Lý thuyết hàm suy rộng và không gian sobolev

Trong bài giảng “Hàm suy rộng và Không gian Sobolev” tôi có trình bày sơ qua về Không gian Sobolev. Trong cách trình bày đó, tôi đã sử dụng phép biến đổi Fourier như một công cụ chính nên mới chỉ dừng lại L^2. Tôi xin giới thiệu một cách trình bày Không gian Sobolev khác qua Đạo hàm suy rộng. Bài giảng này tôi đã trình bày tại Tổ Bộ môn Giải tích, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN.

Lý thuyÕt Hµm suy réng vµ Kh«ng gian Sobolev

§Æng Anh TuÊn

Hµ Néi, ngµy 20- 11- 2005

Nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu Ω là tập mở trong Rn.

Với mỗi k ∈ Z+ ký hiệu các tập như sau:

Ck(Ω) = {u : Ω → C ukhả vi liên tục đến cấp k}, C(Ω) = C0(Ω) = {u : Ω liên tục−→ C},

C0k(Ω) = {u : Ω → C u ∈ Ck(Ω), supp u là tập compact}, C0(Ω) = C00(Ω),

C∞(Ω) = ∩∞k=1Ck(Ω), C0∞(Ω) = ∩∞k=1C0k(Ω),

trong đó, supp u = cl{x ∈ Ω u(x) 6= 0}

Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu

Lp(Ω) = {u : Ω −→đđ

LebesgueC

Z

x∈Ω

|u(x)| < +∞},

trong đó, ess supx∈Ω|u(x)| = inf{M > 0

+ có công thức Leibnitz

Dα(uv) = X

β≤α

αβ

Định nghĩa 1.1 Cho Ω là một tập trong Rn.Một họ đếm được các cặp {(Ωj, ϕj)}∞j=1,trong

đó Ωj là tập mở trong Rn, ϕj là hàm thuộc lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rn,được gọi làmột phân hoạch đơn vị của tập Ω nếu các tính chất sau được thoả mãn:

(i) {Ωj}∞

=1 là một phủ mở của Ω, (Ω ⊂ ∪∞

j=1Ωj, Ωj là tập mở),(ii) 0 ≤ ϕj(x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, ,

Để chứng minh định lý ta cần một số kết quả sau

Từ đây trở đi, ký hiệu hàm ρ : Rn→ R là hàm được xác định như sau

ρ(x) :=

(Ce

1

||x||2−1, nếu||x|| < 1,

0, nếu ||x|| ≥ 1,trong đó, C là hằng số sao cho RRnρ(x)dx = 1

Để ý rằng, hàm ρ có các tính chất sau

(i) ρ ∈ C∞

0 (Rn), supp ρ = ¯B1(0) = {x ∈ Rn ... D0

(R), ta nói F nguyên hàm suy rộng hàmsuy rộng f đạo hàm suy rộng F f, nghĩa DF = f

Mệnh đề 1.5 Mọi hàm suy rộng f ∈ D0

(R) có nguyên hàm suy rộng

Chứng minh... với hàm suy rộng f ∈ D0

(R), ln có họ ngun hàm suy rộng màhai nguyên hàm họ sai khác hàm suy rộng biểu diễn dạng hàmkhả tích địa phương

1.2.4 Cấp hàm suy rộng< /h3>... gian hàm D(Ω), không gian hàm suy< /h3>

rộng D0(Ω)

1.2.1 Không gian hàm D(Ω)

Định nghĩa 1.2 Không gian D(Ω) không gian gồm hàm ϕ ∈ C∞