Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 23 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu.. 23 2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Chương 1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 4

1.1 Toán tử đơn điệu 4

1.1.1 Một số tính chất của không gian Banach 4

1.1.2 Không gian Hilbert 5

1.1.3 Toán tử đơn điệu 8

1.2 Bất đẳng thức biến phân 11

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid 11 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 16 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 23 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 23

2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại 23

2.1.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đối ngẫu suy rộng 27

2.2 Tham số hiệu chỉnh 30

2.2.1 Độ lệch suy rộng 30

2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 33

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS ĐỗVăn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người

đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết bảnluận văn này

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trongĐại học Thái Nguyên, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS TS.Nguyễn Thị Thu Thủy, đã truyền thụ kiến thức cho tác giả trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tác giả xin bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học –Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cùng toàn thểcác thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trongsuốt thời gian học tập tại Trường

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8C(khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện,động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Tác giả luận văn

Lương Thị Thương

Bảng ký hiệu

N∗ tập các số tự nhiên khác 0

Rn không gian Euclide n-chiều

H không gian Hilbert thực

X không gian Banach thực

Ω tập con đóng lồi của X

C tập con lồi đóng khác rỗng của X

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

kxk chuẩn của véctơ x

∂IΩ dưới vi phân của hàm chỉ

D(T ) miền xác định của toán tử T

R(T ) miền giá trị của toán tử T

x∗ ∈ C : hAx∗, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (0.1)

Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa ra và nghiên cứu đầutiên bởi Stampacchia (xem [6]) vào những năm đầu của thập kỷ 60trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng

Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiêncứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựngcác kỹ thuật để giải số nhiều bài toán trong kinh tế và kỹ thuật Mặc

dù đã có rất nhiều kết quả nghiên cứu về phương pháp giải bất đẳngthức biến phân, nhưng việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tănghiệu quả của nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu

Trong không gian Hilbert H, bất đẳng thức biến phân VI(A, C)tương đương với bài toán điểm bất động:

x∗ = PC(x∗ − µAx∗), (0.2)

ở đây PC là phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi đóng C của H và µ > 0

là hằng số tùy ý Do đó, phương pháp chiếu và một số biến thể củaphương pháp có thể được dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1).Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và hằng số

µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (0.2) là ánh xạ

co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

un+1 = PC(un− µA(un)) (0.3)hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (0.1) Phương phápchiếu không dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ Đểkhắc phục nhược điểm này, Yamada [7] đã đề xuất phương pháp laiđường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trêntập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H.Chú ý rằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, nóichung, là bài toán đặt không chỉnh Do đó, bài toán bất đẳng thứcbiến phân VI(A, C), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh theonghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện banđầu Để giải bài toán này, chúng ta phải sử dụng những phương phápgiải ổn định Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi vàkhá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [4]

và các tài liệu trích dẫn) Mục đích của đề tài luận văn nhằm trìnhbày lại một số kết quả trong [4] về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phânđơn điệu trong không gian Banach

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu một

số khái niệm và tính chất về không gian Banach, không gian Hilbert,ánh xạ đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gianEuclid và không gian Banach Nội dung của chương này được thamkhảo trong các tài liệu [1]-[3]

Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơnđiệu" nhằm giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biếnphân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại và ánh xạ đối ngẫusuy rộng, đồng thời trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnhtheo nguyên lý độ lệch suy rộng Nội dung của chương này tham khảo

từ tài liệu [4]

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Chương này trình bày khái niệm về không gian Banach, không gianHilbert; bất đẳng thức biến phân đơn điệu trong không gian Euclid vàkhông gian Banach; một số ví dụ về bất đẳng thức biến phân đơn điệu.Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1]-[3].1.1 Toán tử đơn điệu

1.1.1 Một số tính chất của không gian Banach

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liênhợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, kí hiệu SX := {x ∈

X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X, kí hiệu

hx∗, xi là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X.Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là không gian lồichặt nếu với x, y ∈ SX, x 6= y suy ra

k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach thực X được gọi là không gian

có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu

X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử xn * x
và sự hội

tụ chuẩn kxnk → kxk
luôn kéo theo sự hội tụ mạnh kxn− xk → 0
.Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian lồi địa phương và f : X →

R ∪ {±∞} Khi đó,

(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ X (với f (¯x) < ∞),

nếu với mọi  > 0, tồn tại lân cận U của ¯x sao cho

f (¯x) −  ≤ f (y) ∀y ∈ U ;

(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tụcdưới tại mọi ¯x ∈ X

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.4 Cho H là không gian tuyến tính trên R, tích vôhướng xác định trong H là một ánh xạ

h., i : H × H −→ R

(x, y) 7−→ hx, yithỏa mãn các điều kiện sau đây:

1 hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;

2 hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;

3 hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R;

4 hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H

Định nghĩa 1.1.5 Cặp (H, h., i), trong đó H là một không gian tuyếntính trên R, h., i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiềnHilbert thực

Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian tuyếntính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủđối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì H đượcgọi là không gian Hilbert thực

Ví dụ 1.1.8 Không gian Rn là một không gian Hilbert với tích vôhướng

∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C

Định nghĩa 1.1.10 Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãyhội tụ {xn} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, nghĩa là với mọi {xn} ⊂ Csao cho xn → x kéo theo x ∈ C

Định lý 1.1.11 Nếu C là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert

H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 ∈ C sao cho

Từ đó, nếu kxk = kyk = d thì x = y Suy ra, x0 trong định lý nếu tồntại là duy nhất Từ tính chất của tập C ta trích ra một dãy {xn} cácphần tử của C sao cho

kx − yk = ρ(x, C) = inf

u∈Ckx − uk

Định nghĩa 1.1.13 Cho H là không gian Hilbert Dãy {xn} được gọilà

(i) hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu kxn−xk → 0khi n → ∞

(ii) hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn, yi → hx, yikhi n → ∞ với mọi y ∈ H

Nhận xét 1.1.14 Trong không gian Hilbert H:

(a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại khôngđúng

(b) Nếu dãy {xn} trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện

kx − PC(x)k = inf

y∈Ckx − yk

Phần tử PC(x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của xlên C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC(x)được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.Mệnh đề 1.1.16 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric

từ H lên C khi và chỉ khi

hx − PC(x), y − PC(y)i ≤ 0 x ∈ H, y ∈ C

Nhận xét 1.1.17 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi

α là góc tạo bởi các véctơ x − PC(x) và y − PC(y), thì α ≥ π

2.1.1.3 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.1.18 Cho A : X → 2Y là các ánh xạ từ tập X vào tậphợp gồm các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y) Khi đó ta nói A làánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy với mỗi x ∈ X, A(x) là một tậpcon của Y (A(x) có thể là tập rỗng)

Nếu với mọi x ∈ X, tập A(x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói A

là ánh xạ đơn trị từ X vào Y và được kí hiệu A : X → Y

Định nghĩa 1.1.19 Cho X là không gian Banach, T : X → 2X∗ làtoán tử đơn trị Ký hiệu miền hữu hiệu của T là D(T ), miền giá trị

của T là R(T ) và đồ thị của T là GrT Theo định nghĩa, ta có

Định nghĩa 1.1.21 Toán tử T : X → 2X∗ được gọi là

(i) đơn điệu nếu đồ thị của nó là một tập đơn điệu, nghĩa là với mọi

hf − g, x − yi ≥ γ(kx − yk) ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay,

thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(A) Nếu γ(t) = ct2, ở đây c là mộthằng số dương thì A là một toán tử đơn điệu mạnh

Trong trường hợp toán tử T : X → X∗ đơn trị thì ta có định nghĩasau

Định nghĩa 1.1.22 Toán tử T : X → X∗ được gọi là đơn điệu nếu

hT x − T y, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(T )

Ví dụ 1.1.23 Ví dụ đơn giản nhất về các toán tử đơn điệu là các toán

tử tuyến tính và đơn trị Chẳng hạn, nếu H là một không gian Hillbertthực và T : H → H∗ ≡ H là một ánh xạ tuyến tính thì T là đơn điệukhi và chỉ khi T là toán tử dương, nghĩa là hT x, xi ≥ 0, với mọi x ∈ H

Ví dụ 1.1.24 Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R.Một hàm ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử đơn điệu khi và chỉ khi ϕ làmột hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông thường.

Thật vậy, nếu ϕ là một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thôngthường thì

∀t1, t2 ∈ D, t1 < t2 ⇒ ϕ(t1) ≤ ϕ(t2)hay

[ϕ(t2) − ϕ(t1)](t2 − t1) ≥ 0 ∀t1, t2 ∈ D

Định nghĩa 1.1.25 Toán tử T được gọi là

(i) hemi-liên tục trên X nếu T (x + ty) * T x khi t → 0+ với mọi

x, y ∈ X;

(ii) demi-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra T xn * T x khi n → ∞.Một toán tử demi-liên tục thì hemi-liên tục Nếu T là toán tử đơnđiệu thì chiều ngược lại cũng đúng

Định nghĩa 1.1.26 Một toán tử đơn điệu T được gọi là đơn điệu cựcđại nếu đồ thị Gr(T ) = {(x, y) : y ∈ T x} không chứa thực sự trong đồthị của toán tử đơn điệu khác

Mệnh đề 1.1.27 Cho toán tử đơn điệu T trên H, T là đơn điệu cựcđại khi và chỉ khi R(I + T ) = H

Định nghĩa 1.1.28 Cho ϕ là một hàm lồi trên X Một phần tử w ∈

X∗ thỏa mãn bất đẳng thức

ϕ(y) ≥ ϕ(x) + hw, y − xi ∀y ∈ X, (1.4)được gọi là dưới vi phân của hàm ϕ tại điểm x

Định nghĩa 1.1.29 Một toán tử ∂ϕ : X → 2X∗ được gọi là dưới viphân của hàm ϕ khi và chỉ khi (1.4) được thỏa mãn với w ∈ ∂ϕ(x).Định lý 1.1.30 Dưới vi phân ∂ϕ : X → 2X∗ của một hàm lồi chínhthường nửa liên tục dưới ϕ : X → R là một toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.1.31 Cho Ω là một tập con lồi đóng khác rỗng của X.Hàm chỉ của tập Ω được định nghĩa bởi

Chú ý rằng, hàm IΩ là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tụcdưới Ánh xạ dưới vi phân ∂IΩ : X → 2X∗ xác định bởi

là một toán tử đơn điệu cực đại

Định lý 1.1.32 Toán tử đơn điệu, hemi-liên tục T : X → X∗ vớiD(T ) = X là toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.1.33 Toán tử A : X → X∗ được gọi là toán tử bức nếu

lim

kxk→+∞

hAx, xikxk = ∞ ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.34 Ánh xạ J : X → 2X∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc của X nếu

J (x) := {x∗ ∈ X∗ : hx, x∗i = kxk2, kx∗k = kxk}

Trong trường hợp J đơn trị thì ta kí hiệu là j : X → X∗

Định lý 1.1.35 Nếu intD(A) 6= ∅, thì toán tử đơn điệu cực đại A :

X → 2X∗ bị chặn dưới tại điểm biên của miền hữu hiệu của toán tử

A Hơn nữa, hạng của A nửa tuyến tính tại điểm đó

1.2 Bất đẳng thức biến phân

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian EuclidTrong mục này ta luôn giả thiết Rn là không gian Euclid với tích vôhướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi h., i và k.k

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và A : C → Rn

là một ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân (variationalinequality) hữu hạn chiều VI(A, C) với ánh xạ phi tuyến đơn trị Ađược phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.5)

Ví dụ 1.2.2 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R Tìmphần tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn

f (x0) = min

x∈[a,b]f (x)

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:

(i) Nếu x0 ∈ (a, b) thì f0(x0) = 0;

(ii) Nếu x0 = a thì f0(x0) ≥ 0;

(iii) Nếu x0 = b thì f0(x0) ≤ 0

Những phát biểu trên được tổng hợp thành

f0(x0)(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],đây là một bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.2.3 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồiđóng C của không gian Euclid n chiều Rn Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏamãn

đạt cực tiểu tại t = 0 Do đó, từ Ví dụ 1.2.2

Φ0(0) = f0(x0)(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ C

Như vậy điểm x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân

x0 ∈ C : f0(x0)(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ C

Nếu tập C bị chặn thì điểm x0 tồn tại duy nhất

Bài toán cực trị được đặc trưng bởi việc tìm giá trị cực đại hoặc cựctiểu cho hàm mục tiêu trong trường hợp bài toán có ràng buộc với tậpràng buộc được cho trước Hàm mục tiêu của bài toán cực trị có thể

là hàm biểu diễn doanh thu, chi phí, trong khi đó tập ràng buộc cóthể là tập biểu thị chi phí hoặc nguồn nguyên liệu hạn chế, các ràngbuộc không âm trên các biến, Thông thường, một bài toán cựctrị chỉ có một hàm mục tiêu duy nhất Cả bài toán cực trị không ràngbuộc và có ràng buộc đều có thể biểu diễn được dưới dạng bất đẳngthức biến phân

Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và hàm f là khả vi liên tục trênmột tập mở U ⊂ Rn chứa C Bài toán cực trị, ký hiệu là OP(f, C)(optimization problem), được phát biểu như sau:

Định nghĩa 1.2.4 Cho W và V là các tập con lồi trong Rn, W ⊆ V

và cho hàm f : V → R là hàm khả vi Hàm f được gọi là

(a) lồi mạnh trên W nếu với hằng số τ > 0, với mỗi cặp u, v ∈ W và

α ∈ [0, 1] ta có

f αu + (1 − α)v
≤ αf (u) + (1 − α)f (v) − 0.5α(1 − α)τ ku − vk2;(b) lồi chặt trên W nếu với mỗi u, v ∈ W, u 6= v và α ∈ (0, 1) thì

Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng

Sau đây là mối liên hệ giữa tính lồi của hàm số và tính đơn điệu củagradient của chúng

Mệnh đề 1.2.5 Cho W là tập con lồi và mở của V trong Rn Hàmkhả vi f : V → R là lồi mạnh với hằng số τ (tương ứng, lồi chặt vàlồi) trên W nếu và chỉ nếu ánh xạ gradient 5f : U → Rn là đơn điệumạnh với hằng số τ (tương ứng, đơn điệu chặt và đơn điệu) trên W Một số tính chất cơ bản của một hàm lồi khả vi được trình bàytrong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.6 Cho U là một tập con mở của tập C trong Rn Hàm

f : C → R là hàm lồi khả vi trên U khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U ta có

f (y) ≥ f (x) + h5f (x), y − xi ∀y ∈ U

Ta có nguyên lý cực tiểu cho bài toán cực trị OP(f, C) như sau:Mệnh đề 1.2.7 Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của hàm f trên C thì

h5f (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.7)Chú ý 1.2.8 Nếu f là hàm lồi thì cực tiểu địa phương x∗ sẽ trở thànhcực tiểu toàn cục của f trên C

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ của bài toán OP(f, C) vàVI(A, C).

Định lý 1.2.9 Giả sử hàm f : C → R là hàm khả vi Khi đó

(i) S† ⊆ S tức là, mỗi nghiệm của bài toán (1.6) là nghiệm của bàitoán (1.5) với

f (x) =

Z 1 0

D

A y + τ (x − y)
, x − yEdτ

sao cho (1.8) thỏa mãn Mà ma trận Jacobian 5A của hàm A trong(1.5) nói chung là không đối xứng Do vậy, bài toán bất đẳng thức biếnphân bao hàm bài toán cực trị nhưng bất đẳng thức biến phân biểudiễn dưới dạng bài toán cực trị chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xácđịnh dương đặt lên ma trận Jacobian 5A(x) được thỏa mãn Vậy cóthể khẳng định bất đẳng thức biến phân là bài toán tổng quát hơn bài

toán cực trị theo nghĩa nó bao gồm cả trường hợp ma trận Jacobiancủa A(x) là bất đối xứng.

1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian BanachCho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gianliên hợp của của X, A : X → 2X∗ là một toán tử đơn điệu cực đại vớimiền xác định D(A) và J : X → X∗ là một ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau: Tìm x ∈ Ω sao cho

hAx − f, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ Ω, (1.9)trong đó Ω ⊆ D(A) là một tập con lồi đóng của X Sau đây là haiđịnh nghĩa về nghiệm của bài toán này

Định nghĩa 1.2.10 Phần tử x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm của bất đẳngthức biến phân (1.9) nếu tồn tại một phần tử z0 ∈ Ax0 sao cho

hz0 − f, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω (1.10)Một nghiệm x0 thỏa mãn (1.10) cũng được gọi là nghiệm cổ điển củabất đẳng thức biến phân (1.9)

Định nghĩa 1.2.11 Một phần tử x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm của bấtđẳng thức biến phân (1.9) nếu

hz − f, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay (1.11)

Bổ đề 1.2.12 Nếu x0 ∈ Ω là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân(1.9) được định nghĩa bởi bất đẳng thức (1.10) thì nó cũng thỏa mãnbất đẳng thức (1.11)

Chứng minh Vì A là toán tử đơn điệu nên

hz − z0, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay,trong đó z0 ∈ Ax0 và thỏa mãn (1.10) Khi đó

hz − f, y − x0i + hf − z0, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay

Bổ đề 1.2.13 Nếu Ω ⊆ D(A) và nếu intΩ 6= ∅ hoặc intD(A) ∩ Ω 6= ∅thì Định nghĩa 1.2.10 và Định nghĩa 1.2.11 là tương đương.

Chứng minh Giả sử x0 ∈ Ω là một nghiệm của bài toán (1.9) đượcđịnh nghĩa bởi (1.10) và ∂IΩ là dưới vi phân của hàm chỉ IΩ của tập

Ω Vì θX ∗ ∈ ∂IΩx với mọi x ∈ Ω và ∂IΩ là toán tử đơn điệu cực đạinên ta có

hη, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀η ∈ ∂IΩy (1.12)Kết hợp (1.11) với (1.12) ta được

hz + η − f, y − x0i ≥ 0 ∀z ∈ Ay, ∀y ∈ Ω, ∀η ∈ ∂IΩy (1.13)

Ta có z + η ∈ By, trong đó B = A + ∂IΩ : X → 2X∗ là toán tử đơnđiệu cực đại và D(B) = Ω vì điều kiện Ω ⊆ D(A) Từ (1.13) suy ra

f ∈ Bx0 Mặt khác tồn tại phần tử z0 ∈ Ax0 và η0 ∈ ∂IΩx0 sao cho

Bổ đề 1.2.14 Nếu A : X → 2X∗ là toán tử đơn điệu cực đại vớiD(A) = Ω thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.9) trong Địnhnghĩa 1.2.10 tương đương với phương trình toán tử

Chứng minh.Một nghiệm x0 của phương trình (1.15) với toán tử đơnđiệu cực đại A, được định nghĩa bởi f ∈ Ax0 thỏa mãn Định nghĩa

1.2.10 Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) Bâygiờ giả sử x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) trongĐịnh nghĩa 1.2.10 Khi đó theo Bổ đề 1.2.12 thì x0 thỏa mãn (1.11).

Vì A là một toán tử đơn điệu cực đại và D(A) = Ω, từ (1.11) và từ(i) trong Định lý 1.2.9 suy ra f ∈ Ax0 Vậy x0 là nghiệm của phương

Bổ đề 1.2.15 Nếu A : X → 2X∗ là toán tử đơn điệu cực đại vớiD(A) ⊆ X, Ω ⊆ D(A) là một tập lồi đóng và x0 ∈ intΩ, thì

hz − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, ∀z ∈ Ax, (1.16)suy ra f ∈ Ax0 Chiều ngược lại cũng đúng

Chứng minh Cho tùy ý v ∈ X Phần tử xt = x0 + tv ∈ Ω cho t > 0

đủ nhỏ vì x0 ∈ intΩ Do đó xt → x0 khi t → 0 Vì toán tử A có giớihạn địa phương tại x0 nên ta có yt * y, trong đó yt ∈ Axt Từ (1.16)

ta suy ra

hyt− f, xt − x0i ≥ 0hoặc

Bổ đề 1.2.16 Cho A : X → 2X∗ là toán tử đơn điệu cực đại Cho

Ω ⊂ D(A) là một tập lồi, đóng Cho ∂IΩ là dưới vi phân của hàm chỉ

IΩ của tập Ω Nếu intΩ 6= ∅ thì nghiệm x0 ∈ Ω của bất đẳng thức biếnphân (1.9) là một nghiệm thỏa mãn

f ∈ Ax0 + ∂IΩ(x0) (1.17)Chiều ngược lại cũng đúng

Chứng minh Cho x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân(1.9) trong Định nghĩa 1.2.10 Khi đó (1.10) và (1.11) là thỏa mãn Xâydựng hàm chỉ IΩ(x) cho tập Ω và tìm dưới vi phân ∂IΩ : Ω ⊂ X → 2X∗

Từ định nghĩa của ∂IΩ, ta có

hu, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀u ∈ ∂IΩ(y)

Do đó, (1.11) có dạng

hz + u − f, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay, ∀u ∈ ∂IΩ(y)

Từ Định lý 1.1.32, sử dụng điều kiện intΩ 6= ∅ hoặc intD(A) ∩ Ω 6=

∅ ta suy ra f − z0 ∈ ∂IΩ(x0) là một toán tử đơn điệu cực đại vớiD(A + ∂IΩ) = Ω, điều này suy ra

f ∈ Ax0 + ∂IΩ(x0)

Bây giờ từ (1.16) cố định với x0 ∈ Ω Khi đó tồn tại một phần tử

z0 ∈ Ax0 sao cho f − z0 ∈ ∂IΩ(x0) Do đó, ta có thể viết lại bất đẳngthức thành

hz0 − f, y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ Ω

Vậy x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) Định lý 1.2.17 Với điều kiện của Bổ đề 1.2.16, tập nghiệm của bấtđẳng thức biến phân (1.9) là tập lồi và đóng nếu nó khác rỗng

Chú ý rằng nếu toán tử đơn điệu cực đại A là đơn điệu chặt thìnghiệm x0 của bất đẳng thức biến phân (1.9) là duy nhất Thật vậy,giả sử bằng phản chứng x1 cũng là nghiệm của (1.9) Khi đó x0 và x1thỏa mãn (1.10), vì vậy với z0 ∈ Ax0 và z1 ∈ Ax1 tương ứng, ta có

hz1 − f, x0 − x1i ≥ 0