Số học, hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

FqT trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Fq¯k bao đóng đại số của trường k ks bao tách được của trường k kv đầy đủ hóa của trường k tại định giá v GalK/k nhóm Galois của

Mục lục

1.1 Nhóm đại số tuyến tính 14

1.2 Lược đồ nhóm affine 20

1.3 Đối đồng điều Galois 23

1.4 Đối đồng điều phẳng 26

1.5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng 29 1.5.1 Trường hợp giao hoán 29

1.5.2 Trường hợp không giao hoán Tôpô đặc biệt 30

1.5.3 Trường hợp không giao hoán Tôpô chính tắc 30

2 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans 32 2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được 33

2.2 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con toàn cấu 41

2.3 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans 43

2.4 Kết luận của Chương 2 46

3 Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường hoàn thiện và ứng dụng của nó 47 3.1 Một số khái niệm và kết quả chính 48

3.2 Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn 52

3.2.1 Định lý cơ bản của biểu diễn nhóm reductive trên trường

đóng đại số 53

3.2.2 Một số ký hiệu và∆-tác động 53

3.2.3 Lý thuyết của Tits về biểu diễn của nhóm reductive trên một trường bất kỳ 54

3.2.4 Trạng thái của một biểu diễn 56

3.2.5 Các nhóm con parabolic P(λ) và P(χ) 57

3.2.6 Đặc trưng của các nhóm con tựa parabolic 58

3.2.7 Định lý của Kempf 59

3.2.8 Định lý của Ramanan và Ramanathan 60

3.2.9 Liên hệ giữa biểu diễn của nhóm reductive và biểu diễn của nhóm nửa đơn 61

3.3 Dạng tương đối cho một định lý của Bogomolov 62

3.3.1 Chứng minh thứ nhất của Định lý 3.1.5 63

3.3.2 Chứng minh thứ hai của Định lý 3.1.5 65

3.4 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con tựa parabolic và các nhóm con dưới parabolic 68

3.5 Kết luận của Chương 3 77

4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa phương 79 4.1 Một số kết quả sơ bộ 80

4.2 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ hoàn thiện 86 4.3 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ bất kỳ 97

4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động khá tách 97

4.3.2 Chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 1 98

4.3.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 2 99

4.3.4 Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn 100

4.3.5 Trường hợp các nhóm giao hoán và xuyến 102

4.3.6 Trường hợp nhóm dừng là một k-nhóm giải được, liên thông 111 4.3.7 Trường hợp G là một k-nhóm tuyến tính lũy linh 114

4.3.8 Trường hợp nhóm dừng là reductive 116

4.3.9 Trường hợp tác động là khá tách 118

4.4 Một số tính toán trong trường hợp trường có đặc số p 118

4.5 Kết luận của Chương 4 126

Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 130

Fq((T )) trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Fq

¯k bao đóng đại số của trường k

ks bao tách được của trường k

kv đầy đủ hóa của trường k tại định giá v

Gal(K/k) nhóm Galois của mở rộng Galois K/k

H1(k, G) đối đồng điều Galois bậc 1 của G trên k

H1f l(k, G) đối đồng điều phẳng bậc 1 của G trên k

k[X] đại số các hàm chính quy của đa tạp X với hệ số trong k

X ∥ G thương phạm trù của đa tạp X theo tác động của nhóm GX/G thương hình học của đa tạp X theo tác động của nhóm GG/H không gian thuần nhất của G thương cho nhóm con đóng Hchar k đặc số của trường k

G0 thành phần liên thông chứa đơn vị trong nhóm G

Bảng một số thuật ngữ

đa thức cộng tính additive polynomial

đối đồng điều phẳng flat cohomology

hàm tử (hạn chế) của Weil Weil restriction

k-không đẳng hướng k-anisotropic

thuần túy không tách purely inseparable

lược đồ nhóm vô cùng bé infinitesimal group scheme

nhóm con parabolic chuẩn standard parabolic subgroupnhóm con parabolic parabolic subgroup

nhóm con tựa parabolic quasi-parabolic subgroup

nhóm con dưới parabolic sub-parabolic subgroup

tập với một phần tử được đánh dấu set with a distinguished element

thương phạm trù categorical quotient

trường hàm toàn cục global function fieldtách mạnh strongly separablekhá tách fairly separable

Mở đầu

Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường k Ta có thểhiểu đơn giản G là một nhóm các ma trận vuông cấp n với hệ số nằm trong baođóng đại số của trường k và G đồng thời là tập không điểm của một họ các đa thức

n2 biến với hệ số trong k Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng nằm giữa

Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính và Hình học Đại số là Lý thuyết bất biến hình học.Một phần chủ yếu của lý thuyết này nghiên cứu các tác động (cấu xạ) của một nhómđại số tuyến tính lên một đa tạp đại số cho trước, đặc biệt là nghiên cứu tính chấtcủa các quỹ đạo Lý thuyết bất biến hình học xuất hiện từ lâu với việc nghiên cứuBài toán số 14 của Hilbert về tính chất hữu hạn sinh của đại số các hàm bất biến.Với những đóng góp của D Mumford, W Haboush, M Nagata, , lý thuyết nàykhá phong phú trong trường hợp trường k là đóng đại số Tuy nhiên, ngay từ thờiđiểm ban đầu của Lý thuyết bất biến hình học hiện đại, mà D Mumford là ngườiđặt nền móng, ông đã đặt vấn đề nghiên cứu nó cả trong những tình huống tươngđối, tức là khi k là một trường bất kỳ nói chung không đóng đại số Chẳng hạn,với động cơ nghiên cứu các bài toán số học (cụ thể là xây dựng không gian modulicủa các đa tạp abel, như đã đề cập trong Chương 3 của [30], [31]), D Mumford đãxét nhiều vấn đề của lý thuyết này trên những lược đồ đủ tổng quát Ngoài ra, A.Borel [58], và J Tits [30], đã đặt ra một số câu hỏi (hay giả thuyết) khi mở rộngcác kết quả đã biết của lý thuyết bất biến hình học trên trường đóng đại số cho cảtrường không đóng đại số (chẳng hạn mở rộng một định lý nổi tiếng của D Hilbert

và D Mumford) Những kết quả điển hình theo hướng này thuộc về D Birkes [6],

G Kempf [25], M S Raghunathan [35], đã cho câu trả lời (hoặc lời giải) củamột số câu hỏi (hoặc giả thuyết) được đề cập ở trên Những nghiên cứu theo cáchnhư vậy nói chung được gọi là nghiên cứu về các tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số,của đa tạp đại số, v.v ) Khó khăn gặp phải trong các bài toán nói trên tương tự nhưđối với một bài toán số học, ví dụ việc tìm nghiệm của đa thức trong trường đóngđại số (“bài toán hình học”) và trong trường không đóng đại số (“bài toán số học”)

Để hiểu rõ các tính chất của quỹ đạo, việc nghiên cứu các nhóm con dừng là rấtquan trọng Có một số lớp nhóm con quan trọng trong việc nghiên cứu Lý thuyết

bất biến hình học, đó là lớp các nhóm con quan sát được, lớp các nhóm con toàncấu, và lớp các nhóm con Grosshans Từ một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễnnhóm đại số, A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G Mostow [3, p 134] đã đưa ra

khái niệm các nhóm con quan sát được Ta có thể hiểu một nhóm con đóng H của

G là quan sát được nếu H là nhóm con dừng của một vectơ v trong một G-môđunhữu tỷ hữu hạn chiều V nào đó Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiệncần và đủ để một nhóm là quan sát được Sau đó, F Grosshans đã tìm thêm đượcmột số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó) Tuynhiên, hầu hết các kết quả ở đây đều mới chỉ được chứng minh cho trường hợp k làmột trường đóng đại số

Một lớp các nhóm con khác cũng khá quan trọng là lớp các nhóm con toàn cấu

do A Borel và F Bien đưa ra (trước đó S Bergman đã làm một công việc tương

tự đối với các Đại số Lie) Ta định nghĩa một nhóm con đóng H của G là toàn cấunếu đại số các hàm chính quy k[G/H] của không gian thuần nhất G/H chính bằng

k Những điều kiện cần và đủ để một nhóm con đóng là toàn cấu ban đầu được đưa

ra bởi F Bien và A Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây) Bêncạnh đó, F Bien, A Borel, J Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất

H là nhóm con toàn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ của không gian thuần nhấtG/H Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là toàn cấu được cho trongĐịnh lý 2.2.1 Nhờ vào những nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 của Hilbert,

F Grosshans đã đưa ra một lớp các nhóm con quan sát được mang tên ông Đó lànhững nhóm con quan sát được H của G có tính chất đại số các hàm bất biến k[G]H

là hữu hạn sinh, trong đó H tác động tịnh tiến phải lên đại số các hàm chính quyk[G] Chính F Grosshans cũng tìm ra một số điều kiện cần và đủ khá thú vị chokhái niệm nói trên Tuy nhiên, các kết quả nói trên mới chỉ được chứng minh trongtrường hợp k là trường đóng đại số

Gần đây, vì sự cần thiết phải có những ứng dụng trong Số học và Lý thuyếtergodic (xem chẳng hạn [53]), B Weiss cũng có một số kết quả về tính chất hữu tỷcủa các nhóm con quan sát được và những nhóm con toàn cấu Như ta đã biết, mộtnhóm con đóng H của G là quan sát được nếu H = Gv, với v ∈ V, V là một G-môđunhữu hạn chiều Tuy nhiên, H chỉ là nhóm con dừng của một vectơ (đối với biểu diễn

đã cho), và ta khó có thể nói gì thêm về cấu trúc của H Ở đây, A Sukhanov đã cókết quả đi sâu hơn khẳng định nói trên Ông đã chứng minh ở [45] một định lý nóirằng, một nhóm con là quan sát được nếu và chỉ nếu nó là dưới parabolic Để làmđược điều này, A Sukhanov phải dùng một kết quả quan trọng của F Bogomolov

về cấu trúc của nhóm con dừng của một vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa là

0 ∈ G · v) Tuy nhiên, các kết quả trên của F Bogomolov và A Sukhanov cũng mớichỉ được chứng minh trong trường hợp k là trường đóng đại số Nội dung của haichương đầu tiên nói về kết quả của luận án (Chương 2, và Chương 3) là trình bàyviệc mở rộng những khẳng định này cho trường không đóng đại số Vì một số lý do

kỹ thuật, các kết quả của F Bogomolov và A Sukhanov trong Chương 3 chỉ được

mở rộng lên cho truờng hợp k là trường hoàn thiện

Như đã nói ở trên, có rất nhiều kết quả của Lý thuyết bất biến (hình học) đề cậpđến việc nghiên cứu tính chất đóng của quỹ đạo dưới tác động của nhóm G thu đượctrong trường hợp hình học, tức là, trong trường hợp trường k là đóng đại số Bêncạnh đó, vì một số đòi hỏi nội tại của Lý thuyết số mà các trường địa phương, toàncục được quan tâm đặc biệt Chẳng hạn ta cho G là một nhóm đại số tuyến tính tácđộng lên k-đa tạp V và x ∈ V(k) Khi đó, một bước chính trong việc chứng minhmột kết quả tương tự của Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trong trườnghợp trường hàm toàn cục, xem [51], là chứng minh tính chất đóng (địa phương) củamột số quỹ đạo tương đối G(k) · x Vì thế, chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữacác tính chất đóng Zariski của các quỹ đạo dưới tác động bởi một nhóm đại số vàtính chất đóng Hausdorff của các quỹ đạo tương đối Cụ thể hơn, giả sử k là mộttrường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thực bằng 1, ví dụ

là các trường địa phương như trường p-adic hoặc trường số thực R Ta trang bị choX(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic trên k Cho x ∈ X(k), chúngtôi muốn nghiên cứu mối liên hệ giữa tính chất đóng Zariski của quỹ đạo hình học

G · x trong X và tính chất đóng Hausdorff của quỹ đạo (tương đối) G(k) · x trongX(k) Kết quả đầu tiên theo hướng này thuộc về A Borel và Harish-Chandra [10],tiếp đến là D Birkes [6] (xem thêm [55]) trong trường hợp trường số thực, và sau

đó là R Bremigan [11] Thực tế, ở các bài báo đó đã chỉ ra nếu G là một R-nhómreductive, thì G · x là đóng Zariski nếu và chỉ nếu G(R) · x là đóng theo tôpô thực([6], [55]) Điều này cũng được mở rộng cho trường p-adic bởi R Bremigan [11].Mục đích của chúng tôi trong chương kết quả thứ ba (Chương 4) là mở rộng vànghiên cứu sâu hơn bài toán được đề cập ở trên

Bản luận án gồm 4 chương

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận

án Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại

số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên

đa tạp) và lược đồ nhóm affine Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tôi trình bày một số kiếnthức cần thiết về đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng, và trong Mục 1.5,chúng tôi trình bày một số định nghĩa, kết quả đã biết về tôpô trên tập đối đồng

Các kết quả mới được chúng tôi trình bày trong các Chương 2, 3, và 4 TrongChương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quansát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans Chương này được chúng tôiviết dựa trên bài báo [47] Kết quả chính đầu tiên đề cập đến các nhóm con quansát được, cho trong định lý sau đây

Định lý (xem Định lý 2.1.11) Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên

một trường k tùy ý và H là một k-nhóm con đóng của G Khi đó các khẳng định sau

là tương đương:

(a) H là quan sát được, tức là, H = H00

.

(a’) H là k-quan sát được, tức là, H = (k[G]H)0.

(b’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho

H = Gv = {g ∈ G | g · v = v}

(c’) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] tách các điểm của G/H.

(d’) Không gian thuần nhất G/H là một đa tạp tựa affine xác định trên k.

(e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ ρ : H → GL(V) đều mở rộng được thành một biểu diễn k-hữu tỷ ρ0 : G → GL(V0).

(f’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho

H = Gv và

G/H  G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G}.k

(g’) Trường các thương của vành các G0 ∩ H-bất biến trong k[G0] bằng trường

các phân thức G0 ∩ H-bất biến của k(G0).

Hơn nữa, nếu H (k) trù mật Zariski trong H thì các khẳng định trên tương đương

với tính chất quan sát được tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) của H trên k.

Kết quả chính thứ hai thu được cho các nhóm con toàn cấu, và được phát biểu lànhư sau

Định lý (xem Định lý 2.2.4) Cho k là một trường bất kỳ và H là một k-nhóm con

đóng của một k-nhóm G Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(a’) H là k-toàn cấu, tức là (k[G]H)0 = G.

(b’) k[G/H] = k.

(c’) k[G/H] là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên k.

(d’) Với bất kỳ G-môđun hữu tỷ V xác định trên k, không gian con của V bao gồm

các điểm bất động của G và H là trùng nhau.

(e’) Giả sử V là một G-môđun hữu tỷ xác định trên k, và V = X ⊕ Y, trong đó X, Y

là H-bất biến Khi đó X, Y cũng là G-bất biến.

(f’) Mọi k-cấu xạ từ k-nhóm đại số G đến một k-nhóm đại số L đều được xác định

bởi hạn chế của nó trên H.

Dựa vào các kết quả trên, ta thu được kết quả về tính chất hữu tỷ cho các nhómcon Grosshans

Định lý (xem Định lý 2.3.5) Cho k là một trường hoàn thiện với vô hạn phần tử và

G là một k-nhóm Giả sử rằng H là một k-nhóm con quan sát được của G Ta xét

các điều kiện sau:

(a’) H thỏa mãn điều kiện đối chiều 2 trên k (Xem định nghĩa trang 44.)

(b’) Một trong các k-đại số k[G]H, k[G]H0, k[G0]H∩G0, k[G0]H0 là k-đại số hữu hạn sinh.

(c’) H là một nhóm con Grosshans tương đối trên k (tức là, k[G]H(k) là một k-đại

Định lý (xem Định lý 3.1.5) Cho k là một trường hoàn thiện, G là một nhóm

reductive liên thông và V là một k − G-môđun hữu hạn chiều Giả sử v ∈ V (k) \ {0}.

Khi đó, nếu v là một vectơ thiếu ổn định đối với tác động của G lên V (tức là

0 ∈ G · v) thì Gv chứa trong một nhóm con k-tựa parabolic thực sự Q của G.

Định lý (xem Định lý 3.1.7) Cho k là một trường hoàn thiện, G là một nhóm đại

số tuyến tính xác định trên k và H là một k-nhóm con đóng của G Ta xét những khẳng định sau.

1) H là k-tựa parabolic.

2) H là tựa parabolic trên k.

3) H là quan sát được trên k.

4) H là k-dưới parabolic.

5) H là dưới parabolic mạnh trên k.

6) H là dưới parabolic trên k.

Thế thì 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇔ 4) ⇔ 5) ⇔ 6) Nếu G là một nhóm nửa đơn thì 1) ⇔ 2).

Nói chung, 2) không suy ra 1).

Nội dung của Chương 3 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([12], [13]).Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu câu hỏi về liên hệ giữa tôpô Zariski củaquỹ đạo hình học và tôpô Hausdorff của quỹ đạo tương đối Ở đây, chúng tôi sửdụng tài liệu tham khảo chính là các bài báo ([14], [16]) Các kết quả chính đượcphát biểu như sau

Định lý (xem Định lý 4.2.6) Cho k là một trường hoàn thiện, đầy đủ đối với một

định giá không tầm thường có hạng thực 1 Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính

tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine X, và x ∈ X (k) là một k-điểm của X.

Khi đó ta có các khẳng định sau:

1) (Mở rộng một số kết quả của [6], [10], [59], [11]) Nếu quỹ đạo G · x là đóng

và nhóm dừng Gx là một k-nhóm trơn, thì quỹ đạo tương đối G (k) · x là đóng

theo tôpô Hausdorff trong X (k).

2) Đảo lại, giả sử G = L × U, trong đó L là reductive và U là lũy đơn, tất cả đều

xác định trên k Nếu G (k) · x là đóng trong X(k) theo tôpô Hausdorff thì G · x

là đóng theo tôpô Zariski trong X.

3) Với những giả thiết như ở 1), G(k) · x đóng trong X(k) nếu và chỉ nếu G0(k) · x

là đóng trong X (k).

Trong trường hợp k là trường đầy đủ bất kỳ, ta có

Định lý (xem Định lý 4.3.1.3) Cho k là một trường đầy đủ đối với một định giá

không tầm thường có hạng thực bằng 1, và G là một k-nhóm đại số tuyến tính tác

động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V Giả sử v thuộc V (k) Ta có các khẳng định

sau:

1) Nếu quỹ đạo tương đối G(k) · v là đóng trong tôpô Hausdorff của V(k) và

hoặc G là lũy linh, hoặc G là reductive với tác động của G là tách mạnh tại

v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan), thì quỹ đạo G · v là đóng theo

tôpô Zariski trong V.

2) Đảo lại, với những quy ước trên, G(k) · v là đóng Hausdorff trong V(k) nếu

G · v đóng và một trong các điều kiện sau là đúng:

a) Gv là giao hoán và trơn hoặc G là giao hoán.

b) Gv là một k-nhóm trơn và là mở rộng của một k-nhóm lũy đơn trơn bởi một k-nhóm chéo hóa được.

c) Trường k là compắc địa phương, và Gvlà một k-nhóm con reductive liên thông và trơn trong G.

d) Tác động của G tại v là khá tách.

Ngoài ra, chúng tôi cũng có các ví dụ, phản ví dụ bổ sung cho những định lý nóitrên (Xem các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.)

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết chotoàn bộ luận án Chúng tôi chỉ xét những nhóm đại số affine (tuyến tính) và lược đồnhóm đại số affine

Định nghĩa 1.1.1 ([9, Chap AG, Sec 12.1, pp 23-24]) (a) Cho V là một đa tạp

đại số affine trong An(¯k) = ¯kn Ta nói V là xác định trên k, hay k-đa tạp, nếu iđêan

xác định của nó I(V) = { f ∈ ¯k[T1, , Tn] | f (a) = 0, ∀a ∈ V}, có một cơ sở gồmtoàn các phần tử của k[T1, , Tn], nghĩa là I(V) = ¯k · (I(V) ∩ k[T1, , Tn]) Ta đặtk[V] = k[T1, , Tn]/(I(V) ∩ k[T1, , Tn]) và gọi là vành các hàm chính quy xác

định trên kcủa V

(b) Một cấu xạ giữa hai k-đa tạp affine ϕ : X → Y được gọi là xác định trên k, hay k-cấu xạ, nếu đồng cấu đối cấu xạ ϕ∗ : ¯k[Y] → ¯k[X] gửi k[Y] vào k[X]

Định nghĩa 1.1.2 ([9, Chap I, Sec 1.1, p 46]) (a) Cho G là một nhóm, ta nói G

là một k-nhóm đại số tuyến tính (hay G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên

k) nếu G đồng thời là một đa tạp affine xác định trên k và các phép toán:

◦ : G × G → G,(a, b) 7→ a ◦ b,

i: G → G,

a 7→ a−1,

đều là các k-cấu xạ giữa các k-đa tạp đại số.

(b) Nếu H là một nhóm con, đồng thời là một k-đa tạp con đóng của G thì ta nói

H là một k-nhóm con đóng của G.

(c) Cho G và H là hai nhóm đại số tuyến tính xác định trên k Ta nói ánh xạ

f : G → H là một k-đồng cấu nếu f là một đồng cấu (giữa các nhóm trừu tượng)

và đồng thời f là một k-cấu xạ

Ví dụ 1.1.3 ([9, Chap I, Sec 1.6, pp 49-51]) 1) Đường thẳng affine A1 = ¯k cùngvới phép cộng của trường lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính Nhóm này được

gọi là nhóm cộng tính, và ký hiệu là Ga

2) Tập mở affine A1\{0} cùng với phép nhân của trường lập thành một k-nhóm

đại số tuyến tính Ta gọi nhóm này là nhóm nhân tính, ký hiệu là Gm

3) Tập các ma trận khả nghịch cấp n × n, GLn(¯k), cùng với phép nhân ma trận làmột k-nhóm đại số tuyến tính Ta gọi nhóm này là nhóm tuyến tính tổng quát, và kýhiệu là GLn

4) Tập các ma trận tam giác trên trong GLn(¯k) cùng với phép nhân ma trận cũnglập thành một k-nhóm đại số tuyến tính

5) Tập các ma trận tam giác trên trong GLn(¯k) với các phần tử trên đường chéochính bằng 1 cùng với phép nhân ma trận là một k-nhóm đại số tuyến tính và được

ký hiệu là Un

Định lý sau đây nói rằng mọi k-nhóm đại số tuyến tính đều nhúng đóng đượcvào một nhóm tuyến tính tổng quát nào đó

Định lý 1.1.4 ([9, Chap I, Sec 1.7, Prop 1.10, p 54]) Cho G là một k-nhóm đại số

tuyến tính Khi đó, G là k-đẳng cấu với một k-nhóm con đóng của một nhóm tuyến tính tổng quátGLn nào đó.

Định nghĩa 1.1.5 ([9, Chap I, Sec 4.1, p 79]) Cho V là một ¯k-không gian véctơ

hữu hạn chiều Phần tử x ∈ End(V) được gọi là nửa đơn (tương ứng, lũy đơn) nếu

nó chéo hóa được trên ¯k (tương ứng, nếu x − idV lũy linh, tức là, (x − idV)n = 0, với

n > 0 nào đó)

Ta biết rằng, theo [9, Chap I, Prop 4.2, p 80], mọi x ∈ GL(V) đều có phân tíchJordan nhân tính, x = su, với s là nửa đơn, u là lũy đơn, và su = us

Định lý 1.1.6 ([9, Chap I, Theorem 4.4, p 83]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến

tính, và g ∈ G Khi đó, tồn tại phân tích duy nhất g= gsgu trong G sao cho với mọi

k-đồng cấu nhóm ρ: G → GLn thì ρ(g) = ρ(gs)ρ(gu) là phân tích Jordan nhân tính

của ρ (g) trong GLn.

Định nghĩa 1.1.7 ([9, Chap I, Sec 4.8, p 87]) Ta gọi một k-nhóm đại số tuyến

tính G là lũy đơn nếu G = Gu, với Gu = {g ∈ G | g = gu}

Định nghĩa 1.1.8 ([9, Chap IV, Sec 11.21, pp 157-158]) Cho G là một k-nhóm

đại số tuyến tính Khi đó:

(a) Ta định nghĩa căn giải được của G, ký hiệu là R(G), là nhóm con chuẩn tắc,

giải được, liên thông cực đại của G

(b) Ta định nghĩa căn lũy đơn của G, ký hiệu là Ru(G), là nhóm con chuẩn tắc,lũy đơn, liên thông, cực đại trong G

Định nghĩa 1.1.9 ([9, Chap IV, Sec 11.21, pp 157-158]) Cho G là một k-nhóm

đại số tuyến tính

(a) Ta định nghĩa G là một nhóm nửa đơn nếu R(G) = {e}

(b) Ta định nghĩa G là một nhóm reductive nếu Ru(G)= {e}

Từ nhận xét Ru(G) = R(G)u, ta rút ra mọi nhóm nửa đơn đều là nhóm reductive

Định nghĩa 1.1.10 ([9, Chap III, Sec 8.5, Chap IV, Sec 11.2], [24, Chap II, Sec 14.2]) Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính liên thông, xác định trên k.

(a) Ta gọi G là nhóm hầu đơn nếu G không giao hoán và chỉ có hai nhóm con

chuẩn tắc, liên thông là G và {e}

(b) Ta nói nhóm con đóng B của G là nhóm con Borel nếu B là nhóm con giải

được, liên thông cực đại của G

(c) Ta nói G là một xuyến đại số nếu G  G¯k m× × Gm

(d) Giả sử P là một nhóm con đóng của G chứa một nhóm con Borel B Khi đó,

ta nói P là một nhóm con parabolic của G.

Ví dụ 1.1.11 (a) Nhóm S Ln(¯k) = {A ∈ Mn(¯k) | det(A) = 1} là một k-nhóm hầu đơn([9])

(b) Nhóm GLn là một k-nhóm reductive nhưng không là một nhóm nửa đơn([9])

(c) Nhóm con các ma trận tam giác trên của GLn(¯k) là một nhóm con Borel ([9]).(d) Nhóm G = S O3(C) = {A ∈ GL3(C) | AtA = E3, det(A) = 1} là một nhóm hầuđơn xác định trên R Khi đó,

T =(

x2 + y2 = 1

)

là một xuyến cực đại xác định trên R của G Hơn nữa, G không chứa bất kỳ mộtnhóm con Borel nào xác định trên R Một trong những nhóm con Borel của G là

√ 2

a +c+e 2

i(−a +c+e) 2 ib

√ 2

i(a +c−e) 2

a+c−e 2

ae = 1, d + be = 0, d2 + 2ce = 0

)

(Nhóm này rõ ràng không xác định trên R vì phương trình định nghĩa của nó có đơn

vị ảo i.)

Ta chuyển sang một khái niệm quan trọng đối với luận văn, đó là tác động củanhóm đại số lên một đa tạp

Định nghĩa 1.1.12 ([9, Chap I, Sec 1.7, pp 51-53]) (a) Cho G là một nhóm đại số

tuyến tính, V là một đa tạp đại số (không nhất thiết affine) Giả sử tồn tại một cấu

xạ α : G × V → V, (g, x) 7→ g · x = α(g, x), thỏa mãn e · x = x và g · (h · x) = (gh) · x,

với mọi g, h ∈ G, và x ∈ V Khi đó ta nói nhóm đại số G tác động cấu xạ lên đa tạp

V thông qua cấu xạ α (hoặc nói gọn lại, V là một G-đa tạp) Nếu G và V đều xác định trên k và α là một k-cấu xạ thì ta nói G tác động k-cấu xạ lên đa tạp V.

(b) Giả sử x ∈ V là một điểm tùy ý, nhóm con đóng H của G cho bởi H = {g ∈

G | g · x = x} được gọi là nhóm con dừng của x và được ký hiệu là Gx

(c) Tập hợp G · x := {g · x | g ∈ G} được gọi là quỹ đạo của x dưới tác động của

nhóm G

Tác động của nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số có những tính chất quantrọng sau:

Định lý 1.1.13 ([9, Chap I, Sec 1.8, p 53]) Giả sử G là một nhóm đại số tuyến

tính tác động cấu xạ lên một đa tạp V khác rỗng Khi đó mỗi quỹ đạo đều là một

đa tạp trơn và mở trong bao đóng của nó Biên của quỹ đạo này là hợp của những quỹ đạo có chiều nhỏ hơn Nói riêng ra, những quỹ đạo có chiều nhỏ nhất luôn là đóng Do đó, quỹ đạo đóng là luôn tồn tại.

Định nghĩa 1.1.14 ([24, Chap II, Sec 8.2, pp 59-60]) Cho X, Y là hai G-đa tạp.

Khi đó ta nói một cấu xạ f : X → Y là G-đẳng biến nếu f (g · x) = g · f (x), với mọi

g ∈ Gvà x ∈ X

Một trường hợp quan trọng của tác động nhóm lên đa tạp được diễn đạt dướidạng biểu diễn hữu tỷ của nhóm trong một không gian véctơ

Định nghĩa 1.1.15 ([9, Chap I, Sec 1.6, p 51]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến

tính và V là một ¯k-không gian vectơ Ta nói đồng cấu nhóm ρ : G → GL(V) là một

biểu diễn hữu tỷ của nhóm G (hay V là một G-môđun hữu tỷ) nếu ρ đồng thời là

một cấu xạ giữa hai đa tạp G và GL(V) Hơn nữa, nếu cấu xạ ρ là xác định trên k

thì ta nói ρ là một biểu diễn k-hữu tỷ.

Mệnh đề sau đây khẳng định rằng mọi G-đa tạp X đều có thể nhúng đóng G-đẳngbiến được vào một G-môđun hữu tỷ V

Mệnh đề 1.1.16 ([9, Chap I, Prop 1.12, p 56]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến

tính tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp X Khi đó tồn tại V là một ¯k-không gian vectơ hữu hạn chiều, ρ : G → GL(V) là một biểu diễn k-hữu tỷ, ϕ : X → V là một

phép nhúng đóng, đồng thời là một k-cấu xạ sao cho ϕ(g · x) = ρ(g) · ϕ(x), với mọi

g ∈ G và x ∈ X.

Ta chuyển sang những vấn đề về không gian thuần nhất và đa tạp thương

Định nghĩa 1.1.17 ([9, Chap 2, Sec 6.1, p 94]) Giả sử π : V → W là một k-cấu

xạ của các k-đa tạp Khi đó ta nói π là một cấu xạ thương (trên k) nếu thỏa mãn

đồng thời các điều kiện sau:

(1) π là toàn ánh và mở

(2) Nếu U ⊆ V là đa tạp con mở thì đối cấu xạ π0 cảm sinh một đẳng cấu từ

¯k[π(U)] lên đại số con của ¯k[U] bao gồm những hàm f ∈ ¯k[U] là hằng trên các thớcủa π

U

Định nghĩa 1.1.18 ([9, Chap 6, Sec 6.3, p 95]) Giả sử G là một k-nhóm tác động

k-cấu xạ lên k-đa tạp V Ta định nghĩa một thương hình học tốt của V bởi G trên

k là một cặp (W, π), trong đó W là một k-đa tạp, π : V → W là một k-cấu xạ thỏamãn:

(1) Mỗi thớ của π là một quỹ đạo,

(2) π là một cấu xạ thương trên k

Khi đó cấu xạ thương π thỏa mãn tính chất phổ dụng sau

Định lý 1.1.19 ([9, Chap 6, Sec 6.3, p 95]) Giả sử α : V → Z là một cấu xạ tùy

ý hằng trên các quỹ đạo của G Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ β : W → Z sao

cho α = β ◦ π Hơn nữa, nếu α là một k-cấu xạ giữa các k-đa tạp thì β cũng là một k-cấu xạ.

Nhận xét 1) Tính chất phổ dụng nói trên cũng được dùng để định nghĩa thương

phạm trù Cụ thể, ta nói cặp (π, W) là một thương phạm trù (trên k) của V bởi tác

động của nhóm G nếu W là một k-đa tạp, π : V → W là một cấu xạ hằng trên cácquỹ đạo của G và thỏa mãn tính chất phổ dụng:

Nếu σ : V → Z là một k-cấu xạ hằng trên các quỹ đạo của G thì tồn tại duy nhấtmột k-cấu xạ τ : W → Z sao cho σ= τ ◦ π

2) Thương phạm trù nếu tồn tại thì duy nhất sai khác một đẳng cấu

Ta ký hiệu thương phạm trù là V ∥ G và thương hình học tốt là V/G

Ví dụ 1.1.20 1) ([9, Chap II, Prop 6.15, p 102])

Cho G là một k-nhóm hữu hạn tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V Khi

đó thương hình học tốt V/G là tồn tại

2) ([18, Chap II, Example 6.4, p 97])

Cho G = GLn tác động lên X = Mn(¯k) là không gian các ma trận vuông cấp nbằng phép liên hợp g · X = gXg−1 Với mỗi X ∈ Mn(¯k), ta xét đa thức đặc trưng

3) ([39, Example 4.10, pp 231-233], [34, Example 3, p 149, Sec 4.3, p 187])Cho k là một trường đóng đại số, đặc số 0, ta xét tác động của Galên A4 = M2(k)như sau:

Một điều kiện đủ quan trọng về thương hình học tốt sẽ được dùng trong chứngminh Mệnh đề 2.1.7 là khẳng định sau

Định lý 1.1.21 ([9, Theorem 6.8, p 98]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính

và H là một k-nhóm con đóng của G Khi đó thương hình học tốt π : G → G/H là

tồn tại trên k, và hơn nữa G/H là một đa tạp trơn tựa xạ ảnh Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của G thì G/H là một k-nhóm đại số tuyến tính và π là một k-cấu xạ giữa các k-nhóm.

Với định nghĩa nhóm lũy đơn như ở trên, ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.1.22 ([9, Chap I, Sec 4.8 , Corollary, p 87; Chap V, Corol 15.5, p.

205]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính, liên thông Khi đó, các khẳng định

sau là tương đương:

1) Nhóm G là lũy đơn.

2) G là k-đẳng cấu với một nhóm con đóng của Un, với một số n nguyên dương nào đó.

3) Tồn tại một dãy hợp thành các k-nhóm con đóng, chuẩn tắc, G = G0 > G1 >

· · ·> Gm = {1}, sao cho mỗi nhóm thương Gi/Gi+1 là ¯k-đẳng cấu với Ga.

Định nghĩa 1.1.23 ([9, Chap V, Sec 15.1, p 203]) Ta nói một k-nhóm lũy đơn G

là phân rã trên k, hay k-phân rã, nếu G có một dãy hợp thành các k-nhóm con đóng,

chuẩn tắc G = G0 > G1 > · · · > Gm = {1}, sao cho mỗi nhóm thương Gi/Gi+1 là

k-đẳng cấu với Ga

Vậy từ Mệnh đề 1.1.22, ta suy ra mọi nhóm lũy đơn đều phân rã trên ¯k Tiếp đến,chúng tôi nhắc lại một số điểm đáng chú ý trong lý thuyết của J Tits về nhóm lũyđơn trên trường có đặc số khác 0

Định nghĩa 1.1.24 ([68, Sec 3.1]) Cho G là một nhóm lũy đơn xác định trên một

trường k có đặc số p > 0 Ta nói G là k-xoắn (k-wound) nếu không tồn tại một k-cấu

xạ khác hằng số từ Ga vào G

Định lý sau đây khẳng định rằng mọi k-nhóm lũy đơn, liên thông đều là mở rộngcủa một k-nhóm lũy đơn k-xoắn bởi một k-nhóm lũy đơn k-phân rã

Định lý 1.1.25 ([50, Theorem 4.2]) Cho G là một k-nhóm lũy đơn, liên thông Khi

đó, tồn tại duy nhất một k-nhóm con Gd liên thông, chuẩn tắc, k-phân rã, cực đại của G Nhóm này chứa tất cả của các k-đồng cấu từ Ga vào G, và không thay đổi qua các mở rộng trường tách được Ngoài ra, k-nhóm thương G/Gd là k-xoắn và hạt nhân của một k-đồng cấu bất kỳ từ G vào một k-nhóm k-xoắn đều chứa Gd.

Sau đây, chúng tôi điểm qua một số kiến thức cơ bản về lược đồ nhóm, đối đồngđiều Galois và đối đồng điều phẳng Chúng tôi chủ yếu dựa theo trình bày của [27],[41], [43], [52], [63], [76]

1.2 Lược đồ nhóm affine

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về lược đồ nhóm affine trên trường

Định nghĩa 1.2.1 ([52, Chap I, Sec 1.2, pp 4-5]) Cho k là một trường tùy ý, ta

định nghĩa một lược đồ nhóm affine trên k là một hàm tử biểu diễn được từ phạm

trù các k-đại số vào phạm trù các nhóm, tức là, tồn tại một k-đại số hữu hạn sinh A,sao cho G(R) = Hom(A, R), một cách hàm tử theo k-đại số R

Theo Bổ đề Yoneda, nếu G được biểu diễn bởi A thì A xác định duy nhất saikhác một đẳng cấu k-đại số

Định nghĩa 1.2.2 ([52, Chap I, Sec 1.2, pp 4-5]) Ta ký hiệu k-đại số A ứng với

G là k[G], và gọi k[G] là vành tọa độ của G.

Nếu G là một lược đồ nhóm affine thì tương ứng với nó, A có cấu trúc củamột đại số Hopf, tức là, một k-đại số giao hoán A cùng với các đồng cấu k-đại số

∆ : A → A ⊗ A,  : A → k, S : A → A, sao cho các biểu đồ sau là giao hoán:

A ⊗ A ⊗ A id⊗∆

←−−−− A ⊗ Ax

Định nghĩa 1.2.3 ([52, Chap II, Sec 2.1, p 13]) Một đồng cấu giữa các k-lược đồ

nhóm affine là một phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử G → H sao cho với mọik-đại số R, ánh xạ G(R) → H(R) là một đồng cấu nhóm

Ta nhận thấy tương ứng G với k[G] cho một tương đương phạm trù giữa phạmtrù các k-lược đồ nhóm affine và phạm trù các k-đại số Hopf giao hoán

Ví dụ 1.2.4 ([52, Chap I, Sec 1.1, pp 3-4]) 1) Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành

nhóm R với phép cộng của đại số là một lược đồ k-nhóm affine Ta gọi lược đồ này

là lược đồ nhóm cộng tính, và ký hiệu là Ga

2) Hàm tử biến các k-đại số R thành nhóm các ma trận vuông cấp n với các định

thức khả nghịch là một lược đồ k-nhóm affine Ta gọi lược đồ này là lược đồ nhóm

tuyến tính tổng quát, ký hiệu lại là GLn Khi n = 1 thì ta nói GL1 là lược đồ nhóm

nhân tính, và được ký hiệu là Gm

3) Cho k là trường với đặc số p > 0 Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành nhóm{x ∈ R | xp = 0} với phép cộng là một lược đồ k-nhóm đại số affine, ký hiệu là αp.4) Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành nhóm {x ∈ R∗ | xn = 1} (cùng với phépnhân) là một lược đồ k-nhóm affine, ký hiệu là µn

Định nghĩa 1.2.5 ([52, Chap II, Sec 2.1, pp 13-14]) Cho ψ : H0 → G là mộtđồng cấu giữa các lược đồ nhóm Nếu đồng cấu đại số tương ứng A → B0 là toàn

ánh thì ψ được gọi là một phép nhúng đóng Khi đó, ψ là một đẳng cấu từ H0 đến

một nhóm con đóng H của G Ta nói đồng cấu F → G là ánh xạ thương nếu đồng

cấu đại số k[G] → k[F] là đơn ánh

Định lý 1.2.6 ([52, Chap 3, Theorem 3.4, p 25]) Mọi lược đồ k-nhóm đại số affine

trên một trường đều đẳng cấu với một lược đồ nhóm con đóng củaGLn.

Chúng ta tiếp tục nêu ra một số định nghĩa quan trọng khác

Định nghĩa 1.2.7 ([52, Sec 2.1, Sec 6.4, Sec 6.5]) a) Cho φ : G → H là một

đồng cấu bất kỳ Khi đó, hàm tử N(R)= Ker(G(R) → H(R)), với mọi k-đại số R, là

một lược đồ k-nhóm affine Ta gọi đó là hạt nhân của φ.

b) Ta gọi lược đồ k-nhóm affine G là hữu hạn nếu k-đại số tọa độ k[G] là một

k-không gian vectơ hữu hạn chiều Ta nói G là một lược đồ nhóm étale nếu G là hữuhạn và k[G] là một k-đại số tách được, tức là, k[G] là tích các mở rộng trường tách

được của k Ta gọi G là một lược đồ nhóm vô cùng bé nếu G là hữu hạn và vành tọa

độ của nó là một vành địa phương

c) Cho A là một k-đại số Khi đó, tồn tại một đại số con tách được cực đại của A,

ký hiệu là π0(A) Nếu A là một đại số Hopf tương ứng với một lược đồ nhóm G thì

π0(A) cũng là một k-đại số Hopf và ký hiệu π0(G) là lược đồ nhóm được biểu diễnbởi π0(A)

Định nghĩa 1.2.8 ([52, Chap 6, Sec 6.6, pp 50-51]) Ta nói lược đồ nhóm G là

liên thôngnếu một trong những điều kiện tương đương sau được thỏa mãn:

Ví dụ 1.2.9 ([52, Chap 6, Sec 6.4, p 49]) Cho k là trường đặc số p > 0 Khi đó,

µn với (n, p) = 1 là một lược đồ k-nhóm étale Nhóm αp là một lược đồ nhóm vôcùng bé và liên thông

Định lý 1.2.10 ([52, Chap 6, Theorem 6.7, p 51]) Cho G là một lược đồ k-nhóm

affine Khi đó π0(G) là một lược đồ nhóm étale Hơn nữa, hạt nhân G0 của đồng cấu chính tắc G → π0(G) là một lược đồ nhóm con đóng chuẩn tắc liên thông của G.

Ta gọi G0 là thành phần liên thông của G.

Định nghĩa 1.2.11 ([52, Chap 11, Sec 11.6, p 88]) Lược đồ k-nhóm affine G

được gọi là trơn nếu vành k[G] ⊗k ¯k là thu gọn, tức là, vành này không có phần tửlũy linh

Khi đó mọi nhóm đại số tuyến tính thông thường xác định trên k là một k-lược

đồ nhóm affine trơn và ngược lại

Ta chuyển sang trình bày về lược đồ nhóm lũy đơn

Định nghĩa 1.2.12 ([52, Chap 8, Sec 8.3, pp 63-65]) Ta nói lược đồ nhóm G là

lũy đơnnếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau

1) Với mọi phép nhúng G vào GLn, tồn tại phần tử g ∈ GLn(k) sao cho liên hợpgGg−1của G bởi phần tử này là một nhóm con đóng của Un

2) G đẳng cấu với một lược đồ nhóm con đóng của Un

3) G có một dãy hợp thành G = G0 > G1 > · · · > Gm−1 > Gm = {1}, sao cho mỗinhóm thương Gi/Gi+1 là đẳng cấu (trên ¯k) với một nhóm con đóng của Ga

Kết quả sau đây của M Raynaud [63, SGA 3, Expose XVII] nói về cấu trúc củanhóm lũy đơn trên trường k đặc số p > 0

Định lý 1.2.13 ([64, Exp XVII]) Cho k là một trường đặc số p > 0, G là một lược

đồ k-nhóm affine Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương.

1) G là lược đồ nhóm lũy đơn.

2) G có một dãy hợp thành các lược đồ k-nhóm con G = G0 > G1 > · · · >

Gm−1 > Gm = {1}, với các nhóm thương đẳng cấu (trên ¯k) với αp, Ga, hoặc

k-dạng của(Fp)r (theo đúng thứ tự này).

3) G có một dãy hợp thành các lược đồ k-nhóm đặc trưng G = G0 > G1 > · · · >

Gm−1 > Gm = {1}, với nhóm thương đẳng cấu với (αp)r, Gas hoặc là k-dạng của(Fp)t (theo đúng thứ tự này).

1.3 Đối đồng điều Galois

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về đối đồng điều Galois(không giao hoán), theo [40]

Cho G là một nhóm hầu hữu hạn, tức là, G là giới hạn xạ ảnh của các nhóm hữuhạn với tôpô rời rạc Chẳng hạn, nhóm Galois Gal(K/k) là một nhóm hầu hữu hạn,nếu mở rộng K/k là Galois

Định nghĩa 1.3.1 ([40, Chap I, Sec 5.1, pp 45-46]) Ta nói tập E là một G-tập

nếu E là một không gian tôpô rời rạc cùng với một tác động liên tục của nhóm hầuhữu hạn G

Điều này tương đương với E = ∪EU, trong đó U chạy trên các tập mở của G, EU

là tập tất cả các phần tử của E bất biến dưới tác động của U Ta ký hiệu tác động

s ∈ Glên x ∈ E bởi sx

Định nghĩa 1.3.2 ([40, Chap I, Sec 5.1, pp 45-46]) Cho E, E0 là các G-tập.(a) Ta nói ánh xạ f : E → E0 là một G-cấu xạ nếu nó tương thích với tác động

của G lên E và E0, tức là, f (sx) = sf(x), với mọi x ∈ E, và s ∈ G

(b) Ta nói A là một G-nhóm nếu A là một nhóm, đồng thời tác động từ G lên A

được cho bởi đồng cấu f : G → Aut(A), và hơn nữa, với tác động này thì A là mộtG-tập

Với mỗi G-tập E, ta đặt H0(G, E) = EG = {x ∈ E |sx = x, ∀s ∈ G} Khi đó,nếu E là một G-nhóm thì H0(G, E) cũng là một nhóm con của E Với mỗi A làmột G-nhóm, ta định nghĩa một 1-đối xích với giá trị trong A là một ánh xạ liêntục a : G → A, s 7→ as, sao cho ast = assat Ký hiệu Z1(G, A) là tập các 1-đốixích Ta nói hai đối xích a, a0 là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại b ∈ A sao cho

a0s = b−1assb, với mọi s ∈ G Đây là một quan hệ tương đương trên Z1(G, A)

Định nghĩa 1.3.3 ([40, Chap I, Sec 5.1, pp 45-46]) Tập thương của Z1(G, A) theoquan hệ này được ký hiệu là H1(G, A), và được gọi là tập đối đồng điều Galois bậc

1 của G với hệ số trong A

Tập này có một phần tử được đánh dấu (gọi là phần tử tầm thường và ký hiệu là(1)): là lớp tương đương của 1-đối xích đơn vị s 7→ 1 Ta kiểm tra được H1(G, A) =lim

−→H1(G/U, AU), với U chạy trên các nhóm con mở của G Các hàm tử H1(G, ∗) :

A 7→ H1(G, A) là hiệp biến theo A Với A là một G-nhóm giao hoán, ta có thể địnhnghĩa nhóm đối đồng điều Hi(G, A), với mọi i ≥ 0, nhờ vào dãy phức dây chuyềnliên tục, tương tự như đối đồng điều của nhóm

Nhờ những phân tích trên chúng ta có thể định nghĩa đối đồng điều Galois củanhóm đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.3.4 ([40, Chap II, Sec 1.1, pp 71-72]) Cho G là một nhóm đại số

tuyến tính xác định trên một trường k Giả sử L/k là một mở rộng Galois, khôngnhất thiết hữu hạn Khi đó, ta có một tác động tự nhiên, liên tục của nhóm GaloisGal(L/k) lên nhóm các điểm L-hữu tỷ G(L) Ta định nghĩa đối đồng điều Galoisbậc q ứng với mở rộng L/k là Hq(Gal(L/k), G(L))

Nhận xét Trong trường hợp, G(L) không giao hoán, ta chỉ xét q= 0, 1 Ta ký kiệu

Hq(k, G) := Hq(Gal(ks/k), G(ks)) Khi đó, ta có

Hq(k, G) = lim−→Hq(K/k, G(K)),trong đó, giới hạn được lấy trên tất cả các mở rộng Galois hữu hạn K/k, K ⊆ ks

Định nghĩa 1.3.5 ([40, Chap I, Sec 5.3, p 47]) Cho A là một G-nhóm, a ∈

Z1(G, A) Khi đó, ta nói một G-tập, ký hiệu là aA, là xoắn của A bởi 1-đối xích

anếu và chỉ nếuaA= A (về mặt tập hợp) và G tác động lên aAnhư sau:

s ∗ x = assxa−1s Khi đó, ta có một song ánh chính tắc τa : H1(G,aA) → H1(G, A), chuyển phần

tử 0 của H1(G,aA) vào lớp tương đương α = [a] của 1-đối xích a

Giả sử B là một G-nhóm con chuẩn tắc của A Khi đó, ta cũng định nghĩa phépxoắn bởi 1-đối xích theo công thức trên Ký hiệu b là ảnh của a trong Z1(G, A/B).Khi đó, ta có dãy khớp các G-nhóm

Mệnh đề 1.3.6 ([40, Chap I, Sec 5.4, p 50]) Với những khái niệm như trên, ta có

biểu đồ giao hoán sau

H1(G, A) −−−−v→ H1(G, B)x

Cho A là một G-nhóm con của G-nhóm B, đặt C = B/A Khi đó, C là một G-tập

và nếu A chuẩn tắc trong B thì C là một G-nhóm Giả sử γ là một phần tử của

H0(G, C) = (B/A)G, và b là một đại diện của nó trong B Đặt as = b−1 sb Khi đó,

(as) là một đối xích của G trong A Hơn nữa, lớp tương đương của (as) là một lớpđối đồng điều của G trong A và lớp này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện b.Như vậy, ta định nghĩa ánh xạ nối

Mệnh đề 1.3.7 ([40, Chap I, Sec 5.5, Prop 38, pp 51-52; Sec 5.7, Prop 43, p.

55]) Cho A là một G-nhóm con của G-nhóm B, và C = B/A Khi đó

a) Ta có dãy khớp (các tập với phần tử được đánh dấu)

Giả sử k là một trường, và G là một k-lược đồ nhóm affine Nếu G là trơn, tức

là G là nhóm đại số tuyến tính thông thường (theo [9], [24]), ta có thể định nghĩađối đồng điều Galois H1(k, G) như ở mục trước Tuy nhiên, khi G không là trơn thìđịnh nghĩa đối đồng điều Galois không phù hợp vì, đối đồng điều Galois lúc nàykhông thỏa mãn một điều kiện cơ bản của lý thuyết đối đồng điều: đưa dãy khớpngắn thành dãy khớp dài trên đối đồng điều Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau Cho dãykhớp các lược đồ k-nhóm:

(∗) 1 → αp → Ga

x7→xp

−→ Ga → 1,với αp là lược đồ nhóm (vô cùng bé) được biểu diễn bởi k-đại số k[T ]/(Tp) Khi

đó, αp(ks) = 1 và H1(Gal(ks/k), αp(ks)) là tầm thường Ta xét tập các đối đồng điềuGalois liên kết với dãy khớp (∗) nói trên

Như vậy, ta cần một lý thuyết đối đồng điều tổng quát hơn cho trường hợp lược

đồ nhóm Đó là khái niệm đối đồng điều phẳng mà ta sẽ xét ở đây Chúng tôi trìnhbày các khái niệm này theo các tài liệu ([42], [43], [52])

Cho G là một lược đồ k-nhóm affine Ta xem G : A 7→ G(A), A là k-đại số, nhưmột hàm tử biểu diễn được (bởi một k-đại số giao hoán) từ phạm trù các k-đại sốsang phạm trù các nhóm Cho K/k là một mở rộng đại số (không nhất thiết táchđược), K ⊆ ¯k Đặt H0f l(k, G) = H0(¯k/k, G) = G(k)

Z1(K/k, G) = {g ∈ G(K ⊗kK) | d21(g) = d0

2(g)d22(g)}

Định nghĩa 1.4.1 ([52, Chap 17, Sec 17.7, pp 136-137]) Ta nói hai 1-đối xích

g, g0 là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại h ∈ G(K) sao cho g0 = (d0

1h)g(d11h)−1.Đây là một quan hệ tương đương trên Z1(K/k, G) và tập các lớp tương đương kýhiệu là H1f l(K/k, G), và được gọi là đối đồng điều phẳng ứng với mở rộng K/k Ta

Trong trường hợp G là giao hoán, ta có thể định nghĩa các nhóm đối đồng điềuphẳng Hqf l(k, G) ở bậc cao (xem [27], [42], [43]) Định lý sau đây cho mối liên hệgiữa đối đồng điều phẳng và đối đồng điều Galois trong một số trường hợp.

Định lý 1.4.2 ([52, Theorem 17.7, 17.8, pp 136-138; Sec 18.5, Corollary, p 144]).

Với những định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau:

1) Cho G là một lược đồ k-nhóm affine, và L/k là một mở rộng Galois Khi đó,

H1f l(L/k, G)  H1(Gal(L/k), G(L))

2) Cho G là một lược đồ k-nhóm affine trơn Khi đó,

H1f l(¯k/k, G)  H1(Gal(ks/k), G(ks))

Các kết quả cơ bản của đối đồng điều Galois cũng đúng cho đối đồng điều phẳng

Định lý 1.4.3 ([52, Chap 18, Sec 18.1, pp 140-141]) Cho 1 → N → F → G → 1

là một dãy khớp các lược đồ k-nhóm affine Khi đó, ta có ánh xạ nối G(k) →

xạ F(¯k ⊗k ¯k) → G(¯k ⊗k ¯k) là toàn ánh, nên phần tử g luôn tồn tại Hơn nữa, lớptương đương của ∆(h) trong H2

f l(¯k/k, N) không phụ thuộc vào việc chọn phần tửđại diện h cũng như việc chọn phần tử g Ta xác định ánh xạ nối bằng cách đặt

∆(x) := [∆(h)] ∈ H2

f l(¯k/k, N) Chúng ta có khẳng định sau

Định lý 1.4.4 ([67, Chap IV, Sec 4.2]) Cho 1 → N → F → G → 1 là một dãy

khớp các lược đồ k-nhóm đại số affine Nếu nhóm N nằm trong tâm của F thì ta

Cho G là một lược đồ k-nhóm affine Ta xét (hàm tử) nhóm tự đẳng cấu của Gđược cho bởi: Aut(G)(R) = Aut(G(R)), với mọi k-đại số R Khi đó ta cũng địnhnghĩa được đối đồng điều phẳng như đối với lược đồ nhóm affine như trên.

Cho L/k là một mở rộng đại số Ta nói một lược đồ k-nhóm affine G0 là mộtL/k-dạng của G nếu G ×k L  G0 ×kL Một ¯k/k-dạng cũng được gọi là k-dạng Ta

có kết quả sau

Định lý 1.4.5 ([52, Chap 17, Theorem 17.6, p 136]) Cho G là một lược đồ k-nhóm

affine, và L/k là một mở rộng đại số Khi đó, có một song ánh giữa tập các lớp đẳng cấu các L/k-dạng của G và tập đối đồng điều phẳng bậc 1, H1f l(L/k, Aut(G)).

k-1.5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều

phẳng

Ta lần lượt xét trường hợp lược đồ nhóm là giao hoán hay không giao hoán

1.5.1 Trường hợp giao hoán

Cho G là một lược đồ nhóm giao hoán, affine, phẳng, kiểu hữu hạn trên k, trong

đó k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thựcbằng 1 Trong nhiều vấn đề liên quan đến đối đồng điều, ta cần xét những tôpô trênnhóm đối đồng điều, sao cho ánh xạ nối là liên tục Tất nhiên, tôpô thô không đemlại thông tin gì và bị loại bỏ khỏi những nghiên cứu Trong [27, Chap III, Section6], hoặc [42, Section 4], ta có thể xác định tôpô trên nhóm đối đồng điều phẳng củamột lược đồ nhóm giao hoán phẳng, kiểu hữu hạn, theo một nghĩa nào đó được cảmsinh từ tôpô trên k Cụ thể như sau

Cho L/k là một mở rộng hữu hạn Khi đó ta có tôpô tự nhiên trên ⊗rkL, cảm sinh

từ tôpô trên k Do vậy, ta có tôpô trên G(⊗rkL) Đối đồng điều ˘Cech ˘Hif l(L/k, G)được xác định thông qua phức

1 → G(k) → G(L) → G(L ⊗k L) → · · · → G(⊗rkL) → · · · ,trong đó phức chạy ra vô cùng khi G giao hoán và dừng ở r = 3 khi G khônggiao hoán Ta có các nhóm (tập) các đối xích Zr(L/k, G) là các nhóm (tập) con củaG(⊗rkL), và được trang bị tôpô cảm sinh từ G(⊗rkL) Sau đó, ta trang bị tôpô thươngcho nhóm thương (tương ứng, tập thương) ˘Hrf l(L/k, G) := Zr(L/k, G)/Br(L/k, G)(tương ứng Zr(L/k, G)/ ∼) Tôpô trên Hrf l(k, G) := lim−→ H˘r

f l(L/k, G) được xác địnhbằng cách lấy giới hạn của tôpô trên ˘Hrf l(L/k, G) Điều này nghĩa là ánh xạ f :

Hrf l(k, G) → T là liên tục nếu và chỉ nếu ánh xạ hạn chế lên ˘Hrf l(L/k, G) cũng làliên tục.

Định nghĩa 1.5.1.1 ([27, Chap III, Sec 6, pp 274-275], [42, Sec 4]) Ta định

nghĩa tôpô nói trên là tôpô chính tắc.

Ta biết rằng, khi làm việc với phạm trù các lược đồ nhóm giao hoán, phẳng, kiểuhữu hạn, thì mọi đồng cấu nối xuất hiện trong bất kỳ dãy khớp dài các đối đồngđiều phẳng đều là liên tục [27, Chap III, Section 6]

Thực tế, ánh xạ nối Hrf l(k, A) → Hrf l(k, B), ở mức độ đối xích được cho bởi cácánh xạ đa thức, cảm sinh từ cấu xạ A → B Do đó, các ánh xạ này là liên tục

1.5.2 Trường hợp không giao hoán Tôpô đặc biệt

Ta giả sử G là một lược đồ nhóm affine, phẳng, dạng hữu hạn bất kỳ, có thểkhông giao hoán Hầu như chưa có kết quả về việc trang bị một cách chính tắc tôpôtrên tập H1f l(k, G) sao cho tất cả các ánh xạ nối là liên tục (ngoại trừ [49]) Đầu tiênchúng tôi nhắc lại định nghĩa của một tôpô trên H1f l(k, G) thông qua phép nhúngnhóm G vào một k-nhóm đặc biệt ([49]) Lưu ý rằng, một k-nhóm đại số tuyến tính

H được gọi là đặc biệt (trên k) (theo nghĩa của Grothendieck và Serre [74]), nếu đối

đồng điều phẳng (trùng với đối đồng điều Galois) H1f l(K, H) là tầm thường với mọi

mở rộng K/k

Cho trước phép nhúng G ,→ H của G vào nhóm đặc biệt H, ta có dãy khớp sautrên các tập đối đồng điều:

1 → G(k) → H(k) → (H/G)(k)→ Hδ 1f l(k, G) → 1,trong đó H/G là đa tạp tựa xạ ảnh dạng hữu hạn trên k (xem [63] hoặc [64]) Giả sử

k được trang bị tôpô Hausdorff Vì δ là toàn ánh nên ta trang bị cho H1f l(k, G) tôpômạnh nhất sao cho δ là liên tục

Định nghĩa 1.5.2.1 ([14]) Ta gọi tôpô được xây dựng như trên là tôpô H-đặc biệt.

1.5.3 Trường hợp không giao hoán Tôpô chính tắc

Cho G là một k-lược đồ nhóm affine, phẳng, không giao hoán, kiểu hữu hạn

Ta xác định tôpô chính tắc trên H1f l(k, G) như sau (được dẫn ra từ trường hợp giaohoán) Để đơn giản ta giả sử G là trơn (Trường hợp tổng quát ta phải xét phức ˘Cech,phủ ˘Cech, là những khái niệm phức tạp hơn.) Khi đó, đối đồng điều Galois và đốiđồng điều phẳng đẳng cấu chính tắc với nhau Đầu tiên ta xem H1(k, G) như giới

hạn trực tiếp lim

−→K/kH1(K/k, G(K)), trong đó K chạy trên các mở rộng chuẩn tắchữu hạn của k nằm trong một bao tách được ksnào đó của k Ta có ánh xạ chính tắcsau fK/k : H1(K/k, G(K)) → H1(k, G) được cho từ dãy khớp các đối đồng điều

Vì thế ta xác định tôpô trên H1(K/k, G(K)) là tôpô thương, cảm sinh từ tôpô trên

Z1(K/k, G(K)) Khi đó ta trang bị tôpô trên H1(k, G) như giới hạn của các tôpô vừaxác định Nói riêng ra, một tập con U ⊆ H1(k, G) là mở nếu và chỉ nếu fK/k−1(U) mởtrong H1(K/k, G(K)) với mọi K Điều này tương đương:

(∗) H1(k, G) = SK/k fK/k(H1(K/k, G(K))),

và tập con U là mở trong H1(k, G) nếu và chỉ nếu giao của nó với các tập conIm( fK/k) = fK/k(H1(K/k, G(K))) đều là mở trong

fK/k(H1(K/k, G(K))),với mọi K

Ta gọi tôpô này là tôpô “chính tắc” (vì nó được xác định hoàn toàn nội tại theoG) Khi G giao hoán thì tôpô này chính là tôpô chính tắc đã được nói ở trên Trườnghợp tổng quát cho các lược đồ k-nhóm affine được xây dựng tương tự Như đã đềcập ở [49], khi G là nhóm trơn, tôpô H-đặc biệt không phụ thuộc vào H Hơn nữa,

ta có khẳng định sau

Mệnh đề 1.5.3.1. (a) ([49]) Nếu G là một lược đồ nhóm trơn, và với các giả thiết

như ở trên, thì tôpô đặc biệt trên H1(k, G) không phụ thuộc việc chọn phép

nhúng G vào nhóm đặc biệt.

(b) ([14]) Hơn nữa, nếu G là một lược đồ nhóm trơn, giao hoán, liên thông, thì

tôpô chính tắc trênH1(k, G) trùng với tôpô đặc biệt.

H0 = k[G]H := { f ∈ k[G] | rh · f = f, với mọi h ∈ H}.

Như vậy, k[G]H chính là k-đại số con các hàm H-bất biến của k[G] Hơn nữa, nếu

Rlà một k-đại số con của k[G], ta đặt

R0 = {g ∈ G | rg · f = f, với mọi f ∈ R}

Khi đó, với bất kỳ nhóm con đóng H của G ta có

H ⊆ (H0)0 = H00 ⊆ G

Trong một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn, các tác giả A Bialynicki-Birula,

G Hochschild, G Mostow [3, p 134] đã đưa ra khái niệm các nhóm con quan sát

được Ta nói một nhóm con đóng là quan sát được nếu mọi biểu diễn hữu tỷ hữu hạnchiều của H đều mở rộng được lên thành biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều của toàn bộnhóm G Nói cách khác, điều này có nghĩa là mọi H-môđun hữu tỷ hữu hạn chiềuđều là một H-môđun con của một G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều Trong [3], các tácgiả đã đưa ra một số điều kiện tương đương để một nhóm là quan sát được Sau đó,

F Grosshans đã tìm thêm được một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21]

và những tài liệu dẫn ở đó) Nhờ vậy, chúng ta biết rằng điều kiện để một nhóm làquan sát được tương đương với đẳng thức H = H00 Hiện tại, người ta biết thêm một

số điều kiện tương đương (ít nhiều dễ kiểm tra) để một nhóm là quan sát được vàcác kết quả này được tổng hợp trong Định lý 2.1.1.

Theo chiều hướng hoàn toàn ngược lại, một nhóm con đóng H ⊆ G còn có thểthỏa mãn điều kiện H00 = G Nếu điều này đúng, H được gọi là một nhóm con toàn

cấu của G Thực tế, một dạng khác tương đương của khái niệm này ban đầu đượcđưa ra bởi F Bien và A Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây).Trước đó, S Bergman đã đưa ra khái niệm tương tự cho Đại số Lie (nhưng khôngcông bố) Ngoài ra, F Bien, A Borel, J Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ củatính chất H là nhóm con toàn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ của không gianthuần nhất G/H Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là toàn cấu đượccho trong Định lý 2.2.1

Trong mối liên hệ với bài toán số 14 của D Hilbert, vấn đề sau đây được đặcbiệt quan tâm Giả sử X là một đa tạp affine, G là một nhóm reductive tác động cấu

xạ lên đa tạp X Cho H là một nhóm con đóng của G, và G tác động lên đại số cáchàm chính quy k[X] thông qua phép tịnh tiến trái (lg · f )(x) = f (g−1· x) Một cách

tự nhiên, người ta đặt câu hỏi khi nào k[X]H là một k-đại số hữu hạn sinh

Với mỗi H là nhóm con đóng của G, ta có k[X]H = k[X]H00 (theo [20], [21]) Vìthế bài toán trên quy về trường hợp H là nhóm con quan sát được của G Để giảiquyết bài toán này, F Grosshans ([20], [21]) đưa ra khái niệm đối chiều 2 cho cácnhóm con quan sát được Những nhóm con thỏa mãn tính chất như vậy được gọi làcác nhóm con Grosshans (xem Mục 2.3)

Trong chương này, chúng tôi tiếp tục những nghiên cứu của [3] Cụ thể hơn,chúng tôi quan tâm đến một số câu hỏi về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quansát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans Những kết quả ban đầu vềtính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được (tương ứng nhóm con toàn cấu)thu được trong [3], và sau đó trong [21], [53] (tương ứng [53], [56], [57]) Cũngtrong bài báo [53], một số ứng dụng về tác động ergodic cũng được nghiên cứu.Chúng tôi chứng minh ở chương này một số kết quả mới về tính chất hữu tỷ của cácnhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, nhóm con Grosshans mà ban đầu chỉđược chứng minh trong trường hợp k là trường đóng đại số Kết quả chính của phầnnày là các Định lý 2.1.11, 2.2.4, 2.3.5

2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được

Trước hết ta nhắc lại một số kết quả cơ bản của các nhóm con quan sát được xácđịnh trên trường đóng đại số Trong các phát biểu dưới đây, G0 được ký hiệu cho

thành phần liên thông của nhóm G.

Định lý 2.1.1 ([3], [21, Theorem 2.1, 1.12]) Cho G là một nhóm đại số tuyến tính

xác định trên một trường đóng đại số k và H là một k-nhóm con đóng của G Khi

đó các khẳng định sau đây là tương đương:

(a) H = H00

.

(b) Tồn tại một biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và một véctơ

v ∈ V, xác định trên k, sao cho:

H = Gv = {g ∈ G | ρ(g) · v = v}

(c) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] sao cho các hàm này tách các

điểm của G/H.

(d) Không gian thuần nhất G/H là một k-đa tạp tựa affine.

(e) Mọi k-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ : H → GL(V) đều mở rộng được thành

một k-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ0 : G → GL(V0), trong đó V ⊆ V0 Nói cách khác, mọi H-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều đều là một H-môđun con của một G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều nào đó.

(f) Tồn tại một k-biểu diễn hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một vectơ v ∈ V sao cho

H = Gv(nhóm con dừng của v) và G/H  G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G} (Đẳng cấu

ở đây là đẳng cấu giữa các đa tạp đại số.)

(g) Trường các thương của vành các hàm G0∩ H-bất biến trong k[G0] chính bằng

trường các hàm hữu tỷ G0 ∩ H-bất biến trong k(G0).

(h) Nếu H-môđun hữu tỷ 1 chiều M là một H-môđun con của một G-môđun hữu

tỷ hữu hạn chiều thì H-môđun đối ngẫu M∗ của M cũng là một H-môđun con của một G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều nào đó.

Từ định lý trên, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.2 ([47]) Giả sử k là một trường tùy ý, H là một k-nhóm con đóng

của k-nhóm đại số tuyến tính G thỏa mãn điều kiện (b) (tương ứng điều kiện (e))trong Định lý 2.1.1, trong đó v ∈ V(k) và biểu diễn ρ tương ứng xác định trên k Khi

đó ta gọi H là một k-nhóm con dừng của G (tương ứng, H có tính chất mở rộng trên

k)

Ta nhắc lại một số kết quả cơ bản về tính chất hữu tỷ được chứng minh trong [3]

Định lý 2.1.3 ([3, Theorem 5]) Cho G là một k-nhóm đại số tuyến tính, H là một

k-nhóm con đóng của G Giả sử k ⊆ K là một mở rộng trường tùy ý của k Khi đó

H có tính chất mở rộng trên k nếu và chỉ nếu H có tính chất mở rộng trên K.

Định lý 2.1.4 ([3, Theorem 8]) Cho H là một k-nhóm con đóng của một k-nhóm

đại số tuyến tính G Giả sử thêm rằng H có tính chất mở rộng trên k Khi đó H

là một k-nhóm con dừng của G Đảo lại, nếu k là trường đóng đại số và H là một

k-nhóm con dừng của G, thì H có tính chất mở rộng trên k.

Từ Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 ta có khẳng định sau

Mệnh đề 2.1.5 ([47]) Cho k là một trường tùy ý và H là một k-nhóm con đóng của

một k-nhóm G Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(a) H là một nhóm con dừng của G trên ¯k.

(b) H là một nhóm con dừng của G trên k, tức là tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ

hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và một vectơ v ∈ V(k) sao cho H = Gv.

Chứng minh. (b) ⇒ (a): Điều này là đương nhiên

(a) ⇒ (b): Từ Định lý 2.1.1, vì H là nhóm con dừng trên ¯k nên H có tính chất

mở rộng trên ¯k Do đó, theo Định lý 2.1.3, H có tính chất mở rộng trên k Vậy theo

Nhận xét Dựa trên một số ý tưởng của F Grosshans [20], B Weiss [53] cũng cho

một chứng minh khác cho Mệnh đề 2.1.5 Trong bài báo đó, B Weiss có giả thiếtđiều kiện (không căn bản) là k = Q và H là liên thông

Ta đặt Hk0 = k[G]H(k) = { f ∈ k[G] | rh · f = f, ∀h ∈ H(k)}, và (H0

k)0 = {g ∈

G | rg · f = f, ∀ f ∈ H0

k}.Khi đó, k[G]H(k) và k[G]H := { f ∈ k[G] | rh · f = f, ∀h ∈ H} là các đại số concủa k[G]

Nói chung, ta có bao hàm thức sau:

Nếu hơn nữa, H(k) trù mật Zariski trong H, thì Hk0 = k[G]H = ¯k[G]H∩ k[G].

Định nghĩa 2.1.6 ([47]) Ta nói H là quan sát được tương đối trên k nếu H = (H0

k)0,

và H là k-quan sát được nếu (k[G]H)0 = H

Ta nhận thấy, trong trường hợp k là trường đóng đại số thì các khái niệm trêntrùng với khái niệm quan sát được Ta có khẳng định hiển nhiên sau:

H là k-quan sát được ⇒ H là quan sát được

Trong mệnh đề sau đây, dựa trên khẳng định không gian thuần nhất G/H cũngxác định trên k, chúng tôi chỉ ra chiều ngược lại cũng đúng Khẳng định G/Hcũngxác định trên k là một điểm quan trọng trong việc mở rộng các kết quả về nhóm conquan sát được (cũng như các nhóm con toàn cấu, nhóm con Grosshans) cho trườnghợp nhóm xác định trên tùy ý, không nhất thiết là đóng đại số

Mệnh đề 2.1.7 ([47]) Cho k là một trường tùy ý, và H là một k-nhóm con đóng của

một k-nhóm G Khi đó:

(a) H0 = ¯k[G]H = ¯k ⊗k k[G]H.

(b) H là quan sát được nếu và chỉ nếu H là k-quan sát được.

(c) Giả sử H(k) là trù mật Zariski trong H Khi đó, một trong hai điều kiện tương

đương ở (b) là tương đương với điều kiện H là quan sát được tương đối trên k.

Trước khi chứng minh mệnh đề này ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1.8 ([47]) Cho X là một lược đồ affine kiểu hữu hạn trên trường k và H là

một k-nhóm tác động k-cấu xạ lên X Giả sử tồn tại lược đồ thương tốt X/H Khi

đó ta có

¯k[X]H = ¯k ⊗kk[X]H

(Ở đây, ta quy ước, X = Spec(¯k[X]), và k[X] cho k-cấu trúc của ¯k[X].)

Chứng minh. Vì lược đồ thương X/H là tồn tại và xác định trên k nên ¯k[X/H] =

¯k ⊗kk[X/H] Mặt khác, vì cấu xạ thương π : X → X/H xác định trên k nên đối cấu

xạ π0 gửi k[X/H] vào k[X] Hơn nữa, π0 : ¯k[X/H] → ¯k[X]H là một đẳng cấu

Bao hàm thức ở trên kéo theo π0(k[X/H]) = k[X]H Hơn nữa, π0 là một đẳngcấu, kéo theo ¯k[X]H = ¯k ⊗kk[X]H Do đó, bổ đề được chứng minh 

Ta chuyển sang chứng minh Mệnh đề 2.1.7

Chứng minh Mệnh đề 2.1.7. (a) Cho X = G, khi đó đa tạp thương tốt G/H là tồntại và xác định trên k Áp dụng Bổ đề 2.1.8, ta có điều cần chứng minh

(b) Giả sử g là phần tử tùy ý của (k[G]H)0 Thế thì rg( f )= f với mọi f ∈ k[G]H.Theo (a), ¯k[G]H = ¯k ⊗k k[G]H, nên mọi phần tử f ∈ ¯k[G]H đều có biểu diễn

H là quan sát được tương đối ⇔ H là k-quan sát được

“ ⇒ ”: Vì H(k) là trù mật Zariski trong H nên

f ∈ ¯k[G]H(k) ⇔ f ∈ ¯k[G]H

Do đó, H = (k[G]H(k))0 ⊇ (¯k[G]H(k))0 = (k[G]H)0 ⊇ H, tức là, H là quan sát được.Vậy H là k-quan sát được (theo (b))

“ ⇐ ”: Nếu H là k-quan sát được thì

H = (k[G]H)0 ⊇ (k[G]H(k))0 ⊇ H

Nhờ mệnh đề trên, ta có khẳng định sau đây về sự tương đương của tính chấttách các điểm của không gian thuần nhất G/H bởi các hàm thuộc ¯k[G]H và k[G]H

Mệnh đề 2.1.9 ([47]) Cho H là một k-nhóm con của một k-nhóm G Khi đó các

khẳng định sau là tương đương:

(a) Tồn tại một số hữu hạn các hàm thuộc ¯k[G/H] sao cho chúng tách các điểm

của G/H.

(b) Tồn tại một số hữu hạn các hàm thuộc k[G/H] sao cho chúng tách các điểm

của G/H.

Chứng minh. Khẳng định (b) ⇒ (a) là hiển nhiên Ta chỉ ra (a) ⇒ (b).

Vì G/H xác định trên k nên ¯k[G/H] = ¯k ⊗ k[G/H] Giả sử các hàm f1, , fn ∈

¯k[G/H] tách các điểm của G/H Khi đó

Mệnh đề 2.1.10 ([47]) Cho G là một k-nhóm, H là một k-nhóm con đóng của G.

Giả sử tồn tại một k-biểu diễn hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và v ∈ V(k) sao cho

H = Gv Khi đó tồn tại một biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ0 : G → GL(W) xác

định trên k, w ∈ W (k), sao cho H = Gw và G/H  G · w.k

Chứng minh. Theo Định lý 1.12 của [21], tồn tại một không gian véctơ V0, mộtbiểu diễn ρ0 : G → GL(V0), một véctơ v0 ∈ V0 sao cho H = Gv 0 và tồn tại đẳng cấu

G/H  G · v0

Đặt X = G · v0 là bao đóng của G · v0 trong V0, V0∗ là không gian đối ngẫu của

V0 và (λ1, , λn) là một cơ sở của V0∗ Thế thì, ¯k[V0] = ¯k[λ1, , λn] Ta có dãy cácđối cấu xạ:

Từ dãy này ta có dãy các cấu xạ

Theo [9, p 54], vì G xác định trên k nên G-quỹ đạo của các µi j sinh ra mộtkhông gian vectơ con hữu hạn chiều của ¯k[G] và không gian này xác định trên k.

Ta có thể thêm (hoặc bớt) một số hữu hạn các hàm và có thể giả sử các hàm {µi j}làđộc lập tuyến tính trên k Hơn nữa, ¯k-không gian vectơ W0 với k-cơ sở {µi j}là G-ổnđịnh

Ta chọn W là không gian đối ngẫu của W0 và có biểu diễn tuyến tính tương ứng

ρ : G → GL(W) xác định trên k Ký hiệu Y là k-đa tạp affine với ¯k[µi j] là ¯k-đại sốcác hàm chính quy Bằng cách xét k-cấu trúc k[W] của k-đa tạp W, ta có dãy k-đồngcấu các k-đại số

Nhận xét Nhìn chung chúng ta chỉ có một cấu xạ song ánh giữa không gian thuần

nhất G/H và không gian quỹ đạo G · v Trong trường hợp trường k là đóng đại số,chúng ta phải lấy chuẩn tắc hóa của đa tạp X := G · v trong trường hàm k(G/H) và

sử dụng Định lý chính của Zariski Trong trường hợp k là trường tùy ý, việc lặp lạichứng minh trên không thật đơn giản vì nhìn chung khó rút ra kết luận về tính chấtđẳng cấu trên k Vì thế, chúng ta chọn cách dựa trên kết quả đã có trong trường hợptrường k là đóng đại số và Mệnh đề 2.1.7

Từ những kết quả được chứng minh ở trên, ta có định lý sau là tương tự của Định

lý 2.1.1 cho trường bất kỳ

Định lý 2.1.11 ([47]) Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một

trường k tùy ý và H là một k-nhóm con đóng của G Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(a) H là quan sát được, tức là, H = H00

.

(a’) H là k-quan sát được, tức là, H = (k[G]H)0.

(b’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho

H = Gv = {g ∈ G | g · v = v}

(c’) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] tách các điểm của G/H.

(d’) Không gian thuần nhất G/H là một đa tạp tựa affine xác định trên k.

(e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ ρ : H → GL(V) đều mở rộng được thành một biểu diễn k-hữu tỷ ρ0 : G → GL(V0).

(f’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho

H = Gv và

G/H  G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G}.k

(g’) Trường các thương của vành các G0 ∩ H-bất biến trong k[G0] bằng trường

các phân thức G0 ∩ H-bất biến của k(G0).

Hơn nữa, nếu H (k) trù mật Zariski trong H thì các khẳng định trên tương đương

với tính chất quan sát được tương đối của H trên k.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.5, với các điều kiện được đánh số như Định lý 2.1.1,

ta có (b) ⇔ (b’) Mệnh đề 2.1.7 kéo theo (a) ⇔ (a’) Mệnh đề 2.1.9 suy ra (c) ⇔(c’) Vì H và G là các k-nhóm nên không gian thuần nhất G/H xác định trên k Do

đó, (d) tương đương với (d’) Từ Định lý 2.1.3 ta có (e) ⇔ (e’) Từ Mệnh đề 2.1.10

ta có (f) ⇔ (f’)

Để chứng minh (g’) tương đương với các điều kiện khác ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1.12 ([47]) Với những giả thiết như ở trên, H là k-quan sát được trong G

nếu và chỉ nếu H ∩ G0 là nhóm con k-quan sát được của G0.

Chứng minh bổ đề. Vì H và G0 xác định trên k nên H ∩ G0 cũng xác định trên k

Vì (a) ⇔ (a’) nên H là quan sát được trong G nếu và chỉ nếu H là k-quan sát đượctrong G Do đó, H ∩ G0 là quan sát được trong G0 nếu và chỉ nếu H ∩ G0 là nhómcon k-quan sát được của G0

Theo [21, Hệ quả 1.3], H là quan sát được trong G nếu và chỉ nếu H ∩ G0 quansát được trong G0 Vậy H là k-quan sát được trong G nếu và chỉ nếu H ∩ G0 làk-quan sát được trong G0 Vậy bổ đề được chứng minh Theo [3, Theorem 3], H ∩ G0 là k-quan sát được trong G0 nếu và chỉ nếu (g’)đúng Vậy (g’) tương đương với những điều kiện còn lại và ta có điều phải chứng

Nhận xét Nhìn chung có cấu xạ song ánh không gian thuần< /b>

nhất G/H không gian quỹ đạo G · v Trong trường hợp trường k đóng đại số, chúng ta phải lấy... [53], số ứng dụng tác động ergodic nghiên cứu.Chúng chứng minh chương số kết tính chất hữu tỷ cácnhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans mà ban đầu chỉđược chứng minh trường hợp k trường