Bất đẳng thức biến phân minimax và ứng dụng

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.. Nếu như điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu trơn là một trong nhữngcăn nguyên dẫn đến bất đẳng thức biến phân VI, thì điều

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã định hướng,truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này.Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầyNguyễn Năng Tâm trong suốt quá trình tôi viết luận văn đã giúp cho tôi có ýthức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáodạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại họcTrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến vàgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận vănnày

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đãđộng viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Học viên

Trần Đức Hải

Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm, luận văn chuyên ngànhToán giải tích với đề tài “Bất đẳng thức biến phân minimax” được hoàn thànhbởi chính sự nhận thức và nghiên cứu của bản thân, không trùng với bất cứ luậnvăn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Học viên

Trần Đức Hải

Mở đầu 1

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert 3

1.2 Đạo hàm Fréchet 6

1.3 Một số khái niệm trong giải tích lồi 7

1.4 Bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu 14

1.4.1 Bất đẳng thức biến phân 14

1.4.2 Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân 15 1.4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 21 1.4.4 Bất đẳng thức biến phân Minty 24

1.5 Kết luận chương 1 28

2 Bất đẳng thức biến phân minimax 29 2.1 Định nghĩa và ví dụ 29

2.2 Đưa bài toán (MVI) về dạng (VI) 31

2.3 Mối liên hệ giữa bài toán minimax và bất đẳng thức biến phân minimax 36

ii

2.4.1 MVI không đơn điệu trong không gian Euclid 402.4.2 MVI giả đơn điệu trong không gian Banach phản xạ 452.4.3 MVI đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert 492.5 Kết luận chương 2 56

MVI Bất đẳng thức biến phân minimax

VI Bất đẳng thức biến phân

Rn Không gian Euclid n chiều

X∗ không gian đối ngẫu của X

h., i Tích vô hướng của 2 phần tử

∇ x f (u, v) Đạo hàm riêng gradienst của f theo x tại (u, v)

 Kết thúc chứng minh

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức biến phân minimax (MVI) được các tác giả Nguyễn Đông Yên

và Nguyễn Quang Huy đưa ra lần đầu tiên trong [6]

Nếu như điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu trơn là một trong nhữngcăn nguyên dẫn đến bất đẳng thức biến phân (VI), thì điều kiện cần để tồn tạiđiểm yên ngựa (xem [6]) của bài toán minimax có thể xem là một căn nguyêndẫn đến khái niệm MVI Bất đẳng thức biến phân minimax là một công cụ rấttốt để nghiên cứu bài toán minimax

Theo những thông tin mà tôi biết, những khía cạnh khác nhau của MVI chưađược nghiên cứu sâu sắc Vì vậy, sau khi học xong một số môn trong chươngtrình cao học chuyên ngành Toán giải tích, được sự hướng dẫn và động viên củathầy Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề tài: “Bất đẳng thức biến phân minimax vàứng dụng” để nghiên cứu với hy vọng hiểu biết sâu sắc thêm những kiến thứcgiải tích đã học và ứng dụng của chúng Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương 2: Bất đẳng thức biến phân minimax

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân minmax và ứng dụng của bất đẳngthức biến phân minimax

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bất đẳng thứcbiến phân minimax

- Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức biến phân minimax vào các bàitoán minimax và lý thuyết tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bất đẳng thức biến phânminimax trong không gian Rn, không gian Hilbert và trong không gian Banachphản xạ

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài.Dùng các phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích lồi và Lý thuyết tối ưu

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu và làm rõ được Bất đẳng thức biến phân minimax sâu sắc hơn

Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giải tích hàm [1], Giảitích lồi [2], [3], [5], [8] và Bất đẳng thức biến phân lồi khả vi [7], [9], [10] Mốiquan hệ giữa Bài toán tối ưu trơn với Bất đẳng thức biến phân Các định lý tồntại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn trên không gian véctơ X là hàm số thực, kí hiệu

k.k xác định với mọi x ∈ K và thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0

(ii) kαxk = |α| kxk α là vô hướng bất kì

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X

Không gian định chuẩn hay không gian véctơ định chuẩn, kí hiệu bởi (X, k.k)

bao gồm không gian véc tơ X và chuẩn k.k trên X

3

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụtới điểm x ∈ X, nếu lim

n→∞ kxn− xk = 0, kí hiệu lim

n→∞ xn = x hay xn → x (n → ∞).Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi làdãy cơ bản, nếu lim

m,n→∞ kxn− xmk = 0.Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọidãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ T

được gọi là toán tử tuyến tính nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:(i) T (x + y) = T x + T y, ∀x, y ∈ X

(ii) T (αx) = αT x, ∀x, y ∈ X, α ∈R.

Định nghĩa 1.1.6 Toán tửT từ không gian định chuẩnX vào không gian địnhchuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại số thực k > 0 sao cho

kT xk ≤ k kxk , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.7 ChoX, Y là các không gian định chuẩn Toán tửT : X → Y

được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0, tồn tại δ > 0 phụ thuộc vào ∀ε và x0

sao cho kx − x0k < δ chúng ta có kT x − T x0k < ε T liên tục trên X nếu nó liêntục tại mọi điểm trên X.

Định lý 1.1.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử T : X → Y

tuyến tính, khi đó toán tử T liên tục khi và chỉ khi T bị chặn

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian định chuẩn X trên R Ta gọi không gian

L (X,R) các phiến hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (haykhông gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu X∗ Không gian định chuẩn

X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X∗∗

Định nghĩa 1.1.9 Cho X là không gian véctơ trên R Ta gọi tích vô hướngtrên không gian X mọi ánh xạ từ tích X × X vào R, kí hiệu h., i, thỏa mãn cáctiên đề sau:

Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz - Bunyakowski) Với mọi x,

y thuộc vào không gian có tích vô hướng X, ta có |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi

Định lý 1.1.3 Mọi không gian có tích vô hướng X là không gian định chuẩncùng với chuẩn tương ứng kxk = |hx, xi|12 , ∀x ∈ X

Nhận xét 1.1 Từ Định lý 1.1.2 bất đẳng thức Cauchy - Schwartz - yakowski có thể được viết lại |hx, xi| ≤ kxk kyk

Bun-Đẳng thức |hx, yi| = kxk kyk thỏa mãn khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.Định nghĩa 1.1.10 Không gian X được trang bị một tích vô hướng được gọi

là không gian Hilbert nếu không gian định chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng,

kxk = |hx, xi|12, với mọix ∈ X là không gian Banach (không gian định chuẩn đầyđủ), tức là mọi dãy Cauchy (xn) ⊂ X đối với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướnghội tụ theo chuẩn đó

Ví dụ 1.1.2 Không gian Rn , n ≥ 1cùng với tích vô hướnghx, yi =

nPi=1

xiyi, trong

đó x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈Rn là không gian Hilbert

1.2 Đạo hàm Fréchet

Mục này trình bày đạo hàm Fréchet, định lý tồn tại đạo hàm Fréchet.Định nghĩa 1.2.1 Hàm f : U →R, U ⊆Rn là tập mở, được gọi khả vi Fréchettại x nếu tồn tại một véc tơ A (x) ∈Rn sao cho

f (x + y) = f (x) + hA (x) , yi + o (kyk) , ∀y ∈Rn,

trong đó lim

kyk→0

o (y) kyk = 0,

Ta có thể coi A (x) : Rn → Rn như là ánh xạ tuyến tính xác định trên Rn.Véc tơ A (x) được gọi là đạo hàm riêng Fréchet của f tại x

Xét hàm n biến f (x1, x2, , xn) Cho một biến, chẳng hạn x1 thay đổi và cốđịnh các biến còn lại Khi ấy ta được hàm số một biến

Định lý 1.2.1 Nếu f khả vi tại x thì nó có đạo hàm riêng theo mọi biến và đạohàm Fréchet của f tại x chính là vectơ gradient của f tại x Ngược lại, nếu tất

cả các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì f có đạo hàm và vectơgradient chính là đạo hàm Fréchet của f tại x Ta kí hiệu gradf (x) = ∇f (x)

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : U → R trong đó U ⊂ Rn là tập mở, được gọi

là khả vi cấp hai tại x nếu nó khả vi tại x và tồn tại một ma trận đối xứng

Định lý 1.2.2 Nếu hàm f khả vi cấp hai tại x thì nó có đạo hàm riêng cấp haitheo mọi biến và

Ngược lại, nếu tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của f tồn tại và liên tục tại x

thì f có đạo hàm cấp hai và ma trận ∇ 2 f (x) chính là ma trận đạo hàm cấp haicủa f tại x

Trong mục này ta trình bày một số khái niệm và tính chất trong Giải tíchlồi, các định lý, tính chất về hàm lồi khả vi, lồi chặt, giả lồi

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian vectơ, tập K ⊂ X được gọi là tập lồinếu mọi cặp điểm x1, x2∈ K ta có xt := tx1+ (1 − t)x2∈ K, với mọi t ∈ [0, 1].Định nghĩa 1.3.2 Cho K là tập con lồi của không gian tuyến tính X và hàm

Hàm f được gọi là tựa lồi trên K nếu

f (tx1+ (1 − t) x2) ≤ max[f (x1), f (x2)], ∀x1, x2∈ K, t ∈ (0, 1).

Hàm f được gọi là tựa lồi chặt trên K nếu

f (tx1+ (1 − t) x2) < max[f (x1), f (x2)], ∀x1, x2 ∈ K, t ∈ (0, 1), x1 6= x2.

Định lý 1.3.1 Hàm khả vi f : K →R là

(i) lồi trên K khi và chi khi f (x) ≥ f (x) + ∇f (x)T (x − x) , ∀x, x ∈ K.

(ii) lồi chặt trên K khi và chỉ khif (x) > f (x)+∇f (x)T(x − x) , ∀x, x ∈ K, x 6= x.

(iii) lồi mạnh trên K khi và chỉ khi tồn tại l > 0 sao cho

Ví dụ 1.3.2 Xét hàm f : R → R, f (x) = x2. Khi đó hàm số trên là lồi mạnhtrên R Thật vậy, ta có ∇f (x) = 2x và

x2i là hàm lồi chặt trên Rn Thật vậy,

Chứng minh Thật vậy, giả sử ta có m = f (x) = f (ex) ≤ f (x) , ∀x ∈ K, trong đó

x,ex ∈ K, x 6=ex Do f là lồi chặt trên K nên ta có

f (xt) < tf (x) + (1 − t) f (ex) = tm + (1 − t) m = m, ∀t ∈ (0; 1)

Điều này vô lí, vậy điểm tối ưu x là duy nhất

Định nghĩa 1.3.3 Cho f là hàm số xác định trên tập mở trong Rn chứa K.(i) Hàm f được gọi là giả lồi tại x ∈ K nếu nó khả vi tại x và

(h∇f (x), x − xi ≥ 0, x ∈ K) ⇒ f (x) ≥ f (x).Hàm f là giả lồi trên K nếu nó giả lồi tại mọi điểm x ∈ K

(ii) Hàm f được gọi là giả lõm tại x ∈ K nếu nó khả vi tại x và

(h∇f (x), x − xi ≤ 0, x ∈ K) ⇒ f (x) ≤ f (x).Hàm f là giả lõm trên K nếu nó giả lõm tại mọi điểm x ∈ K

Định lý 1.3.5 (xem [8], Định lý 5, tr 143) Cho K là tập lồi trong Rn, và cho

f là hàm số xác định trên tập mở tùy ý chứa K Nếu f là giả lồi (tương ứng giảlõm) trên K, khi đó f là tựa lồi chặt (tương ứng tựa lõm chặt) trên K và vì thếcũng tựa lồi (tương ứng tựa lõm) trên K Điều ngược lại không đúng

Ví dụ sau chỉ ra rằng hàm tựa lồi chặt trên K nhưng không giả lồi trên K

Ví dụ 1.3.5 Hàm y = x3, x ∈R, tựa lồi chặt nhưng không giả lồi trên R.

Thật vậy, giả sử f (x 1 ) < f (x 2 ) hay x31 < x32 Từ đây suy ra x 1 < x 2 Với mọi

Theo Định lý 1.3.2 một hàm lồi khả vi tương đương với tính đơn điệu củaánh xạ gradient Định lý dưới đây cũng chỉ ra rằng hàm giả lồi khả vi là tươngđương với giả đơn điệu của ánh xạ gradient.

Định lý 1.3.6 (xem [5], Bổ đề 2.2, tr 91) Giả sử f là khả vi trên tập lồi K.Khi đó ba điều kiện sau là tương đương

(i) f là giả lồi trên K

(ii) ∀x, y ∈ K, h∇f (x) , y − xi > 0 ⇒ h∇f (y) , y − xi > 0

(iii) ∀x, y ∈ K, h∇f (y) , x − yi ≥ 0 ⇒ h∇f (x) , x − yi ≥ 0

Chứng minh Dễ dàng thấy (ii) và (iii) là tương đương Giả sử ngược lại (iii)thỏa mãn nhưng f không giả lồi Từ đó tồn tại x, y ∈ K sao cho f (y) < f (x) và

h∇f (x) , y − xi ≥ 0 Khi đó trong dạng (iii)h∇f (x + t(y − x)) , y − xi ≥ 0 với mọi

t ∈ (0, 1) Suy ra f (y) ≥ f (x), điều này mâu thuẫn

Ngược lại ta chứng minh từ (i) suy ra (iii) Giả sử rằng f là giả lồi và (iii)không thỏa mãn Khi đó ∃x, y ∈ K sao cho

h∇f (x) , y − xi ≥ 0, h∇f (y) , x − yi > 0.

Vì f giả lồi (vì vậy cũng tựa lồi theo Định lý 1.3.5) nên bất đẳng thức đầu tiênsuy ra rằng f (y) ≥ f (x) mâu thuẫn với f (x) > f (y) thu được từ bất đẳng thứcthứ hai

Định lý 1.3.7 (xem [8], Định lý 6, tr 144) Cho f là hàm số xác định trên tập

mở K ∈ Rn Cho x ∈ K và f khả vi tại x Nếu f là lồi (lõm) tại x thì f giả lồi(giả lõm) tại x Nhưng điều ngược lại không đúng

Ví dụ 1.3.6 Hàm y = f (x) = x + x3 là hàm không lồi trên R nhưng giả lồi trên

Như ta đã biết mỗi phần tử của không gian Hilbert luôn tồn tại và duy nhấthình chiếu của nó trên tập tập con lồi đóng của không gian Hilbert.

Bổ đề 1.3.1 ([7], Bổ đề 2.1, tr 8) Cho K là tập con lồi, đóng của không gianHilbert X Khi đó mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ K sao cho

kx − yk = inf

η∈K kx − ηk (1.1)Điểm y thỏa mãn (1.1) gọi là hình chiếu của x trên K và ta viết y = PK(x).Chứng minh Lấy ηk ∈ K là dãy cực tiểu hóa, tức là

lim

k→∞ kηk − xk = d = inf

η∈K kη − xk (1.2)Theo quy tắc hình bình hànhkx + yk2+ kx − yk2 = 2kxk2+ 2kyk2, x, y ∈ X, từ hệquả của sự tồn tại tích vô hướng trên X, chúng ta đưa ra kết quả

Do đó kηk − ηnk2 ≤ 2kx − ηkk2+ 2kx − ηnk2− 4d 2

và từ (1.2) chúng ta kết luận rằng lim

k,n→∞ kηk− η n k = 0.Bởi vì, X là không gian đầy đủ do đó có phần tử y ∈ K sao cho lim

k→∞ ηk = y

Do vậy

kx − yk = lim

k→∞ kx − ηnk = d.

Để chứng minh y là phần tử duy nhất, ta giả sử ngược lại rằng có hai phần

tử y, y0 ∈ K sao cho (1.1) được thỏa mãn Từ (1.3) ta thay ηk, ηn bởi y, y0 được

y − y0 2= 2kx − yk2+ 2 x − y0 2− 4 x − 1

2 y + y

0
2

≤ 4d2− 4d2= 0

⇒ y = y0.

Định lý 1.3.8 ([7], Định lý 2.3, tr 9) Cho K là tập lồi đóng trong không gianHilbert X Khi đó y = PK(x), hình chiếu của x trên K, nếu và chỉ nếu

y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi , ∀η ∈ K (1.4)Chứng minh Lấy x ∈ X và y = PK(x) ∈ K Bởi vìK là lồi nên

Do vậy, cuối cùng ta nhận được ky − xk ≤ kη − xk, với η ∈ K.

Hệ quả 1.1 ([7], Hệ quả 2.4, tr.10) Cho K là tập lồi đóng của không gianHilbert X Khi đó toán tử PK là toán tử không giãn, tức là

PK(x) − PK(x0) ≤ x − x0 , x, x0 ∈ X (1.5)Chứng minh Cho x, x0 ∈ K, khi đó theo bổ đề tồn tại và duy nhất y = PK(x),

y0 = PK(x0) Khi đó

y ∈ K : hy, η − yi ≥ hx, η − yi, với η ∈ K

y0 ∈ K hy0, η − y0i ≥ hx0, η − y0i, với η ∈ K

Chọn η = y0 trong bất đẳng thức đầu tiên vàη = y trong bất đẳng thức thứ hai.Cộng hai vế bất đẳng thức trên, ta nhận được

Trong mục này trình bày khái niệm bất đẳng thức biến phân trên không gian

Rn Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu với bất đẳng thức biến phân Các điều kiện

đủ để tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.4.1 Cho F : Rn → Rn và K là một tập khác rỗng trong Rn.Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắtV I) được phátbiểu như sau: Tìm x ∈ K sao cho

hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K (1.6)Bất đẳng thức (1.6) cũng thường được viết dưới dạng

F (x)T(x − x) ≥ 0, ∀x ∈ K, (1.7)trong đó ha, bi kí hiệu tích vô hướng của hai vectơ a và b trong không gian

Rn, còn AT và xT là chuyển vị của ma trận A và vectơ x Ta luôn quy ước

x = (x1, x2, , xn)T ∈Rn là véctơ cột

Bài toán bất đẳng thức biến phân được xác định bởi ánh xạ F và tập K, vìvậy khi cần làm rõ, ta kí hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân là V I(F, K)

Điểm x ∈ K thỏa mãn (1.6) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân(1.6) Tập tất cả các điểm x ∈ K thỏa mãn (1.6) được gọi là tập nghiệm của bấtđẳng thức biến phân (1.6) và kí hiệu là Sol(V I) hoặc Sol(V I(F, K)).

Vấn đề đặt ra là tại sao ta phải nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, chúng

có liên hệ gì với bài toán tối ưu Mục sau đây nghiên cứu mối liên hệ giữa chúng

phân

Ta xét bài toán tối ưu cho hàm một biến nhận giá trị trong R

Cho hàm f : [a, b] → R là một hàm khả vi trên [a, b] ⊆R, nghĩa là tồn tại đạo

hàm tại mọi điểm x0 ∈ (a, b) , tồn tại đạo hàm phải f0(a+) và tồn tại đạo hàmtrái f0(b−)

Điểm x được gọi là điểm cực tiểu (điểm tối ưu) của f trên [a, b] nếu

là điểm tối ưu

Vì [a, b] là tập compact và f : [a, b] →R là một hàm liên tục trên [a, b] nên theođịnh lý waierstrass, hàm f đạt giá trị nhỏ nhất trên [a, b], tức là tập các điểmtối ưu của bài toán (1.8) là khác rỗng Nếu x là điểm cực tiểu của f trên [a, b]

thì theo điều kiện cần cực trị Fermat, ta có

(i) Nếu x ∈ (a, b) thì f0(x) = 0

(ii) Nếu x = a thì f0(a+) ≥ 0

(iii) Nếu x = b thì f0(b−) ≤ 0

Từ ba điều kiện trên ta có điều kiện cần để hàm số f nhận giá trị nhỏ nhất trên

[a, b]

Mệnh đề 1.4.1 Điều kiện cần để hàm số y = f (x) nhận giá trị nhỏ nhất trên

[a, b] tại điểm x là

f0(x)(x − x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. (1.9)

Chứng minh Giả sử x ∈ (a, b) là điểm tối ưu của hàm f trên [a, b] và f0(x) > 0.Khi ấy tồn tại số δ > 0đủ nhỏ sao cho f0(x) > 0 với mọix ∈ (x − δ, x + δ) ⊂ (a, b),tức làf (x)tăng chặt trên khoảng(x−δ, x+δ)hayf (x) < f (x)với mọix ∈ (x−δ, x).Trái với giả thiếtf (x) ≤ f (x)với mọix ∈ [a, b] Tương tự cho trường hợpf0(x) < 0.Vậy nếu hàmf nhận giá trị nhỏ nhất trên[a, b]tại điểmx ∈ (a, b)thìf0(x) = 0

Tương tự, nếu x = b thì ta phải cóf0(b−) ≤ 0 Do x = b nên x − x = x − b ≤ 0

với mọi x ∈ [a, b] Vậy f0(x)(x − x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]

Nhận xét 1.2 Nếu kí hiệu F (x) := f0(x), x ∈ [a, b]thì điều kiện cần tối ưu (1.9)

có thể viết dưới dạng bất đẳng thức biến phân (1.6) Vậy để tìmx ∈ [a, b] mà tại

đó hàm f nhận giá trị nhỏ nhất, trước tiên ta đi tìm tất cả các điểm nghi ngờ

là cực trị, tức là những điểm thỏa mãn (1.9), hay những điểm nghiệm x ∈ [a, b]

của bất đẳng thức biến phân

F (x) (x − x) ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.10)

Ví dụ 1.4.1 Xét hàm số y = x2− 2x + 3 xác định với mọi x ∈R Tìm nghiệm

tối ưu của hàm y = f (x) trên [−2, 2], [2, 3], [−3, −1] Khi đó

(i) Nếu ta xét hàm này trên [−2, 2] thì min

x∈[−2,2]

f (x) = f (1) = 2, f0(1) = 0

(ii) Nếu xét hàm này trên [2, 3] thì min

Điều kiện (1.9) hay (1.10) chỉ là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ để f

đạt cực tiểu trên [a, b]

Ví dụ 1.4.2 Xét hàm số f (x) = x3− 3x2− 9x trên đoạn [−2, 3] Ta có đạo hàm

f0(x) = 3x2 − 6x − 9 = 0 có hai nghiệm x1 = −1, x2 = 3 Nghiệm của bất đẳngthức biến phân V I(F, K), với F (x) = f0(x), K = [−2, 3]

F (x)(x − x) ≥ 0, x ∈ [−2, 3]

⇔ (3x2− 6x − 9)(x − x) ≥ 0

là x = x1 = −1, x = x2 = 3, x = x3 = −2, nhưng hàm số chỉ đạt giá trị nhỏ nhấttại x = x2 = 3 Điểm x = x1 = −1, x = x3= −2 là nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân (thỏa mãn điều kiện cần cực trị), nhưng không phải là nghiệmcủa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3− 3x2− 9x trên [−2, 3].

Bây giờ ta xét bài toán tối ưu cho hàm nhiều biến Cho K ⊂Rn, f : K → R

là một ánh xạ, f (x) = f (x1, , xn).

Xét bài toán tối ưu

min {f (x) : x ∈ K} (1.11)Định nghĩa 1.4.2 Điểm x ∈ K được gọi là điểm cực tiểu địa phương của bàitoán tối ưu (1.11) nếu tồn tại một lân cận mở U (x) của điểm x sao cho

của hàm f (x) = f (x1, , xn) tại mọi điểm x ∈ K ⊂Rn.

Đặt F (x) := ∇f (x) Khi ấy với mỗi x ∈ K suy ra ∇f (x) ∈Rn hay F : K →Rn.Các điểm x ∈ K có ∇f (x) = 0 được gọi là điểm dừng của ánh xạ f

Mệnh đề 1.4.2 ([9], Mệnh đề 2, tr 8) Giả sử K ∈ Rn là một tập khác rỗng,lồi, đóng Nếu x ∈ K là điểm cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu (1.11) trên

K thì

hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.12)Điều kiện (1.12) được gọi là điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu (1.11)

Chứng minh Giả sử x ∈ K là điểm cực tiểu địa phương của f Lấy bất kì mộtđiểm x ∈ K, x 6= x Do K là tập lồi nên đoạn thẳng [x, x] ⊂ K, tức là

Định lý 1.4.1 ([9], Mệnh đề 3, tr 9) Cho K là tập khác rỗng, lồi, đóng trong

Rn Nếu f (x) là hàm lồi khả vi trên K và x ∈ K là nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân (1.12) thì x cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.11)

Chứng minh Vì f (x) là hàm lồi trên K nên theo định lý 1.3.1 ta có

Ta có thể đặt câu hỏi ngược lại: Với điều kiện nào thì bài toán bất đẳng thứcbiến phân (1.6) có thể đưa về bài toán tối ưu (1.11)? Nghĩa là, cho trước mộtánh xạF :Rn →Rn, tồn tại hay không một hàmf :Rn →R sao cho tập nghiệm

của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.6) và tập nghiệm của bài toán tối ưu

là trùng nhau Như ta đã biết rằng theo Định lý 1.3.3, nếu một hàm lồi hai lầnkhả vi trên tập lồi, đóngK thì đạo hàm bậc hai của nó là một ma trận đối xứngnửa xác định dương Định lý dưới đây chỉ ra rằng, điều ngược lại cũng đúng:Cho trước một ánh xạ F : K → Rn có đạo hàm là ma trận đối xứng nửa xácđịnh dương thì tồn tại một hàm lồi có đạo hàm bằng chính hàm F

Định lý 1.4.2 ( xem [9], Định lý 1, tr 12) Giả sử K ⊆ Rn là tập khác rỗng,lồi, đóng, F : K →Rn là hàm khả vi liên tục trên K và ma trận Jacobian

là đối xứng và nửa xác định dương trên K Khi ấy tồn tại hàm lồi f : Rn → R

sao cho ∇f (x) = F (x) với mọi x ∈ K và nếu x ∈ K là nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân (1.6) thì nó cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.11)

Như vậy, bài toán tối ưu có thể đưa về bất đẳng thức biến phân Ngược lại,bất đẳng thức biến phân V I(F, K) có thể phát biểu lại như một bài toán tối ưuhàm lồi chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xác định dương của ma trận ∇F (x)

được thỏa mãn Điều này nói lên rằng, bài toán bất đẳng thức biến phân rộnghơn bài toán tối ưu, bởi vì nó xét cả trường hợp hàm F (x) có ma trận Jacobiankhông đối xứng.

Hệ quả 1.2 Giả sử K = Rn Nếu x ∈ Rn là điểm cực tiểu địa phương của bàitoán (1.11) thì F (x) = 0, trong đó F := gradf (x) = ∇f (x)

Chứng minh Giả sửx ∈Rn là điểm cực tiểu địa phương của bài toán (1.11) khi

xạ PK(I − γF ) : K → K, tức là PK(x − γF (x)) = x

Chứng minh Giả sử x ∈ K là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

VI(F, K), tức là hF (x) , y − xi ≥ 0, y ∈ K Nhân hai vế của bất đẳng thức biếnphân với −γ < 0 ta được 0 ≥ −γ (F (x) , y − x) , ∀y ∈ K

Cộng vào hai vế của bất đẳng thức đại lượng hx, y − xi ta đi đến

Suy ra

0 ≥ −γ (F (x) , y − x) , ∀y ∈ K.

Do −γ < 0 nên ta có hF (x) , y − xi ≥ 0, y ∈ K

Chứng tỏ x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân V I(F, K)

Mục này trình bày một số định lý tồn tại nghiệm của (V I) trên tập lồicompact, thỏa mãn điều kiện bức đó là công cụ giúp ta chỉ ra được (V I) cónghiệm

Định lý 1.4.4 Giả sử K ⊆ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng Kí hiệu B (x, ε) làhình cầu mở tâm x bán kính ε Nếu x ∈ K là nghiệm địa phương của bài toán

V I(F, K), tức là , nếu tồn tại ε > 0 sao cho

hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ B (x, ε) (1.13)thì x là nghiệm toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, K), tức là

hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.14)Chứng minh Giả sử tồn tại một số ε > 0sao cho (1.13) được thỏa mãn Với mỗi

0 ≤ hF (x) , xt− xi = hF (x) , t(x − x)i = t hF (x) , x − xi.Suy ra hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K.

Vậy x ∈ Sol(V I)

Định lý 1.4.5 (Hartman - Stampachia, [7], Định lý 3.1, tr 12) Nếu K ⊆ Rn

là tập khác rỗng, lồi, compact và F : K →Rn là một ánh xạ liên tục thì bài toán(VI) có nghiệm

Chứng minh Các ánh xạ I − γF và PK liên tục nên ánh xạ PK(I − γF ) : K → K

cũng liên tục DoK ⊆Rn là compact nên theo Định lý 1.3.9, tồn tại tối thiểu mộtđiểm x ∈ K là điểm bất động của ánh xạPK(I − γF ), tức là x = PK(I − γF )(x).Theo Định lý1.4.3, x chính là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.6)

Ta nhận thấy rằng Định lí 1.4.5 đòi hỏi K phải là tập compact Điều nàykhông phải lúc nào cũng được thỏa mãn trong các bài toán thực tế Trong trườnghợp K chỉ là tập lồi đóng nhưng không bị chặn (không compact), Định lý điểmbất động Brouwer (Định lý 1.3.9) nói chung không còn đúng Do đó ta cũngkhông khẳng định được sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.6).Tuy nhiên, ta cũng có thể kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biếnphân bằng cách sau

Giả sửB(O, R)là hình cầu đóng tâmO bán kínhR Kí hiệuKR = K ∩B (O, R).Khi ấy doB(O, R)là lồi compact vàK là tập lồi đóng nênKR là tập lồi compact

Kí hiệu V IR là bài toán bất đẳng thức biến phân sau đây: Tìm x ∈ KR sao cho

hF (xR) , x − xRi ≥ 0, ∀x ∈ KR (1.15)Định lý 1.4.6 Giả sử K ⊆Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng Bài toán V I(F, K)

có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao cho V I(F, KR) có nghiệm

Chứng minh Giả sử VI(F, K) có nghiệm x ∈ K, khi đó

hay kxk < R với mọi x ∈ B(x, ε) Từ đây suy raB(x, ε) ⊂ BR(O, R). Do đó

Định lý 1.4.7 (xem [9], Hệ quả 2, tr 27) Giả sử K ⊆Rn là tập khác rỗng, lồi,đóng, F : K →Rn là một ánh xạ liên tục Nếu tồn tại một điểm x0∈ K sao cho

F (x) − F x0
, x − x0

kx − x 0 k → +∞, kxk → +∞, x ∈ K, (1.16)

thì bài toán (VI) có nghiệm

Ý nghĩa điều kiện (1.16) là với bất kìγ > 0 có thể tìm được một sốR > 0saocho

F (x) − F x0
, x − x0

kx − x 0 k ≥ γ, ∀x ∈ K thỏa mãn kxk ≥ R.

Chứng minh Giả sử điều kiện (1.16) được thỏa mãn Chọn γ > F x0 Khi

ấy tìm được một số R > x0 sao cho

Định nghĩa 1.4.3 Giả sử K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gianBanach X, ta nói F : K → X∗

(i) đơn điệu mạnh (strongly montone) trên K nếu tồn tại α > 0

hF (x) − F (y) , x − yi ≥ αkx − yk2, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K (1.18)(ii) đơn điệu (monotone) trên K nếu

hF (x) − F (y) , x − yi ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K (1.19)(iii) đơn điệu chặt (strictly monnotone)trên K nếu

hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x 6= y. (1.20)Tính đơn điệu của ánh xạ F liên quan chặt chẽ với tính xác định dương của

ma trận đạo hàm ∇F Ta có định lý sau đây:

Định lý 1.4.8 (xem [9], Định lí 7, tr 31) Giả sử F : K →Rn khả vi liên tụctrên K và ma trận Jacobian

Khi ấy F(x) là đơn điệu ( tương ứng đơn điệu chặt)

Định lý 1.4.9 (xem [9], Mệnh đề 5, tr 31) Giả sử F : K →Rn khả vi liên tụctrên K và ma trận Jacobian ∇F (x) là xác định dương mạnh, tức là tồn tại số

α > 0 sao cho

νT∇F (x)ν > αkνk2, ∀ν ∈Rn.

Khi ấy F (x) là đơn điệu mạnh

Hệ quả 1.3 Giả sử F (x) = M x + b, trong đó M là ma trận n × n và b là vectơhằng trong Rn Ánh xạ F là đơn điệu khi và chỉ khi M là xác định dương

Vậy F (x) đơn điệu trên R2

Ví dụ 1.4.4 Xét hàm số F (x) = (Ax1+ Bx2+ a, −Bx1+ Cx2+ b)T trên R2, với

uT∇F (x)u = Au12+ Cu22≥ l(u12+ u22) = lkxk2, l = min {A, C} > 0.

Theo Định lý 1.4.9 ta suy ra F (x) là đơn điệu mạnh trên R2.

Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề Minty, xem [7], Bổ đề 1.5, tr 84) Giả sử K ⊆ Rn là tậpkhác rỗng, lồi, đóng và F : K →Rn là liên tục và đơn điệu Khi ấy x ∈ Sol(V I)

khi và chỉ khi x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân Minty

hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.21)

Trong bất đẳng thức biến phân (1.6), hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K, giá trị F (x)

là cố định, còn trong bất đẳng thức biến phân Minty, giá trị F (x) thay đổi theo

x ∈ K Bổ đề 1.4.1 nói rằng, trong trường hợp F : K →Rn là ánh xạ liên tục vàđơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.6) và (1.21) là tương đương

Chứng minh

(i) Điều kiện cần: Giả sử x ∈ Sol(V I), tức là hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K Do F

là đơn điệu nên

hF (x) − F (x), x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K.

Suy ra

hF (x), x − xi ≥ hF (x) , x − xi ≥ 0, ∀x ∈ K.

Vậy (1.21) được thõa mãn

(ii) Điều kiện đủ: Giả sử x ∈ K và (1.21) được thỏa mãn

Chọn x ∈ K Do K là tập lồi nên

xt := x + t(x − x) ∈ K, ∀t ∈ (0; 1).

Thay xt vào (1.21) ta được

t hF (xt) , x − xi = hF (xt) , t (x − x)i = hF (xt) , xt− xi ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) ,

từ đây suy rahF (x t ) , x − xi ≥ 0,với mọi t ∈ (0; 1) Khit → 0 thìx t → x, lại

do F liên tục nên ta có hF (x) , x − xi ≥ 0, mọi x ∈ K Suy ra x ∈ Sol(V I).

Mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt hF (y) − F (x) , y − xi > 0.

(ii) Giả sử F là liên tục và đơn điệu trên K Với mỗi y ∈ K ta kí hiệu Ω (y) làtập tất cả x ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức

hF (y) , y − xi ≥ 0.

Do F là liên tục trên tập lồi K nên Ω (y)là tập lồi, đóng Từ Bổ đề Minty

ta suy ra Sol(V I) = T

y∈K

Ω (y) Do đó Sol(V I) là tập lồi đóng (có thể rỗng)

Nhận xét 1.4 Giả sử K là tập khác rỗng, lồi, đóng Nếu F : K →Rn là ánh

xạ liên tục, đơn điệu mạnh trên K thì bài toán (V I) có nghiệm duy nhất.Thật vậy, vì F là đơn điệu mạnh nên F là thỏa mãn điều kiện bức TheoĐịnh lý 1.4.7 thì bài toán (1.6) có nghiệm Vì F là đơn điệu mạnh nên F là đơnđiệu chặt Theo khẳng định (i) của Mệnh đề 1.4.3 thì bài toán (1.6) không thể

có nhiều hơn một nghiệm Vậy nghiệm của bài toán (1.6) là tồn tại và duy nhất