Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-stokes

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN **************** TRIỆU QUỲNH NHƯ SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành : Toán Giải tích Người hướn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

****************

TRIỆU QUỲNH NHƯ

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

CỦA HỆ NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành : Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Cung Thế Anh

Hà Nội, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Cung Thế Anh đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy côdạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,

cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Triệu Quỳnh Như

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh luận vănđược hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác

Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu củacác nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Triệu Quỳnh Như

Mục lục

Mở đầu 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Các không gian hàm 8

1.2 Các toán tử 9

1.2.1 Toán tử A 9

1.2.2 Toán tử B 10

1.3 Các bất đẳng thức thường dùng 12

1.3.1 Bất đẳng thức H¨older 12

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy 12

1.3.3 Bất đẳng thức Young 12

1.3.4 Bất đẳng thức Poincaré 13

1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall 13

1.4 Bổ đề compact Aubin-Lions 13

Chương 2 Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes 14

2.1 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều 14 2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều 18

Chương 3 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes 22 3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều 22

3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa phương trong trường hợp ba chiều 27Kết luận 31Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng

và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát,

và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàngkhông, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng đượcviết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng:

Bu

Bt
ν∆u pu  ∇q ∆p  f

∇ u  0

ở đó u  upx, tq là hàm vectơ vận tốc, p  ppx, tq là hàm áp suất, ν là hệ số nhớt,

f là ngoại lực Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trìnhNavier-Stokes là:

• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặcnghiệm mạnh Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian

• Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theobiến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến khônggian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, )

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian

t ra vô cùng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép

dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điềuchỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.

Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Stokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác vềnghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp

Navier-ba chiều Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tínhduy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệNavier-Stokes trong cả hai trường hợp hai chiều và ba chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh

Nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : Hệ phương trình Navier-Stokes

Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại : Phương pháp Galerkin

Nghiên cứu tính duy nhất : phương pháp Lions, phương pháp Serrin

6 Giả thiết khoa học

Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh

Tìm được điều kiện đủ để nghiệm là duy nhất trong lớp hàm thích hợp

'''

Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau:

V VpH1pΩqqd  bao đóng của V trong pH1

Khi đó V và H là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là

Gọi V1 là không gian đối ngẫu của V Kí hiệu |.|, ||.|| lần lượt là chuẩn trong H và

V,||.|| kí hiệu chuẩn trong V1.

1.2 Các toán tử

1.2.1 Toán tử A

Giả sử A : V Ñ V1

là toán tử xác định bởixAu, vy  ppu, vqq, với mọi u, v P V

Kí hiệu DpAq là miền xác định của A, ta có:

DpAq  tu P H : Au P Hu  pH2pΩqqdX V

Dễ thấy toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịchđảo A
1 : H Ñ DpAq compact vì phép nhúng H1

0pΩq ãÑ L2pΩq là compact Do đó phổcủa A gồm toàn giá trị riêng tλju8j1 với

0  λ1 ¤ λ2 ¤ ¤ λn¤ , λnÑ 8 khi n Ñ 8,

và các hàm riêng tương ứng twju8j1 € DpAq lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H

Khi đó dễ thấy bp., , q là một dạng 3- tuyến liên tục trên pH1

0pΩqqd, hay nói riêng trên

V Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được

bpu, v, wq 
bpu, w, vq với mọi u, v, w P V

Nói riêng bpu, v, wq  0, với mọi u, v P V

Để thiết lập các đánh giá đối với bpu, v, wq, ta cần bổ đề sau

Đặt Bu Bpu, uq.

Khi đó Bài toán đã cho có thế phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây

Bài toán 1 Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V1

Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.2.3 Giả sử uP L2p0, T ; V q Khi đó hàm Bu xác định bởi

xBuptq, vy  bpuptq, uptq, vq, với mọi v P V,

sẽ thuộc L1p0, T ; V1q

Chứng minh Với hầu khắp tP r0, T s, ta có Buptq P V1 Ta có

xBuptq, vy  |bpuptq, uptq, vq| ¤ C||uptq||2||v|| @ P V,

suy ra ||Bw||V1 ¤ C||w||2 với mọi w P V Do đó

Từ đó ta có bài toán sau đây.

Bài toán 2 Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V1

bq

q, pa, b ¡ 0q

xptq ¤ xp0qeG ptq »t

0

eGptq
Gpsqhpsqds,với 0¤ t ¤ T , ở đó

Gptq 

»t 0

gprqdr

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và

dx

dt ¤ ax b,thì

Chương 2

Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes

2.1 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục

trong trường hợp hai chiều

Định lí 2.1.1 Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V1

q Khi đó Bài toán 1 có duy nhấtmột nghiệm u thỏa mãn

uP Cpr0, T s; Hq X L2p0, T ; V q,du

Ở đây u0m  Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H xuống spantw1, , w2u, không gian consinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy ranghiệm xấp xỉ umptq tồn tại và xác định trên r0, T s.

Bước 2 Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với tumu

Nhân hai vế của (2.1) với gimptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được

||umpsq||2ds¤|u0m|2 1

ν

»t 0

nên tBumu bị chặn trong L2p0, T ; V1

*

bị chặn trong L2p0, T ; V1

q.Bước 3 Chuyển qua giới hạn

Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử

Bây giờ ta cần chứng minh Bum ã Bu trong L2p0, T ; V1q

Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con củatumu mà ta vẫn

kí hiệu làtumu thỏa mãn

um Ñ u trong L2p0, T ; Hq

Ta chứng minh kết quả sau

Bổ đề 2.1.1 Giả sử um ã u trong L2p0, T ; Hq và um Ñ u trong L2p0, T ; Hq Khi đóvới mọi wP C1pQTq ta có

bpum

, w, umqdt

»T 0

Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng

Em 

»T 0

»

Ω

pvm
vqwvm

dxdt,

ở đó vm Ñ v trong L2p0, T ; Hq, w P L2p0, T ; Hq và vm bị chặn đều trong L8p0, T ; Hq.Do

||wvm||L 2 p0,T ;Hq® ||w||L 2 p0,T ;Hq||vm||L 8 p0,T ;Hq

nên Em Ñ 0 Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh

Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm uP L2p0, T ; Hq X L8p0, T ; Hq thỏa mãn

du

dt νAu Bu f trong L2p0, T ; V1q,hay

du

dtptq νAuptq Buptq  fptq trong V1với hầu khắp tP r0, T s

Để chứng minh up0q  u0, ta chọn hàm thử ϕP C1r0, T s với ϕpT q  0, và lấy tích vôhướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được

»T 0

puptq, ϕ1ptqqdt ν

»T 0

puptq, ϕptqqdt

»T 0

bpuptq, uptq, ϕptqqdt

pup0q, ϕp0qq

»T 0

Từ đó suy ra pup0q, ϕp0qq  pu0, ϕp0qq với mọi ϕ và do đó up0q  u0

Bước 4 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu.Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu lần lượt lần lượt

Nhân hai vế của phương trình này với u ta có

|uptq|2 ® |up0q|2exp

»t 0

1

ν||u2psq||2ds Đây là điều phải chứng minh

2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường

hợp ba chiều

Định lí 2.2.1 Cho f P L2p0, T ; V1q, u0 P H Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệNavier-Stokes thỏa mãn

uPL2p0, T ; V q X Cwpr0, T s; Hq,du

dt P L4 {3p0, T, V1q,

u là liên tục yếu từ r0, T s vào H: u P Cwpr0, T s; Hq

Chứng minh Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ

Giả sửtwju8j1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A Với mỗi m ¥ 1,tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng

trong đó gim thỏa mãn (2.1) Ở đây u0m  Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H xuốngspantw1, , w2u, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên Từ lí thuyết phươngtrình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ umptq tồn tại và xác định trên r0, T s.Bước 2 Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với um.

Nhân hai vế của (2.1) với gimptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được

tBumu bị chặn trong L4 {3p0, T ; V1q

Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử

Ta chứng minh kết quả sau

Bổ đề 2.2.1 Giả sử um ã u trong L2p0, T ; Hq và um Ñ u trong L2p0, T ; Hq Khi đóvới mọi wP C1pQTq ta có

»T 0

bpumptq, umptq, wptqqdt Ñ

»T 0

Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng

Em 

»T 0

»

Ω

pvm
vqwvm

dxdt

Ở đó vm Ñ v trong L2p0, T ; Hq, w P L2p0, T ; Hq và vmbị chặn đều trong L8p0, T ; Hq.Do

||wvm||L 2 p0,T ;Hq ® ||w||L 2 p0,T ;Hq||wm||L 8 p0,T ;Hq.

nên Em Ñ 0 Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh

Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm uP L2p0, T ; V q X L8p0, T ; Hq thỏa mãn

du

dt νAu Bu f trong L4 {3p0, T ; V1q

hay

du

dtptq νAuptq Buptq  fptq trong V1với hầu khắp tP r0, T s

Để chứng minh up0q  u0, ta chọn hàm thử ϕP C1r0, T s với ϕpT q  0, và lấy tích vôhướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được

pumptq, ϕptqqdt

»T 0

bpumptq, umptq, ϕptqqdt

pump0q, ϕp0qq

»T 0

xfptq, ϕptqydt

Sau đó chuyển qua giới hạn khi mÑ 8 ta được

»T 0

puptq, ϕ1ptqqdt ν

»T 0

puptq, ϕptqqdt

»T 0

bpuptq, uptq, ϕptqqdt

pup0q, ϕp0qq

»T 0

xfptq, ϕptqydt

Từ đó suy ra pup0q, ϕp0qq  pu0, ϕp0qq với mọi ϕ và do đó up0q  u0

Chú ý 2.2.1 Trong trường hợp 3 chiều tồn tại nghiệm toàn cục nhưng tính duy nhấtvẫn còn là vấn đề mở

setcounterchapter2

Chương 3

Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes

3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục

trong trường hợp hai chiều

Định lí 3.1.1 Cho trước u0 P V và f P L2p0, T ; Hq Khi đó tồn tại duy nhất mộtnghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes

dt P L2p0, T ; Hq

Chứng minh Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ

Giả sửtwju8j1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A.Với mỗi m¥ 1,tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng

pu1mptq, umptqq νppumptq, umptqqq  xfptq, umptqy, j  1, m,

do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ta

12

Lấy tích phân (3.3) từ 0 đến T , ta được

α , ta có

d

dt||pumptq||2 ¤ 2|fptq|2 c2|umptq|2||umptq||2||umptq, umptq||2 (3.7)

Ta áp dụng kỹ thuật của bất đẳng thức Gronwall với

yptq  ||umptq||2; gptq  c2|umptq|2||umptq||2; hptq  2|fptq|2,

Bước 3 Chuyển qua giới hạn.

Từ ước lượng tiên nghiệm ở trên, ta kết luận tồn tại uP L2p0, T ; DpAqq X L8p0, T ; V q

và một dãy con tumu sao cho

um hội tụ yếu đến u trong L8p0, T ; V q;

um hội tụ yếu đến u trong L2p0, T ; DpAqq;

Aum hội tụ yếu đến Au trong L2p0, T ; Hq;

pumq1 hội tụ yếu đến u trong L2p0, T ; Hq

Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions suy ra tồn tại dãy con tumu sao cho um hội tụmạnh đến u trong L2p0, T ; V q, và do đó cũng hội tụ mạnh trong L2p0, T ; Hq Chuyểnqua giới hạn số hạng phi tuyến tính bp, , q nhờ Bổ đề 2.1.1

Ta chứng minh up0q  u0 Cho ψ là một hàm khả vi liên tục trênr0, T s ở đó ψpT q  0

Ta nhân (3.2) với ψptq và tích phân từng phần, ta có

đúng với mọi vP V, theo nghĩa phân bố

Cuối cùng, ta phải chứng minh rằng u thoả mãn up0q  u0 Ta nhân (3.2) với ψptq vàlấy tích phân Lấy tích phân từng phần số hạng đầu tiên ta được

3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa

phương trong trường hợp ba chiều

|fptq|2

dt ¤ 1

4?

C.Khi đó tồn tại một nghiệm u của hệ Navier- Stokes

Chứng minh Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ

Cho um là nghiệm của hệ Galerkin

Bước 2 Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với um.

Nhân vô hướng với (3.12) um ta được

12

e
νλ1 pt
sq|f|2

Nhân vô hướng (3.12) với Aum ta được

12

d

dt||um||2 ν|Aum|2 bpum, um, Aumq  pf, Aumq (3.16)Giả sử f P L2p0, T, Hq với T ¡ 0 và u0 P V Đánh giá (3.16) ta được

|pf, Aumq|   v

4|Aum|2 |f|2

v .Đánh giá số hạng |bpum, um, Aumq| và sử dụng Bổ đê 1.2.2 ta có

d

dt||um||2 ν|Aum|2 ¤ 2|f|2

νc

ν3||um||6 (3.17)

Giả sử

||ump0q||2 2

ν

»T 0

|fptq|2dt¤ c
1{2

2 ν

2λ11{2, (3.18)thì @0 ¤ t ¤ T ta có

|f2|ds ||ump0q||2 ¤ 2

ν

»T 0

|f2|ds ||ump0q||2 ¤ c
1{2ν2λ

1 {2 1

Lặp lại các lí luận tương tự như trong trường hợp hai chiều ta được

um ã u trong L2p0, T ; DpAqq,

và u là nghiệm của bài toán

Bước 4 Tính duy nhất của nghiệm

Giả sử hai nghiệm là u1, u2 Đặt w u1
u2, từ (3.11) ta suy ra

du1

dt νAu1 Bpu1, u1q  fvà

du2νAu Bpu , u q  f

Trừ hai vế của phương trình ta đươc

dw

dt νAw Bpu1, wq Bpw, u2q  0 (3.19)(Vì Bpu1, wq Bpw, u2q  Bpu1, u1
u2q Bpu1
u2, u2q  Bpu1, u1q
Bpu2, u2qq Từ(3.11) ta suy ra

qp0q  u1p0q
u2p0q  u0
u0  0

Nhân vô hướng (3.19) với w ta được

xdw

dt , wy ν||w||2 bpw, u2, wq  0, (3.20)(vì bpu1, w, wq  0) Ta có đánh giá sau

Chú ý 3.2.1 Theo chứng minh trên ta thấy rằng nếu trường hợp u1, u2có một nghiệm

là nghiệm yếu, một nghiệm là nghiệm mạnh thì ta vẫn chứng minh được chúng là trùngnhau Tuy nhiên trong trường hợp cả hai nghiệm là nghiệm yếu thì vấn đề này còn làvấn đề mở

Tài liệu tham khảo

[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm,2012

[2] V.Barbu, Stabilization of Navier-Stokes Flows, Springer, London, 2011

[3] P Constantin and C Foias, Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in ematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1988

Math-[4] R Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis,2nd edtion,Amsterdam: North-Holland, 1979

[5] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, SIAM,Philadelphia, 2nd edition, 1995