Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC KHÓA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA

CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA

CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – Năm 2017

Hà Nội, ngày 24 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóacho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc " được hoànthành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với

sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Trung Dũng

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày 24 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

k x(t) k Chuẩn của vectơ x(t).

diag( ) Ma trận đường chéo

Mục lục

1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc 3

1.1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản 3

1.1.2 Các định lí về ổn định và ổn định tiệm cận 5

1.2 Bài toán ổn định hóa 8

1.3 Bài toán đảm bảo giá trị 10

1.4 Một số bất đẳng thức 11

2 Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc 14 2.1 Các tiêu chuẩn về ổn định hóa 14

2.2 Đảm bảo giá trị tối ưu 22

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điềukhiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở trongnước và trên thế giới Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong kỹthuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán Chính vì thế,nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùng quantrọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực

Mặt khác hệ điều khiển có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian vàchúng ổn định với thời gian liên tục Vậy hệ điều khiển có thay đổi địnhtính với thời gian rời rạc (một tập hợp những thời điểm rời rạc) hay không?Nếu hệ điều khiển ổn định với thời gian rời rạc thì nó ổn định như thế nào?

Để trả lời cho mọi thắc mắc trên cùng với sự giúp đỡ và định hướng củaThạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài: " Tìm hiểu về bài toán

ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thờigian rời rạc" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày kiến thức về ổn định, ổn định tiệm cận

- Đưa ra bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính vớithời gian rời rạc

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức vế ổn định và ổn định tiệm cận, hàmLyapunov

- Phạm vi nghiên cứu: Khái niệm vế ổn định, hàm Lyapunov và bài toán

ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóaluận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 2: Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị cho hệ tuyến tínhvới thời gian rời rạc

Chương 1

Cơ sở toán học

1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc

1.1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Cho hệ động lực với thời gian rời rạc như sau:







x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z0x(0) = x0

(1.1)

trong đó:

• x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái

• f (x, x(k)) : Z+ × Rn

→ Rn là hàm liên tục theo biến x

• x0 là điều kiện ban đầu

Nếu f (x, x(k)) = Ax(k) thì hệ (1.1) được gọi là hệ tuyến tính với thời

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGgian rời rạc.

Giả sử f (k, 0) = 0 ∀k ∈ Z+ tức là x(k) ≡ 0 là nghiệm tầm thườngcủa hệ (1.1)

Tiếp theo chúng ta có một số khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunovnhư sau

Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường của hệ (1.1) được gọi là ổn địnhnếu ∀ε > 0, tồn tại δ1 = δ(ε) > 0 mà kx(0)k < δ(ε) thì kx(k)k < ε

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGChú ý 1.1 Vì V (x) là liên tục nên với r đủ nhỏ sao cho 0 < c ≤ r ≤ dchúng ta có

Sai phân của hàm V (x) theo nghiệm x(k) được xác định như sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGcho kx(k)k < p thì nghiệm tầm thường x(k) ≡ 0 là ổn định.

Chứng minh Vì V (x) là xác định dương, nên tồn tại φ ∈ K sao choφ(kxk) ≤ V (x) ∀x ∈ Sp Cho 0 < ε < p Vì V (x) liên tục và V (0) = 0nên tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho V (x0) < φ(ε) với kx0k < δ

Giả sử ngược lại, nghiệm tầm thường không ổn định Khi đó tồn tạimột nghiệm x(k) = x(k, x0) sao cho kx0k < δ thỏa mãn ε ≤ x(k1) < pvới k1 ≥ 1 Mặt khác, vì ∆V (x(k)) ≤ 0 khi kx(k)k < p nên ta có

V (x(k1)) ≤ V (x0)

Vì vậy φ(ε) ≤ φ(kx(k1)k) ≤ V (x(k1)) ≤ V (x0) < φ(ε) vô lí Vì vậy, nếu

kx0k < δ thì kx(k)k < ε ∀k ∈ Z+ Điều này dẫn đến nghiệm tầm thường

là ổn định

Định lý 1.2 [3] Nếu tồn tại một hàm xác định dương V (x) ∈ C[Sp, R+]sao cho

∆V (x(k, x0)) ≤ −α(kx(k, x0)k)trong đó α ∈ K với mọi nghiệm x(k) = x(k, x0) của hệ (1.1) sao chokx(k)k < p thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận

Chứng minh Theo định lí 1.1 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổnđịnh Do đó, với ε cho trước thỏa mãn 0 < ε < p Giả sử tồn tại δ > 0,

λ > 0 và một nghiệm x(k, x0) của hệ (1.1) sao cho

λ ≤ kx(k)k ≤ ε, k ≥ 0, kx0k < δ (1.4)

Vì kx(k)k ≥ λ > 0 với mọi k ≥ 0 nên tồn tại một hằng số d > 0 sao cho

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

α(kx(k)k) ≥ d với mọi k ≥ 0 sao cho α(kx(k)k) ≥ d với mọi k ≥ 0

k nên suy ra lim

k→∞V x(k) = 0 Do đó, lim

k→∞kx(k)k = 0

Vì vậy nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận

Hệ quả 1.1 Xét hệ tuyến tính rời rạc

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGXét toán tử sai phân

có nghiệm Phương trình này được gọi là phương trình Lyapunov

1.2 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau







x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+x(0) = x0

(1.7)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Tương ứng, chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tính, không chắc chắn vớithời gian rời rạc như sau:

Xét bộ điều khiển ngược u(k) = Kx(k) trong đó K được gọi là ma trậnđiều khiển ngược cần phải xác định Với hệ điều khiển u(k) = Kx(k)chúng ta thu được hệ đóng của (1.8) và (1.9) như sau:

x(k + 1) = (A + BK)x(k)

= Aclx(k)

(1.11)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGvới Acl = A + BK và

1.3 Bài toán đảm bảo giá trị

Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau

trong đó Q, R là ma trận đối xứng xác định dương

Xét bộ điều khiển có dạng như sau

u(k) = Kx(k)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Với bộ điều khiển ngược như trên chúng ta thu được hệ đóng

Bài toán được đặt ra là ta sẽ thiết kế một bộ điều khiển ngược sao cho

hệ đóng là ổn định với mọi đại lượng không chắc chắn chấp nhận được

và đảm bảo hàm chi phí không vượt quá một mức cho trước

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Bổ đề 1.2 (Bổ đề phần bù SChur không chặt) Cho ma trận tùy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

JA+ DAFA(k)EA(t) + [DAFA(k)EA(t)]T < 0

với mọi FA(k) thỏa mãn FA(t)TFA(k) ≤ I khi và chỉ khi tồn tại εA > 0sao cho

JA + εADADA(t)T + ε−1A EATEA(t) < 0

Chương 2

Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ tuyến tính với thời gian rời rạc

2.1 Các tiêu chuẩn về ổn định hóa

Định lý 2.1 [1] Tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái là ổnđịnh hóa hệ (1.7) nếu có tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương

X > 0 và một ma trận Y thỏa mãn các điều kiện LM Is sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Chứng minh Sử dụng các kết quả về sự ổn định, hệ đóng ổn định nếutồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P > 0 thỏa mãn bất đẳng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGđịnh dương X > 0 và ma trận Y thỏa mãn LMIs:

Ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X−1

Ví dụ 2.1.1 Cho hệ điều khiển (1.1) với các ma trận hệ cho bởi:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Khi đó ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X−1

Chứng minh Dựa trên kết quả về sự ổn định của hệ không chắc chắn,

hệ đóng (1.12) sẽ ổn định nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGdương P > 0 thỏa mãn điều kiện sau





EAT0





KTEBT0

Dựa vào bổ đề về phần bù Schur cho bất đẳng thức trên chúng ta thu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGđược điều kiện đảm bảo sự ổn định của hệ đóng.

Bất đẳng thức này là phi tuyến trong đó P, K là tham số Đặt X =

P−1, nhân trước và nhân sau bất đẳng thức trên bởi diag(X, X, I, I), tacó

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGĐặt Y = KX và sử dụng bổ đề Schur ta có

Hệ quả 2.2 [1] Cho α là một số vô hướng dương Khi đó tồn tại một

bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa hệ (1.8) nếu tồn tại matrận đối xứng xác định dương X > 0, ma trận Y và các số εA > 0 và

εB > 0 thỏa mãn điều kiện LMIs sau:

Khi đó ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X−1

Ví dụ 2.1.2 Xét hệ (1.8) với số liệu cho bởi ví dụ 2.1.1 và

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

h0.1 0.2

Y =



0.4291 455.4875 −71.0439

−299.5657 −247.9759 132.7033



,Các giá trị riêng của ma trận X là:

S1 = 96.8537, S2 = 320.9106, S3 = 554.5035

Tất cả đều là dương, do đó ma trận X là đối xứng xác định dương

Bộ điều khiển tương ứng cho bởi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

2.2 Đảm bảo giá trị tối ưu

Định lý 2.3 [1] Với ma trận điều khiển ngược K cho trước Nếu tồntại các ma trận đối xứng xác định dương P , U , V , và các số dương εA

và εB sao cho bất đẳng thức LMI sau đúng

Chứng minh Từ bất đẳng thức LMI (2.1) và Định lí 2.2 chúng ta có thểkết luận hệ đóng (1.12) là ổn định Xét hàm Lyapunov cho bởi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNGvới V = [A + BK + ∆A(k) + ∆B(k)K].

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

U , V , ma trận Y và các số dương εA, εB sao cho bất đẳng thức LMI sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Ví dụ 2.2.1 Xét hệ (1.8) với các ma trận hệ cho bởi

i, EB =

h0.2i

Trước hết chúng ta có thể kiểm tra hệ không ổn định và các giá trị riêngcủa ma trận A là

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung của khóa luận "Tìm hiểu về bài toán ổnđịnh và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thờigian rời rạc " Khóa luận này đã trình bày được những nội dung chínhsau đây:

• Chương 1 Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về ổnđịnh và ổn định tiệm cận, hàm Lyapunov

• Chương 2 Chương này, đưa ra bài toán ổn định hóa và bài toánđảm bảo giá trị cho hệ động lực với với thời gian rời rạc

Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Tìm hiểu

về bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyếntính với thời gian rời rạc", tôi còn tìm hiểu về phần mềm soạn thảoLatex Khóa luận trên đây được soạn thảo bằng Latex Tuy nhiên, dothời gian thực hiện khóa luận không nhiều còn có những sai sót, tôi rấtmong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc Tôi xin chânthành cám ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] E.K.Boukas, F.M.A.Sunni, Mechatronie Systems Analysis Designand Implementation, Springer, 2011

[2] K.Gu, S I Niculescu, Survey on Recent Results in the Stability andControl of Time-Delay Systems, ASME J Dyn Syst., Meas., Con-trol, 125, 2, 158-165

[3] R.P.Aganval, Difference Equations and Inequalities; Theory, ods, and Applications, Marcel Dekker, zooo

Meth-[4] Y S Wang, L.Xie, C.E.De.Souza, Robust control of a class of certain systems, Systems and Control Letters 19 (1992) 139-149