Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa của lớp hệ DBLS

Lời cam đoanKhóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóacho lớp hệ DBLS " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu,nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Đỗ Triệu Hải

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóacho lớp hệ DBLS " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu,nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy NguyễnTrung Dũng

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Đỗ Triệu Hải

P Số đo xác suất trên σ-đại số của tập con trong

không gian mẫu

k x(t) k Chuẩn của vectơ x(t)

diag( ) Ma trận đường chéo

tế Chính vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ Markov đóng vai trò

vô cùng quan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ độnglực

Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn

đề tài: Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa của lớp hệDBLS làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các khái niệm ổn định, ổn định hóa của lớp hệ DBLS

- Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày kiến thức về hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian và hệ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về hệ DBLS

- Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định , ổn định hóa, ổn định vững

của hệ

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóaluận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

Chương 2: Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS

Mục lục

1.1 Xích Markov 2

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 2

1.1.2 Ma trận xác suất chuyển 4

1.1.3 Phân phối ban đầu 5

1.2 Hệ DBLS 6

1.2.1 Mô tả hệ 6

1.2.2 Một số khái niệm ổn định và ví dụ 8

1.3 Một số bất đẳng thức 11

2 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS 12 2.1 Các tiêu chuẩn ổn định 12

2.2 Các tiêu chuẩn ổn định hóa 17

2.3 Các tiêu chuẩn ổn định vững 19

Tập hợp E được gọi là không gian trạng thái, các phần tử của E được

kí hiệu là i, j, k, (có chỉ số hoặc không)

Ví dụ 1.1.1 Cho r0, r1, , rn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độclập Ek là tập hợp các giá trị của rk, Ek hữu hạn hay đếm được (k =

0, 1, , n, ).Đặt E = ∪∞k=0Ek, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

được Khi đó, ta có

P {rn+1 = j|r0 = i0, , rn−1 = in−1, rn = i}

= P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i},

với i0 ∈ E0, i1 ∈ E1, , in−1 ∈ En−1, ∈ En, j ∈ En+1

Như vậy, {rn; n = 0, 1, 2, } là một xích Markov

Ví dụ 1.1.2 Cho r0, η1, , ηn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độclập, nhận các giá trị là những số nguyên

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

1.1.2 Ma trận xác suất chuyển

Cho {rn, n ∈ Z+} là một xích Markov thuần nhất với không gian trạngthái E Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E Khi đó, pij được gọi làxác suất chuyển trạng thái của hệ từ trạng thái i ở thời điểm n(hiện tại)sang trạng thái j ở thời điểm n + 1(tương lai) Nếu đặt các biến cố

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

chuyển sang trạng thái j Ta có, p(1)ij = pij Chúng ta quy ước

0, nếu trái lại

và đặt P(n) = (p(n)ij ) Ma trận P(n) được gọi là ma trận xác suấtchuyển sau n bước Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov

1.1.3 Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.2 Phân phối của xích tại thời điểm n được cho bởi côngthức sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

• (rn) là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc

• Π là phân phối ban đầu của xích

• x(k) ∈ Rn là véc tơ trạng thái

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

• u(k) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu vào

• A1(ηk), A2(ηk), B1(ηk) là các ma trận có só chiều thích hợp

• ξ(k) ∈ Rm là một dãy các biến ngẫu nhiên , độc lập có cùng phânphối

• {ηk} là 1 xích Markov với không gian trạng thái S = {1, 2, , s}, và

có ma trận xác suất chuyển Π = πij trong đó

πij = P (ηk+1 = j|ηk = i)

thỏa mãn πij ≥ 0, ∀i, j ∈ S và Ps

j=1πij = 1, ∀i ∈ STương ứng với hệ (1.1) ta xét hệ không chắc chắn như sau

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

A1(ηk), B1(ηk), A2(ηk) , D, Ea1, Eb1, Ea2 là các ma trận chưa biết với

số chiều thích hợp

∆(ηk) là ma trận biến thiên với số chiều thích hợp

Ta nói rằng đại lượng không chắc chắn ∆(ηk) chấp nhận được nếu thỏamãn điều kiện sau:

#

< ∞

với mọi điều kiện ban đầu (xo, η0)

Định nghĩa 1.4 [1] Hệ (1.1) được gọi là ổn định hóa ngẫu nhiên nếuđối với mọi điều kiện ban đầu (η0, x(0)) tồn tại 1 điều khiển ngượcu(k) = K(ηk)x(k) sao cho hệ đóng

x(k + 1) = A1(ηk) + B1(ηk)K(ηk)x(k) + A2(ηk)x(k)ξ(k) (1.4)

là ổn định ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5 [1] Hệ (1.2) với u(k) = 0 được gọi là ổn định ngẫunhiên vững nếu hệ là ổn định ngẫu nhiên với mọi đại lượng không chắcchắn chấp nhận được ∆(ηk)

Định nghĩa 1.6 [1] Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa vững nếu tồn tại

bộ điều khiển ngược u(k) = K(ηk)x(k) sao cho hệ đúng là ổn định ngẫunhiên với mọi đại lượng không chắc chắn chấp nhận được ∆(ηk)

Để hiểu rõ hơn về lớp hệ (1.1) chúng ta xét 1 số ví dụ như sau

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

x2(k)

#

= 1 − (a

2 + b2)T +1(1 − a2 − b2) E[x

2(0)]

Giả sử rằng a2 + b2 < 1 khi đó chúng ta có

E

" ∞Xk=k0

trong đó η(k), k ∈ Z0 là một xích Markov với không gian trạng thái

S = {1, 2} và ξ(k) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phânphối N (0, 1) và độc lập với x(k) Giả sử rằng η(k), k ∈ Z0 là một xíchMarkov thuần nhất với phân phối ban đầu P (η0 = i) > 0, i = 1, 2

Hệ (1.7) được viết lại như sau



Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

Giả sử ma trận xác suất chuyển của xích Π = (πij)2×2 như sau

πijE[V (x(k + 1), j) − V (x(k), i)|x(k), ηk = i]

=

2Xj=2

πij[α(j)(a0(j)x(k) + b0(j)x(k)ξk)2 − α(i)x2(k)]

suy ra

∆ ˜V (k, x(k), 1) = π11α(1)(a2

0(1)x2(k) + b20(1)x2(k)) − α(1)x2(k)+ π12[α(2)(a20(2)x2(k) − b20x2(k)) − α(1)x2(k)]

Sử dụng điều kiện (1.6) và giả thiết α(1) = α(2) ta được

(1 − γ1)(a20(1) + b20(1) − 1) + γ1(a20(2) + b20(2) − 1) < 0 (1.8)

Bằng cách tương tự với ∆V (k, x(k), 2) ta có

γ2(a20(1) + b20(1) − 1) + (1 − γ2)(a20(2) + b20(2) − 1) (1.9)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

Nhận xét 1.1 Nếu (1.8) và (1.9) thỏa mãn thì hệ (1.7) là ổn định ngẫunhiên

Bổ đề 1.1 [Bổ đề phần bù Schur] Cho các ma trận hằng M, L, Q với

số chiều thích hợp, trong đó M , Q là các ma trận đối xứng và Q là matrận xác định dương Khi đó M + LTQL < 0 khi và chỉ khi

(A+D∆E)P (A+D∆E)T ≤ AP AT+AP ET(l−EP ET)(−1)EP AT+DDT

(ii) Với ma trận P > 0 và  > 0 thỏa mãn P − DDT > 0, bất đẳng thứcsau đúng

(A + D∆E)TP−1(A + D∆E) ≤ AT(P − DDT)(−1)A + 1

ETE

thỏa mãn bất đẳng thức đại số Riccati ( ARI)

AT1(i)G(i)A1(i) + AT2(i)G(i)A2(i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0, (2.1)

hoặc thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

với i=1,2 ,s trong đó

J1T = [√

πi1AT1(i)Q(1), ,p(πis)AT1(i)Q(s)],

J1T = [√

πi1AT2(i)Q(1), ,p(πis)AT2(i)Q(s)]

Chứng minh Điều kiện đủ

Không giảm tính tổng quát ta giả sử rằng ξ(k) là các biến ngẫu nhiênchuẩn tắc N(0,1) Xét hàm Lyapunov

V (k, x(k), ηk) := xT(k)Q(ηk)x(k)

trong đó Q(i) = 1, 2 , s là các ma trận đối xứng xác định dương , toán

tử với sai phân được xác định bởi

∆ ˜V (k, x(k), i) = E[V (k + 1, x(k + 1), ηk+1) − V (k, x(k), ηk)|Fk, ηk = 1]

Chúng ta có

∆ ˜V (k, x(k), i) =

sXj=1

πijE[xT(k)((A1(i) + A2(i)ξ(k))TQ(i)(A1(i) + A2(i)ξ(k))

− Q(i))x(k)] +

sXj=1

πijxT(k)[Q(j) − Q(i)]x(k)

Khi đó phương trình trên dược viết như sau

∆ ˜V (k, x(k), i) = E[xT(k)(AT1(i)G(i)A1(i)+AT2(i)G(j)A2(i)−Q(i))x(k)],

với

G(i) =

sX

πijQ(j)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

đương với

AT1(i)G(i)A1(i) + AT2(i)G(i)A2(i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0

với i = 1, 2, , s

Đặt α = inf {λmin(−Ωi), i = 1, 2 s} khi đó với mọi T ≥ 1 chúng ta có

E[V (T + 1, x(T + 1), ηT +1)] − E[V (x0, η0)] ≤ −αE

" TXk=0

xT(k)x(k)

#

xT(k)P (ηk)x(k)|(x(n), ηn)

#

với P (ηn) > 0 Chú ý rằng xT(n)Q(N − n, ηn)x(n) là đơn điệu không

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

giảm và bị chặn vì P (ηn) > 0 với mọi n Do đó tồn tại giới hạn được kí

πij(AT1(i)Q(N − n − 1, j)A1(i) + AT2(i)Q(N − n − 1, j)A2(i))

= P (i) > 0

Cho N −→ ∞ ta được

Q(i) −

sXj=1

πij(AT1(i)Q(j)A1(i) + AT2(i)Q((j)A2(i)) = P (i) > 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

AT1(i)Q(j)A1(i) + AT2(i)Q((j)A2(i) − Q(i) < 0

Vậy định lý đã được chứng minh

Ví dụ 2.1.1 Xét hệ ngẫu nhiên chuyển mạch Markov dưới đây



, A2(2) =



0.1 0.0





Chúng ta cần tìm các ma trận đối xứng, xác định dương Q(1) vàQ(2), thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn bất đẳngthức LMI (2.2) hoặc bất đẳng thức đại số Riccati (2.1) (ARI)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI



, Q(2) =



455.5196 −89.9518

−89.9518 27.4329





thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 do đó hệ là ổn định ngẫu nhiên

Để ổn định hóa hệ (1.1), chúng ta xét bộ điều khiển ngược có dạng nhưsau

u(k) = K(ηk)x(k)

trong đó k(ηk) là ma trận điều khiển ngược cần xác định

Định lý 2.2 [1] Hệ (1.1) với điều khiển ngược u(k) = K(ηk)x(k), là

ổn định ngẫu nhiên nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

có ma trận điều khiển ngược xác định bởi

K(i) = Y (i)Xi−1 với i = 1, 2, , s ổn định hóa hệ (1.1)

Chứng minh Thế (2.3) vào hệ (1.1) ta thu được hệ đóng

πijQ(j)

sao cho

sX

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

AT1(i)G(i)A1(i) + AT2(i)G(i)A2(i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0 (2.5)

Đặt Xi = Q−1(i) Nhân trước và sau của (2.5) với Xi ta thu được

XiAT1(i)G(i)A1(i)Xi+ XiAT2(i)G(i)A2(i)Xi − Xi < 0 (2.6)

Đặt Y (i) = K(i)X(i) Khi đó sử dụng bổ đề phần bù Schur bất đẳng

thức (2.6) tương đương với bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.2) Do

D T (i)G(i)A1(i) −1iI + D T (i)G(i)D(i) 0

D T (i)G(i)A2(i) 0 −2iI + D T (i)G(i)D(i)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

thỏa mãn bất đẳng thức sau

AT1∆(i)G(i)A1∆(i) + AT2∆(i)G(i)A2∆(i) − Q(i) = Ω(i) < 0, i = 1, 2, , s (2.8)

Sử dụng Bổ đề 1.2 với 1i > 0, 1iI − DT(i)G(i)D(i) > 0 chúng ta có

AT1∆(i)G(i)A1∆(i) ≤ AT1(i)G(i)A1(i) + +1iEa1T (i)Ea1(i)

+ AT1G(i)D(i)1iI − DT(i)G(i)D(i)−1DT(i)G(i)A1(i)

Tương tự, với 2i > 0, 2iI − DT(i)G(i)D(i) > 0 chúng ta có

AT2∆(i)G(i)A2∆(i) ≤ AT2(i)G(i)A1(i) + 2iEa2T (i)Ea2(i)

+ AT2G(i)D(i)2iI − DT(i)G(i)D(i)−1DT(i)G(i)A2(i)

Như vậy bất đẳng thức (2.8) sẽ trở thành

AT1(i)G(i)A1(i) − AT1(i)G(i)D(i)1iI − DT(i)G(i)D(i)−1DT(i)G(i)A1(i)

+ 1iEa1T (i)Ea1(i) + AT2(i)G(i)A2(i) + 2iEa2T (i)Ea2(i)

− AT2G(i)D(i)2iI − DT(i)G(i)D(i)−1DT(i)G(i)A2(i) − Q(i) < 0

Áp dụng bổ đề về phần bù Schur cho bất đẳng thức trên chúng ta thu

được LMI (2.7) Do đó định lý được chứng minh

Định lý 2.4 Hệ (1.2) là ổn định vững ngẫu nhiên khi u(k) = K(ηk)x(k)

nếu tồn tại 1 tập các ma trận đối xứng xác định dương X = diag(X1, X2, , Xs) >

0, Y = (Y1, Y2, , Ys) và các số thực 1i > 0 , 2i > 0, 3i > 0, i ∈ S thỏa

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

πijQ(j)

Khi đó hệ (1.2) ổn định vững với các ma trận điều khiển ngược xác địnhbởi

K(i) = Y (i)Xi−1, i = 1, 2, , s

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

(1.2) cho bởi

x(k + 1) = (A1∆(ηk) + B1∆(ηk)K(ηk))x(k) + A1∆(ηk)x(k)ξ(k)

Sử dụng điều kiện đủ của Định lý 2.2 đối với sự ổn định ngẫu nhiên của

hệ không chắc chắn (1.2) , ta chỉ ra rằng: tồn tại một tập hợp các ma trậnđối xứng xác định dương Q = (Q(1), , Q(s) > 0, G(i) = Ps

j=1πijQ(j)thỏa mãn bất đẳng thức sau

Đặt G(i) = Psj=1πijQ(j) Bất đẳng thức (2.10) có thể viết như sau

AT1∆(i)G(i)A1∆(i) + AT2∆(i)G(i)A2∆(i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0, i = 1, 2, , s

Sử dụng Bổ đề 1.2 , với 1i > 0, 1iI − DT(i)G(i)D(i) > 0 ta có

AT1∆(i)G(i)A1∆(i) ≤ AT1(i)G(i)D(i) 1iI − DT(i)G(i)D(i)
−1D(i)G(i)A1(i)

+ 1i(Ea1(i) + Eb1(i)K(i))T (Ea1(i) + Eb1K(i))

+ AT1(i)G(i)A1(i)

Tương tự, với 2i > 0, 2iI − DT(i)G(i)D(i) > 0 ta có

AT2∆(i)G(i)A2∆(i) ≤ AT2(i)G(i)D(i) 2iI − DT(i)G(i)D(i)
−1D(i)G(i)A2(i)

+ AT2(i)G(i)A2(i) + 2iEa2T(i)Ea2(i)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

Sử dụng bồ đề phần bù Schur, ta thu được LMI sau đây

J 1 (i) [A 1 (i) + B 1 (i)K(i)]TG(i)D(i) AT2(i)G(i)D(i)

D T (i)G(i)[A1(i) + B1(i)K(i)] −1iI + D T (i)G(i)D(i) 0

với mỗi i ∈ S, ở đây

J1(i) = − Q(i) + ((A1(i) + B1(i)K(i))TG(i)A1(i) + B1(i)K(i) + AT2(i)G(i)A2(i)

+ 1i(Ea1(i) + Eb1(i)K(i))T(Ea1(i) + Eb1(i)K(i)) + 2iEa2T (i)Ea2(i)

Đặt Xi = Q−1i , K(i) = Y (i)Xi−1 Nhân cả trước và sau của bất phương

trình với diag(Xi, I, I) ta được

X i J 1 (i)X i [A 1 (i)X i + B 1 (i)Y i ]TG(i)D(i) X i AT2(i)G(i)D(i)

D T (i)G(i)[A1(i)Xi+ B1(i)Yi] −1iI + D T (i)G(i)D(i) 0

Biểu thức, XiJiXi có thể được viết lại như sau

XiJiXi = − Xi+ (A1(i)Xi+ B1(i)Yi)TG(i)(A1(i)Xi+ B1(i)Yi)

+ XiAT2(i)G(i)A2(i)Xi + 2iXiEa2T (i)Ea2(i)Xi

+ 1i(Ea1(i)Xi+ Eb1(i)Yi)T(Ea1(i)Xi + Eb1(i)Yi)

Theo bổ đề về phần bù Schur, bất đẳng thức (2.12) được đưa về (2.9)

Do đó định lý được chứng minh

Ví dụ 2.3.1 Xét hệ chuyển Markov ngẫu nhiên rời rạc tuyến tính dưới

đây

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

Các ma trận của hệ được cho bởi

A1(1) =





0.4725 0.36750.105 1.05





Mục tiêu là thiết kế bộ điều khiển ngược sao cho hệ đóng là ổn định

Để giải quyết vấn đề này chúng ta cần tìm ra ma trận đối xứng xác định

dương Q(1) > 0 và Q(2) > 0 và các ma trận điều khiển ngược , K(1) và

K(2) thỏa mãn bất đẳng thức đại số Riccati:

(A1(i)+B(i)K(i))TG(i)(A1(i)+B(i)K(i))+AT2(i)G(i)A2(i)−Q(i) ≡ Ω(i) < 0

ở đây

G(i) =

sXj=1

πijQ(j)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI

Chúng ta tìm được

Q(1) =



7.5074 1.64044.6404 10.8013



, Q(2) =



5.5964 1.27931.2793 9.7052

h0.0642 −0.7379

i

KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung của khóa luận "Tìm hiểu về bài toán ổnđịnh và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS " Khóa luận này đã trìnhbày được những nội dung chính sau đây:

• Chương 1 Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về xíchMarkov, hệ DBLS, các khái niệm về ổn định

• Chương 2 Chương này, trình bày bài toán ổn định và ổn định ápdụng cho lớp hệ DBLS, đưa ra tiêu chuẩn ổn định, ổn định hóa , ổnđịnh vững cho lớp hệ DBLS

Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: " Tìm hiểubài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ DBLS ", tôi còn tìmhiểu về phần mềm soạn thảo Latex Khóa luận trên đây được soạn thảobằng Latex Tuy nhiên, do thời gian thực hiện khóa luận không nhiềucòn có những sai sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô

và bạn đọc Tôi xin chân thành cám ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] S.Sathananthan, carlos Beane, G.S.Ladde Stabilization of stochasticsystems under Markovian switching , Nonlinear Analysus: HybridSystem 4 (2010) 804-817

[2] E K Boukas, Stochastic Switching System,Analysis and Design,Boston: Birkhauser, 2006

[3] Y S Wang, L Xie, C E De Souza, Robust control of a class ofuncer ystems, System and control letters 19 (1992) 139-149