Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau (LV00477)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2HOÀNG ĐỨC TRƯỜNG LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG COLOMBEAU LUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011... Với cách định nghĩa như trên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG ĐỨC TRƯỜNG

LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG COLOMBEAU

LUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

Hà Nội-2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG ĐỨC TRƯỜNG

LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG COLOMBEAU

LUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TẠ NGỌC TRÍ

Mã số: 60 46 01

Hà Nội-2011

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Thầy đãhướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu tronghọc tập cũng như nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăntrong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọngsâu sắc nhất đối với Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùngcác quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD&ĐTVĩnh Phúc, Ban Giám hiệu trường THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc, Tổ Toán - Tin học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tácgiả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Hoàng Đức Trường

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Trong quátrình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Hoàng Đức Trường

Mở đầu v

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 1

1.2 Không gian các hàm thử 3

1.3 Hàm suy rộng Schwartz 7

1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng 9

1.5 Tích chập 11

1.6 Biến đổi Fourier 16

1.6.1 Biến đổi Fourier trong Lp(Rn) 16

1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng 20

1.7 Tích hai hàm suy rộng 21

1.7.1 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng 21 1.7.2 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý 22

1.8 Kết quả không thể của Schwartz 27

2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau 30 2.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 30

2.1.1 Hàm suy rộng Colombeau trên Rn 30

2.1.2 Hàm G-suy rộng trên tập mở Ω ⊂ Rn 34

2.2 Các tính chất về vi phân của đại số G(Rn) 35

2.3 Tính chất phi tuyến của G(Rn) 40

iii

2.4 Số phức suy rộng 41

2.5 Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng 43

2.6 Tích phân của hàm G-suy rộng 45

2.7 Khái niệm bằng nhau trong G(Rn) 49

2.8 Hàm G-suy rộng tăng chậm 56

2.8.1 Định nghĩa 56

2.8.2 Tích phân của hàm G-suy rộng tăng chậm 58

2.8.3 Biến đổi Fourier của hàm G-suy rộng tăng chậm 61 3 Các Lp-hàm,(1 ≤ p < ∞) xét theo nghĩa G-suy rộng 63 3.1 Biểu diễn của các Lp-hàm trong G(Rn) và Gτ(Rn) 63

3.2 Mối quan hệ giữa hai loại tích phân của f ∈ Lp(Rn) 64

3.3 Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier thông thường và biến đổi Gτ-Fourier 66

1 Lí do chọn đề tài

Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thườnggặp Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng làm được điều đó Chẳnghạn như hàm f (x) = |x| ta không thể lấy đạo hàm tại x = 0 Trongvật lý có những hiện tượng vật lý mà ta không thể biểu diễn nó mộtcách chính xác bằng một hàm thông thường đã biết Chẳng hạn nhưviệc đo mật độ điện tích ρ của một nguồn đặt tại một điểm Năm

1926, nhà vật lý người Anh là Paul Dirac đã đề xuất khái niệm mộthàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là hàm Dirac.Chúng ta có thể hiểu khái niệm hàm Dirac như sau:

và đồng thời thỏa mãn đẳng thức tích phân R−∞+∞δ(x)dx = 1

Với cách định nghĩa như trên thì nhiều vấn đề trong toán học và vật

lý đã được giải quyết Về sau có nhiều cách định nghĩa hàm Dirackhác nhau, nhưng rõ ràng rằng hàm Delta không phải là những hàmthông thường mà ta đã biết Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiếtphải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thểlấy được đạo hàm đồng thời bao hàm những hàm đã biết và cả nhữnghàm mới, chẳng hạn như hàm Dirac

Lý thuyết Hàm suy rộng (distribution theory) phát triển bởi L.Schwartz

v

đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiệnđại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Với lýthuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields năm 1950.

Lý thuyết Hàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng lýthuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Tuy nhiên những bàitoán phi tuyến dẫn đến vệc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng Về vấn

đề này L Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể"(impossibility result) trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát.Trong kết luận đó L Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàmsuy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàmcủa một tích Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suyrộng Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn

đề này Họ đã cố gắng tìm ra những cách định nghĩa tích của hai hàmsuy rộng bất kỳ Một số cách đã giải quyết được một phần vấn đề nhânhai hàm suy rộng Ta có thể kể đến phương pháp của Minkunski, hayphương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier Tuy nhiên chưa giảiquyết một cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiệnđại, được sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đãlựa chọn đề tài "Lý thuyết Hàm suy rộng Colombeau" cho luận văntốt nghiệp khóa học thạc sỹ của mình Luận văn sẽ tóm tắt nhữngkiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L Schwartz cùng vớikết quả không thể của ông Tiếp theo, sẽ trình bày có hệ thống nhữngkết quả quan trọng của lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau Cuốicùng sẽ là một số vấn đề cơ bản được xét trong lý thuyết đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về lý thuyết Hàm suy rộng của L Schwartz

• Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Colombeau

• Nghiên cứu những vấn đề cụ thể của lý thuyết hàm suy rộngColombeau

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng và ứng dụng

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liênquan tới hàm suy rộng Colombeau

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt làcác bài báo mới về vấn đề Hàm suy rộng của Colombeau

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài đã nghiên cứu một số vấn đề cụ thể xét trong lý thuyết hàmsuy rộng Colombeau

Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz

Trong luận văn này, ta ký sẽ ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số

tự nhiên, N∗ là tập các số tự nhiên khác 0, Z là tập các số nguyên, R

là tập số thực và C là tập các số phức với đơn vị ảo i = √−1 Với mỗi

số tự nhiên n, tập Nn = {α = (α1, α2, , αn)|αj ∈ N, j = 1, 2, n},tập Rn = {x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, 2, , n} là không gianthực n chiều với chuẩn Euclide

Mỗi phần tử α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn là một n-chỉ số (hay đa chỉ số)với bậc |α| = α1 + α2 + + αn

Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂α = ∂α1

1 ∂α2

2 ∂αn

n ởđây ∂j = ∂x∂

Lp(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn:

|f (x)| = inf{M > 0} sao cho µ{x ∈ Ω| |f (x)| > M } = 0

Chuẩn trong L∞(Ω) là kf k∞ = esssup

x∈Ω

|f (x)| Với mỗi α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn, β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn thì β ≤ αkhi βj ≤ αj, j = 1, 2, , n Nếu β ≤ α ta viết :

αβ

βn

!,

Ta ký hiệu Ck(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k

Với f, g ∈ Ck(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz:

1.2 Không gian các hàm thử

Trước hết ta thừa nhận bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.1 Cho Ω ⊂ Rn và Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại dãy các tậpcompact {Kj}, (j = 1, 2, 3, ) thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 và S∞

j=1Kj =Ω

Do đó, ta ký hiệu K là một tập compact của Ω và Kj là một trongcác tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề 1.2.1

Mệnh đề 1.2.1 C∞(Ω) là một không gian Fréchet và DK là khônggian con đóng của C∞(Ω), với mọi K ⊂ Ω

Chứng minh Do Ω là mở nên theo Bổ đề 1.2.1 có dãy các tập pact Kj, (j = 1, 2, ) sao cho Kj ⊂ int(Kj+1) và Ω = ∪∞j=1Kj

com-Với mỗi N = 1, 2, ta đặt

pN(f ) = max{|∂αf (x)| : x ∈ KN, |α| ≤ N },thì pN là một nửa chuẩn Hơn nữa họ các nửa chuẩn pN có tính chấttách được các điểm trong C∞(Ω) và topo sinh bởi chuẩn có một cơ

sở lân cận đếm được Do đó một metric bất biến qua phép tịnh tiếntương thích với họ đếm được chuẩn pN, N = 1, 2, có thể được xácđịnh như sau:

Với mỗi x ∈ Ω, hàm Fx : f 7→ f (x) là liên tục trong topo sinh bởi

họ đếm được chuẩn pN với N = 1, 2, Ngoài ra ta cũng có:

DK = \

x∈Ω\K

ker Fx

Do đó DK là không gian con đóng của C∞(Ω) với mọi tập con compact

K của Ω

Mệnh đề được chứng minh

Như vậy với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK(Ω) là một không gianFréchet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có một không gian quantrọng, đó là không gian các hàm thử

Định nghĩa 1.2.1 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp:

D(Ω) = {φ ∈ C∞(Ω) : supp φ là tập compact trong Ω}

Ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function)

Dễ thấy D(Ω) = S∞j=1DKj(Ω) nên D(Ω) là không gian vectơ Hơnnữa ta có:

Mệnh đề 1.2.2 Không gian các hàm thử D(Ω) là một không gianvectơ topo lồi địa phương

Chứng minh Theo trên ta có DK(Ω) là không gian Fréchet Ký hiệu

τK là topo trên DK(Ω), β là họ tất cả các tập W cân, lồi của D(Ω)sao cho DK∩ W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω Gọi τ là họ tất cảcác tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β

a) Ta sẽ chứng minh τ là một topo trên D(Ω) và β là một cơ sở lâncận của τ

Thật vậy, với V1, V2 ∈ τ và φ ∈ V1∩ V2, ta chỉ cần chứng minh ∃W ∈ βsao cho φ + W ⊂ V1 ∩ V2 Ta có, do φ ∈ Vi, (i = 1, 2) nên tồn tại

φi ∈ D(Ω) và Wi ∈ β sao cho

φ ∈ φi+ Wi, (i = 1, 2)

Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK, (i = 1, 2) Do DK ∩ Wi

mở trong DK nên tồn tại δi > 0, i = 1, 2 sao cho:

φ − φi ∈ (1 − δi)Wi

Do Wi là tập lồi nên:

φ − φi + δiWi ⊂ (1 − δi)Wi+ δiWi = Wisuy ra

φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi, (i = 1, 2)

Từ đó ta chọn W = (δ1W1) ∩ (δ2W2) thì φ + W ⊂ V1 ∩ V2

Vậy τ là một topo trong D(Ω)

Dễ dàng chỉ ra được β là một cơ sở của τ

Giả sử φ1, φ2 là hai phần tử phân biệt tùy ý của D(Ω) Với mỗi φ ∈D(Ω) ta đặt

kφk0 = sup

x∈Ω

|φ(x)| và W = {φ ∈ D(Ω) : kφk0 < kφ1 − φ2k0}thì W ∈ β và φ1 6⊂ φ2 + W

Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D(Ω) theo topo τ

b) Tiếp theo ta sẽ chứng minh các phép toán trên D liên tục với topoτ

Với mọi φ1, φ2 ∈ D(Ω) và φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β

Vì W là cân nên 12W ∈ β suy ra φ1 + 12W ∈ τ ; φ2 + 12W ∈ τ và

φ1 + 12W ∈ τ + φ2 + 12W ∈ τ ⊆ φ1 + φ2 + W

Vậy phép cộng hai phần tử trong D(Ω) là liên tục theo τ

Với α0 ∈ C và φ0 ∈ D(Ω) ta có

αφ − α0φ0 = α(φ − φ0) + (α − α0)φ0.Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ0 ∈ 12W

Suy ra không gian các hàm thử D(Ω) là không gian vectơ topo lồi địaphương.

Định lí 1.2.3 Cho không gian D(Ω) với topo τ Ta có:

1 Dãy các hàm {φl}∞l=1 hội tụ theo topo τ tới φ0 trong D(Ω) khi vàchỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho supp φl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0trong DKj(Ω), nghĩa là

sup

x∈Kj

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞, (1.3)

với mọi đa chỉ số α

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tậpcon bị chặn trong DKj(Ω) Đặc biệt nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trongD(Ω) thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội

Định lí 1.2.4 Trong không gian D(Ω)

1 Phép lấy vi phân ∂α : φ 7→ ∂αφ là tuyến tính, liên tục trên D(Ω)với mọi đa chỉ số α

2 Với mọi f ∈ C∞(Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tínhliên tục trên D(Ω)

1.3 Hàm suy rộng Schwartz

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính, liêntục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng (distribution) hay hàmsuy rộng Schwartz (Schwartz distribution)

Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D0(Ω).Với mỗi hàm suy rộng u ta viết u(φ) là hu, φi với φ ∈ D(Ω)

Chú ý 1.3.1 D0(Ω) là không gian vector với các phép toán:

• Phép cộng Với mọi u, v ∈ D0(Ω) ta có:

hu + v, φi = hu, φi + hv, φi , ∀φ ∈ D(Ω)

Khi đó u + v ∈ D0(Ω)

• Phép nhân với phần tử vô hướng Với mọi u ∈ D0(Ω) và mọi

số phức λ ta định nghĩa λu như sau:

hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D(Ω)

ii) Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một

số nguyên không âm N , sao cho

|hu, φi| ≤ c X

|α|≤N

với mọi φ ∈ D(Ω), và supp φ ⊂ K

iii) Mọi dãy {φ}∞j=1 hội tụ về 0 trong D(Ω) thì lim

j→0hu, φi = 0

Việc chứng minh mệnh đề trên có thể dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

Ta biết rằng trong (1.5) nếu ta thay N bởi N0 > N thì vẫn đúng Số

N nhỏ nhất thỏa mãn (1.5) được gọi là cấp của hàm suy rộng

Ví dụ 1.3.3 1 Mỗi hàm f ∈ Lloc(Ω) là một hàm suy rộng

Ω

f (x)φ(x)dx

=

Z

K

f (x)φ(x)dx

... S0(Rn); Mọi hàm suy rộng có giá compactđều hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.6.5 Biến đổi Fourier hàm suy rộng u ∈ S0(Rn) làmột hàm suy rộng u ∈ Sb... gọi

là biến đổi Fourier ngược f hàm ký hiệu

1.6.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng

Định nghĩa 1.6.4 Ta gọi hàm suy rộng u ∈ D0(Ω) hàm suyrộng tăng chậm (tempered distribution)... 39

Lý thuyết hàm suy rộng< /h2>

Colombeau< /h2>

2.1.1 Hàm suy rộng Colombeau Rn