Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên LỜI CẢM ƠN Một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận

Trang 1

Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

LỜI CẢM ƠN

Một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn nhỏ của mình để được bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy cô giáo, những người

đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua

Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Khải đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn

Học viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân

cùng sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Khải, các thầy, cô giáo trong

hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Học viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Trang 3

MỤC LỤC

TrangTrang phụ bìa

Chương 2 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

2.2 Một số bài toán tương tự và mở rộng của bài toán nội suy 38

Chương 3 Lý thuyết phần dư

Chương 4 Sự hội tụ của quá trình nội suy

4.2 Định lí hội tụ với sơ đồ tam giác bị chặn 64

Trang 4

Chương 5 Một số ứng dụng của đa thức nội suy trong toán sơ cấp

5.1 Sử dụng đa thức nội suy Taylor để xác định đa thức 70

5.4 Sử dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức 109

Trang 5

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết nội suy – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Lagrange, Newton, Chebyshev…

Lý thuyết nội suy còn là cơ sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng hạn trong việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng nhờ sai phân…

Bài toán cơ bản của lý thuyết nội suy là dựng một hàm đơn giản xấp xỉ một hàm cho trước được cho bằng bảng hoặc là có công thức giải tích phức tạp Từ

đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm, gần đúng tích phân hay giải gần đúng một số bài toán về phương trình đã nêu

Về cơ bản bài toán nội suy cổ điển đã được sử dụng sớm bởi Newton vào năm 1686, được Lagrange sử dụng, đề xuất lại năm 1795 và ước lượng sai số cổ điển (định lí 3.11) được Cauchy thiết lập năm 1840

Phần ứng dụng của lý thuyết nội suy rất đa dạng, nhưng trong luận văn này tập trung quan tâm tới những ứng dụng trong toán sơ cấp và đây cũng là đóng góp chủ yếu của luận văn

Chính vì các lí do đó tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Một số vấn đề về lý thuyết nội suy” nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến

nội suy và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy

- Nêu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy đặc biệt là trong toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 6

- Nghiên cứu về một số bài toán nội suy, một số công thức cơ bản của nội suy

- Nghiên cứu lý thuyết phần dư cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy

- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết nội suy và các vấn đề liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chính là các phương pháp của giải tích toán học

6 Đóng góp của luận văn

- Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy

- Ứng dụng để giải một số bài toán sơ cấp bằng phương pháp nội suy

Trang 7

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

det sgn( ) ( )1 1 ( )2 2 ( )

n

n n S

Trang 8

e, Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì định thức đó bằng 0

f, Định thức không thay đổi nếu nhân một cột hoặc một dòng của định thức với

một vô hướng rồi cộng vào cột hoặc dòng khác của nó

g, Hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau

h, Từ ma trận A xóa đi dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A ta nhận được ma

ij

A là ma trận con của ma trận A Kí hiệu * ( ) ( )

A = − + A ≤i j n≤ là phần

bù đại số của phần tử aij trong ma trận A thì khi đó định thức có thể được tính

theo phần bù như sau

*

ij ij 1

*

ij ij 1

n

i n j

Trang 9

Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn x x1, , ,2 x n

1 ij

1,

n

j i j

Trong đó các a b là các phần tử cho trước thuộc trường số thực ij; i R, a được ij

gọi là các hệ số của ẩn, b là các hệ số tự do, ma trận i A ( )a ij n n

×

= là ma trận các

hệ số

Định lí 1.1.1 (Qui tắc Cramer) Nếu A = aij ≠0 thì hệ phương trình tuyến tính

có một nghiệm duy nhất được cho bởi

detdet1,

j j

A x

Hệ (1.1.5) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi A =0

1.1.3 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X có hai phép toán cộng và nhân như sau :

Phép cộng ,∀x y X∈ ta có x y X+ ∈

Trang 10

Phép nhân vô hướng ∀ ∈x X,α∈ R ta có x Xα ∈ Khi đó X cùng với hai phép toán này được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

thuật ngữ không gian vectơ

Trang 11

Hệ các vectơ x x1, , ,2 x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức

a, Một hệ vectơ của X được gọi là một hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X

đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

b, Nếu X có một hệ sinh hữu hạn thì X được gọi là một không gian hữu hạn

sinh

c, Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ X thì được gọi là một

cơ sở của X

X được gọi là số chiều của X Nếu X không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần

tử thì X được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

là bậc của đa thức và được kí hiệu là deg P z( )= Phần tử 0 được xem như đa n

thức có tất cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không Ta qui ước bậc của

đa thức không là 0 Tập hợp tất cả các đa thức có bậc ≤n được kí hiệu là Pn

phức

Trang 12

Nếu đa thức có r nghiệm phân biệt z z1, , ,2 z thì có tương ứng các số nguyên r

dương α α1, , ,2 αr thỏa mãn α α1+ 2 + + αr = sao cho n

( ) ( ) (1 ) (2 )

(1.1.7) được gọi là khai triển chuẩn tắc của P x , các số tự nhiên ( ) α α1, , ,2 αr

gọi là bội tương ứng của các nghiệm z z1, , ,2 z r

z là nghiệm bội α của đa thức P z khi và chỉ khi n( )

( ) '( ) ( i 1 )( ) 0, ( )i ( ) 0

1.1.5 Phiếm hàm tuyến tính và không gian đại số liên hợp

Định nghĩa 1.1.7 Cho hai không gian vectơ , X Y trên trường số thực R Ánh xạ :

f X → được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn các điều kiện sau Y

a, ,∀x y∈ ta có X f x y( + )= f x( )+ f y( ) (1.1.9)

b, ∀ ∈x X,∀ ∈R ta có α f ( ) αx =α f x( )

Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ tuyến tính f từ không gian tuyến tính X vào tập số

thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X

Định nghĩa 1.1.9 Cho X là không gian tuyến tính và f f là hai phiếm hàm 1, 2

tuyến tính xác định trên X Tổng của f f và tích vô hướng của 1, 2 α với f xác 1

Trang 13

Định nghĩa 1.1.10 Cho X là không gian tuyến tính, tập các phiếm hàm tuyến tính xác định trên X được gọi là không gian đại số liên hợp của X và được kí

Ta sẽ chứng minh hệ f f1, , ,2 f n là độc lập tuyến tính trong X *

Thật vậy, giả sử phản chứng hệ f f1, , ,2 f là phụ thuộc tuyến tính khi đó tồn tại n

hệ n số thực βi không đồng thời bằng 0 để

β1 1f +β2 2f + + βn n f =0 (1.1.11) Giả sử i là chỉ số thỏa mãn 0

Giả sử ta có n+ phiếm hàm 1 f f1, , ,2 f n+1 Xét hệ (n+ phần tử trong R1) n

Trang 14

Vậy chiều của X là n (điều phải chứng minh) *

Định lí trên cho ta thấy rằng trên một không gian tuyến tính n chiều X , mọi

phiếm hàm tuyến tính đều có thể biểu diễn được như một tổ hợp tuyến tính của

1.2.2 Hàm liên tục

Trang 15

Nếu f xác định trên đoạn [ ]a b và liên tục tại , x0∈[ ]a b, thì với mọi ε > 0 tồn

tại 0δ > chỉ phụ thuộc vào ε sao cho x∀ thỏa mãn x x− 0 < ta có δ

f x( )− f x( )0 ≤ (1.2.3) ε

Nếu f liên tục tại mọi điểm x0∈[ ]a b, thì ta nói f liên tục trên đoạn [ ]a b ,

Ta gọi C a b là tập tất cả các hàm số giá trị thực và liên tục trên đoạn [ ], [ ]a b ,

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f liên tục đều trên đoạn [ ]a b nếu với mọi 0, ε > cho

trước tồn tại 0δ > chỉ phụ thuộc vào ε sao cho ∀x x, 0∈[ ]a b, thỏa mãn

0

x x− < ta có δ

f x( )− f x( )0 < (1.2.4) ε

1.2.4 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

Định nghĩa 1.2.4 Cho f x xác định trên đoạn ( ) [ ]a b và giả sử tồn tại hằng số ,

dương M và α sao cho

f x( )1 − f x( )2 ≤ M x1−x2α ∀x x1, 2∈[ ]a b, (1.2.5)

Khi đó f x được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc ( ) α trên [ ]a b Lớp ,

các hàm đó được kí hiệu là Lipα Nếu hằng số M đã xác định thì ta còn kí hiệu

là Lip Mα

Định lí 1.2.1

Trang 16

Lipα là không gian tuyến tính Nếu f thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc α

trên đoạn [ ]a b thì f là liên tục, hơn nữa còn liên tục đều trên , [ ]a b ,

của nó là khả vi tại mọi điểm trên ( )a b ,

Định lí 1.2.2 (Rolle) Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b và khả vi trên ,khoảng ( )a b Nếu có , f a( )= f b( ) thì tồn tại ξ∈( )a b, sao cho f '( ) ξ = 0

Định lí 1.2.3 Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b và khả vi trên khoảng ,

( )a b Khi đó tồn tại , ξ∈( )a b, sao cho

Trang 17

1 0

f + x tồn tại trên ( )a b Khi ,

đó tồn tại ξ thỏa mãn a ≤ ≤ sao cho ξ b

( )( )( ) ( )( )

x x

n

+ +

R x =R x = =R + x = (1.2.11)

Trang 18

00

n n

ε ε

+ +

Định nghĩa 1.2.7 Nếu f x( )∈C a b n[ ], với mọi n∈N* Khi đó f x được gọi là ( )

khả vi vô hạn trên [ ]a b Lớp các hàm khả vi vô hạn trên đoạn , [ ]a b kí hiệu là ,

C a b∞

Ví dụ 1.1 f x( )=x2 khả vi vô hạn trên −∞ < < ∞ x

Trang 19

Ví dụ 1.2 ( ) 2

11

f x

x

=+ khả vi vô hạn trên −∞ < < ∞ x

1.2.7 Môđun liên tục của hàm xác định trên khoảng

Định nghĩa 1.2.8 Cho f x xác định trên khoảng ( ) ( )a b Đặt ,

w ;( δ f)=w( ) δ =sup f x( )1 − f x( )2 (1.2.14)

Sup lấy trên cặp x x1, 2∈( )a b, sao cho x1−x2 ≤ Khi đó hàm δ w( )δ (phụ

thuộc f ) được gọi là môđun liên tục của f trên ( )a b ,

Ví dụ 1.3 f x( )= xác định trên khoảng x2 ( )0,1 Khi đó ta có w( ) δ =2δ δ− 2

= xác định trên khoảng ( )0,1 Khi đó ta có w( ) δ = 2

Định lí 1.2.8 Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b Môđun liên tục của ,

Chứng minh

a, (1.2.15) là hiển nhiên

b, Từ x1−x2 ≤ ⇒δ1 x1−x2 ≤ , sup tương ứng là không giảm nên ta có δ2

(1.2.16)

Trang 20

1.2.8 Hàm giải tích trên đường

điểm x0∈[ ]a b, , f x có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa trên một khoảng ( )

mọi điểm x∈( )a b, thì f x được gọi là giải tích trên ( ) ( )a b ,

Tập các hàm giải tích trên đoạn ( )a b kí hiệu là , A a b [ ],

Trang 21

Thật vậy, giả sử x0∈( ε,1−ε ) ta có

0 0

0 2

Trang 22

Do tính chất của chuỗi lũy thừa nên nếu f x( )∈A a b[ ], thì f x( )∈C a b∞[ ],

Trang 23

Trang 24

Quá trình tính toán tương tự ta có

f x tại x0 đều bằng 0, do đó f x( )= (vô lí) 0

Ta có điều phải chứng minh

1.3 Một số vấn đề về hàm số biến số phức

1.3.1 Đường và miền trong mặt phẳng phức

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử x t y t là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn ( ) ( ),

[ ]a b Khi đó phương trình ,

z z t= ( ) ( )=x t +iy t t( ), ∈[ ]a b, (1.3.1) biểu diễn tham số một đường cong L z a b= ( [ ], ) trong mặt phẳng phức C

Các điểm z a z b được gọi là các điểm đầu và cuối của đường cong L ( ) ( ),

Định nghĩa 1.3.2

a, Lân cận của điểm a∈C là tập bất kì bao hàm hình tròn D a r tâm a , bán ( ),kính 0r >

Trang 25

D a r = ∈z C z a− < r

b, Tập S ⊂ C được gọi là tập mở nếu S là lân cận của mọi điểm của nó

Định nghĩa 1.3.3 Tập S ⊂C được gọi là một miền nếu nó thỏa mãn hai điều kiện

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử S ⊂ C là một tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức

trên S với giá trị phức là một ánh xạ : f S →C và hàm đó được kí hiệu là

ω = f z z S( ), ∈ (1.3.2)

Ví dụ 1.8 Ánh xạ z→ f z( )=az b+ xác định một hàm (gọi là hàm nguyên tuyến tính) trên C

1.3.3 Hàm giải tích trên miền

Định nghĩa 1.3.5 Cho S là một miền của mặt phẳng phức và f là hàm đơn trị của biến phức z xác định trong S Khi đó f z được gọi là hàm giải tích (hay ( )

hàm chỉnh hình) tại z0∈S nếu nó có một biểu diễn dạng

0

n n

Trang 26

Nếu f giải tích ∀ ∈ thì ta nói f giải tích trên miền S Tập các hàm giải z S

tích trên miền S được kí hiệu là A S ( )

Khi z hữu hạn còn 0 f z( )0 = ∞ thì ta nói f giải tích tại z nếu 0

Ví dụ 1.11 Hàm ( ) 2

0

z t

f z =∫ e giải tích trên miền không chứa z= ∞

Ví dụ 1.12 Hàm f z( )=z không giải tích với mọi z∈C

Định lí 1.3.1 Giả sử S ⊂ C là một miền và A S( )là tập các hàm giải tích trên S

d, Nếu f ∈A S( ) và f chỉ nhận giá trị thực thì f không đổi

Định lí 1.3.2 Cho hàm f x( )∈A a b[ ], , khi đó có thể tìm được một miền S ⊂ R2 chứa [ ]a b, trong đó f x( ) được thác triển thành F z( ) là giải tích trên S tức là

F z ∈A S và F|[ ]a b, ≡ f

Chứng minh

Trang 27

Ta có với mỗi z∈C, x0∈[ ]a b, chuỗi ( 0)

0

n n

[ ]a b, , hạn chế trên [ ]a b, là f x( ) Ta có điều phải chứng minh

C thì tại mọi Sz∈ hàm f z( ) có đạo hàm mọi cấp và

( ) ( )

!

;2

n

n C

f t dt n

Trang 28

Cho x0 là điểm trong [ ]a b, và giải sử (1.3.4) đựơc thỏa mãn Từ định lí (1.3.2)

Nếu f ∈A a b[ ], thì từ định lí (1.3.2) ta tìm được miền đơn liên D chứa [ ]a b mà ,

hàm f giải tích trong nó Cho C là cung bao quanh [ ]a b và nằm trên D Khi đó ,

vì x0∈[ ]a b, từ (1.3.3) ta có

( )( )0 ( ) 1

0

!2

n

n C

f z n

Trang 29

Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT NỘI SUY

2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển

2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển

Định nghĩa 2.1.1

a, Hệ n+ điểm phân biệt 1 { }x với i x i∈[ ]a b, với i=0,n được gọi là các mốc

nội suy

b, Cho hàm số y = f x( ) xác định trên [ ]a b Đa thức , P x có bậc thấp nhất ( )

thỏa mãn P x( )i = f x( )i với (i=0,n) được gọi là đa thức nội suy của hàm số

( )

y= f x ứng với các mốc nội suy { }x i (i=0,n)

Bài toán xây dựng đa thức nội suy như vậy được gọi là bài toán nội suy cổ

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của nó khác không Định thức

của hệ phương trình này là

Trang 30

( )

2

0 0 0 2

trong đó hệ số A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào x x0, , ,1 x n−1 Để tính A ta khai

triển (2.1.4) theo dòng cuối cùng thấy ngay A V x= ( 0, ,x n−1).Suy ra

Trang 31

Vì x x0, , ,1 x là phân biệt nên n V ≠ 0

Do đó hệ (2.1.2) có duy nhất nghiệm (a0, ,a hay đa thức n) P x thỏa mãn điều ( )

kiện (2.1.1) là tồn tại duy nhất Định lí được chứng minh

Đa thức nội suy P x ở định lí 2.1.1 được gọi là đa thức nội suy của hàm ( )

( )

y= f x với (n+ mốc nội suy 1) { }x i

2.1.2 Một số công thức biểu diễn

Đa thức nội suy P x được tìm ở định lí 2.1.1 là tường minh về phương diện lí ( )

thuyết, tuy nhiên nếu n lớn thì phương diện tính toán, vấn đề trở nên phức tạp

Vì vậy, trong mục này ta nghiên cứu một số phương pháp tìm công thức biểu

diễn P x nhanh gọn và tiện lợi, tiết kiệm tính toán ( )

2.1.2.1 Công thức nội suy Lagrange

i j x

thì ta có degL x n( )≤n L x, n( )i = y i,∀ =i 0,n, vậy L x thỏa mãn điều kiện của n( )

bài toán nội suy 2.1.1 Vậy L x n( )=P x( ) là tồn tại và duy nhất

Trang 32

Vậy P x( )=L x n( ) ở (2.1.10) là cách biểu diễn khác so với P x( ) ở (2.1.9)

Ta nói P x( )=L x n( ) xác định như ở (2.1.9) hoặc (2.1.10) là đa thức nội suy Lagrange hay là công thức Lagrange về đa thức nội suy

2.1.2.2 Công thức nội suy Newton

a, Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên đoạn [ ]a b, và n+1 mốc nội suy ,x i

− được gọi là tỷ sai phân cấp k của hàm

số y = f x( ) tại x x i, i+1, ,x i k+ và được kí hiệu là f x x( i; i+1; ;x i k+ )

Trang 33

Tính chất 2 Tỷ sai phân là hàm đối xứng với các x i

Tính chất 3 Tỷ sai phân cấp 1 m + của đa thức bậc m đồng nhất bằng 0

Vậy P x x x( ; ; ; ;0 1 x m−1) là đa thức bậc 0, vậy P x x x( ; ; ; ;0 1 x m)= 0

Trang 34

b, Đa thức nội suy Newton

Giả sử ,x i i =0,n là n+ mốc nội suy Giả sử 1 P x là đa thức nội suy ( )

Lagrange của hàm số y = f x( ) với 1n+ mốc nội suy nói trên nghĩa là

Trang 35

Nhận xét Từ định lí 2.1.1 suy ra đa thức nội suy dù có thể biểu diễn bằng các

cách khác nhau nhưng cũng chỉ là một

2.1.2.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều

a, Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử x i −x i−1 =h, ∀ =i 1, n x0 =a x, n =b Khi đó dùng phép đổi biến

b, Khái niệm sai phân và một số tính chất

Giả sử :f R→R là một hàm số cho trước, h là hằng số khác 0 Ta gọi

Δ = Δ Δ⎡⎣ ⎤⎦ ≥ là sai phân cấp n của f x tại x ( )

Tính chất 1 Δ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α β, ∈R ∀f g, thì ta có

Trang 36

f x+ h = + Δ f x Theo qui nạp toán học f x nh( + ) (= + Δ1 ) ( )n f x Khai triển Newton của

Trang 37

Giả sử có các mốc nội suy x0 < < <x1 x x n, i+1− = ∀ =x i h i 0,n− Tìm đa 1thức nội suy P x ở dạng : n( )

P x =a +a x x− +a x x− x x− + +a x x− x x− − Chú ý P x n( )i = f x( )i = y i i( =0,n) Thay x lần lượt bằng x x0, , ,1 x ta được n

d, Đa thức nội suy Newton ở cuối bảng

Giả sử có các mốc nội suy x0 < < <x1 x x n, i+1− = ∀ =x i h i 0,n− Tìm đa 1thức nội suy P x ở dạng : n( )

Trang 38

2.2 Một số bài toán tương tự và mở rộng của bài toán nội suy

2.2.1 Nội suy phiếm hàm tuyến tính

Cho X là không gian tuyến tính thực (hoặc phức) n chiều, L L1, , ,2 L là n n

phiếm hàm xác định trên X và ω ω1, , ,2 ωn là tập các giá trị thực (hoặc phức)

Tìm x X∈ sao cho

L x i( )=ωi,i=0,n (2.2.1)

độc lập tuyến tính trên X và L L1, , ,2 L là n phiếm hàm độc lập tuyến tính n

trong X thì khi đó ta có *

L x i( )j ≠ (2.2.2) 0 Ngược lại nếu một trong hai hệ x x1, , ,2 x hoặc n L L1, , ,2 L là độc lập và n

(2.2.2) được thỏa mãn thì hệ còn lại cũng độc lập tuyến tính

Chứng minh

Hệ

Trang 39

Vì x x1, , ,2 x là n phần tử độc lập tuyến tính trong không gian tuyến tính n n

chiều X nên nó là một cơ sở của X do đó nêu x X∈ thì ta có

0

,

n

i i i i

⇒ là phụ thuộc (trái giả thiết) Vậy ta có điều phải chứng minh

Phần đảo Trường hợp 1, giả sử hệ x x1, , ,2 x độc lập tuyến tính và n L L1, , ,2 L n

là n phiếm hàm phụ thuộc tuyến tính và L x i( )j ≠ 0

Khi đó tồn tại các a a1, , ,2 a không đồng thời bằng 0 sao cho n

1

0

n

i i i

Trang 40

Điều này có nghĩa hệ

Có nghiệm không tầm thường (mâu thuẫn với giả thiết (2.2.2))

Trường hợp 2, giả sử hệ L L1, , ,2 L độc lập tuyến tính và n x x1, , ,2 x phụ n

thuộc tuyến tính và L x i( )j ≠ Khi đó tồn tại các 0 a a1, , ,2 a không đồng thời n

Chứng minh

Giả sử L là độc lập tuyến tính trong i X Xét hệ * x x1, , ,2 x độc lập tuyến n

tính trong X Theo bổ đề 2.2.1 ta có L x i( )j ≠ Do đó hệ phương trình tuyến 0tính

Định dạng
Số trang	116
Dung lượng	907,36 KB