ động 0lực tuyến tính thuần nhất trên thang thời gian

y (t) p t y,∆ = y(t ) 1=

có duy nhất nghiệm

Ta gọi nghiệm duy nhất trong Định lí 2.1.1 là hàm mũ (exponential function) và

kí hiệu bởi ep( )t,s Ta có công thức cho hàm mũ ep( )t,s như sau:

Ở đây Ln là nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [− π π i ,i ).

Đối với hệ động lực tuyến tính không thuần nhất, ta có :

Định lí 2.1.2 Giả sử t ∈T Nếu p(.)0 là hàm rd-liên tục và hồi qui thì nghiệm duy nhất của hệ động lực tuyến tính không thuần nhất trên thang thời gian

Định lí dưới đây được gọi là Định lí so sánh, đóng vai trò quan trọng trong

chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian Định lí này cũng là mở rộng Định lí về nghiệm của bất đẳng thức vi phân

Định lí 2.1.3 (Định lí so sánh, xem [7], trang 255) Cho y,f∈Crd và p ∈ℜ +

Nếu

( ) ( ) ( )

y (t) p t y t∆ ≤ +f t với mọi t ∈T

thì

Suy ra điều phải chứng minh

Định lí dưới đây mở rộng Bất đẳng thức Hölder quen thuộc trong giải tích sang cho thang thời gian

Định lí 2.1.4 (Bất đẳng thức Hölder, xem [1], trang 537-538) Cho a,b ∈T Với

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari

Bất đẳng thức Gronwall (đóng vai trò quan trọng trong phương trình vi phân và phương trình sai phân) có thể được mở rộng sang thang thời gian như sau

Định lí 2.2.1 (Bất đẳng thức Gronwall, xem [7], trang 256) Giả sử

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

0

t

p t

z t ≤ ∫e t,σ τ f τ p τ ∆τ.Suy ra

Ví dụ 2.2.1 Cho T=hℤ0∩[0;+ )∞ Nếu y và f là các hàm số xác định trên T và 0

γ > là một hằng số sao cho

t 1 h

t 1

h

h 0

Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức Gronwall (Định lí 2.2.1)

trong thường hợp đặc biệt f t( )≡ 0

Hệ quả 2.2.2 Cho y C ,∈ rd p∈ℜ và p(t) 0+ ≥ với mọi t ∈T và α ∈ ℝ Nếu

y t ≤ α + β −t t + γ∫y τ ∆τ với mọi t ∈T thì

Với mọi α ∈ ℝ thì t

eα ≥ + α với mọi t 0.1 t ≥ b) Áp dụng Định lí 2.2.2 (bất đẳng thức Bernoulli) với T= ,ℕ ta có:

Với mọi α > − thì 1, ( )n

1+ α ≥ + α với mọi n1 n ∈ ℕ

Để mở rộng bất đẳng thức Bihari (quan trọng trong phương trình vi phân), ta cần một định lí sau

Định lí 2.2.3 Cho hàm số g: T× →ℝ ℝ thỏa mãn điều kiện:

Với x1≤x2 thì g t, x( 1)≤g t, x( 2) với mọi t ∈T

• Nếu t≥ là điểm phân tán phải và giả sử rằng S(t) là đúng, tức là: Với t0

Suy ra:

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

v∆ t ≤g t, v t ≤g t, w t ≤w∆ t Suy ra:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

v σ t =v t + µ t v∆ t <w t( )+ µ( ) ( )t w∆ t =w(σ( )t )

Vậy mệnh đề S(σ( )t ) là đúng

• Nếu t≥ là điểm trù mật phải và giả sử rằng S(t) là đúng t0

Khi đó, từ v(t) < w(t) suy ra luôn có một lân cận U của t sao cho v(r) < w(r) với mọi r ∈ U Vậy S(r) là đúng với mọi r∈ ∩U (0;∞ )

• Nếu t≥ là điểm trù mật trái và giả sử rằng S(r) là đúng với mọi t0 r∈[t ; t ,0 )

tức là: v(r) < w(r) với mọi t0 ≤ <r t

Lại có: v t( )≤w t( ) với mọi t0 ≤ nên suy ra: t (w−v)∆ ≥0 trên t ; t [ ]0

Điều này chứng tỏ w-v là hàm không giảm trên [ ]t ; t ,0 tức là:

(w−v t)( ) (≥ w−v t)( )0 >0

hay mệnh đề S(t) là đúng

Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có S(t) là đúng vói mọi t∈[t ;0 ∞ (đpcm) )

Định lý 2.2.4 (Bất đẳng thức Bihari, xem [1], trang 546) Cho g:ℝ→ ℝ là một

hàm không giảm và y:T → ℝ sao cho g y  là rd- liên tục Nếu hàm p(t) 0≥

với mọi t ∈T là rd- liên tục và f :T → ℝ là khả vi thỏa mãn

( ) ( ) t ( ) ( ( ) )

t

y t ≤f t +∫p τ g y τ ∆τ với mọi t≥ t0

thì y(t) < w(t) với mọi t≥t ,0 trong đó w là nghiệm ban đầu của bài toán

Hệ quả 2.2.4 Cho g: ℝ→ℝ là một hàm không giảm và y:T → ℝ sao cho g y

là rd- liên tục Nếu hàm p(t) ≥ với mọi t ∈T là rd- liên tục và α ∈ ℝ thỏa 0

Cho T là thang thời gian và hàm :f T → ℝ Ta kí hiệu hàm hợp của f và σ là

:

fσ T → ℝ được xác định theo công thức fσ( )t = f( ( )).σ t

Định lí 2.3.1 (Bất đẳng thức Opial, xem [1], trang 547-548) Cho toán tử khả vi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Định lí 2.3.4 Cho p, q là các hàm xác định dương và liên tục trên [ ]0, h mà

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

Suy ra trực tiếp từ Định lí 2.3.5 với l=1

Định lí 2.3.7 Giả sử l ∈ℕ Với x : [0,h]→ ℝ là hàm khả vi với x 0( )= Ta có 0

Suy ra trực tiếp từ Định lí 2.3.5 với n=1

Định lý 2.3.8 (Bất đẳng thức Wirtinger, xem [1], trang 549) Cho M l

( ) ( )

( ) ( )

MM

2.4 Bất đẳng thức Jensen

Chứng minh bất đẳng thức Jensen trên thang thời gian rất gần với chứng minh bất đẳng thức Jensen cổ điển Nếu T= ℝ thì bất đẳng thức Jensen trình bày ở đây chính là bất đẳng thức Jensen cổ điển Nhưng nếu T= ℤ thì nó trở thành bất đẳng thức quen thuộc giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Định lí 2.4.1 (Bất đẳng thức Jensen, xem [2], trang 7) Cho a, b ∈T và c, d ∈ℝ

Nếu g: a,b[ ]→( )a,d là rd- liên tục và F : c, d → ℝ( ) là liên tục và lồi thì

Lấy x0∈( )c,d thì luôn tồn tại β∈ℝ sao cho:

gx

2.5 Bất đẳng thức Lyapunov (xem [7], trang 271-278)

Bất đẳng thức Lyapunov đã chứng tỏ là một công cụ hữu ích trong lí thuyết các hệ động lực, trong bài toán giá trị riêng và trong nhiều ứng dụng khác của lí thuyết phương trình vi phân và sai phân Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh và tìm hiểu một số ứng dụng của bất đẳng thức Lyapunov trên thang thời gian Trong suốt quá trình ta luôn giả sử có a, b ∈T và a< b

Giả sử T là một thang thời gian bất kỳ, hàm q : T→ ℝ là rd-liên tục có

q(t) > 0 với mọi t ∈T, và xét phương trình động lực Sturm- Liouville,

s 2

Định lí 2.5.1 (Bất đẳng thức Lyapunov đối với phương trình động lực Sturm-

Liouville) Cho q: T→(0,∞ là hàm nhận giá trị dương và rd- liên tục Nếu )

phương trình động lực Sturm-Liouville (2.5.1) có một nghiệm không tầm thường

x thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = 0, thì bất đẳng thức Lyapunov

(a b2

+

,T)

Chứng minh

Giả sử x là một nghiệm không tầm thường của phương trình (2.5.1) thỏa mãn

điều kiện biên x(a) = x(b) = 0 Từ Bổ đề 2.5.1 (với y = 0) ta có:

Giả thiết rằng q luôn thỏa mãn bất đẳng thức (2.5.4) và giả sử ngược lại là

phương trình (2.5.1) không liên hợp trên [a,b] Khi đó luôn tồn tại một nghiệm không tầm thường x mà x a( )=x b( )=0 sao cho F x( )≤ Với nghiệm x này, ta 0đặt

M=max{ 2( ) [ ]

x t : t∈ a, b ∩ T}

Theo Bổ đề 2.5.2 ta có