[r]
Trang 1Đáp án Kiểm tra cuối kỳ K50A1T lần I Câu 1 Hàm f : R2
→ R được xác định
f (x, y) =
(
1 nếu 0 < x < 1,
0 trong trường hợp còn lại,
được coi như hàm suy rộng bằng cách
hf, ϕi =
Z
R2
f (x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ ∈D(R2)
Tích phân này hoàn toàn xác định do ϕ là hàm liên tục có giá compact nên tồn tại số M > 1 sao cho supp ϕ ⊂ [−M, M] ì [−M, M]
Khi đó tích phân đơn giản
hf, ϕi =
Z 1 0
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy
(i) Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục của hàm suy rộng f được xác định như trên bằng định nghĩa
(ii) Ta sẽ chứng minh f ∈ S0 bằng cách kiểm tra bất đẳng thức
|hf, ϕi| ≤ C sup
(x,y)∈R 2
(1 + x2+ y2)m X
|α|≤m
|Dαϕ(x, y)|
với C, m là các hằng số không phụ thuộc ϕ (kể cả giá của nó!)
Do ϕ có giá compact nên có số M > 1 để supp ϕ ⊂ [−M, M] ì [−M, M]
Khi đó,
|hf, ϕi| = |
Z 1 0
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy|
= |
Z 1 0
dx
Z M
−M
(1 + y2)(1 + y2)−1ϕ(x, y)dy|
≤ |
Z 1 0
dx
Z M
−M
(1 + y2)−1dy| sup
(x,y)∈R 2
(1 + y2)|ϕ(x, y)|
≤ π sup
(x,y)∈R 2
(1 + x2+ y2)X
|α|≤1
|Dαϕ(x, y)|
Như vậy f ∈ S0
(R2)
(iii) Với ϕ ∈ D(R2), supp ϕ ⊂ [−1, 1] ì [1, 2], từ đánh giá
|hf, ϕi| = |
Z 1 0
dx
Z 2 1
ϕ(x, y)dy| ≤ sup
(x,y)∈R 2
|ϕ(x, y)|
có cấp của f trên [−1, 1] ì [1, 2] là 0
Giá của f : supp f = [0, 1] ì R vì
Trang 2• Với (x0, y0) /∈ [0, 1]ìR thì hoặc x0 < 0hoặc x0 > 1nên 0 = min{|x0|, |x0−1|} > 0 Chọn lân cận ω = (x0− 0, x0+ 0) ì (−1 + y0, 1 + y0) ∩ [0, 1] ì R = ∅ Do đó, với
ϕ ∈D(ω) có
hf, ϕi =
Z 1 0
dx
Z 1+y 0
−1+y 0
ϕ(x, y)dy = 0
• Với (x0, y0) ∈ [0, 1] ì R, thì 0 ≤ x0 ≤ 1nên lân cận ω bất kỳ chứa (x0, y0)đều chứa
điểm (x1, y1)sao cho 0 < x1 < 1nên ω ∩ (0, 1) ì R là tập mở khác rỗng
Khi đó, ta luôn chọn được hàm ϕ ∈ D(R2),
supp ϕ ⊂ ¯ωvà ϕ(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ ω ∩ (0, 1) ì R
Ta có
hf, ϕi =
Z 1 0
Z
R
ϕ(x, y)dy > 0
(iv) Với ϕ ∈ D(R2), supp ϕ ⊂ [−M, M ] ì [−M, M ](M > 1đủ lớn) có
hD(1,0)f, ϕi = −hf, D(1,0)ϕi
= −
Z M
−M
dy
Z 1 0
D(1,0)ϕ(x, y)dx
= −
Z M
−M
(ϕ(1, y) − ϕ(0, y))dy;
hD(0,1)f, ϕi = −hf, D(0,1)ϕi
= −
Z 1 0
dx
Z M
−M
D(0,1)ϕ(x, y)dy
= −
Z 1 0
(ϕ(x, M ) − ϕ(x, −M ))dx = 0
nên D(0,1)f = 0
(v) Hàm F : R2 → R xác định như sau
F (x, y) =
0 nếu x ≤ 0,
x nếu 0 ≤ x ≤ 1,
1 nếu x ≥ 1,
được coi như hàm suy rộng bằng cách
hF, ϕi =
Z
R2
F (x, y)ϕ(x, y)dxdy, ϕ ∈D(R2
)
Tích phân này hoàn toàn xác định do ϕ là hàm liên tục có giá compact nên tồn tại số M > 1 sao cho supp ϕ ⊂ [−M, M] ì [−M, M]
Khi đó tích phân đơn giản
hF, ϕi =
Z 1 0
dx
Z M
−M
xϕ(x, y)dy +
Z M 1
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy
Trang 3Kiểm tra tính tuyến tính, liên tục của hàm suy rộng F được xác định như trên bằng định nghĩa
Để kiểm tra D(1,0)F = f
hD(1,0)F, ϕi = −hF, D(1,0)ϕi
= −
Z 1 0
dx
Z M
−M
xD(1,0)ϕ(x, y)dy −
Z M 1
dx
Z M
−M
D(1,0)ϕ(x, y)dy
= −
Z M
−M
dy
Z 1 0
xD(1,0)ϕ(x, y)dx −
Z M
−M
dy
Z M 1
D(1,0)ϕ(x, y)dx
=
Z M
−M
dy
Z 1 0
ϕ(x, y)dx −
Z M
−M
ϕ(1, y)dy −
Z M
−M
(ϕ(M, y) − ϕ(1, y))dy
=
Z M
−M
dy
Z 1 0
ϕ(x, y)dy = hf, ϕi
Ta sẽ chứng minh F ∈ S0 bằng cách kiểm tra bất đẳng thức
|hf, ϕi| ≤ C sup
(x,y)∈R 2
(1 + x2+ y2)m X
|α|≤m
|Dαϕ(x, y)|
với C, m là các hằng số không phụ thuộc ϕ (kể cả giá của nó!)
Do ϕ có giá compact nên có số M > 1 để supp ϕ ⊂ [−M, M] ì [−M, M]
Khi đó,
|hF, ϕi| = |
Z 1 0
dx
Z M
−M
xϕ(x, y)dy +
Z M 1
dx
Z M
−M
ϕ(x, y)dy|
≤
Z M 0
dx
Z M
−M
|ϕ(x, y)|dy
≤
Z M 0
dx
Z M
−M
(1 + x2+ y2)2(1 + x2)−1(1 + y2)−1|ϕ(x, y)|dy
≤ π2 sup
(x,y)∈R 2
(1 + x2+ y2)2 X
|α|≤2
|Dαϕ(x, y)|
Như vậy F ∈ S0
(R2)
Câu 2 Do hàm Dirac có biến đổi Fourier Fδ = (2π)−3/2 là hàm hằng nên δ ∈ Wk
(R2)khi
và chỉ khi (1 + ||ξ||2)k khả tích, với ||ξ||2 = ξ2
1 + ξ2
2+ ξ2
3 Mà
Z
R3
(1 + ||ξ||2)kdξ =
Z 2π 0
dϕ
Z π 0
dθ
Z ∞ 0
(1 + r2)kr2sin θdr
nên (1 + ||ξ||2)kkhả tích khi k < −3
2.