Hàm suy rộng và nghiệm của một số lớp toán tử Elliptic tuyến tính

C0∞Rn Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rn và có giá compactC0pRn Tập các hàm trong CpRn có giá compact DRn Tập tất cả các hàm thử trên Rn D0 Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên DRn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thànhluận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnh TuyênQuang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, Ban Giám hiệu trường THCS VănPhú - Sơn Dương - Tuyên Quang, Tổ Toán - Lý đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Trần Quang Trung

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng Trong quátrình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Trần Quang Trung

Mục lục

1.1 Toán tử vi phân 1

1.2 Công thức Green 2

1.3 Một số hàm đặc biệt 4

1.3.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) 4

1.3.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) 5

1.3.3 Hàm Hankel 5

2 Hàm suy rộng 8 2.1 Hàm suy rộng 8

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 8

2.1.2 Đạo hàm của hàm suy rộng 16

2.1.3 Tích trực tiếp 21

2.1.4 Hàm suy rộng tăng chậm 22

2.1.5 Tích chập 23

2.1.6 Đại số tích chập D0+ 24

2.2 Biến đổi Fourier 25

2.3 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính 34

2.3.1 Nghiệm cơ bản 34

2.3.2 Toán tử vi phân không dừng 39

iii

3 Nghiệm của một số lớp toán tử elliptic tuyến tính 42

3.1 Toán tử với hệ số hằng 42

3.2 Toán tử Laplace 46

3.3 Toán tử Helmholtz 49

3.4 Toán tử Cauchy - Riemann 52

3.5 Toán tử không thuần nhất 53

C0∞(Rn) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rn và có giá compact

C0p(Rn) Tập các hàm trong Cp(Rn) có giá compact

D(Rn) Tập tất cả các hàm thử trên Rn

D0 Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên D(Rn)

D0+ Lớp các hàm suy rộng trên D0(R1) và triệt tiêu với t < 0

F−1 Phép biến đổi Fourier ngược

Kv Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v

L(D) Toán tử vi phân tuyến tính

S(x0, r) Mặt biên của hình cầu B(x0, r)

Sn(1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị



= 2π

n 2

Γ(n2)



S0(Rn) Tập các hàm suy rộng trên S(Rn), S0(Rn) ⊂ D0(Rn)S[f (x0)] Hàm bước nhảy f tại x0

u∗(x, ξ) Nghiệm cơ bản

x (= (x1, , xn)) một điểm trong Rn; điểm miền

F × G Tích có hướng của hai vecto

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp vớicác bài toán vật lý Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêngthường gặp trong vật lý đã dẫn đến một ngành mới là phương trình Vật lýToán vào giữa thế kỷ XVIII Những người đặt nền móng cho ngành khoahọc này là J.D’ Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli(1700-1782), J.Lagrange (1763-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poison(1781-1840), J Fourier (1768-1830) Các ý tưởng và phương pháp nghiêncứu của họ khi xem xét các bài toán cụ thể của Vật lý Toán đã ảnh hưởngrất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát phương trình đạo hàm riêngvào cuối thế kỷ XIX

Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ mật thiết vớicác ngành toán học khác như giải tích hàm và lý thuyết hàm, topo, đại

số, giải tích phức, phương trình vi phân Lý thuyết phương trình đạohàm riêng sử dụng rộng rãi các khái niệm cơ bản, các tư tưởng và cácphương pháp của các lĩnh vực toán học trên, nó có ý nghĩa quan trọngtrong việc phát triển ngành Vật lý Toán

Nhiều bài toán trong Vật lý Toán và toán ứng dụng dẫn đến bài toánbiên đối với phương trình đạo hàm riêng Một số bài toán có thể giảiđược bằng các phương pháp thông thường của lý thuyết phương trìnhđạo hàm riêng Tuy nhiên mô hình toán của Vật lý lượng tử đòi hỏi một

vii

lĩnh vực mới đó là hàm suy rộng, lý thuyết phân bố Sự ra đời của lýthuyết này làm nảy sinh khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân.

Đó là nghiệm của toán tử vi phân khi vế phải là phiếm hàm Delta Dirac (nguồn là một điểm) Sự xuất hiện của các khái niệm này đã tạonên một bước ngoặt mới trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng cả

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nghiệm của bài toán biên đối với toán tử elliptic tuyếntính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết hàm suy rộng

• Nghiên cứu nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính

• Nghiên cứu giải bài toán biên đối với một số toán tử elliptic tuyếntính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Hàm suy rộng, khái niệm, các phép toán, biến đổi Fourier, tích chập

- Ứng dụng của hàm suy rộng đối với toán tử vi phân tuyến tính

- Nghiệm cơ bản, nghiệm của bài toán biên

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích tổng hợp từ tài liệu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và phương trình đạohàm riêng

6 Những đóng góp của đề tài

- Trình bày những vấn đề cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng mộtcách hệ thống

- Trình bày khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính

- Tìm nghiệm cơ bản, từ đó tìm nghiệm của bài toán biên đối vớimột số toán tử elliptic tuyến tính như các toán tử: Laplace, Helmholtz,Cauchy-Riemann

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Toán tử vi phân

Trong luận văn này ta ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số tự nhiên,

R là tập các số thực, C là tập các số phức với đơn vị ảo

√

−1 = i, R+ làtập các số thực không âm, Nn = {k = (k1, k2, , kn)|kj ∈ N, j = 1, 2, }

Rn = x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, n là không gian thực n-chiều

Γ(n2) là diện tích mặt cầu đơn vị trong Rn ε-lân cận của tập

A ⊂ Rn là: Aε = ∪

x∈AB(x, ε)

Ta gọi mỗi phần tử k = (k1, k2, , kn) ∈ Nn là bộ n-chỉ số (hay đa chỉsố) với bậc |k| = k1 + k2 + + kn, với mỗi đa chỉ số k toán tử vi phânđược xác định bởi:

Dku(x) = ∂

|k|u(x1, , xn)

∂x1k1 ∂xnkn , D0u(x) = u(x),

1

D = (D1, , Dn), Di = ∂

∂xi; với i = 1, n.

Với các đạo hàm cấp thấp thì ta có thể viết uxi, uxixj Hơn nữa ta sẽ

sử dụng xk = x1k1 xnkn và k! = k1! kn!, với n = 2 hoặc n = 3 ta viết

x, y, z thay cho x1, x2, x3 Một toán tử vi phân tuyến tính L có cấp p của

n biến độc lập x1, , xn được ký hiệu

|k|≤p

trong đó ak(x) = a(k1 kn)(x1 xn) là các hàm đã cho Chẳng hạn với toán

tử vi phân cấp hai tổng quát của hai biến số là:

L∗v = X

|k|≤p

(−1)|k|Dk(akv) (1.1.3)

Nếu ak(x) = ak là hằng số thì L∗(D) = L(−D) Một toán tử được gọi là

tự liên hợp nếu L = L∗ Ví dụ toán tử Laplace ∇2 là tự liên hợp

1.2 Công thức Green

Nếu không có gì đặc biệt ta ký hiệu Ω là một tập mở của Rn

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn giới hạn bởi một mặt cong ∂Ωđịnh hướng, trơn từng mảnh và cho w, f là các hàm vô hướng, G là hàmvecto thuộc lớp C1(Ω) Khi đó ta có:

trong đó cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) là các cosin chỉ hướng của n Nếu

ta lấy M = u∂x∂v, N = u∂v∂y, P = u∂v∂z, thì (1.2.4) cho ta

và được gọi là định lý tương hỗ của Green

Chú ý: Các công thức Green vẫn đúng nếu miền Ω giới hạn bởi một sốhữu hạn mặt cong kín Nếu ta cho v = 1 trong (1.2.6), thì

1.3.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1)

x2

v+2k

hln(x

2

k − n

− 1π

ở đây γ = 0, 5772156 là hằng số Euler và

ϕ(p) = 1 + 12 + 13 + + 1p, ϕ(0) = 0

Với n = 0.

Y0(x) = 2

π

hln(x

Y−n(x) = (−1)nYn(x), n = 0, 1, 2,

Hàm Hankel (Hàm Bessel loại 3)

Hàm Hankel loại 1 và loại 2 được xác định như sau:

x 2

v+2k

.Loại II:

Kv(x) = π

2

I−v(x) − Iv(x)sinvπ

Ta nói giá của hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp ký hiệu suppf và đượcxác định bởi suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} Nếu K là một tập compacttrong Rn ta ký hiệu DK là tập hợp DK = {f ∈ C∞(Rn) : suppf ⊆ K}

8

Định nghĩa 2.1.1 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp

D(Ω) = φ ∈ C∞(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω Khi đó ta gọiD(Ω) là không gian các hàm thử (test function)

Dễ thấy D(Ω) = S∞

j=1DKj(Ω) nên D(Ω) là không gian vectơ

Theo trên ta có DK(Ω) là không gian Fréchet Ký hiệu τK là topo trên

DK(Ω), β là họ tất cả các tập W cân, lồi của D(Ω) sao cho DK∩ W ∈ τKvới mọi tập compact K ⊂ Ω Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng

φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β, khi đó τ là một topo trên D(Ω) Thậtvậy, với V1, V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2, ta chỉ cần chứng minh ∃W ∈ β saocho φ + W ⊂ V1 ∩ V2 Ta có, do φ ∈ Vi, (i = 1, 2) nên tồn tại φi ∈ D(Ω)

và Wi ∈ β sao cho

φ ∈ φi + Wi, (i = 1, 2)

Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK, (i = 1, 2) Do DK ∩ Wi

mở trong DK nên tồn tại λi > 0, i = 1, 2 sao cho:

Vậy τ là một topo trong D(Ω)

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tíchhiện đại, nó là công cụ để xây dựng nhiều khái niệm mới mở rộng cáckhái niệm đã có Sau đây ta thừa nhận các tính chất của D(Ω)

Định lí 2.1.2 Cho không gian D(Ω) với topo τ Ta có:

1 Dãy các hàm {φl}∞l=1 hội tụ theo topo τ tới φ0 trong D(Ω) khi và

với mọi đa chỉ số k.

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con

bị chặn trong DKj(Ω) Đặc biệt nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω)thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội tụ trongD(Ω)

3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khivới mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho

Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D0(Ω)

Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyênkhông âm N , sao cho

|hu, φi| ≤ c X

|k|≤N

sup Dkφ , (2.1.3)

với mọi φ ∈ D(Ω) và supp φ ⊂ K

Số N nhỏ nhất thỏa mãn (2.1.3) được gọi là cấp của hàm suy rộng.Chú ý: hf, 0i = 0 và

f,

|hf, φi| =

R

|x|=ε

εlnε∂φ∂rdS

≤ C|εlnε| R

|x|=ε

dS → 0, khi ε → 0+.Xét I2

2.1.3 Tích trực tiếp

Cho f (x) và g(x) tương ứng là hai hàm khả tích địa phương trong

Rn và Rm Khi đó, tích trực tiếp f (x).g(y) là hàm khả tích địa phươngtrong Rn+m và xác định hàm suy rộng chính quy trên không gian hàmthử φ(x, y) ∈ D(Rn+m) theo quy tắc:

hf (x).g(y), φi = hf (x), hg(y), φii ,

hf (x).g(y), φi = hg(y), hf (x), φii

(2.1.24)

Một số tính chất của tích trực tiếp:

(i) Tích trực tiếp f (x).g(y) là tuyến tính và liên tục theo f từ D0(Rn) →

D0(Rn+m), theo g từ D0(Rm) → D0(Rn+m) tức là:

[λf1(x) + µf2(x)].g(y) = λ[f1(x).g(y)] + µ[f2(x).g(y)],

với mọi f1,2 ∈ D0(Rn), g ∈ D0(Rm) và fn(x).g(y) → 0 khi n → ∞ trong

D0(Rn+m) nếu fn → 0 trong D0(Rn)

(ii) Tính giao hoán: f (x).g(y) = g(y).f (x) với ∀f ∈ D0(Rn), g ∈ D0(Rm).(iii) Tính kết hợp: f (x).[g(y).h(z)] = [f (x).g(y)].h(z), trong đó f ∈

D0(Rn), g ∈ D0(Rm) và h ∈ D0(Rp)

(iv) Phép lấy vi phân: Dk[f (x).g(y)] = Dkf (x).g(y)

(v) Phép nhân: Nếu a ∈ C∞(Rn) thì a(x)[f (x).g(y)] = a(x)f (x).g(y).(vi) Phép tịnh tiến: (f.g)(x + a, y) = f (x + a).g(y), ∈ Rn

Theo định nghĩa (2.1.24) nếu f ∈ D0 thì

với η là một hàm bất kỳ thuộc lớp C∞(Rn) bằng 1 trong một lân cậncủa suppf Thật vậy, với bất kỳ φ ∈ D, suppf và supp(1 − η)f là rờinhau Do đó, theo (2.1.5),

hf − ηf, φi = hf, (1 − η)φi = 0

2.1.4 Hàm suy rộng tăng chậm

Gọi S = S(Rn) là tập tất cả các hàm thử φ(x) ∈ C∞(Rn) cùng với

các đạo hàm của nó tiến tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn mọi lũy thừa của

|x|−1 Một hệ các chuẩn trên S được xác định bởi

Cm,k đều với mọi x ∈ Rn Không gian S là một không gian đếm được

chuẩn, đầy đủ, gọi là không gian các hàm giảm nhanh Bởi vậy topo của

nó xác định qua sự hội tụ của dãy Cụ thể, một dãy {φj} , j = 1, 2 , các

hàm thử trong S hội tụ tới một hàm thử φ ∈ S khi và chỉ khi với mỗi k,

dãy Dkφj hội tụ đều trên Rn tới Dkφ Ta thấy D ⊂ S và tập D là trù

mật trong S Thật vậy, với mỗi số tự nhiên k hình cầu đóng B1(0) là tập

compact trong Rn khi đó lấy hàm ψ ∈ D(Rn) mà ψ(x) = 1, x ∈ B1(0)

và suppψk ⊂ B2(0) Đặt ψk(x) = ψ(k1x), φk = ψkφ có

Dβφk(x) = Dβ(ψkφ)(x) = ψk(x)Dβφ(x)+1

kX

Tập của các hàm suy rộng (các phiếm hàm tuyến tính liên tục) trên

S(Rn) ký hiệu bởi S0 = S0(Rn) Như vậy một phiếm hàm tuyến tính

là liên tục khi và chỉ khi hf, φji → 0 khi j → ∞ trong S Không gian

S0(Rn) ⊂ D0(Rn) và phần tử của S0 được gọi là hàm suy rộng tăng

chậm Như vậy một hàm suy rộng tăng chậm chính quy là hf, φi =

R

Rn

f (x)φ(x)dx, ở đây f là hàm khả tích địa phương trong Rn, sao cho có

một đa thức P (x) với |f (x)| ≤ P (|x|), ∀x ∈ Rn Nói chung mỗi hàm suyrộng có giá compact là hàm suy rộng tăng chậm Ví dụ một hàm suyrộng tăng chậm kỳ dị là hàm Delta Dirac.

Định lí 2.1.12 (Định lý Schwarfz) Điều kiện cần và đủ để một hàmsuy rộng f ∈ S thuộc S0 (tức là, liên tục trên S) là tồn tại các số nguyên,

p ≥ 0 và một số thực C > 0 sao cho với mỗi φ ∈ S ta có bất đẳng thức

| hf, φi | ≤ C||φ||p, trong đó ||φ||p được xác định bởi (2.1.26)

|g(y)f (x − y)|dy tồn tại đồng thời, cả hai cùng khả

tích địa phương trên Rn và thỏa mãn bất đẳng thức |(f ? g)(x)| ≤ h(x)với hầu hết x

Tích chập f ? g là một phép toán từ D0 vào D0 đối với hàm f và g, làhàm suy rộng, xác định bởi:

hf ? g, φi = hf (x).g(y), φ(x + y)i , φ ∈ D(Rn) (2.1.28)Tích chập của một phân bố với hàm Delta tồn tại và f ? δ = δ ? f = f Điều đó có nghĩa là bất kỳ phân bố f nào cũng có thể biểu diễn qua δmột cách hình thức bởi f (x) = R

Rn

f (ξ)δ(x, ξ)dξ Sự biểu diễn này có ýnghĩa Vật lý là: Mỗi vật thể đều cấu tạo từ các điểm khối lượng, mỗinguồn đều cấu tạo từ các điểm nguồn Tuy nhiên, nói chung f ? gkhông liên tục từ D0 vào D0 theo f và g; chẳng hạn, δ(x − n) → 0 khi

n → ∞ trong D0(R2) nhưng 1 ? δ(x − n) = 1 9 0 khi n → ∞ trong

D0(R1) Chú ý rằng tích chập tồn tại nếu f là một hàm tùy ý và g làmột hàm suy rộng hữu hạn

Một số tính chất của tích chập:

(i) Tính chất tuyến tính: (λf1+ µf2) ? g = λ(f1? g) + µ(f2? g), f1,2 ∈ D0,nếu các tích chập f1 ? g và f2 ? g tồn tại

(ii) Tính chất giao hoán: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì g ? f cũng tồntại và f ? g = g ? f

(iii) Phép lấy vi phân: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì Dkf ? g và f ? Dkgcũng tồn tại và Dkf ? g = Dk(f ? g) = f ? Dkg

(iv) Phép tịnh tiến: Nếu tích chập f ? g tồn tại, thì f (x + a) ? g(x) cũngtồn tại và f (x + a) ? g(x) = (f ? g)(x + a), a ∈ Rn

2.1.6 Đại số tích chập D0+

Gọi D0+ là lớp tất cả các hàm suy rộng trong D0(R1) triệt tiêu tại

t < 0 Khi đó, nếu f, g ∈ D0+, thì tích chập f ? g tồn tại và

hf ? g, φi = hf (t).g(τ ), η1(τ )η2(τ )φ(t − τ )i , φ ∈ D(R1), (2.1.29)trong đó η1 và η2 là các hàm bất kỳ trong C∞(R1), bằng 1 trong lâncận của nửa trục [0, ∞) và bằng 0 với mọi t < 0 đủ lớn (về giá trịtuyệt đối) Tích chập là liên tục theo f , theo g, tức là, fn → 0 khi

n → ∞ trong D0, fn ∈ D+0 , kéo theo fn ? g → 0 khi n → ∞ trong

D0 Tích chập của hàm suy rộng trong D+0 là kết hợp (và giao hoán):

f1 ? (f2 ? f3) = (f1 ? f2) ? f3 = f2 ? (f1 ? f3) Như vậy, lớp D0+ là một đại

số kết hợp và giao hoán nếu phép nhân là tích chập ? Đại số đó đượcgọi là đại số tích chập, với hàm δ là phần tử đơn vị: δ ? f = f

Hàm f (x − a) hàm tịnh tiến hàm khả tích địa phương f (x)theo vecto a sinh hàm suy rộng

Công thức xác định với hàm suy rộng kỳ dị

Ví dụ... dạng (2.1.4) Mỗi hàm suyrộng sinh f ∈ L1,loc(Rn) gọi quy

Mọi hàm suy rộng khác gọi kỳ dị cơng thức (2.1.4) cóthể dùng cách hình thức cho hàm suy rộng

Chú... δξ tuyến tính liêntục D(Rn) hàm suy rộng với cực ξ Ta chứng tỏrằng δ0 (kí hiệu đơn giản δ) hàm suy rộng kỳ dị Thật vậy, giả sử

δ quy, tồn hàm f (x) khả tích