Tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————–o0o——————— ĐINH THỊ BẢO YẾN TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán Ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o———————

ĐINH THỊ BẢO YẾN

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN

ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÀ NỘI - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o———————

ĐINH THỊ BẢO YẾN

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN

ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:

ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG

HÀ NỘI - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là bài viết tôi, được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của ThS Nguyễn Trung Dũng Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận

là hoàn toàn trung thực, mọi thông tin trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốctrong mục tài liệu tham khảo

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin chịu hoàn toàn tráchnhiệm

Sinh viên thực hiện

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của ThS Nguyễn Trung Dũng

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Trung Dũng, đã địnhhướng và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài nghiêncứu Sự ân cần, nhiệt tình của thầy khi truyền đạt những kiến thức và kinhnghiệm quý báu là tiền đề quan trọng giúp tôi có được những kết quả trìnhbày trong khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy, Cô trong khoa Toán, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong nhữngnăm tôi học tập Những kiến thức đó không chỉ là nền tảng trong quá trìnhthực hiện khóa luận mà còn là hành trang vững chắc cho tôi trong tương lai.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới bố mẹ và những người thân tronggia đình Những người luôn ở bên và động viên tôi vượt qua những khó khăntrong cuộc sống cũng như học tập

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã cố gắng hết sức, tuy nhiên vẫnkhông thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp

ý, chỉ bảo của quý thầy cô để tôi có thể hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Kí hiệu 3

MỞ ĐẦU 5

1 BỔ ĐỀ PETERSEN 8

1.1 Bổ đề Petersen 8

1.2 Bán kính của ma trận xác định dấu 10

1.2.1 Bán kính của ma trận không suy biến 16

1.2.2 Trường hợp đa nhiễu 17

1.3 Mở rộng bổ đề Petersen 18

1.3.1 Các kết quả bổ trợ 19

1.3.2 Mở rộng bổ đề Petersen 21

1.3.3 Ví dụ 22

2 ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH 24

2.1 Đặt bài toán 24

2.2 Bổ đề bổ trợ 24

2.3 Kết quả ổn định hóa 25

2.4 Trường hợp có nhiễu 28

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

diag{A, B} Ma trận khối chéo

"

#.λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) min {Reλ : λ ∈ λ(A)}

σ(A) Bán kính phổ của ma trận A (i.e max{|λ| : λ ∈ λ(A)}).LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của công nghệ thế giới đangthay đổi một cách mạnh mẽ và nhanh chóng Vai trò của tự động hóa trongvấn đề phát triển kinh tế là vô cùng to lớn Nó đóng góp một phần khôngthể thiếu trong cuộc sống của chúng ta, giúp cuộc sống được tiện nghi vàthoải mái hơn Ngành điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỷ XIX đếnđầu thế kỷ XX, thực sự phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xuthế ngày càng phát triển hơn nữa với những kỹ thuật mới, những thuật toánđiều khiển mới Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động đã phổ biến tronghầu hết các lĩnh vực công nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiêntiến như điện tử và máy tính [1, 2]

Hệ thống điều khiển tự động được phân loại thành 3 loại là: hệ thốngtuyến tính, hệ thống phi tuyến và hệ thống phân tán Tuy nhiên, phần lớncác đối tượng thực tế mang tính phi tuyến có thể kể đến như:

- Hệ thống thủy khí (bồn chứa chất lỏng, )

- Hệ thống nhiệt động học (lò nhiệt, )

- Hệ thống cơ khí (cánh tay máy, )

- Hệ thống điện - từ (động cơ, mạch khuếch đại, )

- Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp, [3]

Một hệ thống điều khiển tự động có một số đặc tính cần phải phân tích nhưtính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định, những đặc tínhnày đóng vai trò quyết định hành vi của hệ thống Trong đó tính ổn địnhcủa hệ thống đóng vai trò rất quan trọng Có thể thấy khi hệ thống không

ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch trong quá trình vậnhành, thậm chí gây hỏng hóc, hoặc tai nạn, Một ví dụ về hệ thống mất

ổn định là khi biên độ trạng thái của hệ tăng lên đến vô cùng mặc dù đầuvào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bởi có thể gây ra cháy, nổ,hỏng hóc thiết bị, [2] Do đó, duy trì sự vận hành ổn định của hệ thống là

vô vùng quan trọng và cần thiết

Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gianthường có động lực phi tuyến lớn Trong lý thuyết điều khiển đôi khi cóthể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ thống và áp dụng các kỹ thuậttuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các lý thuyếtcho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến Ví dụ phản hồi tuyến tínhhóa,backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tínhhóa thường sử dụng sự tiện lợi của kết quả dựa trên thuyết Lyapunov [4].Bất đẳng thức ma trận Lyapunov, được Lyapunov đề xuất năm 1892trong luận án tiến sĩ có tên “The general problem of the stability of motion”,

là khởi nguồn của phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính, viết tắt làLMIs (linear matrix inequalities) Tuy nhiên, gần nửa thế kỷ sau đó phươngpháp này mới được chú ý nhiều trong các nghiên cứu về phân tích định tính

và thiết kế điều khiển Đặc biệt, trong khoảng ba thập kỷ gần đây, phươngpháp sử dụng LMIs đã trở thành một công cụ hữu hiệu, được sử dụng mộtcách phổ biến trong lý thuyết điều khiển hệ thống [9]

Do sự phổ biến hầu khắp của hệ thống phi tuyến trong thực tế, mặtkhác do phổ các lớp mô tả hệ phi tuyến là rất nhiều, nên những kết quảnghiên cứu về điều khiển phản hồi trạng thái hệ phi tuyến chủ yếu chỉ tậptrung vào lớp hệ song tuyến [5] Được sự gợi ý và giúp đỡ tận tình của ThầyNguyễn Trung Dũng cùng sự say mê của bản thân, tôi xin chọn đề tài “Tìmhiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính” làm đề tài nghiên cứu củamình

2 Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính và kết quả ổn định hóa.

3 Ổn định hóa hệ song tuyến tính trong trường hợp có nhiễu

3 Phương pháp nghiên cứu

Khóa luận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và bổ đề Petersen; bấtđẳng thức ma trận tuyến tính, giải tích ma trận, các kỹ thuật ước lượng vàbiến đổi bất đẳng thức ma trận

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luậngồm 2 chương

• Chương 1: Bổ đề Petersen

Trong chương này, chúng tôi trình bày về bổ đề Petersen và mở rộng của

bổ đề Petersen cùng một số kết quả bổ trợ được sử dụng cho chương saucủa khóa luận

• Chương 2: Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính

Nội dung của chương này tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyếntính

Chương 1

BỔ ĐỀ PETERSEN

Trong chương này, chúng tôi trình bày về bổ đề Petersen và mở rộng của

bổ đề Petersen cùng một số kết quả bổ trợ được sử dụng cho chương sau.1.1 Bổ đề Petersen

Trước khi phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Petersen chúng tagiới thiệu một số kết quả bổ trợ sau

Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Schur dạng không ngặt [9]) Cho U và W là các ma trậnđối xứng, W  0 Khi đó,

G + M ∆N + N>∆>M> 4 0 (1.3)đúng khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho

Chứng minh Giả sử bất đẳng thức

G + M ∆N + N>∆>M> 4 0 (1.5)đúng với mọi k∆k ≤ 1 Khi đó, bất đẳng thức tương đương với

x>Gx + 2x>M ∆N x ≤ 0với mọi x ∈ Rn và mọi k∆k ≤ 1 Đặt x>M ∆ = y. >, ta viết bất đẳng thứctrên dưới dạng

x>Gx + 2y>N x ≤ 0với mọi x ∈ Rn và y ∈ Rq sao cho

!,

ở đó I và 0 lần lượt là kí hiệu của ma trận đơn vị và ma trận không có sốchiều thích hợp Khi đó, bất đẳng thức (1.5) tương đương với

z>A0z ≤ 0 với mọi z sao cho z>A1z ≤ 0 (1.6)

Áp dụng bổ đề S−procedure, bất đẳng thức (1.6) tương đương với điềukiện: tồn tại ε ≥ 0 sao cho A0 4εA1 tức là

Nhận xét 1.1.2 Trong chứng minh bổ đề Petersen ở trên, M V Khlebnikovcùng cộng sự (xem [10]) đã sử dụng bổ đề S-procedure chính điều này đã làmcho chứng minh không phức tạp như trong bài báo gốc [18].

Nhận xét 1.1.3 Bổ đề Petersen cho một tiêu chuẩn vững kiểm tra họ G +

M ∆N + N>∆>M> với điều kiện (1.4), tức là sự khảo sát một chiều đơngiản Lưu ý rằng ở dạng tương đương, điều kiện (1.4) có thể được viết nhưLMI (1.7) đối với đại lượng vô hướng ε Dạng điều kiện này sẽ được sử dụngthường xuyên trong phần tiếp theo, dẫn đến những tính toán đơn giản hơn.1.2 Bán kính của ma trận xác định dấu

Bổ đề petersen là một kết quả giải tích, cho một điều kiện cần và đủ để

họ G + M ∆N + N>∆>M> là xác định dấu đối với một mức không chắcchắn cho trước Sự mở rộng tự nhiên của kết quả này đó là tìm mức khôngchắc chắn cực đại của nhiễu ∆ trong (1.3) mà vẫn đảm bảo sự xác định dấu;điều này được gọi là bán kính xác định dấu của họ

G(∆, γ) = G + M ∆N + N>∆>M>, k∆k ≤ γ, (1.8)được xác định là

γmax = sup{γ : G + M ∆N + N. >∆>M> ≺ 0 với mọi k∆k ≤ γ}.Trong mục này, giả sử G ≺ 0 Ngoài ra, ta đặc trưng trường hợp nhiễuxấu nhất ∆ = ∆cr, k∆crk = γmax, được định nghĩa là nhiễu vi phạm bấtđẳng thức G(∆, γmax) ≺ 0, tức là, λmax(G(∆cr, γmax)) = 0

Trước khi xây dựng công thức tính bán kính xác định dấu, chú ý rằngđại lượng γmax được định nghĩa là giá trị cực đại củaγ mà điều kiện sau đúng

G + γ(M ∆N + N>∆>M>) 40 với mọi k∆k ≤ 1 (1.9)Mặt khác, theo bổ đề Petersen, bất đẳng thức (1.9) với một số γ > 0

cố định tương đương với sự tồn tại ε > 0 sao cho

Định lí 1.2.1 Giả sử λ∗ là một nghiệm của bài toán quy hoạch sau:

ở đó ε, λ là các đại lượng vô hướng Khi đó γmax = 1/λ∗

Chứng minh Ta viết lại điều kiện (1.10)

chúng ta được giá trị cực đại γmax = 1/λ∗, trong đó λ∗ là nghiệm của bàitoán (A.2)

Nhận xét 1.2.1 Định lý 1.2.1 cho chúng ta một phương pháp xác định bánkính xác định dấu dựa trên nghiệm của bài toán quy hoạch có thể giải bằngcác gói công cụ trong Matlab

Ta nhân hai vế bất đẳng thức (1.10) với (−G)−1/2  0 và viết lại dướidạng tương đương:

trong đó M = (−G)˜ −1/2M, ˜N = N (−G)−1/2 Mặt khác, không mất tínhtổng quát, ta có thể xét G = −I Ta thấy rằng giá trị cực đại của γ đảmbảo bất đẳng thức đúng với một số ε cố định là

là giá trị cực đại của γ sao cho bất đẳng thức (1.10) thỏa mãn với một số

ε > 0 Vì (1.10) và (1.9) là tương đương suy ra bán kính xác định dấu trùngnhau Do đó, theo (1.13), với nghiệm λ∗ của bài toán (1.11), ta có

γx> M ∆ ˜˜ N + ˜N>∆>M˜>
x ≤ 1với mọi k∆k ≤ 1và mọi kxk = 1,tức là

2γx>M ∆ ˜˜ N x ≤ 1với mọi k∆k ≤ 1và mọi kxk = 1 (1.15)

Kí hiệu a = ˜M>x, b = ˜N x Dễ thấy rằng, với bất kỳ vectơ a, b và matrận ∆ có số chiều phù hợp, đẳng thức sau đúng

max

k∆k≤1a>∆b = kak kbk(theo chuẩn ma trận Frobenius), và đạt cực đại

∆∗ = ab

>

kak kbk.

Do đó, với x cố định, cực đại của vế trái trong (1.15) đối với k∆k ≤ 1 là

Cuối cùng, kí hiệu ε∗ là giá trị cực tiểu của tham số ε trong (1.14) Khi

đó λ∗ tương ứng với giá trị riêng lớn nhất Giả sử e là vectơ riêng chuẩn hóacủa ma trận ε∗M ˜˜M>+ 1

ε ∗N˜>N˜, tương ứng với giá trị riêng λ∗ Chúng ta có

= ε∗M ˜˜M>+ 1

ε∗N˜>N˜

!e

tức là, sự nhiễu đang xét là trường hợp xấu nhất.

Chúng ta tổng kết quả thu được dưới định lý sau đây

Định lí 1.2.2 Giả sử λ∗, ε∗ là nghiệm của bài toán (1.11) Khi đó

λ∗ = λmax



ε∗M ˜˜M>+ 1

ε∗N˜>N˜,trong đó M = (−G)˜ −1/2M, ˜N = N (−G)−1/2 Giả sử e là vectơ riêng của

ma trận ε∗M ˜˜M> + ε1∗N˜>N˜ tương ứng với giá trị riêng λ∗ Khi đó, nhiễuloạn xấu nhất có dạng



εM M> + 1

εN>N

trong không gian của cáctham số γ, ε ( cùng với ràng buộc γ, ε > 0)

Với ε > 0 cố định bất kỳ, ta có W (0, ε) = G ≺ 0 Giá trị nhỏ nhất của

γ > 0 sao cho dấu của W (γ, ε) bị vi phạm, chính là giá trị riêng tổng quátnhỏ nhất (tất cả đều dương) (xem Bổ đề 1 trong [20])

Ta chú ý rằng, số λ và vectơ e là giá trị riêng và vectơ riêng tổng quát củacặp ma trận A, B nếu Ae = λB e

Bằng cách tối ưu hóa (1.20) theo ε, ta được

Các kết quả trong Định lý 1.2.2 có thể được xây dựng theo các giá trịriêng tổng quát Cụ thể

= λ∗min

Một cách tương ứng, nhiễu trong trường hợp xấu nhất có dạng ∆cr =

λ∗minM>ee>N>

kM > ekkN ek , trong đó e là vectơ riêng tổng quát tương ứng với giá trị riêng

λ∗min, hơn nữa, chúng ta có đẳng thức ε∗ = kN ek

là không dương Khi đó γ(ε) =

−1/λmin(ε) và γmax = max

Hình 1.1: Tính toán phạm vi mạnh trong thiết lập của Petersen

1.2.1 Bán kính của ma trận không suy biến

Mở rộng tiếp theo của bổ đề Petersen đó là tìm bán kính không suy biếntrong bài toán (1.9) với điều kiện là ma trận G là đối xứng nhưng không xácđịnh dấu Tương tự đối với mục trước, chúng ta có kết quả sau đây, kết quảnày được xây dựng theo các giá trị riêng tổng quát

Định lí 1.2.3 Cho G ∈ Sn×n là ma trận không suy biến, khi đó bán kínhkhông suy biến

ρ(G, M, N ) = sup{k∆k : G+M ∆N +N. >∆>M>là ma trận không suy biến}được cho bởi

∆cr = ¯λ M

>ee>N>

kM>ek kN ek,trong đó ¯λ là giá trị riêng lớn nhất trong (1.22) và elà vectơ riêng tương ứng.Định lý 1.2.3 tổng quát hóa bổ đề Petersen đối với trường hợp các matrận đối xứng không xác định dấu, với G ≺ 0 ta lại thu được Định lý 1.2.1.Mặt khác, với trường hợp đặc biệt, M = N = I trong (1.3) và các ma trậnnhiễu ∆ được giả thiết là đối xứng, chúng ta có kết quả sau

Bổ đề 1.2.4 ([20]) Đối với ma trận không suy biến G ∈ Sn×n, bán kính đốixứng không suy biến là

ρ(G) = sup{k∆k : ∆ ∈. Sn×n, G + ∆là ma trận không suy biến}được cho bởi

ρ(G) = 1/ G−1 = min

i |λi(G)|,

và giá trị giới hạn của ∆ là ∆cr = −λee>, trong đó λ là giá trị riêng nhỏnhất (theo giá trị tuyệt đối) của G, và e là một vectơ riêng tương ứng

1.2.2 Trường hợp đa nhiễu

Trong phần này, chúng ta xét mở rộng bổ đề Petersen trong trường hợp

có nhiều nhiễu Giả sử ` > 1 và các nhiễu ∆i ∈ Rp i ×q i là độc lập trong (1.9),các ma trận Mi, Ni có kích thước n × pi và qi× n tương ứng Mục đích củachúng ta đó là kiểm tra điều kiện

Trong trường hợp này, chúng ta có kết quả như sau

Định lí 1.2.5 Cho trước γ > 0, điều kiện (1.23) thỏa mãn nếu tồn tại các

đối với các biến `, ε1, , ε`

Chứng minh Chúng ta ký hiệu các ma trận khối

E(εi) = εiI 0

0 I/εi

!, Di(∆i) = 0 ∆i

∆>i 0

!, Li = M

>

i

Ni

!, i = 1, , `,





, D(∆) =

Với các ký hiệu này, điều kiện (1.23) có dạng

và ma trận trong (1.24) có dạng

G + γL>E(ε)L = W (γ, ε)..Với γ cho trước, giả sử tồn tại các số εi > 0 sao cho W (γ, ε) 4 0 chúng taphải chỉ ra (A.3) đúng với mọi k∆ik ≤ γ Chúng ta có

1.3 Mở rộng bổ đề Petersen

Nội dung chính của mục này trình bày một mở rộng của Bổ đề 1.1.3

giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜

∆ = ab

>

kak kbk;2

max

−I 4 ∆ 4 Ia>∆b = kak kbk ;nếu các vectơ a và b là phụ thuộc tuyến tính, giá trị lớn nhất đạt được với matrận

˜

∆ = ab

>

kak kbk;nếu trái lại, giá trị lớn nhất đạt được với ma trận

˜

∆ = e2e>2 − e1e>1,trong đó e1 và e2 là các vectơ riêng của ma trận ab>+ ba> tương ứng với cácgiá trị riêng 0 < λ1 < λ2

Chứng minh Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên vì các ma trận có hạng 1các chuẩn phổ và chuẩn Frobenius như nhau

Theo kết quả của khẳng định đầu tiên, chúng ta có

max

−I 4 ∆ 4 Ia>∆b ≤ kak kbk Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính của các vectơ a và b, khẳng định làhiển nhiên

Ta xét trường hợp ngược lại, các vectơ a và b là độc lập tuyến tính

Ta thấy rằng ab> + ba> là ma trận hạng 2 với các giá trị riêng khác không

λ1 < λ2 sao cho

λ1+ λ2 = 2a>b,

λ2− λ1 = 2 kak kbk ,với các vectơ riêng tương ứng e1 và e2 là trực giao Khi đó

ab>+ ba>
e1 = λ1e1,

từ đó ta có

λ1 = e>1 ab>+ ba>

e1 = 2e>1ab>e1