Độ đo lebesgue trên thang thời gian

34 4.3 Mối quan hệ giữa khả tích ∆Lebesgue và khả tích∆ Rienman 48 Chương V: MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ ĐỘ ĐO TRÊN THANG THỜI GIAN 54 5.3 Tập đo được Lebesgue – Stieltjes và tập đo được ∆ Lebesg

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS

Tạ Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về tri thức,

phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Phạm Nguyệt Minh

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Học viên

Phạm Nguyệt Minh

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

2.2 Mối liên hệ giữa độ đo Lebesgue và độ đo ∆ 22

3.2 Đo được Lebesgue và hàm Lebesgue đo được ∆ 34

4.3 Mối quan hệ giữa khả tích ∆Lebesgue và khả tích∆ Rienman 48 Chương V: MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ ĐỘ ĐO TRÊN THANG THỜI GIAN

54

5.3 Tập đo được Lebesgue – Stieltjes và tập đo được ∆ Lebesgue – Stieltjes

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai

phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian Từ đó tới nay, đã

có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian

Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên

cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mô hình khác nhau dưới cùng một khái niệm và công cụ

Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mô,

áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái, bài toán tối ưu và phép tính biến phân,

Khái niệm độ đo được xây dựng trước tiên nhằm mở rộng các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích trong hình học Ta đã biết, lí thuyết độ đo, đặc biệt là

độ đo Lebesgue đóng vai trò quan quan trọng trong nghiên cứu giải tích và giải tích hàm Độ đo Lebesgue đã được mở rộng sang cho thang thời gian và

có vai trò quan trọng trong nghiên cứu giải tích trên thang thời gian và trong các ứng dụng, xem, thí dụ, [1], [2]

Độ đo Lebesgue trên thang thời gian được xây dựng có nhiều điểm khác với

độ đo Lebesgue

Trong lí thuyết độ đo Lebesgue, một điểm hay tập đếm được các điểm có độ

đo bằng 0; các đoạn [ ]a b; ; ( )a b, ; [a b; ); (a b; ] với a<b có cùng độ đo (bằng b−a) Trong khi đó, trong lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian, độ đo của một điểm có thể khác 0; độ đo của các đoạn [ ]a b; ; ( )a b, ; [a b; ); (a b; ] có thể khác nhau, tùy thuộc vào bản chất của điểm cuối

Tuy nhiên, khi thang thời gian trùng với tập số thực ℝ thì độ đo Lebesgue trên thang thời gian trùng với độ đo Lebesgue Và khi thang thời gian trùng với tập số nguyên, thì độ đo của mọi tập chính là lực lượng của tập đó

Mặt khác, giữa độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue trên thang thời gian có mối quan hệ chặt chẽ

Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự của giải tích, tôi chọn đề tài “Độ

đo Lebesgue trên thang thời gian” làm đề tài luận văn cao học

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian và so sánh lí thuyết này với lí thuyết độ đo Lebesgues trong khuôn khổ một luận văn cao học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu và trình bày trong một luận văn cao học lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu tiếng Anh viết về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt

là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian

II NỘI DUNG

Nội dung cơ bản của luận văn gồm năm chương

Chương I: Giải tích trên thang thời gian

Chương II: Lí thuyết độ đo Lebesgue thang thời gian

Chương III: Hàm ∆ -đo được

Chương IV: ∆ -tích phân

Chương V: Lí thuyết độ đo trên thang thời gian

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN

1.1 Thang thời gian

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian

Thang thời gian là một tập đóng T khác rỗng bất kì trong tập số thực ℝ

tập ℚ ℝ ℚ ℂ, \ , , 0;1[ ) không phải là thang thời gian

Ta luôn giả thiết rằng thang thời gian T được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô của không gian các số thực, nghĩa là các tập mở của T là giao của các tập mở trong ℝ với T

Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô

Hàm :µ T → T được xác định bởi công thức ( ) :µ t =σ( )t − được gọi là hàm t

hạt của thang thời gian T

Toán tử nhảy lui là toán tử σ :T → T được xác định bởi:

( ) : supt

ρ = {s T∈ , s<t}

1.2.2 Một số thuật ngữ và định nghĩa quan trọng

t là điểm phân tán phải t<σ( )t t right-scattered

t là điểm trù mật phải t=σ( )t t right-dense

t là điểm phân tán trái ρ( )t < t t left-scattered

t là điểm trù mật trái ρ( )t = t t left-dense

t là điểm cô lập ρ( )t < <t σ( )t t isolated

t là điểm trù mật ρ( )t = =t σ( )t t dense

1.2 Phép toán vi phân

1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui Hàm :f T → ℝđược gọi là chính qui nếu

giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải của T

1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục Hàm :f T → ℝ được gọi là rd-liên tục nếu nó

liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại

các điểm trù mật trái trong T

Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:

rd rd

C =C (T ) = C rd( T, ℝ)

kí hiệu là f ∆( )t , nếu với mỗi ε >0 cho trước tồn tại một lân cận U của t

(nghĩa là, U = −(t δ,t+δ )∩T với một δ >0 nào đó) sao cho

2) Nếu f liên tục tại t ∈Tk và t là điểm cô lập phải thì f là ∆- khả vi tại

1) Nếu T= ℝ thì mọi điểm t ∈ℝ là điểm trù mật phải Do đó f là ∆- khả vi tại

t ∈ℝ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim ( ) ( )

2) Nếu T= ℤ thì mọi điểm t ∈ℤ là điểm cô lập Do đó f là ∆-khả vi tại mọi

điểm t ∈ℤ và f∆( )t = f t( + −1) f t( ), tức là ∆-đạo hàm trùng với sai phân

của f tại t

Định lí 1.2 (xem, thí dụ [3]) Cho các hàm số f T →: ℝ và g:T→ℝ là các hàm ∆-khả vi tại t ∈Tk

Định lí 1.3 (xem, thí dụ [3]) Nếu hàm : f T → ℝ là chính qui thì tồn tại hàm

∆-khả vi F với miền khả vi D ⊆Tκ sao cho F∆( )t = f t( ) với mọi t∈D

Ta gọi một hàm ∆-khả vi F trong Định lí 1.3 là tiền nguyên hàm của f

Tích phân xác định của một hàm f T → : ℝ chính qui là:

Định lí 1.4 (xem, thí dụ [3]) Mọi hàm rd-liên tục có nguyên hàm Trong

trường hợp riêng, nếu t ∈0 Tk thì hàm F xác định bởi công thức

f là rd-liên tục f là liên tục mọi hàm f

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

CHƯƠNG II

LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN

THANG THỜI GIAN 2.1 Giới thiệu về ∆-độ đo

Lí thuyết độ đo trên thang thời gian được xây dựng bởi Guseinov năm 2003 (xem [6] và [7]), sau đó được nghiên cứu tiếp tục bởi Cabada và Vivero (2004, xem [3]) và Rzezuchowski (2005, xem [9]) Trong chương này, dựa trên tài liệu [5], chúng tôi trình bày cách xây dựng khái niệm ∆-độ đo.

Cho T là một thang thời gian, σ và ρ là toán tử nhảy tiến và toán tử nhảy lui trên T Ta ký hiệu ℑ là lớp tất cả các khoảng bị chặn có biên trái đóng và 1biên phải mở của T dạng

∪ =∑ với các khoảng đôi một rời nhau [ , )a b i i

3) m1( )∅ =m1([a,a))= − = với mọi a ∈ a a 0 T

Mở rộng Caratheodory µ∆ của độ đo m được xây dựng như sau: Đầu tiên độ 1

đo ngoài được xác định trên tất cả các tập con của T bằng cách sử dụng m 1,sau đó một số trong các tập ấy thỏa mãn tính chất đếm được cộng tính được chọn lựa

Định nghĩa 2.1 Giả sử E là một tập con bất kỳ của T Nếu tồn tại ít nhất một

hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng I j∈ ℑ1(j =1, 2, ) sao cho j

m E = ∑m I được gọi là độ đo ngoài của E, ở đó giá trị nhỏ nhất

được lấy trên tất cả các phủ của E bởi một hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng I j∈ ℑ 1

Định nghĩa 2.2 Một tính chất được thỏa mãn khắp nơi ngoại trừ tập 0 thì ta

nói tính chất đó được thỏa mãn ∆-hầu khắp nơi, ngắn gọn là ∆-a.e, trong lí thuyết độ đo trên thang thời gian

Độ đo ngoài luôn luôn không âm nhưng nó có thể bằng vô hạn, do đó nói chung ta có 0≤m E1*( )≤ ∞ Trong trường hợp không có phủ của E, ta nói rằng

E không được phủ bởi một hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng và độ đo ngoài của tập đó bằng vô hạn, có nghĩa là *

m E = ∞

Có một vấn đề là mặc dù *

1

m được định nghĩa cho mọi tập con bất kỳ của T,

nó không có tính chất cộng tính đếm được (thậm chí hữu hạn) Mục đích của chúng ta là tìm ra một σ - đại số, trong đó m là cộng tính đếm được và chứa 1*

một đại số trên đó độ đo m được xác định Điều kiện cho bởi Caratheodory 1

mô tả mô tả hạn chế đòi hỏi cho vấn đề này Trong định nghĩa dưới đây, hạn chế này được áp dụng cho thang thời gian

Định nghĩa 2.3 Tập E ⊂ T được gọi là m - đo được hoặc là 1* ∆- đo được nếu với mỗi khoảng I ⊂ ℑ ta có 1

m I =m I∩E +m I ∩E (2.3) trong đó c

đúng với mọi A ⊂T, dù A có là ∆-đo được hay không

Đặc thức này yêu cầu tính chất cộng tính của độ đo ngoài *

1

m Nói một cách

thô thiển, đẳng thức này chỉ ra rằng E và c

E là đủ tách biệt để chia mọi tập A

∪Đặt

* * * * *

1 1

k k

Do đó M(m ) tạo nên một 1* σ − đại số

Định lí Caratheodory mở rộng có thể nói ngắn gọn rằng, m đã cho có thể mở 1

σ − trường là một độ đo cộng tính đếm được kí hiệu là µ∆.

Như vậy, độ đo trên thang thời gian đã được xây dựng

Mệnh đề 2.3 (Định lí về dãy tăng và dãy giảm) Nếu { } E là dãy các tập n không giảm trên T thì

1

( n) lim ( n)

n n

n n

E E

Bổ đề 2 1 ([9]) Bất kì tập điểm đơn { }t0 ⊂T nào cũng là m − đo được 1*

Chứng minh Ta phải chứng minh rằng với A ⊂T, ta có đẳng thức

* * *

1( ) 1( {t })0 1( \ {t })0

m A =m A∩ +m A (2.7) Đẳng thức trên hiển nhiên khi t0∉ Giả sử A t0∈ Dễ thấy rằng nếu A.maxT∈A thì ta có ngay đẳng thức (2.7) Giả sử A ⊂ T \{maxT}, trong trường hợp này bất đẳng thức

m A1*( )≤m A1*( ∩{ })t0 +m A1*( \ { })t0 (2.8) luôn đúng Do đó ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại

Ta xác định một phủ của A\ { }t0 và một phủ khác của { }.t0 Nếu t0∉[ , )a b i i

thì ta đưa thêm khoảng này vào phủ của A\ { }.t0 Nếu t0∈[ , )a b i i thì ta đưa thêm một khoảng con [ , ( ))t0 σ t0 của nó vào phủ của { }t0 và nếu một khoảng

0

[ , )a t hoặc i [ ( ), )σ t0 b i nào đó khác rỗng, ta gộp chúng vào phủ của A\ { }.t0

Xét tất cả các khoảng [ , )a b , ta thực sự được hai phủ đòi hỏi Hơn nữa, tổng i i

độ dài các khoảng trong cả hai phủ bằng ∑(b a i − i) và cuối cùng ta suy ra

như là hiệu của hai tập ∆ −đo được T vàX nhưng { }t0 không có hợp hữu hạn hoặc đếm được các khoảng của ℑ do đó tập các điểm đơn 1, {t } và bất kỳ tập 0con ∆ −đo được nào của T chứa { }t0 đều có ∆ −độ đo vô hạn

Định lí 2.2 (Guseinov 2003, [6]) ∆ −độ đo của tập điểm đơn

Bây giờ ta xét trường hợp khi t là điểm trù mật phải Khi đó tồn tại các tập 0

dãy giảm sao cho { }t k của T mà

Bổ đề tiếp theo cho phép chúng ta sử dụng khẳng định này cho các tập đặc

Ở đây T ~ nhận được bằng cách làm đầy các khoảng trống ( , ( ))t i σ t i của T,

trong đó (t i <δ( ))t i Rõ ràng hàm g là hàm không giảm trên T ~ Vì tập tất cả các điểm mà tại đó hàm đơn điệu không liên tục là nhiều nhất đếm được (Carter và Brunt, 2000) nên từ đây ta có kết quả

Nhận xét 2.4 Từ đây về sau, chúng ta kí hiệu mở rộng của tập E ⊂T bởi

2.2 Mối quan hệ giữa độ đo Lebesgue và ∆ −độ đo

Trước tiên thấy rằng bất kỳ thang thời gian nào cũng là tập Borel và do đó là

đo được Lebesgue (xem [5], Mục 1.1, Chương 1)

Xét độ đo Lebesgue ngoài λ* xác định trên ℝ và độ đo ngoài m xác định 1*

trên T Kí hiệu λ là độ đo Lebesgue thông thường Ta có

Bổ đề 2.7 (Cabada and Vivero [3] 2004, Rzeuchowski [9] 2005)

Nếu E ⊂ T\{maxT} thì ta có các tính chất sau:

m E >λ E

ii) Nếu E không bao gồm những điểm phân tán phải thì m E1*( )=λ*( ).E

iii) Các tập D S R, R = T \D là đo được Lebesgue và ( R λ S R) 0= nhưng

T\{maxT} và kí hiệu tập còn lại của các chỉ số là I Với i∈ ta đặt I

( )

a =σ α và với b ta xét hai trường hợp: i

1) Nếu βi∉T ta đặt b i =ρ β( ).i Khi ấy b i∉ với E E⊂D R

2) Nếu βi∈T, ta có hai khả năng:

1

( )A ( )A

iii) Lấy t ∈ k T\{maxT} Khi ấy t k ⊆[t k −ε,t k +ε) đúng với mọi ε > Do đó 0

λ*( )t k ⊆λ*([t k −ε,t k +ε)) 2= ε

Do ε là bất kỳ, λ*{( )}= 0.t k Suy ra { }t k là đo được Lebesgue với độ đo bằng

0 Tập tất cả các điểm phân tán phải của mọi thang thời gian nhiều nhất là đếm được, ta có

v) Kết hợp ii) và iv) ta được v) Định lí chứng minh xong

Mệnh đề 2.4 (Cabada-Vivero [3] 2004) Giả sử E ⊂T Khi đó E là ∆ − đo

được Lebesgue nếu và chỉ nếu nó là đo được Lebesgue Trong trường hợp

E ⊂T\{maxT} thì các điều sau đây đúng:

ii) ( )λ E = µ∆( )E nếu và chỉ nếu E không có các điểm phân tán phải

Chứng minh Giả sử rằng E ⊂T là ∆ − đo được

a) Giả sử A, E ⊂T\{maxT} Sử dụng đẳng thức ℝ\E =(T\ )E ∪( \ℝ T),

bất đẳng thức

λ*( )A ≤λ*(A∩E)+λ*(A∩( \ ))ℝ E (2.18) trở thành

Do đó E cũng là đo được Lebesgue

b) Cho E ⊂T\{maxT}, A chứa điểm lớn nhất τ0 của T Ta có

λ*( )A ≤λ*(A∩E)+λ*(A∩( \ )).ℝ E (2.20) Đặt A= ∪B { }τ0 Khi ấy bất đẳng thức (2.20) trở thành

c) Bây giờ giả sử E chứa điểm lớn nhất τ0 của T Rõ ràng nếu E là ∆ − đo

được thì E\ { }τ cũng là ∆ − đo được, do đó nó cũng đo được Lebesgue Bởi

vì tập điểm đơn {τ0} là đo được Lebesgue và sử dụng nhận xét rằng hợp của hai tập đo được Lebesgue là một tập đo được Lebesgue, ta có

( \ { })E τ ∪{ }τ = cũng là tập đo được Lebesgue E

Giả sử E là tập đo được Lebesgue, chứng minh tương tự ta có E là ∆ − đo

Hệ quả 2.9 Nếu tập E là đo được Lebesgue thì E ∩ T là ∆ − đo được

Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm độ đo ∇ Lebesgue trên T đã được Guseinov định nghĩa (xem Guseinov [6] 2003) Kí hiệu ℑ là họ tất cả các 2khoảng của T có dạng ( , ] a b = ∈{t T:a t< ≤b}; a b, ∈T, a≤ Hiển nhiên b.tập ( , ]a a là tập rỗng Giả sử m2:ℑ →2 [0, ]∞ là hàm tập trên ℑ cho tương 2ứng mỗi khoảng ( , ]a b với độ dài của nó, nghĩa là

m trên họ tất cả các tập con của T được định nghĩa như sau:

Cho D là một tập con bất kỳ của T Nếu tồn tại ít nhất một hệ hữu hạn hoặc

đếm được các khoảng U j∈ ℑ2(j=1, 2, ) sao cho j

cả các tập con *

2

m − đo được (hay ∇ − đo được) của T là một σ − đại số Ở

đây tập con D gọi là m − đo được nếu *2

m A =m A∩D +m A∩D (2.21)

đúng với mọi A∈T, D = c T\ D

Khi đó, ta lấy thu hẹp của *

Định nghĩa 3.1 Ta nói rằng hàm f :T→ℝ là ∆ − đo được nếu với mọi

,

α∈ℝ tập

f − 1([−∞, )) {α = ∈t T: ( )f t <α} (3.1)

∆ − đo được

Tương tự như trong lí thuyết độ đo Lesbegue (xem Chương 1 [5]), ta bắt đầu,

từ các hàm đơn giản Tuy nhiên, theo cách xây dựng ∆ − tích phân Lebesgue,

chúng ta tập trung xét trường hợp khi S là một tập ∆ − đo được

Chú ý 3.1 Dễ dàng kiểm tra rằng quan hệ giữa các hàm đơn giản và các tập

∆ − đo được là

1

n

i i i

là ∆ − đo được với mọi α∈ℝ,α1<α2 <α3 < < αn.

i) Nếu α α< 1 thì S−1([−∞, ))α = ∅ là ∆ − đo được

ii) Nếu α1 < <α α2 thì 1

1

S− −∞ α = A là ∆ − đo được

iii) Giả sử α2 < <α α3 Trong trường hợp này S−1([−∞, ))α = A1∪A2 là

∆ − đo được Từ ii) A cũng là ∆ − đo được bởi vì hiệu của hai tập ∆ − đo 2

được là ∆ − đo được

Lặp lại qui trình này, với mỗi giá trị bất kì của α, tương ứng tập

∪ cũng là ∆ − đo được mà nó tương ứng với tập {t ∈T: ( )S t < } với α

một giá trị α∈ℝ nào đó Với mỗi α∈ℝ tồn tại hợp

1

k i i

A

=

∪ chúng ta kết luận

hàm tương ứng đơn giản S là ∆ − đo được

Mệnh đề dưới đây cho các phiên bản khác nhau của định nghĩa hàm ∆ − đo được

Mệnh đề 3.1 (Royden 1988) Cho f là một hàm nhận giá trị thực trên miền

∆ − đo được E ⊂T Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương:

i) Với mỗi số thực α thì tập { t∈E f t: ( )<α} là ∆ − đo được

ii) Với mỗi số thực α thì tập { t∈E f t: ( )≥α}là ∆ − đo được

iii) Với mỗi số thực α thì tập { t∈E f t: ( )≤α} là ∆ − đo được

iv) Với mỗi số thực α thì tập { t∈E f t: ( )>α} là ∆ − đo được

Các mệnh đề trên suy ra

v) Với mỗi số thực α thì tập { t∈E f t: ( )=α} là ∆ − đo được

Định lí 3.2 Giả sử f là một hàm ∆ − đo được trên miền E ⊂ T và f = g

a e

∆ − Khi đó hàm g cũng là ∆ − đo được

Chứng minh Theo định nghĩa của hàm ∆ − đo được và sự tương đương hầu khắp nơi, hiệu của hai tập A={ :t f t( )>α} và tập B={ : ( )t g t >α} là tập có

độ đo bằng 0, nghĩa là µ∆(( \ )A B ∪( \ )) 0.B A = Do đó µ∆( \ ) 0A B = và ( \ )) 0B A

Hệ quả 3.3 (Dönmer 2001) Cho { ( )} f t n là dãy các hàm ∆ − đo được trên

E ⊂T Nếu dãy này hội tụ với lim f t n( )= f t( ) thì ( ) f t cũng là ∆ − đo được

Hệ quả 3.4 Cho f t và 1( ) f t là hai hàm ∆ − đo được xác định trên tập con 2( )

∆ − đo được của T Khi đó, max{ ( ),f t1 f t2( )} và min{ ( ),f t1 f t cũng là ∆ − đo 2( )}

được

Định lí 3.5 Mọi hàm hằng xác định trên tập ∆ − đo được là ∆ − đo được

Chứng minh Lấy ( )f t =c, ∀ ∈t E,c ∈ℝ Ta xem xét hai trường hợp:

i) Với α > thì tập tương ứng E đã biết là ∆ − đo được c

ii) Với α < thì tập tương ứng là tập rỗng và nó cũng là ∆ − đo được c

Mệnh đề 3.3 (Aliprantis and Burkinshaw 1998) Nếu f t và 1( ) f t là hai hàm 2( )

∆ − đo được thì tập { :t f t1( ) < ( )}f t2 cũng là ∆ − đo được

Hệ quả 3.6 ( )f t là hàm ∆ − đo được khi và chỉ khi f+ và f− là hàm ∆ − đo

được

Ở đây f + =max{0, }f và f− =max{0,− f}

Định lí 3.7 Hàm f t là ∆ − đo được khi và chỉ khi với mọi ( )

α <α α α ∈ℝ thì tập {t∈T:α1< ( ) f t < α2} là ∆ − đo được

Chú ý 3.8 Để đơn giản, chúng ta dùng định nghĩa ∆ − đo được như sau: f là

∆ − đo được khi và chỉ khi bất kỳ khoảng đóng I ⊂T, f−1( )I là ∆ − đo được.Trong thực tế, ta sẽ hợp nhất hai khái niệm: liên tục và đo được

Mệnh đề 3.4 Cho f là một hàm được xác định trên một thang thời gian hoàn

toàn rời rạc T Khi đó f là ∆ − đo được

Chứng minh Đã biết rằng tập các điểm đơn hoặc hợp đếm được tập các điểm đơn là ∆ − đo được Vì T có thể biểu diễn bởi hợp đếm được của tập các điểm

đơn là tập ∆ − đo được, nên với hàm f bất kỳ xác định trên thang thời gian,

1( )

f− I là ảnh ngược của khoảng đóng bất kì đều có thể biểu diễn bởi hợp

đếm được của tập các điểm đơn Do đó f là ∆ − đo được

Chú ý 3.9 Dễ dàng thấy rằng nếu f được xác định trên một tập con của một

thang thời gian hoàn toàn rời rạc T thì f là ∆ − đo được

Hệ quả 3.10 Cho f xác định nghĩa trên một thang thời gian bất kỳ T và giả sử

R

S

f biểu diễn hàm nhận được bằng cách quy nạp f tới tập tất cả các điểm

phân tán phải của T Khi đó

R S

f là ∆ − đo được trên S R

Mệnh đề 3.5 Nếu f là rd-liên tục thì f là ∆ − đo được

Chứng minh Ta sử dụng định nghĩa hàm ∆ − đo được cho bởi Chú ý 3.8 và tính chất

f là hàm ∆ − đo

được. Do

R D

f là liên tục, cho ε > khi đó tồn tại 0 δ > sao cho 0

f là ∆ − đo được nên vế phải của (3.3) cũng là ∆ − đo được Vì f −1( )I với I là khoảng bất kỳ là ∆ − đo được nên f là hàm ∆ − đo

được

Hệ quả 3.11 Nếu f liên tục xác định trên T thì f là ∆ − đo được

Chú ý 3.12 Nếu f là hàm rd-liên tục xác định trên tập con đo được E ⊂T,

khi đó f là hàm ∆ − đo được

Mệnh đề dưới đây mở rộng quan hệ giữa tính đo được và tính liên tuc

Mệnh đề 3.6 Cho f là hàm định nghĩa trên tập con ∆ − đo được E ⊂T Khi

đó f là hàm ∆ − đo được nếu tập tất cả các điểm trù mật phải của E, các điểm mà f không liên tục là một tập có độ đo 0

Chứng minh Chia E thành ba phần

i) C rd = ∈{t E: f liên tục tại t và t là điểm trù mật phải}

ii) D rd = ∈{t E: f không liên tục tại t và t là điểm trù mật phải}

iii) E rd = ∈{t E: t là điểm phân tán phải}

Do đó, E=C rd ∪D rd ∪E rs Giả sử µ∆(D rd) 0= Giả sử { }K n n N∈ là dãy tập

∆ − đo được sao cho

= ∩ Rõ ràng, f là liên tục trên F mà n F là phần bù của n D n

tương ứng với D rd ∪C rd, tức là F n = D rd ∪C rd \D n Suy ra hạn chế

n F

f của

f là liên tục và

n F

f là ∆ − đo được theo Hệ quả 3.11

{ }F là các dãy tăng của tập vì { n D là dãy giảm n}

Lấy giới hạn khi n → ∞ , D rd ∪C rd = D n ∪F n

Sử dụng nhận xét này, ta sẽ nghiên cứu tính ∆ − đo được của f xác định trên

Định lí 3.13 (Rudin, 1987) Cho f :T→ℝ+∪{0} là một hàm ∆ −đo được Khi

đó tồn tại một dãy các hàm đơn giản ∆ −đo được { }ϕn sao cho

A ∩A = ∅ i ≠ Vì f là một hàm j ∆ −đo được nên mỗi A là i

một tập ∆ −đo được Với mỗi n ta định nghĩa dãy của các hàm ∆ −đo được

đơn giản là { }ϕn với 2

1

2 ( 1)

n

i n

n n