Về số nút xác định đối với hệ navier stokes hai chiều (LV02294)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THANH HƯƠNG VỀ SỐ NÚT XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH HƯƠNG

VỀ SỐ NÚT XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI

HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH HƯƠNG

VỀ SỐ NÚT XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI

HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes 4

1.2 Các không gian hàm và toán tử 5

1.2.1 Các không gian hàm 5

1.2.2 Các toán tử 6

1.3 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến 8

1.4 Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm 11

1.5 Một số kết quả thường dùng 16

1.5.1 Một số các ước lượng 16

1.5.2 Một số bất đẳng thức 18

Chương 2 Số nút xác định đối với hệ Navier-Stokes hai chiều 21

2.1 Khái niệm số nút xác định của nghiệm 21

2.2 Một số bổ đề 22

2.3 Số nút xác định đối với nghiệm dừng 25

2.4 Số nút xác định đối với nghiệm phụ thuộc thời gian 28

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh Thầy

đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôihoàn thành luận văn này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đạihọc, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạylớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Trần Thanh Hương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Về số nút xác địnhđối với hệ Navier-Stokes hai chiều" được hoàn thành bởi chính sựnhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Trần Thanh Hương

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình cơ bản trong cơhọc chất lỏng Việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa hệ này khi thời gian ra vô cùng đã thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà toán học, xem các cuốn chuyên khảo [1, 6, 7]

Chúng ta biết rằng dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes cóthể được xác định bằng một số hữu hạn các nút xác định (determiningnodes), nghĩa là nếu hai nghiệm của hệ Navier-Stokes có dáng điệu giốngnhau trên một tập rời rạc các giá trị nút thì hai nghiệm đó sẽ có dángđiệu giống nhau tại mọi điểm của miền, khi thời gian ra vô cùng [2] Việcđánh giá số phần tử của các nút xác định là một trong những vấn đềquan trọng trong việc xác định dáng điệu tiệm cận hữu hạn chiều (finite-dimensional asymptotic behavior) của hệ Navier-Stokes Hơn nữa, nếu

số nút xác định là hữu hạn và tập hút toàn cục của hệ động lực tươngứng là giải tích, thì bởi kết quả của Friz và Robinson trong [3], ta có thểtham số hóa tập hút toàn cục (là một tập compact bất biến trong khônggian pha, thường là không gian vô hạn chiều) bằng một số hữu hạn cáctham số

Mục đích của luận văn này là trình bày các ước lượng trong [4, 5] về sốnút xác định đối với hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuầnhoàn Với mong muốn được hiểu biết sâu hơn về sự tồn tại và dáng điệu

tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes, dưới sự hướng dẫn của PGS.TSCung Thế Anh, tôi đã chọn đề tài "Về số nút xác định đối với hệNavier-Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩcủa mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc đánh giá số nút xác định đối với nghiệm của hệ Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

Navier-3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Đánh giá chặn trên của số nút xác định của nghiệm dừng của hệNavier-Stokes hai chiều

• Đánh giá chặn trên của số nút xác định của nghiệm phụ thuộc thờigian của hệ Navier-Stokes hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều

• Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá chặn trên của số nút xác định củanghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều và lí thuyết hệ Navier-Stokes

6 Đóng góp của luận văn

Thiết lập được các kết quả về đánh giá chặn trên của số nút xác địnhcủa nghiệm dừng và nghiệm phụ thuộc thời gian của hệ Navier-Stokeshai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cũng như các kếtquả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau Các kết quả chủ yếutham khảo trong [1, 4]

1.1 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R2 với biên ∂Ω trơn Xét bài toán biênban đầu đối với hệ Navier-Stokes hai chiều cho một chất lỏng nhớt khôngnén được với điều kiện biên tuần hoàn trong miền Ω = (0, L) × (0, L)

Ta kí hiệu bởi f = f (x, t) là hàm thể tích lực, u = u(x, t) là hàm vectơvận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất, ν = const > 0 là hệ số nhớt, ta có

1.2 Các không gian hàm và toán tử

Ta kí hiệu các không gian hàm

∂ vi

∂ xj

Gọi V0 là không gian đối ngẫu của V Kí hiệu | · |, k · k lần lượt là cácchuẩn trong H và V , k · k∗ kí hiệu chuẩn trong V0.

1.2.2 Các toán tử

* Toán tử A ([1]): Giả sử V → V0 là toán tử xác định bởi

hAu, vi = ((u, v)), với mọi u, v ∈ V

Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có

Thật vậy, ta có

|b(u, v, w)| =

Z

Ω

dξ2

ui∂ vj

∂ xiwjdx

|b(u, v, w)| 6 212|u|12kuk12kvk|w|12kwk12

Chú ý Vì b(u, v, w) = −b(u, w, v) nên

|b(u, v, w)| 6 212|u|12kuk12kwk|v|12kvk12, ∀ u, v, w ∈ V

Khi đó bài toán đã cho có thể được viết dưới dạng sau đây.

Bài toán 1 Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Tìm hàm u ∈

Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.3 ([1]) Giả sử u ∈ L2(0, T ; V ) Khi đó, hàm Bu xác định bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), với mọi v ∈ V,

sẽ thuộc L1(0, T, V0)

Chứng minh Với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có Bu(t) ∈ V0 Ta có

|hBu(t), vi| = |b(u(t), u(t), v)| 6 Cku(t)k2 · kvk, ∀v ∈ V

Suy ra kBwkV 0 6 Ckwk2, với mọi w ∈ V Do đó

Từ đó ta có bài toán sau đây.

Bài toán 2 Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Tìm hàm u ∈

L2(0, T ; V ) thỏa mãn

u0 ∈ L1(0, T ; V0)

u0+ νAu + Bu = f trong V0 với hầu khắp t ∈ (0, T )

u(0) = u0

Dễ thấy Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương với nhau theo nghĩa nếu

u là nghiệm của bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia vàngược lại

1.4 Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm

Định lí 1.1 ([1]) Cho trước u0 ∈ H và f ∈ L2(0, T ; V0) Khi đó Bàitoán 1 có duy nhất một nghiệm u thỏa mãn

u ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V )

Chứng minh Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp

xỉ Galerkin

Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ

Giả sử {wj}∞j=1 là một cơ sở của V gồm toàn vectơ riêng của toán tử

A Với mỗi m > 1, tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng

Bước 2 Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm của {um} Nhân cả hai vếcủa (1.4) với gjm(t), sau đó lấy tổng theo j thừ 1 đếm m ta được

Bước 3 Chuyển qua giới hạn.

Từ các ước lượng tiên nghiệm ở Bước 2, ta có thể giả sử

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh Bum + Bu trong L2(0, T ; V0)

Áp dụng Bổ đề Aubin-Lions, ta nhận được dãy con của {um} mà tavẫn kí hiệu là {um} thỏa mãn

um → u trong L2(0, T ; H)

Ta chứng minh kết quả sau

Bổ đề 1.4 Giả sử um + u trong L2(0, T ; V ) và um → u trong L2(0, T ; H).Khi đó với mọi w ∈ C1(QT) ta có

∂ xiuj + u

m i

Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng

nên Em → 0 Từ đó bổ đề được chứng minh

Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u ∈ L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H)thỏa mãn

Để chứng minh u(0) = u0, ta chọn hàm thử ϕ ∈ C1([0, T ]; V ) với ϕ(T ) =

0 và lấy tích vô hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phântừng phần ta được

Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầulần lượt là u01, u02 Đặt u = u1 − u2, ta có

Nhân cả hai vế phương trình này với u ta có

|u(t)|2 6 |u(0)|2exp

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

u(x) = X

k∈Z 2

k6=0

ake2π ix· k/L

Bây giờ

|u(x) − u(y)| = X

k∈Z2k6=0

|ak||e2π ix· k/L. − e2π iy· k/L| (1.6)

Đặt x = (x1, x2), y = (y1, y2), k = (k1, k2) Với mọi a, b ∈ R ta có bấtđẳng thức sau

|e2π ix· k/L. − e2π iy· k/L| 6 4π

Lθ|k|θ|x − y|θ.Thay vào (1.6) ta được

k∈Z 2

k6=0

L416π4

Bây giờ ta ước lượng tổng cuối trong bất đẳng thức ở trên Đặt [k] =max{|k1|, |k2|} Khi đó ta có

h(θK) = [K(1 + log K)]1+1/ log K 6 [K(1 + log K)] e2

1.5.2 Một số bất đẳng thức

• Bất đẳng thức Young:

• Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp:

Chương 2

Số nút xác định đối với hệ

Navier-Stokes hai chiều

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các ước lượng về số nút xácđịnh đối với hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn.Nội dung chính của chương 2 là trình bày về một chặn trên với hằng số

α1 và α2 chỉ phụ thuộc vào số Gr Chương này được viết dựa trên tàiliệu tham khảo số [4]

2.1 Khái niệm số nút xác định của nghiệm

Bổ đề 2.1 ([4]) Với mọi w ∈ D(A), ta đặt

Áp dụng bất đẳng thức Young ta thu được (2.3).

Tiếp theo là trường hợp tổng quát của bất đẳng thức Gronwall

Bổ đề 2.2 ([4]) Giả sử α là một hàm khả tích địa phương lấy giá trịthực trong (0, ∞) và với 0 < T < ∞ các điều kiện sau được thỏa mãn

d

dt(ξ) + αξ 6 β trong khoảng (0, ∞)

Khi đó ta có ξ(t) → 0 khi t → ∞

Bổ đề 2.3 ([4]) Giả sử u(t) là nghiệm của (1.2) và u0 ∈ H Khi đó ta

1T

Bổ đề được chứng minh

2.3 Số nút xác định đối với nghiệm dừng

Đầu tiên chúng ta giả sử rằng, ngoại lực f là không phụ thuộc vào thờigian và Gr = G = |f |/λ1ν2 Chú ý rằng nếu G là đủ nhỏ thì động lựccủa (1.1) là tầm thường và trong trường hợp này tập hút toàn cục củaphương trình chỉ gồm duy nhất một điểm dừng ổn định mũ

Định lí 2.1 ([4]) Giả sử u và v là hai nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes

B((u, u), Au) = 0

Lấy đạo hàm biểu thức trên theo biến u theo hướng của v ta thu đượcđồng nhất thức

(B(u, v), Av) + (B(v, u), Av) + (B(v, v), Au) = 0 (2.9)Chúng ta bắt đầu chứng minh định lí trên dựa vào mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 Giả sử các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn Giả

Chứng minh Đặt w = u − v Khi đó w là nghiệm của phương trình

|Aw|2ν − c1c3c4 L

2−3θ/2d3θ/2N(1 − θ)3/4 |Au|6 0

Bây giờ chúng ta lấy tích vô hướng của νAu + B(u, u) = f với Au và sửdụng (B(u, u), Au) = 0, ta được

|Au| 6 |f |

ν .

Như vậy ta có

|Aw|2ν − c1c3c4 L

2−3θ/2 d3θ/2N(1 − θ)3/4

|f |ν

|f |

ν > 0,hay tương đương

Định lí 2.2 ([4]) Giả sử các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa mãn.Nếu

ec2/35 G2/3(1 + log(c5G)2/3)1/2,thì u = v Nói riêng, tồn tại một tập các nút xác định đối với trường hợpnghiệm dừng, số N là nhỏ hơn

N < e2(c5G)4/3(1 + log(c5G)2/3)

Chứng minh Các cận của dN được suy ra ngay từ Mệnh đề 2.1 Để chỉ

ra sự tồn tại của tập các nút xác định, chúng ta chia miền Ω thành các

hình vuông có độ dài các cạnh là √

2dN Sau đó đặt các nút ở giữa củamỗi hình vuông Chú ý rằng, mỗi hình vuông nằm trong một hình trònbán kính dN Sau đó, phải lấy ([L/√

2dN] + 1)2 hình vuông để phủ miền

Ω Nếu chúng ta yêu cầu L/dN > 2 + √

2, tức là G  1 thì ta sẽ nhậnđược ước lượng đã cho của N

2.4 Số nút xác định đối với nghiệm phụ thuộc thời

gian

Ở mục này chúng ta giải quyết trường hợp nghiệm phụ thuộc thời gian

Ở đây, ta giả sử rằng nếu f, g là hai ngoại lực đã cho trong L∞(0, ∞; H)biết rằng

ở đây u0 và v0 cho trước ở trong V

Định lí 2.3 ([4]) Ngoài những giả thiết nêu trên chúng ta giả sử rằng

lim

t→∞ (u(xj, t) − v(xj, t)) = 0, j = 1, , N

Khi đó, tồn tại một hằng số α2 = α2(ν, L, F ), sao cho nếu

dN 6 α2,

lim

t→∞ku(·, t) − v(·, t)kL∞ (Ω) = 0

Để chứng minh định lí trên ta dựa vào mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2 Giả sử rằng các giả thiết của Định lí 2.3 được thỏa mãn.Hơn nữa, giả sử θ ∈ [0, 1) và

|Aw|

kwk|Au|

kwk2

6 c4η(w)kwk|Au| + |f − g||Aw|

Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.2 Đặt

β(t) = c4η(w)kwk|Au| + |f − g||Aw|

Do |Au|, |Av| là bị chặn với t  1 và các giả thiết trên f, g và u, v, ta cóβ(t) → 0 khi t → ∞ Bây giờ đặt

|Aw|2

kwk2 − c

2

1 c24L2−2θ d2θN2ν (1 − θ) |Au|2

Từ đây và (2.5) chúng ta thu được

Chọn T = (νλ1)−1 = L2/4π2ν, và yêu cầu

dN < α2 =

(2√2π c1 c4Gr)2

1/2θ

L

ta thu được

lim inf

t→∞

1T

Nếu chúng ta chọn tập nút xác định như ở Định lí 2.2, thì sau đó tathu được một chặn trên nhỏ nhất của N, chúng ta cần cực tiểu hàm

h(θ) := (2

√2π c1c4Gr)2

1 − θ

1/θ

,với θ ∈ [0, 1) Đặt c6 = 2√

2π c1c4 và áp dụng các ước lượng ở (1.8) với

K = (c6Gr)2 ta thu được định lí sau

Định lí 2.4 ([4]) Giả sử các giả thiết của Định lí 2.3 được thỏa mãn.Nếu

ec6Gr(1 + log(c6Gr)2)1/2,thì kết luận của Định lí 2.3 vẫn đúng Nói riêng, tồn tại một tập các nútxác định trong trường hợp không phải nghiệm dừng, số N các nút là nhỏhơn

Giả sử rằng f ∈ L∞(0, ∞; H) và

|f (t) − g(t)| → 0khi t → ∞ Khi đó, ta có

Định lí 2.5 ([4]) Cho f và g như ở trên Hơn nữa, giả sử rằng

ec6Gr(1 + log(c6Gr)2)1/2.Giả sử khi t → ∞ và với mọi j = 1, , N,

u(xj, t) − pj(t) → 0,

ở đó pj : R2 7−→ R2 là một hàm liên tục tuần hoàn với chu kì là T Khi

đó tồn tại duy nhất một hàm ϕ tuần hoàn theo thời gian với chu kì Tthỏa mãn

ϕ(xj, t) = pj(t), j = 1, , N, (2.13)và

Đặt w = u − v, ta có

dw

dt + νAw + B(u, w) + B(w, u) = f − g.

Lấy tích vô hướng với Aw ta được

hay tương đương

khi t > ε, miễn là t0 − t là một bội của T.

ku(t)−u(t0)k2 6 kw(t0)k2exp(−νλ1(t−t0))+ ε

νλ1(1−exp(−νλ1(t−t0))),với t0 > t > t0 Khi t và t0 → ∞ ta có

lim sup

t,t 0 →∞

ku(t) − u(t0)k2 6 ε

νλ1.Giả sử t0 > t > t0 và t0 − t = kT, k ∈ N Ta viết lại bất đẳng thức trênvới t = τ + lT và t0 = τ + mT, (m > l > 0, l, m ∈ N), t0 6 τ 6 t0 + T :ku(τ + lT ) − u(τ + mT )k2 6 ku(t0) − u(t0 + (m − l)T )k2 · exp(−νλ1lT )

νλ1(1 − exp(−νλ1(l + 1)T )). (2.17)Giả sử um là hạn chế của u trong khoảng [t0+mT, t0+(m+1)T ] Khi đó,bất đẳng thức (2.17) chỉ ra rằng u là một dãy Cauchy trong C([0, T ]; H)khi t → ∞

Giả sử ϕ là giới hạn của nó Rõ rằng, nếu ϕ(0) = ϕ(T ) và nếu chúng ta

mở rộng tuần hoàn ϕ (với chu kì T ) trên R, chúng ta thu được một hàmliên tục từ R vào H, tuần hoàn với chu kì T Sự hội tụ ở trên được diễn

tả lại như sau

ku(t) − ϕ(t)k → 0 khi t → ∞

Bây giờ ta thấy hàm ϕ như trên là duy nhất Thật vậy, giả sử ϕ1 làmột nghiệm nào đó mà thỏa mãn (2.13) và (2.14) Khi đó w = ϕ − ϕ1.Chú ý rằng w(xj, t) = 0 với mọi t Bây giờ ta áp dụng Định lí 2.4 với

Kết luận

Luận văn nghiên cứu việc đánh giá chặn trên của số nút xác định củanghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Cáckết quả chính của luận văn bao gồm:

1 Thiết lập được kết quả về đánh giá chặn trên của số nút xác địnhcủa nghiệm dừng

2 Thiết lập được kết quả về đánh giá chặn trên của số nút xác địnhcủa nghiệm phụ thuộc thời gian

Chương 2

Số nút xác định hệ< /h3>

Navier- Stokes hai chiều< /h3>

Trong chương trình bày ước lượng số nút xác? ?ịnh hệ Navier- Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần... việc đánh giá chặn số nút xác định củanghiệm hệ Navier- Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Cáckết luận văn bao gồm:

1 Thiết lập kết đánh giá chặn số nút xác địnhcủa nghiệm dừng... dung chương trình bày chặn với số

α1 α2 phụ thuộc vào số Gr Chương viết dựa tàiliệu tham khảo số [4]

2.1 Khái niệm số nút xác định nghiệm