Lý thuyết về thang thời gian (time scale) được trình bày lần đầu tiên bởi Stefan Hilger vào năm 1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc. Cho đến nay đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về thang thời gian. Giải tích (phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian. Chẳng hạn, đã có những kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,…của hệ động lực trên thang thời gian. Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng. Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian.
Trang 1MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1 Giải tích trên thang thời gian 4
1.1 Thang thời gian……… 4
1.1.1 Định nghĩa thang thời gian……… …4
1.1.2 Các định nghĩa cơ bản……… 5
1.2 Không gian tôpô ……… ……….9
1.3 Hàm chính qui và hàm rd-liên tục 11
1.4 Phép toán vi phân 13
1.4.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger……… … 13
1.4.2 Tính chất của đạo hàm Hilger ……… ………15
1.4.3 Đạo hàm cấp cao………… ……… ……… 17
1.5 Phép toán tích phân……… … 19
1.5.1 Tồn tại tiền nguyên hàm……… …….19
1.5.2 Nguyên hàm……….…… 19
1.5.3 Quy tắc xích……….……… 21
Chương 2 Bất đẳng thức trên thang thời gian………25
2.1 Các bất đẳng thức Holder, Cauchy- Schwarz, Minkowski 25
2.2 Bất đẳng thức Jensen……….…… ………… …………29
2.3 Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari……… ….31
2.4 Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……….……… 40
2.5 Bất đẳng thức Lyapunov……… … ………46
2.6 Một số bất đẳng thức khác……….……… ……… 59
KẾT LUẬN……….84
TÀI LIỆU THAM KHẢO……….85
Trang 2MỞ ĐẦU
Lý thuyết về thang thời gian (time scale) được trình bày lần đầu tiên bởi
Stefan Hilger vào năm 1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc
Cho đến nay đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về thang thời gian Giải tích (phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy
đủ Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian Chẳng hạn, đã có những kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,…của hệ động lực trên thang thời gian
Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian
Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề mà thời gian gần đây đang được nhiều nhà toán học quan tâm là thang thời gian, đồng thời so sánh các bất đẳng thức vi phân và sai phân với bất đẳng thức trên thang thời gian, để từ đó có cái nhìn tổng
quát hơn về bất đẳng thức, tôi đã chọn Bất đẳng thức trên thang thời gian và
Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học của mình
Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo
Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm thang thời gian, các khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật và các điểm cô lập; các khái niệm và tính chất của các phép tính vi phân, tích phân trên thang thời gian cũng như đối chiếu kết quả trên một số thang thời gian thường gặp
Trang 3Chương 2 chúng tôi trình bày các bất đẳng thức cơ bản và quan trọng trên thang thời gian như Bất đẳng thức Holder , Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov và một số bất đẳng thức khác; đồng thời chúng tôi cũng tham chiếu các bất đẳng thức trên đối với các trường hợp thang thời gian liên tục và thang thời gian rời rạc
Để hoàn thành luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu và tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường
Xin được cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng Ninh, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân, đồng nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Người thực hiện
Đỗ Văn Nhân
Trang 4Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian
1.1.1 Định nghĩa thang thời gian
Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng khác rỗng bất
kì trong tập hợp các số thực Thang thời gian thường được kí hiệu là
Ví dụ 1.1
1.1.1) Các tập ,[1;2], , , 0 [3;4],[1;2] trong đó là tập các số tự nhiên, 1, 2,3, , còn 0 0,1, 2, là những thang thời gian
0 0,
những thang thời gian
1.1.3) Cho q1 là một số hữu tỉ cố định Khi đó tập hợp
2 3
0: 1, , , ,
n
1.1.4) Cho n 0, các số điều hòa H được xác định như sau n
k
Khi đó H n:n 0 là một thang thời gian
1.1.5) Các tập , \ , 0;1 không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong nhưng không phải là tập đóng trong
1.1.6) Mặt phẳng phức cũng không phải là thang thời gian vì nó là tập đóng
nhưng không nằm trong
Trang 5Hai thang thời gian cơ bản và rất quan trọng thường gặp trong các chứng minh trước đây là tập số thực và tập số nguyên .
Tương tự, ( )t sups:stsup,tt
Như vậy, ( ) t ( )t với mọi t t
1.2.2) Cho thang thời gian Khi đó với mọi t ta có
( )t inf s :s t inf t 1,t 2,t 3, t 1
Tương tự ( )t với mọi t 1 t
1.2.3) Cho thang thời gian : 0
2
n n
Trang 61.2.4) Cho thang thời gian 2 2
Định nghĩa 1.3 Cho là thang thời gian
Điểm t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu t( )t
Điểm t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ( ) t t
Điểm t được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu ( ) t t ( )t
Ví dụ 1.3
1.3.1) Cho thang thời gian thì mọi điểm t đều là điểm cô lập
1.3.2) Cho thang thời gian : 0
2
n n
(xem ví dụ 1.2.3) Ta có điểm t 0
là điểm cô lập phải, và mọi t , t 0 đều là điểm cô lập
1.3.3) Cho thang thời gian z
Trang 7Định nghĩa 1.4 Cho là thang thời gian
Điểm t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense) nếu t ( )t
Điểm t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense) nếu ( ) t t
Điểm t được gọi là điểm trù mật (dense) nếu ( ) t t ( )t
Ví dụ 1.4
1.4.1) Cho thang thời gian thì mọi điểm t đều là điểm trù mật
1.4.2) Cho thang thời gian
Nếu t(2 , 2k k 1) thì ( )t t ( )t nên t là điểm trù mật
Nếu t 2k 1 thì ( )t t 1 2k 2 và ( )t t nên t là điểm cô lập phải t
Trang 8nếu tq m và rõ ràng là 0 0 Vì vậy ta được
t là điểm cô lập phải t( )t t right-scattered
t là điểm trù mật phải t ( )t t right-dense
t là điểm cô lập trái ( )t t t left-scattered
t là điểm trù mật trái ( )t t t left-dense
t là điểm cô lập ( )t t ( )t t isolated
t là điểm trù mật ( )t t ( )t t dense
Bảng 1.1 Bảng 1.2 dưới đây mô tả hình ảnh hình học của các điểm
Trang 9Định nghĩa 1.5 Cho là thang thời gian Hàm hạt (grainiess function) là hàm
1.5.1) Cho thang thời gian thì ( )t 0 với mọi t
1.5.2) Cho thang thời gian thì ( ) 1t với mọi t
Định nghĩa 1.6 Cho là thang thời gian và hàm f : Ta kí hiệu hàm
hợp của f và : là f : được xác định theo công thức
( ) ( ( ))
Ví dụ 1.6
1.6.1) Cho thang thời gian thì f ( )t f t( ) với mọi t
1.6.2) Cho thang thời gian thì f ( )t f t( 1) với mọi t
1.2 Không gian tôpô
Để hiểu rõ hơn các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên thang thời gian, sau đây chúng ta nhắc lại một vài kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại cương
Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X Giả sử là một họ nào đó các tập con của X
Họ được gọi là một tôpô trên tập X (hay X được trang bị một tôpô ) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) Tập và tập X là các phần tử của họ
2) Hợp của một họ con tùy ý các phần tử của họ là một phần tử của họ 3) Giao của hai phần tử tùy ý của họ là một phần tử của họ
Trang 10Cặp X,, trong đó là tôpô đã cho trên X, được gọi là một không gian tôpô
Giả sử X, là một không gian tôpô, M X là một tập con nào đó Tôpô cảm sinh M trên M từ được định nghĩa như sau
Tập mở trong M là tất cả các tập có dạng A M M A, trong đó A Khi ấy
M A M A M M A A là một tôpô trên M
Thật vậy ta có:
1) Vì và X đều thuộc nên suy ra và M M X đều thuộc M
2) Giả sử V V là hai phần tử bất kì của 1, 2 M Khi ấy tồn tại U U1, 2 sao cho
Vì U1U2 nên suy ra V1V2 M (theo định nghĩa tập M)
3) Giả sử V I là một họ bất kì các tập thuộc M Khi đó ta có
Từ 1), 2), 3) suy ra M là một tôpô và ta gọi M là tôpô cảm sinh từ trên M
Trong luận văn này ta luôn giả thiết rằng thang thời gian được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường của tập số thực (tôpô thông thường trên tập
số thực là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với giao hữu hạn và hợp bất kì của chúng), nghĩa là các tập mở của là giao của các tập mở trong với
Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô
cảm sinh
Trang 111.3 Hàm chính qui và hàm rd-liên tục
Định nghĩa 1.8 Hàm f : được gọi là chính qui nếu giới hạn phải của nó
tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái trong
Định nghĩa 1.9 Hàm f : được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại mọi
điểm trù mật phải trong và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật
trái trong
Ví dụ 1.7 Toán tử nhảy tiến : là rd-liên tục
Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:
Trang 12Dễ thấy là một nhóm con của R ([6], trang 67)
Sau đây ta xét một số tính chất của hàm chính quy và hàm rd-liên tục
Định lí 1.1 (Theorem 1.60, [6]) Giả sử f :
1) Nếu f là hàm liên tục thì f là rd-liên tục
2) Nếu f là rd-liên tục thì f là hàm chính quy
Trang 133) Nếu f là hàm chính quy hoặc rd-liên tục thì f cũng có tính chất đó
4) Nếu f liên tục và : g là chính quy hoặc rd-liên tục thì f g cũng
có tính chất đó
Chứng minh Xem [6], trang 23-25
Giải tích trên thang thời gian (phép toán vi phân, tích phân) đã được trình bày trong [6] Đây là sự mở rộng của giải tích trên tập số thực (thang thời gian liên tục )
1.4 Phép toán vi phân
1.4.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger
Định nghĩa 1.10 Cho thang thời gian Ta kí hiệu tập như sau
Định nghĩa 1.11 Giả sử f : và t Delta đạo hàm (đạo hàm Hilger)
của hàm f tại điểm t là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu là f ( )t , nếu với mỗi 0 cho trước tồn tại một lân cận U của t (nghĩa là, U t,t
với một nào đó) sao cho với mọi s U ta có
Định nghĩa 1.12 Hàm f được gọi là -khả vi (ngắn gọn, khả vi) trên nếu
nó có đạo hàm tại mọi điểm t
Sau đây ta xét một ví dụ tính đạo hàm Hilger trên thang thời gian
Ví dụ 1.8 Cho thang thời gian bất kì
1.8.1) Nếu f :, f t( ) , với mọi t thì f( )t 0 t
Trang 14Suy ra f( )t 0 với mọi t
1.8.2) Nếu f :, f t( ) với mọi t t thì f ( ) 1t t
Thật vậy, với mọi 0,U t sao cho với mọi s U t ta có
f( ( )) t f s( ) f( )t ( )t s ( ( ) t s) f ( )t ( )t s ( )t s.Chia cả hai vế cho ( )t s ta được
1 f ( )t , 0
Suy ra f( ) 1t với mọi t
1.8.3) Giả sử f : và f t( ) t2 t Khi ấy f ( )t t ( )t t
Thật vậy, với mọi 0, U t sao cho với mọi s U t ta có
Trang 15 là sai phân tiến của hàm f tại t
Ví dụ này chỉ ra rằng, đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến ( )t của thang
thời gian , tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian
1.4.2 Tính chất của đạo hàm Hilger
Định lí 1.2 (Theorem 1.16, [6]) Xét hàm số f : và t Khi đó ta có:
1) Nếu f là -khả vi tại t thì f liên tục tại t
2) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là -khả vi tại
3) Nếu t là điểm trù mật phải thì f là - khả vi tại t khi và chỉ khi
tồn tại giới hạn hữu hạn lim ( ) ( )
1) Nếu thì mọi điểm t là điểm trù mật phải Do đó f là -khả vi tại
Trang 16tức là -đạo hàm trùng với sai phân tiến của f tại t
Như vậy, khái niệm delta đạo hàm thống nhất hai khái niệm đạo hàm và sai phân thông thường Đây là kết quả hết sức quan trọng mà Hilger đã đạt được nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc
Ta tiếp tục tìm hiểu các tính chất khác của đạo hàm Hilger qua định lí sau
Định lí 1.3 (Theorem 1.20, [6]) Cho các hàm số f : và g: là các hàm -khả vi tại t Khi đó ta có:
1) Hàm f g: là -khả vi tại t và f g( )t f ( )t g( )t 2) Với hằng số bất kì thì hàm f : là khả vi tại t
và
f ( )t f ( )t 3) Hàm fg : là -khả vi tại t và
Trang 17Định nghĩa 1.13 Giả sử f : là hàm khả vi trên và f :2 là hàm khả vi trên với 2 2
( )
Delta đạo hàm cấp hai (được viết là
f) của hàm f là delta đạo hàm của hàm f, và được tính theo công thức
Trang 18Ví dụ 1.10 Cho thang thời gian : 0
2
n n
thì delta đạo hàm cấp n (được viết là f n) của hàm
f là delta đạo hàm của hàm f n1, được tính theo công thức
1
f f
Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục f : gọi là tiền khả vi trên miền D nếu các
điều kiện sau đồng thời thỏa mãn
1) D ;
2) \ D không chứa điểm cô lập phải của D;
3) f khả vi với mọi tD
Trang 191.5 Phép toán tích phân
1.5.1 Tồn tại tiền nguyên hàm
Định lí 1.4 (Theorem 1.70, [6]) Nếu hàm f : là chính qui thì tồn tại hàm
F là tiền khả vi trên miền khả vi DT sao cho F( )t f t( ) với mọi tD
Chứng minh Xem [6], trang 319-321
Ta gọi một hàm F như trong Định lí 1.4 là tiền nguyên hàm của f
Định nghĩa 1.16 Giả sử f : là hàm chính quy và F là tiền nguyên hàm
của f Tích phân không xác định của hàm f là
Định nghĩa 1.17 Giả sử f : là hàm chính quy và F là tiền nguyên hàm
của f Tích phân xác định của hàm f là
Trang 20Định lí 1.5 (Theorem 1.74, [6]) Mọi hàm rd-liên tục đều có nguyên hàm Trong
trường hợp riêng, nếu t thì nguyên hàm F của hàm 0 f xác định bởi công thức
Chứng minh Xem [6], trang 28
Định lí 1.7 (Theorem 1.76, [6]) Nếu f 0 thì f là hàm không giảm
Chứng minh Xem [6], trang 28
Trang 22Vì vậy ta có f g( )t fg t( )g( )t , với mọi t
Tuy nhiên, ta vẫn có Định lí sau
Định lí 1.10 (Theorem 1.87, [6]) Giả sử g: là hàm liên tục theo tôpô
trong , g: là hàm -khả vi trên và f : là hàm khả vi liên tục Khi ấy tồn tại hằng số ct, ( ) t sao cho
f g( )t fg c g( ) ( )t
Trang 23Chứng minh Xem [6], trang 31-32
Trang 24Nếu T thì
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )) ( )
Nếu T thì
1
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
Trang 25Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Các bất đẳng thức Holder , Cauchy- Schwarz, Minkowski
Trước khi phát biểu và chứng minh Bất đẳng thức Holder trên thang thời gian
ta xét một bổ đề cơ bản sau đây
Bổ đề 2.1 Cho p q, là các số thực, p và 1
1
p q p
Vậy Bổ đề được chứng minh
Định lí dưới đây mở rộng Bất đẳng thức Holder quen thuộc trong giải tích sang cho thang thời gian
Trang 26Định lí 2.1 (Bất đẳng thức Holder, [1], trang 537-538) Cho a b , Với
f t t
g t t
Trang 28Hệ quả 2.4 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trên thang thời gian , [16],
trang 2) Cho n và các hàm số f g, :{1, 2, ,n 1}0; Khi đó ta có
Trang 29Hệ quả 2.6 (Bất đẳng thức Minkowski trên thang thời gian , [16], trang
141) Cho n và các hàm số f g, :{1, 2, ,n 1}0; Khi đó với mọi
Trang 30Định lí 2.4 (Bất đẳng thức Jensen, [1], trang 539-540) Cho a b và ,, c d Nếu g:a b, c d, là rd- liên tục và F :c d , là liên tục và lồi thì
b
a
g x
Trang 31Hệ quả 2.7 (Bất đẳng thức Jensen khi , [6], trang 262) Cho a b , và
Đây chính là Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân quen thuộc
2.3 Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari
Để đưa ra các bất đẳng thức tiếp theo, trước tiên ta đưa ra khái niệm hàm mũ
và các tính chất của hàm mũ trên thang thời gian sau đây
Định nghĩa 2.1 Cho p R Ta định nghĩa hàm mũ (exponential function) là
hàm được cho bởi công thức
,,
Trang 32còn Ln là nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là i i ,
Định nghĩa 2.2 Cho p R Khi đó hệ động lực tuyến tính thuần nhất trên thang
thời gian
y t( )p t y t (2.2)
được gọi là hồi quy (regressive)
Tiếp theo ta xét một định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian, một mở rộng của định lí tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân, được chứng minh bởi Hilger dưới đây
Định lí 2.5 (Theorem 2.33, 2.34, [6]) Giả sử (2.2) hồi quy và t Khi đó 0
Chứng minh Xem [6], trang 59-61
Bây giờ ta đưa ra một một số tính chất cơ bản của hàm mũ như sau
Định lí 2.6 (Theorem 2.36, [6]) Giả sử p q, : là các hàm hồi quy và
rd-liên tục, khi đó ta có các tính chất sau đây
Trang 33Chứng minh Xem [6], trang 62-63
Ví dụ 2.1 Xét hai trường hợp đặc biệt của hàm mũ
2.1.1) Cho ta có ( )t với 0 t Do đó với p là hàm liên tục ta có
Đối với hệ động lực tuyến tính không thuần nhất, ta có định lí sau
Định lí 2.7 (Theorem 2.77, [6]) Giả sử t Nếu p và f là rd-liên tục và p hồi 0
quy thì nghiệm duy nhất của hệ động lực tuyến tính không thuần nhất trên thang thời gian
Trang 34được cho bởi công thức
Chứng minh Xem [6], trang 77-78
Định lí dưới đây được gọi là Định lí so sánh, đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian Định lí này cũng là mở rộng Định lí về nghiệm của bất đẳng thức vi phân
Định lí 2.8 (Định lí so sánh, [6], trang 255) Cho y f, C rd v pà R Khi đó
Trang 35Suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng Định lí so sánh 2.8 ta có kết quả thú vị sau đây
Định lí 2.9 (Bất đẳng thức Bernoulli, [1], trang 543) Với thì
Ta có điều phải chứng minh
Áp dụng Định lí 2.9 Bất đẳng thức Bernoulli với 0; ta có hệ quả
Hệ quả 2.9 Với mọi ta có e t 1 t với mọi t 0
Áp dụng Định lí 2.9 Bất đẳng thức Bernoulli với ta có hệ quả
Hệ quả 2.10 Với mọi 1 ta có 1n 1 n với mọi n
Trang 36Bây giờ ta chuyển sang tìm hiểu về Bất đẳng thức Gronwall Ta biết rằng Bất đẳng thức Gronwall đóng vai trò quan trọng trong phương trình vi phân và phương trình sai phân, và đã được mở rộng sang thang thời gian như sau
Định lí 2.10 (Bất đẳng thức Gronwall, [6], trang 256) Giả sử y f, C rd , ,
Trang 37Hệ quả 2.11 (Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân, [13], trang 72) Giả sử
1
( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ))
k k
Định lí 2.11 (Theorem 6.9, [6]) Cho hàm số g: thỏa mãn điều kiện:
Với x1 x2 thì g t x , 1 g t x , 2 với mọi t
Khi đó, nếu v w, : là các hàm khả vi thỏa mãn
Trang 38 ,
v t g t v t , w t g t w t , với mọi tk \ t0 , t
mà v t 0 w t 0 thì suy ra v t w t với mọi tt0
Chứng minh Xem [6], trang 258
Định lí 2.12 (Bất đẳng thức Bihari, [1], trang 546) Cho g: là một hàm
liên tục và không giảm, p là rd-liên tục và p t với mọi ( ) 0 t , và y:
là rd- liên tục Cho w là nghiệm của bài toán
Trang 39Nhưng y t v t w t( ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Từ Định lí 2.12 ta lại có hai hệ quả của Bất đẳng thức Bihari tương ứng với thang thời gian liên tục và rời rạc như sau
Hệ quả 2.13 (Bất đẳng thức Bihari dạng vi phân, [15], trang 4) Giả sử
y pC và gC(0;),(0;) và g(u) là hàm không giảm đối với
u Giả sử tồn tại hằng số c 0, sao cho
Trang 40
0
1 0
p k là các hàm không âm xác định trên ( )a và hàm g u là hàm liên tục, ( )
không giảm, dương trên 0, Giả sử tồn tại hằng số c 0, sao cho
1 1
Bất đẳng thức Opital và các mở rộng của nó có nhiều ứng dụng phong phú trong
lý thuyết phương trình vi phân và phương trình sai phân Trong mục này, chúng
ta sẽ trình bày hai Bất đẳng thức Opital cho thang thời gian Ta luôn giả thiết
Định lí 2.13 (Bất đẳng thức Opial, [1], trang 547-548) Cho x: 0; h với
0 0
x là hàm delta khả vi Khi ấy ta có
