cở sở hoá trong hình oxy

Phương pháp tọa độ hóa là phương pháp truyền thống, nhưng xưa nay nó ít được sử dụng và để ý bởi nó tính toán nhiều, khó xử lý những điểm, đường nằm sâu trong hình và mang tính chất đại

CƠ SỞ HÓA TRONG HÌNH OXY (Tọa độ hóa mở rộng)

Hình học Oxy trong các kỳ thi Đại Học, Quốc gia luôn là 1 câu khó mang tính phân loại cao Và đang có

xu hướng được khai thác sâu hơn nên đồng thời với điều đó, sẽ dần có những phương pháp, hay cách tiếp cận,

xử lý vấn đề sẽ được phát triển hơn Phương pháp tọa độ hóa là phương pháp truyền thống, nhưng xưa nay nó

ít được sử dụng và để ý bởi nó tính toán nhiều, khó xử lý những điểm, đường nằm sâu trong hình và mang tính chất đại số nhiều hơn hình học Ta sẽ xử lý một số khó khăn cơ bản đó để nó trở thành một phương pháp tốt hơn, dễ sử dụng và mang tính hiệu quả cần thiết, đặc biệt trong phòng thi với thời gian hạn chế Độ dài của 1 bài toán (đôi khi) không nằm ở độ dài trang giấy, mà ở thời gian ta tìm ra lời giải đó

I MỞ RỘNG

I.1 Sử dụng công thức tính nhanh tọa độ điểm

Cho điểm và đường thẳng:  

 

;

A A

A x y

ax by c





 Gọi H x  H; yHlà hình chiếu của A trên  

+) Khi đó H A

H A

 



A A

k





+) Điểm M: M  AH 









M A

M A

 





Hệ quả: M  H   m 1, M đối xứng với H thì m  2 M là trung điểm AH thì 1

2

I.2 Dựng hình cơ sở

Thay vì gắn trục tọa độ vào hình của đề bài, ta sẽ dựng 1 hình đồng dạng với hình đã cho Hình mới lập này sẽ được cố định 1 chiều độ dài, tức là sẽ giảm được một biến so với hình ban đầu, khoảng cách cố định mà

ta chọn thường bằng 1 hoặc 2, do đó ta gọi nó là hình cơ sở

Giả sử có 2 đa giác ABCD A B C D ' ' ' ': ta có tỉ số đồng dạng:

k

Hai điểm

' ' ' ' '





 

 được hình thành giống như nhau thì ta cũng có:

' ' ',

' ' '





Hay là: Tính chất giữa hoặc tỉ số các yếu tố trên hình này sẽ giống tính chất hoặc tỉ số giữa các yếu tố tương ứng trên hình kia

+) Tỉ số nội bộ tương ứng bằng nhau: ' '; ' ';

AC  A C AN  A N (Với quy ước: X & X 'được hình thành như nhau) Trong chuyên đề này khai thác chủ yếu dưới các góc độ:

1) Chứng minh tính chất hình học

2) Tính toán định lượng: Khi hình chính có 1 cặp tỉ số nội bộ xác định, thì hình cơ sở cũng sẽ có tỉ số đó Dựa vào tỉ số đó ta có thể xác định hoàn toàn các thông số (độ dài, góc ) của hình cơ sở, từ đó suy ra các tính chất tương ứng trên hình chính Lập tỉ số đồng dạng Ta có: AX   k A X ' '

+) Đối tượng sử dụng: Học sinh trung bình khá

+) Đối tượng áp dụng: Các hình có tính đối xứng: Hình vuông, Hình chữ nhật, Hình thang cân, tam giác vuông

và các hình đặc biệt khác nếu có thể

+) Chuyên đề không trình bày cách hình học thông thường Trong nhiều bài toán, khi xem các chứng minh bằng hình học thông thường, sẽ không ít học sinh phải tự thừa nhận mình không đủ khả năng làm theo hướng

đó trong phòng thi Do đó, lựa chọn 1 hướng thực dụng cũng có phần hợp lý

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A   3;5 DAB AB, 3AD GỌi H là hình chiếu của B trên CD Gọi

 9 / 2;1/ 2 

Giải: Giả sử tam giác ABC có cạnh đáy và đường cao là tương ứng là   b h , Ta dựng tam giác

' ' '

  có cạnh đáy và đường cao tương ứng là:  2; a với

2

2

a

   Gắn vào tam giác này một hệ trục tọa độ và tọa độ các đỉnh

như hình vẽ Ta có:A B ' '  3 ' A D '

' ' : 2 0

  



         

   

4

2 2 ' ' 1 a ; a

B E

2

2

' ' a ; a



3 4

            

Vậy B E' 'A E' ' Do  A B C ' ' '  ABCnên ta cũng có: AEBE Có lược đồ giải:

3

2

Nhận xét: Bài toán này việc tính toán tọa độ H thực chất sử dụng công thức:

2

2

H B B



Tiếp theo là 1 tính chất đã được sử dụng trong đề thi thử của Yêu toán học 2014

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AM, MNAC N, AC Gọi I là trung điểm MN Chứng minh:

AI  BN

Giải: Giả sử tam giác đã cho có cạnh đáy và đường cao là   b h , Ta lập

tam giác cơ sở  A B C ' ' '  ABCcó đáy và đường cao là:  2, a với

2 2

a

   Gắn vào tam giác cơ sở hệ trục tọa độ và các điểm có

tọa độ như hình vẽ: Ta có: AC  1;   a    AC : ax    y a 0 M là hình

chiếu của O lên AC ta có:

0 0

O

2 2 3

                     

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD, hai điểm E và F tương ứng thuộc cạnh AD và AB sao cho AE = AF Gọi H là chân

đường cao từ A xuông BE CH cắt AD tại M Tính tọa độ các đỉnh hình vuông biết:

7 7

3 3

Hướng dẫn: Xét hình vuông A B C D ' ' ' 'có độ dài cạnh bằng 1

Gắn vào hình vuông hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình

vẽ Ta cần tìm tọa độ điểm H’ là hình chiếu của A’

Ta có: B E ' '   1, a   1   B E ' ' :   a  1  x    y a 0

1

y

x



1

A B E

k

e





1

H



'

1

H

H

y

x

Do 2 hình vuông bất kì đồng dạng nên: MF  CF Từ đây ta có lược đồ giải: Tìm được C x  C; yC

Giả sử:    CB : a x  xC   b y  yC   0   CD :  b x   xC   a y  yC  0ta có:

Tiếp theo ta sẽ tới 1 ví dụ khó hơn, với bài toán 3 chiều, giảm 1 còn 2:

Ví dụ 4: (Mathlinks 28/50) Cho hình thang cân ABCD AB CD   Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của

B trên các đường thẳng AC, CD Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AD và HI Viết phương trình đường thẳng

Lời giải:

Giả sử ABCDcó đáy lớn, đáy nhỏ và đường cao là:  a b h1, ,1 1

Dựng hình thang cơ sở A B C D ' ' ' ' ABCD với đáy lớn, đáy nhỏ

và đường cao tương ứng là: 2 , 2 ,1 a b với:

;

a  b    h  h Gắn vào hình thang cơ sở hệ

trục tọa độ và các tọa độ điểm như hình vẽ Từ đó suy ra:

1

2 2

a b

 A C ' ' :  x  a b y a  0

     Có H’ là hình chiếu của B’: ta có :

2 1

2

1

H B B

B A C

H B B

b

k

b a b e

e



     





' ' ' '

0

b

   

  Vậy B N    M N     0 B N    M N    BN  MN Ta có MN    2;6   2   1;3

  NB : x 3 y 15 0 B   6;3 BM 5 1;1 ,   g s AB /    : a x 6   b y 3  0

2

5 2

b a



  AB 1: x 3 y 3 0   AB 2: 3 x y 15 0

Ví dụ 5: (Mathlinks.vn 20/50) Cho hình chữ nhật ABCD tâm I, Gọi M là trung điểm cạnh CD, H là hình chiếu

vuông góc của D trên AM và N là trung điểm AH Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN là

:

Định hướng: D thuộc 1 đường xác định, nên ta có thể tìm tọa độ

của nó dựa trên tương quan với các yếu tố đã biết Từ định

hướng đó ta có thể tìm ra được D thuộc đường tròn đã cho Từ

hình vẽ, ta sẽ biết cần chứng minh: DM IM

Giải: Dựng hình chữ nhật A B D C ' ' ' ' ABCDcó 2 cạnh

tương ứng là   2, a như hình vẽ Gắn vào đó trục tọa độ và tọa

độ các đỉnh được xác định như hình vẽ Ta có: A M ' ' 1,    a   A M ' ' :  ax    y a 0 Ta có

D

Vậy

3

Vậy tứ giác DMINnội tiếp hay Dthuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN Từ đây ra có lược đồ giải: Tìm tọa độ điểm D, có DI là đường kính nên DB4DKvới K là tâm đường tròn đã cho Suy ra B

Ví dụ 6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 BC Gọi 5; 1

2

ĐƯờng thẳng vuông góc với EK tại E cắt BC tại M Tìm tọa độ A, B, C, D

Hướng dẫn: Dựng hình chữ nhật A B C D ' ' ' ' ABCDcó 2 cạnh

dài, ngắn   4; 2 Từ hình chữ nhật cơ sở dễ dàng tính được tọa độ M’

Từ đó suy ra M F ' '  K F ' '  MF  KF Từ đây ta có lược đồ giải:

Xác định hình chiếu F của K lên( MF)   F D(thuộc trung trực

KF) từ đó dễ suy ra A C B, , theo hệ thức về tỉ lệ vectơ

Ví dụ 7: Cho ABC vuông cân tại C Hai điểm D, E lần lượt thuộc CA và CB sao cho CD  CE Đường thẳng qua

C vuông AE cắt AB tại L Đường thẳng qua D vuông với AE cặt AB lại L

Giải: Gắn vào tam giác tọa độ như hình vẽ Dễ suy ra

  AB : x    y 1 0  ; 1      : 0

AE a

  



  

 



Gọi I là trung điểm KB K    AB nên suy ra:

 



phải chứng minh

Ví dụ 8: Cho hình thang ABCDvuông tại A và D có 2 AD  2 AB  DC Điểm E(2;4) thuộc đoạn AB và

3

Giải: Dựng hình thang A B D C ' ' ' ' ABCD có A B ' '  3 Suy ra các độ dài các cạnh hình thang Gắn trục tọa

độ và tọa độ các điểm như hình vẽ Ta có D E ' ' 1;3     E F ' ' :  x  3 y  10  0

' ' 3; 3 ' ' : 6 0

B C   B C x    y suy ra F ' 4, 2    E F ' ' 3; 1   

Vậy D E ' '  E F ' ' 1 3 3          1 0 D E ' '  E F ' '  DE  EF

(Các em tự vẽ hình)

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vuông ABCD có đỉnh

 4; 3 

F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C lên DM và I là giao điểm của

Giải Dựng hình vuông cơ sở cạnh bằng 1 Gắn vào đó trục tọa độ và tọa

độ các đỉnh như hình vẽ Có D M ' '    a ;1  D M ' ' :  x ay   0

2 2

1

A

'

C

Vậy

1 ' ' ' ' a a 1 a a ae e a 1 0 ' ' ' '

Từ đây ta có lược đồ giải: Viết (BI) suy ra điểm B      BA ; CD , co BA ' :  CD  BC  A D , (cùng phía với I

so với (BC))

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC cân tại A, có trung điểm cạnh BC là M   3 5;7  Giả sử 0; 1

2

 và trực tâm

thuộc đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính tọa độ B, C

Giải: Ta có: 15 3 5   9 5

Dựng  A B C ' ' '  ABCvớiA M' 'a B C, ' '2

' ' 2

' '

   Gắn vào tam giác A’B’C’ trục tọa độ và

tọa độ các đỉnh như hình vẽ

Ta có B H ' ' 1;   b C A ; ' '   1; a ,  A C ' ' :  ax    y a 0

         Suy ra

' 0; ' 0;

2

1

2

1

a a

a





2

2 3 5 5 7 0 0;13 , 6 5;1 , :

6 5;1 , 0;13

B C



 



Nhận xét: Bài toán trên sử dụng tỉ số đồng dạng để tính độ dài hình chính thông qua độ dài hình cơ sở Trong nhiều bài toán, cách thức này sẽ làm cho việc tính độ dài đơn giản hơn Nó áp dụng tốt cho các bài mà hình chính ta có đủ các dữ liệu (chủ yếu về độ dài, khoảng cách) để có thể xác định hoàn toàn hình đó Bài toán sau của Mathlinks.vn là 1 ví dụ:

Ví dụ 11: Cho hình vuông ABCD Gọi F là điểm trên cạnh AB thỏa

mãn 7BF =5 FA, đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AD và

13 3

;

6 2

Giải: Dựng hình vuông cơ sở A B C D ' ' ' 'cạnh bằng 12 Gắn vào đó

trục tọa độ và tọa độ các đỉnh như hình vẽ

' ' 8; 2 2 4;1 ' '

' ' : 4 12 0 ' ' 1; 4

G F



đây ta có thể giải sơ lược theo:

Ta có: d F  ';  G E ' '    17;     170

,

6

6

 

' '

17







 (tọa độ L kẹp giữa G và F) Từ đó suy ra đường   BL ,

51

Hoặc có thể viết Pt (AB) qua F, tính được cosin góc hợp với FG Biết độ dài suy ra tọa độ các điểm, và 1 số hướng tiếp cận khác các em tìm thêm coi như bài tập

Ví dụ 12: Cho hình vuông ABCD có   7

2

 1 5;1 

H  là hình chiếu của B lên MN Tìm tọa độ điểm B

Phân tích, tiếp cận: Bài toán cố định điểm N, nhưng N là điểm bất

kỳ (không phải điểm đặc biệt trên AD) Vậy có thể suy ra ứng với

mỗi N sẽ có 1 điểm M để xảy ra đẳng thức trên Để tìm tính chất

đặc biệt Ta sẽ di động điểm N tới các vị trí đặc biệt Cho:



   

0 45

NCM 

Giải: Cách 1: Xét hình vuông cơ sở A B C D ' ' ' 'cạnh bằng 1 Đặt

' ' ; ' '

a b   a  b   a  b    a b   2 ab  2  a b  

tan

1 tan tan

 

 



 

1 1 1

N C D  M B C   M C N  

Do hai hình vuông bất kỳ đồng dạng nên 0

45

MCN  Ta có lược đồ giải:



Cách 2: Ngoài ta xét tính tương giao giữa B với các hệ quả cơ bản được suy ra từ giả thiết kết hợp với các hệ

quả mới tìm được(đường, điểm màu đỏ, tím, cam) Ta nhận thấy B đối xứng J qua CM Để chứng minh nó ta có:

2

 

Cách 3: Cũng có thể suy ra thêm 0

45

BECNCM  (Hai góc đáy của tam giác vuông cân), trong trường hợp này không cần tìm đường (CM) Từ đây dễ suy ra tọa độ điểm B

Chú ý: Việc chứng minh vuông góc hay tính chất hình học nào đó, khi tọa độ các điểm cần tính trở nên

phức tạp thì ta nên dừng lại, tìm 1 cách hình học thuần túy là tốt hơn Việc nhìn ra bằng hình học luôn là cách chứng minh đẹp nhất, có thể là ngắn gọn nhất

III BÀI TẬP

Bài 1 Cho  ABCvuông cân tại A Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; -2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD Viết phương trình đường thẳng AB biết x A4 và   AG : 3 x    y 13 0

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn   2  2

C x  y  Giả sử A   5;10 và đường cao

kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là 17; 6

  Tìm tọa độ điểm B, C

HD: Hình đã cho có 2 chiều và tồn tại tỉ lệ nội bộ (biết được 2 thông số độ dài) do đó nó hoàn toàn xác định Kết hợp hình học thuần và cơ sở hóa Dễ suy ra AN= AH Trên hình cơ sở biểu diễn tọa độ H và I qua chiều di động a, tỉ

lệ AI/AH=A’I’/A’H’ suy ra a Từ đây suy ra: AM=(a/A’I’)AI với M là trung điểm BC

Bài 3 Cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của AI, CD, BN Giả sử phương trình

đường thẳng MJ là 7 0

2

y  và N   5;6 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết x C 3

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại C có M là trung điểm AC, D thuộc AB sao cho DB = 2 DA H là hình chiếu

vuông góc của D trên BM TÍnh tọa độ các đỉnh A, B, C biết D   2; 4 , 18 24;

5 5

  và xB

Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A(0;7), tâm đường tròn nội tiếp là I(0;1) Gọi E là trung điểm BC, H là trực tâm

tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B, C biết AH = 7 HE

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB < BC đường tròn tâm D bán kính CD cắt AC, AD lần lượt tại

22 7

; & 0; 1

13 13

  Biết điểm D nằm trên đường thẳng x  y 7 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật

được xử lý bởi phương pháp trên

Mở các lớp ôn thi điểm 8-9-10 kỳ thi QG và các lớp cơ bản tại Lạng Sơn

Lạng sơn 23/04/2015