Một số vấn đề trong lý thuyết hàm suy rộng schwartz

Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn .... Trong Vật lí hàm Dirac được hiểu như sau :  x = 0 nÕu 0 nÕu 0 x x Với cách định nghĩa như trên thì nhiều vấn đề trong toán h

2

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Thầy đã giao đề

tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Thầy

luôn động viên và khích lệ để em vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua

những khó khăn trong chuyên môn và truyền cho em những kinh nghiệm quý

báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học Em xin bày tỏ lòng biết

ơn,lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà

Nội 2, các thầy cô giáo trong khoa toán đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt

quá trình học tập tại khoa

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Ngô Thị Hằng

3

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em

dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí

Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa thành quả khoa học của các

nhà khoa học và của các thầy cô với sự trân trọng và biết ơn Em rất mong

nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận hoàn thiện

4

Mục lục Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 8

1.2 Không gian định chuẩn 9

1.3 Không gian Banach 10

1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn 11

1.5 Không gian Hilbert 13

1.6 Không gian  n p L  15

1.7 Biến đổi Fourier trong  n 1 L  16

Chương 2 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 17

2.1 Không gian các hàm thử 17

2.2 Hàm suy rộng Schwartz 19

2.3 Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh 21

2.4 Giá của hàm suy rộng 23

2.5 Đạo hàm của hàm suy rộng 23

2.6 Tích chập 25

2.7 Biến dổi Fourier của hàm suy rộng 29

5

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp

Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng làm được điều đó Chẳng hạn như hàm

 

f x  x ta không thể lấy đạo hàm tại x = 0 Trong vật lí có những hiện

tượng vật lí mà ta không thể biểu diễn nó một cách chính xác bằng một hàm

thông thường đã biết Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích  của một

nguồn đặt tại một điểm Năm 1926, nhà vật lí người Anh là Paul Dirac đã đề

xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là

hàm Dirac Trong Vật lí hàm Dirac được hiểu như sau :

 x = 0 nÕu 0

nÕu 0

x x

Với cách định nghĩa như trên thì nhiều vấn đề trong toán học và vật lí đã được

giải quyết Có nhiều cách hiểu về hàm Dirac theo các cách tương đương khác,

nhưng rõ ràng hàm Delta không phải là những hàm thông thường mà ta đã

biết Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm

để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm đồng thời bao hàm

những hàm đã biết và cả những hàm mới, chẳng hạn như hàm Dirac Từ đó

trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là “ Hàm

suy rộng “ Tiêu biểu phải kể đến như Lý thuyết hàm suy rộng của

L Schwartz…

6

Lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L Schwartz đã mở cánh cửa quan

trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực

phương trình đạo hàm riêng Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải

thưởng Fields năm 1950 Những bài toán phi tuyến thường dẫn đến việc xem

xét lấy tích hai hàm suy rộng Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có

thể giải quyết vấn đề này Họ đã cố gắng tìm ra những cách định nghĩa tích

của hai hàm suy rộng bất kì Một số cách đã giải quyết được một phần vấn đề

nhân hai hàm suy rộng Ta có thể kể đến phương pháp của Minkunski hay

phương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier Tuy nhiên chưa giải quyết

một cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,

được sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, em đã lựa chọn đề tài

“ Một số vấn đề trong lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz “ cho luận văn của

mình Luận văn sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng

của L Schwartz

2 Cấu trúc luận văn

Nội dung khóa luận bao gồm:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz

3 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về lý thuyết

hàm suy rộng Schwartz và các vấn đề liên quan Các tính chất có liên quan

đến hàm suy rộng Schwartz

7

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn

đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

8

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Trong luận văn này, ta sẽ kí hiệu  0,1,2  là tập các số tự nhiên,  * là

tập các số tự nhiên khác 0,  là tập các số nguyên,  biểu thị tập số thực và

trường thực;  biểu thị tập các số phức với đơn vị ảo i = 1 và trường

n j j

C  là tập hợp các hàm giá trị phức khả vi liên tục ở mọi cấp

Ta nói giá của hàm liên tục f :  , là tập hợp kí hiệu bởi supp f và được

xác định bởi supp f x: f x 0 Nếu K là một tập compact trong

n

 , ta kí hiệu D là tập hợp k fC n : suppf  K

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1: Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K cùng với một ánh xạ từ

X vào tập số thực  , kí hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

i) (  x X) x 0, x   0 x  ( kí hiệu  là phần tử 0)

ii) ( x X) (  ) x   x

iii) (x y, X) x y x  y

Số x gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X

Các tiên đề i, ii, iii gọi là hệ tiên đề chuẩn

Ví dụ 1.2.1.1: Không gian  hay 2 3

 là các không gian định chuẩn với chuẩn là độ dài của vectơ

Định nghĩa 1.2.2: Dãy điểm  x của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ n

tới điểm xX, nếu lim n 0

n x x





 gọi là hội tụ tuyệt đối

1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1: Các không gian Banach được định nghĩa là các không

gian vectơ định chuẩn đầy đủ Điều này nghĩa là một không gian Banach là

một không gian vectơ V trên trường K với một chuẩn sao cho mọi dãy

Cauchy trong V ( tương ứng với metric ( , )d x y  x y ) hội tụ

Ví dụ 1.3.1.1: Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid của

 1, 2, , n

x x x x được cho bởi 2

1

n i i



  là các không gian Banach

Ví dụ 1.3.1.2: Cho không gian vectơ C a b Đối với hàm số bất kì  ,

11

Nhờ công thức x d x( , ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho

một chuẩn trên C a b Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là  , C a b  ,

Dễ thấy C a b là không gian Banach  ,

Định lí 1.3.1: Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi

trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Định nghĩa 1.3.2: Tập X0   gọi là không gian định chuẩn con của không

gian định chuẩn X , nếu X là không gian tuyến tính con của không gian X và 0

chuẩn xác định trên X là chuẩn xác định trên0 X Nếu X đồng thời là tập 0

đóng trong không gian X thì X gọi là không gian định chuẩn con đóng của 0

không gian X

Định nghĩa 1.3.3: Giả sử X là không gian định chuẩn, X là không gian con 0

đóng của X Khi đó trên không gian tuyến tính thương X X , ta xác định: 0

 là một chuẩn chứa trong X X 0

Không gian định chuẩn  *

0,

X X gọi là không gian định chuẩn thương

của X theo không gian con X 0

1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.4.1: Cho hai không gian tuyến tính X , Y trên trường K Ánh

xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thõa

mãn các điều kiện:

i) x x, 'X A x x'AxAx'

ii)  x X   K A x Ax

12

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉ thỏa

mãn điều kiện i) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn

điều kiện ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y K thì toán tử tuyến tính

A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.4.2: Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A

từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0

sao cho Ax C x  x X

Định lí 1.4.1: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương:

i ii Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa toán tử A liên tục tại mỗi

điểm x X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0X

1.5 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.5.1: Cho không gian tuyến tính X trên trường K Ta gọi là tích

vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào trường

K, kí hiệu  ., , thỏa mãn tiên đề:

Các phần tử x,y,z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x y,  gọi là tích vô

hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i),ii),iii),iv) gọi là hệ tiên đề tích vô

Bất đẳng thức Schwarz được chứng minh

Chú ý: Nếu  ., là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x x x,  là một

chuẩn trên X

Định nghĩa 1.5.2: Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.5.3: Ta gọi một tập H  gồm những phần tử x,y,z…nào

đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

i) H là không gian tuyến tính trên trường K

ii) H được trang bị một tích vô hướng  .,

iii) H là không gian Banach với chuẩn x  x x,  ,xH

Chú ý: Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.5.3.1: Kí hiệu  là không gian vectơ thực k chiều Với k



   (1.4)

Không gian vectơ l cùng với tích vô hướng (1.5) là một không gian Hilbert 2

Ví dụ 1.5.3.4: Trong l , với 2 x k ,y k , ta định nghĩa

 ,1 p   Ta kí hiệu Lp X là K không gian vectơ tất cả các hàm f từ X

vào K sao cho f khả tích Lebesgue trên X p

Trong không gian ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi

f   f dX



Định lí 1.6.2: Với  p 1,L p X là không gian Banach

Định nghĩa 1.6.2: L X là tập hợp tất cả các hàm f X:  đo được và bị

chặn hầu khắp nơi trong X Nghĩa là:  c 0: f x  c hầu khắp nơi trong X

Hàm f được gọi là biến đổi Fourier của f

Tích phân của vế phải (1.6) hoàn toàn được xác định vì:

Định nghĩa 2.1.1: Cho E là một không gian vectơ trên trường K Một tôpô 

trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E) nếu phép cộng

: E E E và phép nhân vô hướng : K E E liên tục

Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một

không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 2.1.2.: Một không gian vectơ tôpô X ( với tôpô ) được gọi là lồi

địa phương nếu có một cơ sở địa phương cho  có các phần tử là lồi Một

không gian lồi địa phương được gọi là không gian Frechet nếu nó được cảm

sinh bởi một metric đầy đủ d thỏa mãn d x z y z,    d x y,

Bổ đề 2.1.1: Cho   và n    Khi đó tồn tại dãy các tập compact

 K j ,j 1,2,3 thỏa mãn  K j intK j1 và j1K j  

Do đó, ta kí hiệu K là một tập compact của  và K là một trong các tập j

compact trong họ K nói trong bổ đề 2.1.1 j

18

Bổ đề 2.1.2: C  là một không gian Frechet và D là không gian con k

đóng của C  , với mọi K 

Như vậy với mọi tập compact K  thì D K  là một không gian

Frechet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có một không gian quan trọng, đó

là không gian các hàm thử

Định nghĩa 2.1.3: Ta kí hiệu D  là tập hợp :

D   C  : supp lµtËp compact trong  

Ta gọi D  là không gian các hàm thử

Dễ thấy D  j1D K j   nên D  là không gian vectơ Hơn nữa ta có:

Mệnh đề 2.1.1: Không gian các hàm thử D  là một không gian vectơ topo

lồi địa phương

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích

hiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới cũng như mở rộng các

khái niệm đã có Sau đây chúng ta thừa nhận các tính chất của D 

Định lí 2.1.1: Cho không gian D  với topo  Ta có:

1 Dãy các hàm  l l1 hội tụ theo topo  tới 0 trong D  khi và chỉ khi

tồn tại j* sao cho suppl K j với mọi l* và l 0 trong D K j   ,

19

2 Tập ED  khi và chỉ khi tồn tại j* sao cho E là tập con bị

chặn trong D K j   Đặc biệt nếu  l l1 là dãy Cauchy trong D  thì tồn

tại j* sao cho l hội tụ trong D K j   và do đó hội tụ trong D 

3 Một phiếm hàm tuyến tính :D   liên tục khi và chỉ khi với mọi

j tồn tại N j  và hằng số c j 0 sao cho :

Định lí 2.1.2: Trong không gian D 

1 Phép lấy vi phân  :   là tuyến tính, liên tục trên D  với mọi

D  được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz

Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên  được kí hiệu D'  Giá trị của

phiếm hàm u tại D  được kí hiệu là ,u

Chú ý 2.2.1: D'  là không gian vectơ với các phép toán:

20

 Phép nhân với phần tử vô hướng Với mọi u D '  và mọi số phức 

ta định nghĩa u như sau:

Dựa vào tính liên tục của phiếm hàm trên D  ta có:

Mệnh đề 2.2.1: Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D  Các

mệnh đề sau là tương đương

i) u D ' 

ii) Với mỗi tập compact K , tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyên

không âm N, sao cho

với mọi D  , và suppK

iii) Mọi dãy  j j1 hội tụ về 0 trong D  thì lim , j 0

j u

  

Ta biết rằng trong (2.1) nếu ta thay N bởi N'N thì vẫn đúng Số N nhỏ nhất

thỏa mãn (2.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng

địa phương trên  được kí hiệu bởi 1  

loc

L  Bây giờ chúng ta chứng minh dạng tuyến tính trên là một hàm suy rộng

2.Tương tự mọi hàm f L p  cũng là một hàm suy rộng

Ví dụ 2.2.2: ( Hàm Dirac ) Hàm Dirac kí hiệu là  được xác định như

sau:

 :D n

2.3 Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh

Định nghĩa 2.3.1: Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz,

   hội tụ về 0 khi j   thì với mọi

đa chỉ số ,  , n x D j x 0 khi j   trong  n

Định nghĩa 2.3.2: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên  n

S  được gọi

là một hàm suy rộng

gian tuyến tính Không gian này kí hiệu là S'  n Một dãy  u trong j

 

' n

S  được gọi là hội tụ tới u S '  n nếu u j,  u, ,   S n

Nhận xét: Dễ thấy rằng S' n là một không gian con của D' n và hơn

nữa u S '  n khi và chỉ khi mọi dãy  j 0 trong  n

S  thì u,j 0khi j  

Ví dụ 2.3.1: Cho u là một hàm bị chặn theo kiểu đa thức xác định trên  ( n

liên tục, liên tục từng khúc hoặc một hàm tổng quát, đo được ) thì phiếm hàm

được định nghĩa bởi: