Ổn định hóa hệ Navier - Stokes

Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi dựa trên phương trình Riccati đạt được cao high-gain Riccati-based feedback.. Trong nhiều trường hợp nghiệm dừng ye của hệ N

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luônđộng viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2013

Tác giả

Ngô Thị Hồng Trang

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Cung Thế Anh, luận văn Thạc sĩchuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Ổn định hóa hệ Navier-Stokes” được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2013

Tác giả

Ngô Thị Hồng Trang

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1.Các không gian hàm và các toán tử 6

1.1.1 Các không gian hàm 6

1.1.2 Các toán tử 7

1.2.Các bất đẳng thức để đánh giá số hạng phi tuyến 8

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy 8

1.2.2 Bất đẳng thức H¨ older 9

1.2.3 Bất đẳng thức Poincaré 9

1.3.Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 9

1.4.Tính ổn định của nghiệm dừng 9

1.5.Toán tử Stokes-Oseen 10

1.6.Tính chất phổ của toán tử Stokes-Oseen 12

Chương 2 Ổn định hóa hệ Navier-Stokes 14

2.1.Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ 14

2.1.1 Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes-Oseen 15

2.1.2 Ổn định hóa hệ Stokes-Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ 20

2.1.3 Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi dựa trên phương trình Riccati đạt được cao (high-gain Riccati-based feedback) 22

2.1.4 Ổn định hóa bên trong miền: Phản hồi dựa trên phương trình Ricati đạt được thấp (low-gain Riccati-based feedback) 30

2.2.Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ phương trình Navier-Stokes 35 2.2.1 Ổn định hóa biên tiếp tuyến của hệ Stokes-Oseen 36

2.2.2 Điều khiển phản hồi biên ổn định hóa bằng phương trình Riccati đạt được thấp 45

2.2.3 Ổn định hóa phản hồi biên của hệ phương trình Navier-Stokes 49

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng

và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát,

và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàngkhông, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng và năng lượng đượcviết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng:

∂y

∂t (t, x) − ν∆y (t, x) + (y · ∇) y (t, x) = ∇p (t, x) + f (t, x) , t ≥ 0, x ∈ O,(∇ · y) (t, x) ≡ 0,

trong đó, y = (y1, y2, , yd) là hàm vận tốc, p = p (t, x) là áp suất, f = (f1, , fd) làngoại lực, ν là hệ số nhớt và y0 là vận tốc ban đầu Biên ∂O được giả sử là trơn (thuộclớp C2), f ≡ fe(x), trong đó fe ∈ (L2(O))d Những vấn đề lý thuyết cơ bản đặt ra khinghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes là:

- Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể lànghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theobiến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính quy theo biến không gian(tính chính quy Hilbert, tính chính quy H¨older, mô tả tập điểm kì dị, )

- Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t

ra vô cùng Nói riêng, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định củanghiệm dừng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dựđoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnhthích hợp để đạt mục đích mong muốn

Trong nhiều trường hợp nghiệm dừng ye của hệ Navier-Stokes có thể không ổn định,khi đó ta có thể dùng một hàm điều khiển u thích hợp được thiết kế dưới dạng phản

hồi u = γ(y − ye) (có thể là hàm điều khiển ở bên trong miền hoặc hàm điều khiển ởtrên biên của miền) sao cho mọi nghiệm y của hệ với điểm ban đầu y0 ở gần nghiệmdừng này đều hội tụ theo tốc độ mũ về nghiệm dừng đang xét, tức là ta đã ổn định hóanghiệm dừng này Đây là nội dung của một hướng nghiên cứu được phát triển mạnhtrong những năm gần đây: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes Những kết quả rất gần đây

về hướng nghiên cứu này được đúc kết trong cuốn chuyên khảo [3] của V Barbu.Bài toán ổn định hóa hệ Navier-Stokes với các hàm điều khiển khác nhau đã và đang

là vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Ổn định hóa hệNavier-Stokes"

Luận văn được cấu trúc thành 2 chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bàynhững kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau: không gian Sobolev,không gian hàm liên quan đến hệ Navier-Stokes, các kết quả về sự tồn tại nghiệm và

sự tồn tại nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes Trong Chương 2, chúng tôi trình bày cáckết quả của V Barbu trong [3], [4], [5]: Ổn định hóa hệ Navier-Stokes bằng điều khiểnbên trong miền và bằng điều khiển trên biên

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes trong cả hai trường hợp:Hàm điều khiển có giá ở bên trong miền và hàm điều khiển có giá ở trên biên của miền

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dừng của bài toán

• Thiết kế hàm điều khiển ngược (feedback controller) để nghiệm dừng là ổn định

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes

• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán ổn định hóa nghiệm dừng

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp Galerkin

• Nghiên cứu bài toán ổn định hóa: Phương pháp phân tích phổ

6 Ý nghĩa khoa học và đóng góp của đề tài

Nội dung của luận văn là nghiên cứu bài toán ổn định hóa đối với hệ Navier-Stokes.Kết quả chính của luận văn là: Ổn định hóa được nghiệm dừng bằng cách thiết kế hàmđiều khiển ngược thích hợp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các không gian hàm và các toán tử

Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm và các toán tử thường dùng khinghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes

H = ¯V(L2(O))d = bao đóng của V trong (L2(O))d

Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là

Gọi H⊥ là phần bù trực giao của H trong (L2(O))d Từ kết quả trong Temam [7] tacó

H⊥ =y ∈ (L2

(O))d: y = grad p, p ∈ H1(O) Gọi V0 là không gian đối ngẫu của V Ký hiệu | · |, || · || lần lượt là chuẩn trong H và

V , || · ||∗ là chuẩn trong V0

1.1.2 Các toán tử

Toán tử A

Giả sử A : V → V0 là toán tử xác định bởi

hAy, zi = ((y, z)), với mọi y, z ∈ V

Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có:

D(A) = {y ∈ H : Ay ∈ H} = (H2(O))d∩ V

Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và cónghịch đảo A−1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H01 ,→ L2(O) là compact Do đóphổ của A gồm toàn giá trị riêng {λj}∞j=1 với

b(y, z, w) = −b(y, w, z), với mọi y, z, w ∈ V

Nói riêng b(y, z, w) = 0, với mọi y, z ∈ V Để thiết lập các đánh giá đối với b(y, z, w),

L 2 (O)k∇zk

1 2

L 2 (O), với mọi z ∈ H01(O)

Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d = 3

kzkL4 (O) 6 C kzk

1 4

L 2 (O)k∇zk

3 4

L 2 (O), với mọi z ∈ H01(O)

hB(y, z), wi = b(y, z, w) với mọi y, z, w ∈ V.

Đặt By = B(y, y) Khi đó bài toán đã cho có thể phát biểu dưới một trong hai dạngsau đây

Bài toán 1 Cho trước y0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Tìm hàm y ∈ L2(0, T ; V ) thỏamãn

B(x,r)

ydy := Trung bình của y trên hình cầu B(x, r)

1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lí 1.1 (xem [2]) Cho trước y0 ∈ H và f ∈ L2(0, T, V0) Khi đó bài toán 1 códuy nhất nghiệm một nghiệm y thỏa mãn

1

!,

trong đó, c1, c2 chỉ phụ thuộc vào miền O Khi đó Bài toán 1 có duy nhất một nghiệmdừng ye và nghiệm dừng này là ổn định

trong không gian

H =ny ∈ L2(O)
d; ∇ · y = 0, y · n = 0 trên ∂Oo,trong đó

Ay = −P ∆y, ∀y ∈ D(A) = H01(O) ∩ H2(O)
d∩ H

P là phép chiếu Leray và S = P (y · ∇y)y

Với 0 < α < 1, ta ký hiệu Aα là lũy thừa phân số bậc α của toán tử A Không gianD(Aα) được trang bị chuẩn Hilbertian

|y|α = |Aαy| , ∀y ∈ D(Aα)

Đặc biệt, D(A1) = V = (H1

0 (O))d∩ H, và

D (As) = H02s(O)
d∩ H, với 0 < s < 1

2,D(As) = H2s(O)
d∩ V, 1

2 ≤ s ≤ 1

Ta ký hiệu | · | là chuẩn của H và (., ) là tích vô hướng của nó

Nghiệm dừng của (1) là nghiệm ye∈ D(A) của phương trình trạng thái dừng

bằng hàm điều khiển ngược với giá ở bên trong tập con mở O0 ⊂ O hoặc ở trên biên

∂O Thật vậy, với số Reynolds Re = 1

ν đủ lớn thì nghiệm này là không ổn định, vì vậy,

ổn định hóa nghiệm dừng này là vấn đề lớn của động lực học chất lỏng Để đơn giảnhơn ta quy về bài toán ổn định cho ye dần tới nghiệm 0 bằng cách cho y − ye⇒ y vàbiến đổi (1) thành

Ay = νAy + A0y, ∀y ∈ D(A),

D (A) = D (A) , A0y = P ((ye· ∇) y + (y · ∇) ye) (1.4)Toán tử A được gọi là toán tử Stokes-Oseen với nghiệm dừng ye

Để ổn định hóa hệ (1.2), ta thiết kế hàm điều khiển ngược u có dạng

Ở đây, m = 1O 0 là hàm đặc trưng của miền mở O0 ⊂ O Điều này có nghĩa là đầu vào

mu = mF y có giá trong (0, ∞) × O Hàm điều khiển như vậy được gọi là hàm điều

khiển bên trong miền Bài toán liên quan được gọi là ổn định hóa trên biên là thiết kếhàm điều khiển ngược u với giá ở trên biên ∂O, tức là cho hàm điều khiển ngược

Trong hệ Navier- Stokes (1) ta có thể thay điều kiện biên Dirichlet bằng điều kiện biêntuần hoàn trong Rd có dạng

y(t, x + le) ≡ y(t, x), ∀x ∈ Rd,trong đó l ∈ N, x = (x1, , xd), e = (e1, e2, , ed) là các vectơ unita, trong trường hợpnày, hệ (1) có thể viết lại thành (1.3), trong đó H là không gian các vectơ tự do tuầnhoàn thỏa mãn ∇ · y = 0

1.6 Tính chất phổ của toán tử Stokes-Oseen

Xét toán tử A định nghĩa bởi (1.4) và định nghĩa lại bởi mở rộng A của nó trênkhông gian phức eH = H + iH Ta ký hiệu | · |He (hay | · | ) là chuẩn của eH và ký hiệu(., ) là tích vô hướng của H và eH

Ta bắt đầu với tính chất phổ cơ bản của A

Mệnh đề 1.1 Với Re λ ≤ −α0, α0đủ lớn, toán tử A chứa giải thức compact (λI − A)−1

và −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm giải tích e−At trên eH

Chứng minh Từ (1.4) ta có A = νA + A0, A0 = P ((ye· ∇) y + (y · ∇) ye) Từ νA là

tự liên hợp, xác định dương trong khi |A0y| ≤ C|A1y|, ∀y ∈ D(A), ta suy ra −A làtoán tử sinh C0−nửa nhóm giải tích và

(λI − A)−1f

V ≤ C |f | / |λ + α0| , Reλ < −α0.Tính đến z = (λI − A)−1f là nghiệm của phương trình

f = λz − νAz − A0z

Vậy, với Reλ ≤ −α0, trong đó α0 đủ lớn

kzk2(H 2 (O)∩H 1 (O))d ≤ C |f |2He.Suy ra toán tử A có giải thức (λI − A)−1 compact Vì vậy, A có một số đếm đượccác giá trị riêng {λj}∞j=1 trong nửa không gian phức {λ ∈ C; Reλ > −α0}, với bội đại

số hữu hạn mj và các hàm riêng tương ứng ϕj

Chương 2

Ổn định hóa hệ Navier-Stokes

2.1 Ổn định hóa bên trong miền qua phân tích phổ

Hướng tiếp cận ổn định hóa đã được trình bày trong [3] cho hệ parabolic trừutượng Ở đây, ta tiếp tục phát triển nó trong trường hợp đặc biệt của hàm điều khiển

l là số các giá trị riêng khác nhau và mk là bội đại số của giá trị riêng λk Ở đây, Nđược chọn theo điều kiện

Re λj ≤ γ, j = 1, , N,

và γ > 0 tùy ý nhưng cố định

Ta định nghĩa M là số

nó có vai trò quan trọng trong quá trình ổn định hóa.

2.1.1 Ổn định hóa bên trong miền hệ Stokes-Oseen

Ổn định mũ toàn cục hệ điều khiển tuyến tính hóa liên kết với (1), tức là

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh định lí trong các trường hợp đặc biệt sau:

1◦ Các giá trị riêng λj, j = 1, , N là nửa đơn

Trong trường hợp này các hệ {ϕj}Nj=1 và ϕ∗

j

N j=1 được chọn song song trực giao, tứclà

trong phần hữu hạn chiều

i=1yiϕivà Au = A |Xu , As= A |Xs , Xu = PN( eH) = lin span {ϕj}Nj=1,

Xs = (I − PN) eH Thực tế Xs có thể định nghĩa tương đương như lin span {ϕj}∞N +1

ở đó z(t) = {yj(t)}Nj=1, z0 = (y)0

j

N j=1 và B = (ϕ∗i, ϕ∗j)0 M,N

i,j=1 Trong đó, Λ là matrận đường chéo N × N

||e−As t||L( eH, eH) ≤ Ce−γt, ∀t ≥ 0,

Chứng minh Nếu M = N , lấy φj = PN∗ϕj, j = 1, , N Thật vậy, từ hệ {PN∗ϕj}Nj=1độc lập tuyến tính trên O0 ta có det B 6= 0 và vì vậy det D 6= 0 Suy ra hệ (2.17) điềukhiển được chính xác trên đoạn [0, T ].

Giả sử rằng M được lấy từ (2.3) nhỏ hơn N Ma trận Jordan J có dạng sau

Để đơn giản ta giả sử các Jl khác nhau, tức là λj 6= λi và ˜mi = mi Ta bắt đầu vớiphương trình

2.1.2 Ổn định hóa hệ Stokes-Oseen bằng hàm điều khiển ngược tỉ lệ

Ổn định hệ (2.4) bằng hàm điều khiển ngược tuyến tính u có dạng

Ta xây dựng Định lí 2.1 trong không gian thực H Tính đến

y(t) = Re y(t) + iIm y(t), φj = Re φj + iIm φj, vj = Re vj+ iIm vj, j = 1, , M∗

Từ Định lí 2.1 ta kết luận rằng tồn tại một hàm điều khiển u∗ : [0, ∞) → H có dạng

Trong đó, 1 < M∗ ≤ N và φj = ϕ∗j, j = 1, , M∗, nếu phổ là nửa đơn, trong khi

φj ∈ lin span {PN∗ϕi}Ni=1, j = 1, , M∗,

trong trường hợp tổng quát (xem (2.18)) Đặc biệt, nếu tất cả cá giá trị riêng λj, j =

1, , N là đơn thì M∗ = 2 (tương tự M∗ = 1 nếu tất cả các giá trị riêng là thực vàđơn)

|y∗(t)| ≤ Ce−γt|y0|, ∀t ≥ 0,và

2.1.3 Ổn định hóa bên trong miền qua hàm điều khiển ngược: Phản hồi

dựa trên phương trình Riccati đạt được cao (high-gain Riccati-basedfeedback)

Trong phần này, mục đích của chúng tôi là thu được hàm điều khiển ngược ổn địnhhóa qua phương trình đại số Riccati hữu hạn chiều liên kết với hệ tuyến tính hóa (2.4)

Ký hiệu (., ) là tích vô hướng trong không gian H hoặc trong không gian đối ngẫu của

H Ta đặt V = D(A1), W = D(A1) và ký hiệu k·k là chuẩn trong V Ký hiệu (., )0

là tích vô hướng trong (L2(O0))d Đầu tiên ta chứng minh kết quả ổn định hóa cho hệtuyến tính hóa Stokes-Oseen (2.4)

Định lí 2.3 Cho γ > 0 và M∗, N như trong Định lí 2.1 hoặc 2.2 Khi đó tồn tạimột toán tử tuyến tính tự liên hợp R : D(R) ⊂ H → H sao cho với các hằng số

0 < a1 < a2 < ∞ và C1 > 0,

a1|A14y|2 ≤ (Ry, y) ≤ a2|A14y|2, ∀y ∈ D(A14); (2.27)

(νAy + A0y − γy, Ry) + 1

Đầu tiên ta chứng tỏ rằng ϕ(y0) < ∞, ∀y0 ∈ D(A1) Ta đặt

(| · |M∗ là chuẩn Euclide trong không gian RM ) Từ Định lí 2.2, tồn tại cặp chuẩn (y, u)sao cho y ∈ L2(0, ∞; H) ∩ L2

loc(0, ∞; D(A)) Từ (2.34), với mỗi cặp ta có1

2

d

dt|y(t)|2+ ν ky(t)k2 ≤ |b(y, ye, y)(t)| + |Du| |y(t)| + γ|y|2

≤ C(|y(t)| ky(t)k + |y(t)|2+ |u(t)|2M∗)

≤ ν

2ky(t)k2+ C1(|y(t)|2+ |u(t)|2M∗), ∀t > 0

Do đó y ∈ L2(0, ∞; V ) Sau đó ta nhân (2.34) với A1y(t)

1

2

d

dt|A1y(t)|2+ ν|A3y(t)|2

≤ |b(y(t), ye, A12y(t))| + |b(ye, y(t), A12y(t))| + |Du(t)| |A12y(t)|

+ γ|A1y(t)| |y(t)|

≤ C(ky(t)k kyek3

2 |A1y(t)| + kyek2ky(t)k |A1y(t)| + |u(t)|∗M|A1y(t)|

+ γ|A1y(t)| |y(t)|)

≤ C(ky(t)k2+ |u(t)|∗Mky(t)k), t > 0

Lấy tích phân trên (0, ∞), ta thấy ϕ(y0) < ∞, ∀y0 ∈ D(A14) Hơn nữa từ đẳng thứctrước ta có

α1|A14y0|2 ≤ ϕ(y0) ≤ α2|A14y0|2, ∀y0 ∈ D(A14),

trong đó αi > 0, i = 1, 2 Do đó tồn tại một toán tử tuyến tính tự liên hợp R : D(R) ⊂

H → H sao cho R ⊂ L(W, W0) và

ϕ(y0) = 1

2(Ry0, y0), ∀y0 ∈ W = D(A14)

Nói cách khác, ∇ϕ = R và (2.27) được chỉ ra

Ta chứng minh (2.28), (2.29) Theo nguyên lí quy hoạch động, với mỗi T > 0, nghiệm(u∗, y∗) của (2.33) cũng là nghiệm của bài toán tối ưu hóa

và vì vậy, theo nguyên lí cực đại ta có

u∗(t) = {(qT(t), ψi)0}Mi=1∗, với hầu khắp t ∈ (0, T ),

trong đó qT là nghiệm của phương trình đối ngẫu ngược

≤ C kyek2ky∗(t)k |Ay∗(t)| + |y∗(t)|1 kyek2|Ay∗(t)|

+ |Du∗(t)| |Ay∗(t)| + γ ky∗(t)k2.Điều này cho thấy

− |b(A12z(t), ye, A12z(t))| + |Ay∗(t)||Az(t)|

≥ ν|Az(t)|2− C|Az(t)| ||z(t)|| ||ye||2− |Ay∗(t)| |Az(t)| − γkz (t)k2.Lấy tích phân trên (0, t) và áp dụng (2.37) ta thấy z ∈ L∞(0, T ; V ) ∩ C([0, T ]; H) Vìvậy, z : [0, T ] → V liên tục yếu và qT ∈ Cω([0, T ]; H) Điều này chỉ ra rằng qT(0) ∈ H

và nhắc lại Ry0 = −qT(0), ta kết luận Ry0 ∈ H Do đó theo định lí đồ thị đóng ta chỉ

Qua tiêu chuẩn nâng lên lũy thừa (2.34) ta có

− (Ry∗(t), νAy∗(t) + A0y∗t − γy∗(t)) −1

lí 2.3

Ta đã chứng minh đựợc nghiệm y của hệ vòng lặp kín (2.4) với hàm điều khiểnngược (2.30) là nghiệm dừng y∗ của bài toán cực tiểu hóa (2.33) Sau đây ta trình bàykết quả chính ổn định hóa bên trong miền hệ (1)

Định lí 2.4 Tồn tại hàm điều khiển ngược

của ye với ρ > 0 thích hợp Chính xác hơn, nếu ρ > 0 đủ nhỏ, thì với mỗi y0 ∈ Up tồntại nghiệm mạnh y ∈ C([0, ∞); W ) ∩ C((0, ∞); V ) của hệ vòng lặp kín

Thật vậy, ta có

ye→ y mạnh trong L2(0, T ; H), yếu trong L2(0, T ; V ), ∀T > 0,

và luôn có ước lượng sau