Tính chính quy nghiệm của hệ navier - stokes

Trong luận văn này, chúngtôi trình bày tính chính quy riêng phần của các nghiệm của phương trình Navier-Stokes '''' & '''' là hệ số nhớt, u0 là điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirich

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,

cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốtnghiệp Thạc sỹ

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Như Thúy Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh luận vănđược hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác

Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu củacác nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Như Thuý Vân

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 6

1.1.Các không gian hàm 6

1.2.Các bất đẳng thức thường dùng 7

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy 7

1.2.2 Bất đẳng thức H¨older 7

1.2.3 Bất đẳng thức Poincaré 7

1.2.4 Bất đẳng thức Morrey 7

1.3.Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes 8

1.4.Độ đo Hausdorff 8

1.5.Một số ký hiệu và khái niệm 8

Chương 2.Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes 10

2.1.Phát biểu các kết quả chính 10

2.2.Các bổ đề 11

2.3.Chứng minh các định lí chính 20

Kết luận 23

Tài liệu tham khảo 23

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng

và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát,

và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàngkhông, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Trong luận văn này, chúngtôi trình bày tính chính quy riêng phần của các nghiệm của phương trình Navier-Stokes

''''

&

''''

là hệ số nhớt, u0 là điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet trên biên BΩ với

Ω là miền bị chặn trong R3 Sự tồn tại nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier Stokes đã được Leray và Hopf chứng minh trong [7, 4] mà nghiệm này thỏa mãn mộtdạng của bất đẳng thức năng lượng Còn Scheffer đã nghiên cứu tính chính quy riêngphần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes thỏa mãn một phiên bảnđịa phương của bất đẳng thức năng lượng trong một chuỗi các bài báo [9, 10, 11] Xemthêm [3, 5, 12, 13, 14] về các bài toán liên quan

-Trong luận văn này chúng tôi trình bày kết quả gần đây của Kukavica [6] về tínhchính qui riêng phần của nghiệm yếu phù hợp của hệ Navier - Stokes Kết quả chínhcủa luận văn là chỉ ra rằng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ

dị bằng 0 nếu f P L2 Kết quả này cải tiến kết quả nổi tiếng của Caffarelli Kohn Nirenberg trong [2].

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều

• Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy riêng phần của nghiệm

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kỹ thuật nghiên cứu tính trơn của nghiệm của hệ Navier-Stokes: cáchchọn hàm thử, đánh giá năng lượng

 bao đóng của V trong pL2pΩqq3.

Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là:

}.}V1 là chuẩn trong V1(V1 là đối ngẫu của V )

1.3 Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes

Định lí 1.3.1 [15] Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V1q Khi đó tồn tại một nghiệmyếu u của hệ Navier-Stokes thỏa mãn :

1.5 Một số ký hiệu và khái niệm

Ký hiệu Brpx0q với chuẩn Euclide là hình cầu tâm tại x0 bán kính r và

Qrpx0, t0q  Brpx0q  rt0
r2, t0s

là hình trụ parabolic gắn với tâm px0, t0q P D Để đơn giản ta viết

Qr  Qrp0, 0q và Br  Brp0q Ta nói px0, t0q P D là điểm chính quy nếu u P L5pDq trongmột lân cận mở D0 „ D của px0, t0q Điểm px0, t0q P D là điểm kỳ dị nếu nó khôngchính quy Theo [12, 13, 14] thì ta có u P L8

Nếu Qrpx0, t0q X Dc  ∅, thì ta có thể thay Qrpx0, t0q bởi Qrpx0, t0q X Dc Nếu nhãn

px0, t0q không có thì ta vẫn hiểu là lân cận của p0, 0q, tức là αprq  αp0,0qprq Năm đạilượng không có thứ nguyên (hay không có chiều), khi đó theo quy ước thông thường

về số chiều thì số mũ của x, t, u, p và f tương ứng là 1, 2,
1,
2 và
3 Tương tự nhưvậy chọn các số mũ sao cho biểu diễn của nó là bậc 1 phụ thuộc vào u Do đó dễ dàngtìm ra dạng biểu diễn tuyến tính, và dạng phi tuyến của các số hạng

Chú ý rằng giả thiết cho f P L2pDq từ đó suy ra

@px0, t0q P D và @r ¡ 0 : Qrpx0, t0q „ D, ở đó M  ||f||L 2 pDq.

Chương 2

Tính chính quy nghiệm của hệ

Navier - Stokes

2.1 Phát biểu các kết quả chính

Định nghĩa (Nghiệm yếu phù hợp)

Cố định một tập mở liên thông D„ R3 p0, 8q Giả sử pu, pq là một nghiệm yếu phùhợp trong D và nó được định nghĩa như sau:

(i) uP L8

t L2xpDq X L2

tHx1pDq và p P L3 {2pDq;

(ii) f P L2pDq là hàm phân kỳ tự do;

(iii) Hệ phương trình Navier - Stokes (1) được thỏa mãn trong D theo nghĩa yếu;(iv) Bất đẳng thức năng lượng địa phương đúng trong D, tức là:

0 pDq sao cho φ ¥ 0 trong D và với mọi T P R

Định lí sau đây là kết quả chính của chương này

Định lí 2.1.1 Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  ¡ 0 thỏa mãn tính chất sauđây Nếu px0, t0q P D và

lim sup

r Ñ0

thì px0, t0q là một điểm chính quy Nói riêng độ đo Hausdorff parabolic một chiều củatập các điểm kỳ dị bằng 0.

Điều kiện (ii) có thể được mở rộng tới hàm phân kỳ f P LqpDq, với q ¡ 5{3 Cụthể ta có định lí sau:

Định lí 2.1.2 Cho q¡ 5{3 Thay thế điều kiện (ii) trong định nghĩa của nghiệm yếuphù hợp với f P LqpDq và limr Ñ0 sup βpx 0 ,t 0 qprq    Khi đó px0, t0q là điểm chínhquy

Để chứng minh cho các định lí trên ta dựa vào các bổ đề sau

trong đó sự phụ thuộc của ψ vào r là để đơn giản nên ta có thể bỏ qua Rõ ràng

Btψ 4ψ  0 trên R3 p
8, 0s Trước hết, ta suy ra một vài tập bị chặn trên ψ đểước lượng ψ trên Qr theo bên dưới, tồn tại một điểm cố định tP r
r2, 0s, ta có

Khi đó xem nghiệm là một hàm của t, sau đó biểu diễn số lớn nhất tại

t min tr2
ρ2{24, 0u Tách riêng các trường hợp r2 ¤ ρ2{24 và r2l¥ ρ2{24, ta được

ψ tại các điểm cực đại nhỏ hơn hoặc bằng C

2

ρ3.Chứng minh (2.9) cũng tương tự: Trên QρzQρ {2, ta có

| 5 ψpx, tq| ¤ pr2Cr|t|q2ρ5{2exp



|x|2

4pr2 |t|q .

Biên của vế phải đạt được bằng cách tìm cực đại của biểu thức trên

Bρ p
ρ2,
ρ2{4q

(đó là tại x 0 và t 
ρ2{4 ) và trên BρzBρ {2 p
ρ2{4, 0q

(đó là tại |x|  ρ{2 và tại |t|  max ρ2{40
r2, 0 )

Cho η : R3 R Ñ r0, 1s là hàm nhát cắt trơn sao cho η  1 trên Qρ {2và η  0 trên Qc

ta sử dụng Btψ 4ψ  0 trên Qr Chú ý ηt, 4η và 5η bị triệt tiêu trên Qρ{2

Do vậy, φt 4φ triệt tiêu trên Qρ{2, ta có

I3 ¤ Cρ2

r2 δpρq2γpρq  Cκ
2δpρq2γpρq (2.14)Tương tự với I4 từ (2.6) ta có

I4 ¤ Cr

Cκ
1δpρqγpρq1

Cκ
1αpρq1

λpρq1

Sử dụng Cκ
1δpρqγpρq2 ¤ Cκ
3δpρq2 Cκγpρq và một hệ quả trực tiếp của bất đẳngthức Gagliardo - Nirenberg γpρq ¤ Cαpρq1

r4 {3||p1||L 3 {2 pQ r q

1 {2

¤ C
ρr

1 {2

αpρq1{2βpρq1{2. (2.18)

Tiếp theo, p2  N  ppBijηqUijq Chú ý Bijη  0 trên B3ρ {5 và trên B4ρc {5 Sử dụng

do đó ||p2||L 3{2 pB r q ¤ Cpr2{ρ2||u||L 2 pB ρ q|| 5 u||L 2 pB ρ q, lấy một biên tốt hơn (2.18) để p2

thay thế cho p1 Tương tự lấy đạo hàm ta chỉ ra rằng biên trên của p3 và p4 là như

nhau Khi đó, p5 
N  pp 4 ηq Vì 4η  0 trên B3ρ {5 và trên Bc4ρ {5, tương tự như

Trong chứng minh của Định lí 2.1.1 ta sử dụng tính chất liên tục của αprq.

Bổ đề 2.2.2 Cho 0  r   R và t1   t2 sao cho BR rt1, t2s „ D Khi đó ta có

Giả sử £ là tập các điểm Lebesgue của hàm tÞѳBR|upx, tq|2dx trong pt1, t2q

Cho ¡ 0, và cho t2   T   t2 δ sao cho BR rt1, Ts „ D Giả sử

Chọn δ¡ 0 đủ nhỏ để các số hạng bên phải nhỏ hơn hoặc bằng .

Điều này cho ta

Cố định κ min 1{2, 1{p6C0q1 {p2{3
q(

sao cho C0κ2 {3
¤ 1{6 và r ¤ ρ{2 Khi đó chọn

  κ5 {p6C0q

sao cho

C0

κ5  ¤ 1

6.Theo giả thiết, tồn tại r4 ¡ 0 sao cho Qr 4 „ D,

κ5 

+

¤ 1

8.Với n 0, 1, 2, , ký hiệu Rn  κnr4 và ˜θn ˜θpRnq Thì

Sử dụng tính đơn điệu của tích phân ta được αpρ1q ¤ pρ2{ρ1q1 {2αpρ2q;

Trong chứng minh Định lí 2.1.1 cần bổ đề sau

Bổ đề 2.2.4 [8] Cho V „ R3 R là miền bị chặn Giả sử

(i) suppx,tqPVsupρ¡0ρ
λ´

VXB ρ px,tq|gpy, sq|qdyds  8 và(ii) gP LmpVq với m ¥ q ¡ 1 và 0 ¤ λ   5 Với α ¡ 0, xác định

hpx, tq 

¼

V

gpy, sqp|x
y| ?t
sq5
αdyds.

Khi đó với mọi ˜mP pm, 8q sao cho

với px, tq P Bpx 0 ,t 0 qpr2q Cho η P C8

0 pRnq là một hàm mà đồng nhất bằng 1 trên mộtlân cận của Bp0,0qp3r2{4q và bằng 0 trên lân cận của Bp0,0qp9r2{10qc

Lặp lại quá trình trên với giá trị của ˜m  4{3, ta được v P Lp4{3qp10{3qpVq,

Kết luận

Luận văn trình bày các kết quả gần đây và tính chính qui riêng phần của nghiệm yếuphù hợp của hệ Navier-Stokes ba chiều, nói riêng là các đánh giá về số chiều Hausdorffparabolic của tập các điểm kì dị của nghiệm

Tài liệu tham khảo

[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB ĐHSP, 2012.[2] L Caffarelli, R Kohn and L Nirenberg, Partial regulation os suitable weak solu-tions of the Navier-Stokes equations, Comm Pure Appl Math 35 (1982), 771-831.[3] P Constantin and C Foias, Navier - Stokes equations, Chicago Lectures in Math-ematics, University of Chicago Press, Chicago, 1988

[4] E Hopf, Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen gen, Math Nachr 4 (1951), 213-231

grundgleichun-[5] O A Ladyzhenskaya and G A Seregin, On partial regularity of suitable weaksolutions to the three-dimensional Navier- Stokes equations, Math Fluid Mech 1(1999), 356-387

[6] I Kukavica, On partial regularity for the Navier-Stokes equations, Discrete Contin.Dyn Syst 21 (2008), No 3, 717-728

[7] J Leray, Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math

63 (1934), 193-248

[8] M O’Leray, Conditions for the local boundedness of solutions of the Navier-Stokessystem in three dimensional, Comm Partial Differential Equations 28 (2003), 617-636

[9] V Scheffer, Partial regularity of solutions to the Navier - Stokes equations, Pacific

J Math 66 (1976), 535-552

[10] V Scheffer,Turbulence and Hausdroff dimension, in ”Proc Conf Univ Paris-Sud,Orsay, 1975,” Springer, Berlin, 1976, 174-183 Lectures Notes in Math Vol 565

[11] V Scheffer, Hausdroff measure and the Navier- Stokes equations, Comm Math.Phys 55 (1977), 97-112.

[12] J Serrin, On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes tions Arch Rational Mech Anal 9 (1962), 187-195

equa-[13] H Sohr, Zur Regularitatstheorie der instationaren Gleichungen von Navier-Stokes,Math Z 184 (1983), 359-375

[14] M Struwe, On partial regularity results for the Navier-Stokes equations, Comm.Pure Appl Math 41 (1988), 437-458

[15] R Temam,Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, ASMChelsea Publishing, 2001