Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên" ppsx

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009VỀ KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG ĐỊA PHƯƠNG CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trần Đạo Dõng Đại học Huế Hoàng Thái Vũ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TÓM TẮT Cá

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009

VỀ KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG ĐỊA PHƯƠNG CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

Trần Đạo Dõng Đại học Huế Hoàng Thái Vũ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

TÓM TẮT Các không gian đối xứng địa phương đóng một vai trò quan trọng trong hình học vi phân và đang được khảo sát theo nhiều hướng tiếp cận khác nhau Một trong các hướng tiếp cận đó là khảo sát không gian đối xứng địa phương dưới dạng không gian thương của không gian đối xứng cảm sinh qua tác động của các nhóm (con) số học

Tiêu biểu cho lớp không gian đối xứng địa phương này là không gian moduli của các đường cong elliptic được thể hiện như là không gian thương của nửa mặt phẳng Poincaré H2 cảm sinh qua tác động của nhóm con SL(2, Z) các ma trận vuông cấp hai với hệ số nguyên

Trong bài viết này, trước hết chúng tôi khảo sát cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên H3 được thể hiện như không gian đối xứng SL(2, C)/SU (2) qua tác động của SL(2, C) Tiếp đó, chúng tôi khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) cảm sinh qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H3

1 Cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên

Định nghĩa 1.1 Cho H = {s + tj|s, t ∈ C} là đại số quaternion (chuẩn tắc) Tập hợp

H3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0}

= {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0}

≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, được gọi là nửa không gian trên

Khi đó H3 là một đa tạp 3 chiều với cấu trúc Riemann

ds2 := |dz|2

t2 = dx

2

+ dy2+ dt2

Hơn nữa, ta có

Mệnh đề 1.2 Cho đa tạp H3 và điểm cố định z0 = (x0, y0, t0) ∈ H3.

Khi đó, ánh xạ

(x, y, t) 7−→ (2x0− x, 2y0− y, t),

là một vi phôi đẳng cự và đối hợp Suy ra H3 là một không gian đối xứng

Chứng minh

i) fz0 song ánh là rõ

ii) Do các ánh xạ thành phần khả vi nên fz0 khả vi

iii) Ta có, (fz 0)2(x, y, t) = fz 0(fz 0(x, y, t)) = fz 0(2x0−x, 2y0−y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈

H3

Vậy (fz0)2 = IdH3 Suy ra, fz0 là một phép biến đổi đối hợp

Hơn nữa, do (fz0)2 = IdH3 nên (fz0)−1 = fz0 Suy ra, (fz0)−1 cũng khả vi

iv) Mặt khác, fz 0 được biểu diễn dưới dạng:

x + yi + tj 7−→ (−x − yi + tj) + (2x0+ 2y0i)

Suy ra fz0 là một phép biến đổi đẳng cự của H3

Từ đó fz 0 là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3

Chứng minh tương tự Mệnh đề (1.2), chúng ta có hai mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3 Cho đa tạp H3, xét k ∈ S1 ⊂ C và z0 = s0+ t0j ∈ H3

Khi đó, ánh xạ

z = s + tj 7−→ −[t0]2[k(s − s0) + tj]−1+ s0,

là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3

Mệnh đề 1.4 Cho đa tạp H3, xét k ∈ S0 = {−1, 1} và z0 = s0+ t0j ∈ H3 Khi đó, ánh xạ

z = s + tj 7−→ −[t0]2[k(s − s0) + tj]−1+ s0,

là một vi phôi đẳng cự và đối hợp của H3

Bây giờ, chúng ta khảo sát tác động của nhóm Lie SL(2, C) trên H3 và thể hiện mối liên hệ giữa H3 với không gian đối xứng SL(2, C)/SU (2)

Mệnh đề 1.5 Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và nửa không gian trên

H3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}

Khi đó, ánh xạ

( a b

c d

 , z) 7−→  a b

c d

 z := [az + b][cz + d]−1,

là một tác động (trái) đẳng cự và bắc cầu của nhóm Lie G = SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3 Hơn nữa, ta có

H3 ∼= SL(2, C)/SU (2)

Chứng minh

Xét

( a b

c d

 , z) 7−→  a b

c d

 z := [az + b][cz + d]−1

Trước hết, ta chứng minh ϕ là một tác động (trái) của nhóm Lie SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3

Thật vậy, ∀γ = a b

c d



∈ SL(2, C), ∀z = s + tj ∈ H3, ta có ad − bc = 1

Giả sử cz + d = 0 Khi đó,

(cs + d) + ctj = 0 ⇔  cs + d = 0

ct = 0 ⇔ cs + d = 0

c = 0 ⇔ d = 0

c = 0

Suy ra ad − bc = 0 Do ad − bc = 1 nên điều này là mâu thuẫn

Như vậy, cz + d 6= 0 Hay [cz + d]−1 tồn tại

Mặt khác,

[az + b][cz + d]−1 = [(as + b) + atj][(cs + d) + ctj]−1

= [(as + b) + atj]{[(cs + d) − ctj][(cs + d) − ctj]−1}[(cs + d) + ctj]−1

= {[(as + b) + atj][(cs + d) − ctj]}{[(cs + d) − ctj]−1[(cs + d) + ctj]−1}

= {[(as + b) + atj][(cs + d) − ctj]}{[(cs + d) + ctj][(cs + d) − ctj]}−1

= [(as + b)(cs + d) + atj(cs + d) − (as + b)ctj − atjctj]

[|cs + d|2+ ctj(cs + d) − (cs + d)ctj − ctjctj]−1

= [(as + b)(cs + d) + at(cs + d)j − (as + b)ctj + atct]

[|cs + d|2+ |c|2|t|2]−1

= [(as + b)(cs + d) + (ad − bc)tj + atct][|cs + d|2+ |c|2|t|2]−1

= (as + b)(cs + d) + ac|t|

2

|cs + d|2+ |c|2|t|2 + t

|cs + d|2+ |c|2|t|2j ∈ H3 Vậy, ϕ là ánh xạ từ G × H3 vào H3

Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp ta suy ra ϕ là một tác động (trái) của nhóm Lie SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3

Tiếp theo, ta chứng minh ϕ là một tác động bắc cầu và đẳng cự của nhóm Lie SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3

Thật vậy, ∀z1 = s1+ t1j, z2 = s2+ t2j ∈ H3, ta có t1, t2 ∈ R; t1, t2 > 0

Xét các phần tử

a =r t2

t1

; b =r t1

t2

.s2−r t2

t1

.s1; c = 0; d =r t1

t2

Ta có,

a b

c d

=

q

t 2

t 1

q

t 1

t 2.s2 −qt 2

t 1.s1

t 2

=qt2

t 1.qt1

t 2 = 1

Hơn nữa,  a b

c d

 z1 = [az1 + b][cz1+ d]−1 = [as1+ b + at1j][cz1+ d]−1

= [qt2

t 1.s1+qt1

t 2.s2 −qt 2

t 1.s1+qt2

t 1.t1j][qt1

t 2]−1

= [qt1

t 2.s2+qt2

t 1.t1j][qt2

t 1] = s2+qt2

t 1.t1.qt2

t 1j]

= s2+ t2j = z2

Như vậy, ∀z1 = s1 + t1j, z2 = s2+ t2j ∈ H3, tồn tại γ = a b

c d



∈ SL(2, C) thỏa γ.z1 = z2 Hay ϕ là một tác động bắc cầu của nhóm Lie SL(2, C) trên tập hợp (đa

tạp) H3.

Ngoài ra, với mỗi γ = a b

c d



∈ G = SL(2, C), ánh xạ

z 7−→ γ.z = a b

c d

 z := [az + b][cz + d]−1

là một phép biến đổi đẳng cự

Do đó ϕ là một tác động đẳng cự của nhóm Lie SL(2, C) trên tập hợp (đa tạp) H3 Bây giờ, ta chứng minh H3 ∼= SL(2, C)/SU (2)

Trước hết, ta chứng tỏ nhóm con ổn định K = {γ ∈ G = SL(2, C)|γ.j = j} của phần tử j ∈ H3 trong SL(2, C) chính là SU (2)

Thật vậy,

γ = a b

c d



∈ K ⇔ γ.j = j ⇔ [aj + b][cj + d]−1 = j ⇔ aj + b = j(cj + d)

⇔ aj + b = −c + dj ⇔ a = d

b = −c ⇔ d = a

c = −b

Ngoài ra, γ =  a b

c d



∈ G = SL(2, C) nên ad − bc = 1

Do đó, γ ∈ K ⇔ γ =



a b

−b a

 , trong đó a, b ∈ C : |a|2+ |b|2 = 1

Hay K = SU (2)

Như vậy, ánh xạ tác động của nhóm Lie SL(2, C) trên H3

(γ = a b

c d

 , z) 7−→ γ.z = a b

c d

 z := [az + b][cz + d]−1,

là một ánh xạ trơn, tác động đẳng cự và bắc cầu trên H3

Theo ([1, Proposition 13.6]), ánh xạ

ϕj : SL(2, C) −→ H3

γ 7−→ γ.j, cảm sinh vi phôi (đẳng cự) H3 ∼= SL(2, C)/SU (2)

Vậy mệnh đề được chứng minh

2 Không gian đối xứng địa phương SL (2, Z + iZ)\H3 Xét không gian đối xứng H3 ∼= SL(2, C)/SU (2) Qua tác động của nhóm (con) rời rạc SL(2, Z + iZ) trên H3 chúng ta xác định được không gian đối xứng địa phương

SL(2, Z + iZ)\H3 ∼= SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2)

Trong mục này, tương tự như trường hợp không gian đối xứng địa phương SL(2, Z)\H2

cảm sinh từ nửa mặt phẳng trên H2 được xét trong [6], chúng tôi mở rộng khái niệm miền cơ bản của một nhóm rời rạc Γ tác động trên H2 cho trường hợp H3 và ứng dụng

để khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL(2, Z + iZ)\H3 Kết quả sau đây cho thấy có thể xác định miền cơ bản của nhóm rời rạc SL(2, Z+iZ) tác động trên H3

Mệnh đề 2.1 Một miền cơ bản Ω của Γ := SL(2, Z + iZ) trên H3 được xác định bởi miền sau:

Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | −1

2 < x <

1

2; 0 < y <

1

2; |z| =

p

x2+ y2 + t2 > 1} Chứng minh Ta chia phép chứng minh ra làm hai phần:

i) Chứng minh rằng, mọi Γ−quỹ đạo chứa ít nhất một điểm trong Ω

ii) Chứng minh rằng, không có hai điểm nào của Ω nằm trong cùng một Γ−quỹ đạo i) Thật vậy, với z ∈ H3, xét Γ−quỹ đạo

Γ.z = { a b

c d



z = [az + b][cz + d]−1 | a, b, c, d ∈ Z + iZ; ad − bc = 1}

Do T =  1 1

0 1

 , T−1 = 1 −1

0 1

 , U =  1 i

0 1

 , U−1 =  1 −i

0 1



∈ Γ nên cảm sinh các phép tịnh tiến

z 7−→ z + 1; z 7−→ z − 1; z 7−→ z + i; z 7−→ z − i

Tương tự, W = i 0

0 −i ∈ Γ nên cảm sinh phép đối xứng

z = x + yi + tj = s + tj 7−→ −s + tj = −x − yi + tj

Do đó, mọi Γ−quỹ đạo chứa một điểm z với Re(z) ∈ [−12,1

2] và Imi(z) ∈ [0,1

2]

Tiếp theo, xét z ∈ H3 với Re(z) ∈ [−12,12]; Imi(z) ∈ [0,12] và xét Γ−quỹ đạo Γ.z tương ứng

Bây giờ, ta sẽ chọn γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) sao cho Imj(γz) là tối đại

Với γ = a b

c d



∈ Γ = SL(2, Z + iZ) và z = s + tj = x + yi + tj, ta có:

γz = a b

c d



z = [az + b][cz + d]−1 = [(as + b)(cs + d) + ac|t|

2]

|cz + d|2j Suy ra Imj(γz) = |cz+d|t 2 = |cs+d|2t+|c| 2 t 2

Ta có

lim

|d|→+∞



t

|cs + d|2+ |c|2t2



= 0, ∀c ∈ Z + iZ;

lim

|c|→+∞



t

|cs + d|2+ |c|2t2



= 0, ∀d ∈ Z + iZ

Do đó, với 0 <  < t, tồn tại M > 1 sao cho

Imj(γz) < ; ∀|c| > M, ∀d ∈ Z + iZ;

Imj(γz) < ; ∀|d| > M, ∀c ∈ Z + iZ

Đặt

E = {γ = a b

c d



∈ Γ = SL(Z + iZ) | (|c| > M) ∨ (|d| > M)};

E0 = {γ =  a b

c d



∈ Γ = SL(Z + iZ) | (|c| ≤ M) ∧ (|d| ≤ M)};

Khi đó

E ∪ E0 = Γ = SL(Z + iZ);

Imj(γz) < , ∀γ ∈ E

Hơn nữa, J là tập (khác rỗng) có hữu hạn phần tử trong R Suy ra, trong J tồn tại phần tử Imj(γz) tối đại

Do 0 <  < t = Imj(Id.z) ∈ J nên Imj(γz) đạt cực đại

Do các phép tịnh tiến z 7−→ z + 1; z 7−→ z − 1; z 7−→ z + i; z 7−→ z − i và phép đối xứng z = s + tj 7−→ −s + tj không phụ thuộc phần j−ảo nên ta có thể giả sử γz có phần j−ảo Imj(γz) tối đại và Re(γz) ∈ [−12,12]; Imi(γz) ∈ [0,12]

Bây giờ, xét z = x + yi + tj với giá trị như là γz nói trên Khi đó,

Imj(z) ≥ Imj(γz), ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) (2.1)

Ta chứng minh |z| ≥ 1 Thật vậy, giả sử |z| < 1

Xét S = 0 −1

1 0



∈ Γ = SL(Z + iZ)

Ta có

Sz = −1

z = −

z

|z|2 = − x

|z|2 + y

|z|2i + t

|z|2j

Do |z| < 1 nên Imj(Sz) = |z|t2 > t = Imj(z) Điều này là mâu thuẫn bất đẳng thức (2.1)

Vậy |z| ≥ 1 và phần i) được chứng minh

Tiếp theo ta chứng minh phần ii)

ii) Với w ∈ H3, xét Γ−quỹ đạo Γ.w = {γw|γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)}

Giả sử γw, ηw ∈ Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | −1

2 < x < 12; 0 < y < 12; |z| > 1}; trong đó γ, η ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)

Đặt z = γw Ta có z, (ηγ−1)z ∈ Ω

Kiểm tra trực tiếp ta suy ra (ηγ−1)z = z Hay ηw = γw

Điều này kết thúc chứng minh phần ii)

Vậy mệnh đề được chứng minh

Hệ quả 2.2 Nhóm Γ = SL(2, Z + iZ) được sinh bởi

T = 1 1

0 1

 , S =  0 −1

1 0

 , U =  1 i

0 1

 , W =



i 0

0 −i



Chứng minh Gọi ω = W (Ω) ∪ Ω Khi đó, ω = W (Ω) ∪ Ω.

Ta có T (ω), T−1(ω); U (ω), U−1(ω) và S(ω) là năm miền (tập hợp) có mặt chung với

ω Tác động liên tiếp T, U, S, T−1, U−1 vào những miền trên và ảnh của chúng, ta thu được những miền có thể phủ dần H3

Hơn nữa, ∀z ∈ H3, luôn tồn tại một miền trong những miền trên chứa z

Mặt khác, bất kỳ một miền nào như vậy đều có dạng f (S, T, U )(ω), trong đó

f (S, T, U ) là một phần tử của nhóm hS, T, U, W i được sinh bởi S, T, U, W

Suy ra, ∀z ∈ H3, ∃f (S, T, U ) trong hS, T, U, W i sao cho f (S, T, U )z ∈ ω

Bây giờ, lấy zo ∈ Ω ⊂ ω Khi đó, với bất kỳ γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ), tồn tại một phần tử f (S, T, U ) trong hS, T, U, W i sao cho f (S, T, U )γzo ∈ ω = W (Ω) ∪ (Ω) Đặt β = f (S, T, U )γ

Ta xét hai trường hợp xảy ra:

i) z0 ∈ Ω và βz0 ∈ Ω

Suy ra z0 = βz0 và β = ±Id

Do  −1 0

0 −1



= S2 nên suy ra γ ∈ hS, T, U, W i

ii) z0 ∈ Ω và βz0 ∈ W (Ω)

Khi đó z0 ∈ Ω và W βz0 ∈ Ω Suy ra W β = ±Id

Tương tự trên, suy ra γ ∈ hS, T, U, W i

Từ đó Γ = SL(2, Z + iZ) ⊂ hS, T, U, W i

Ngoài ra hS, T, U, W i ⊂ Γ = SL(2, Z + iZ)

Suy ra Γ = SL(2, Z + iZ) = hS, T, U, W i

Vậy Γ = SL(2, Z + iZ) được sinh bởi S, T, U, W

Một tính chất quan trọng của SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact Cụ thể, chúng

ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.3 ([5, p 31]) Không gian thương SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact Chứng minh Gọi (tn)n là dãy các số thực dương tiến đến +∞ và xét tập con rời rạc

Γ = SL(2, Z + iZ)

Với mỗi n ∈ N, đặt zn= tnj Khi đó, (zn)n⊂ H3; (Γ.zn)n⊂ SL(2, Z + iZ)\H3

Mặt khác, ∀γ = a b

c d



∈ Γ = SL(2, Z + iZ), ta có:

γzn= bd + act

2 n

|d|2+ |c|2t2

n

|d|2+ |c|2t2

n

j

Hơn nữa,

∗ Nếu c = 0 thì ad = 1 Lúc đó, |d|2 = 1 và Imj(γzn) = tn;

∗ Nếu c 6= 0 thì 0 ≤ Imj(γzn) ≤ tn

|c| 2 t 2

t n Suy ra

Imj(γzn) −−−−−−−−→n→∞

 +∞

0

, ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)

Như vậy, mọi (γznk)nk không thể hội tụ đến một phần tử trong H3, với mọi

γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)

Suy ra, mọi (Γ.znk)nk không thể hội tụ đến một phần tử trong SL(2, Z + iZ)\H3 Vậy SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact

Mệnh đề 2.4 Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z) ≥ 0}} Khi đó, F là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3) Từ đó ta có

SL(2, Z + iZ)\H3 ∼= F (theo nghĩa tập hợp).

Chứng minh Do T =  1 1

0 1

 , U =  1 i

0 1



∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh các phép tịnh tiến z 7−→ z + 1; z 7−→ z + i

Hơn nữa, do W =



i 0

0 −i



∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép đối xứng

z = s + tj 7−→ −s + tj

Ngoài ra, do S =



0 1

−1 0



∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên cảm sinh phép biến đổi

z = x + yi + tj 7−→ −|z|x2 +|z|y2i +|z|t2j

Do đó, mệnh đề trên được suy ra từ Mệnh đề (2.1)

Nhận xét 2.5 Cho F = Ω ∪ {∂Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z) ≤ 0}} Khi đó, F cũng là một tập cơ bản khớp của Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 E.P Van den Ban, Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, MRI, University of Utrecht, Holland, 2003

2 E.P Van den Ban - H Schlichtkrull, Harmonic analysis on reductive symmetric spaces, Progress in Math., 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001, 565-582

3 B.Conrad, K.Rubin, Arithmetic algebraic geometry, IAS/Park City Math Series, vol 9, AMS, 2001

4 L.Ji, An introduction to symmetric spaces and their compactifications, University

of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2001

5 L.Ji, Lectures on locally symmetric spaces and arithmetic groups, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2004

ON LOCALLY SYMMETRIC SPACES

OF HALF UPPER SPACES

Tran Dao Dong Hue University Hoang Thai Vu College of Pedagogy, Hue University

SUMMARY Locally symmetric spaces play an important part in differential geometry and arise from many different areas such as topology, number theory, representation theory, alge-braic geometry, The typical important class consists of quotients of symmetric spaces

by arithmetic groups, for example, the moduli space of elliptic curves is the quotient of the upper half plane H2 by SL(2, Z)

In this note, firstly, we study the symmetric structure of the upper half space H3 and the relation with the symmetric space SL(2, C)/SU (2) Then we study the locally symmetric space SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) based on the action of SL(2, Z + iZ)

on H3

2 Không gian đối xứng địa phương SL (2, Z + iZ)\H3 Xét không gian đối xứng H3 ∼= SL(2, C)/SU (2) Qua tác động nhóm (con) rời rạc SL(2, Z + iZ) H3 xác định không. .. xác định không gian đối xứng địa phương

SL(2, Z + iZ)\H3 ∼= SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2)

Trong mục này, tương tự trường hợp không gian đối xứng địa phương SL(2, Z)\H2... iZ)\H3 không compact Cụ thể, chúng

ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.3 ([5, p 31]) Không gian