phương pháp tìm điểm trong hình oxy

Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và cắt tại sao cho tam giác có diện tích bằng và có hoành độ dương.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương..

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

I ĐIỂM LOẠI 2

1 Nội dung bài toán

Tìm điểm M   và M liên hệ với 1 hoặc 2 điểm, thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

 M liên hệ với 1 điểm I qua hệ thức MI R ( I biết tọa độ và R xác định)

 M liên hệ với 2 điểmA B, tạo thành tam giác MAB đặc biệt (cân, vuông, mối liên hệ giữa các cạnh…) Điểm M xác định như trên được gọi là điểm loại 2

2 Các giải chung:

 Trường hợp 1 : MI R

Có thể trình bày lời giải bài toán này theo 2 cách (bản chất là một)

C1: Gọi M t  ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ MI R f t( )0  t ? M C2: Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :

( )C









( ở đây (C) là đường tròn tâm I bán kính R)

 Trường hợp 2 : Tam giác MAB đặc biệt

Gọi

ừ ữ ệ á đặ ệ

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Chú ý:

+) Trong nhiều trường hợp dữ kiện M   có thể được thay bởi mối rằng buộc tọa độ hóa qua một điểm

khác và ta có thể hiểu đây là đường thẳng ẩn Chúng ta sẽ hiểu rõ hơn điều này qua các ví dụ mở rộng

+) Hai điểm hoặc đã biết tọa độ , hoặc một trong hai điểm có tọa độ phụ thuộc vào tọa độ điểm

+) Ở trường hợp 1, với việc tìm 2 điểm có cùng tính chất ( MI NI R ) ta nên trình bày theo C2

( )

M t  

MAB

( ) 0 ?

f t    t M

,

PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM LOẠI 2

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

3 Ví dụ gốc

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(5; 2) và đường thẳng : 2x  y 3 0 Tìm tọa độ điểm

M thuộc đường thẳng  sao cho MI  5

Bài giải:

Cách 1:

+) Vì M   nên gọi M t( ; 2t 3)

1

5

t

t







 



(1;5)

1 17

;

5 5

M M









Cách 2:

+) Có: MI  nên 5 M thuộc đường tròn ( )C tâm Ivà R  có phương trình: 5 (x5)2(y2)2 25

+) M   nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 2 2

1 5

(1;5)

;

5 5 17

5

x y

M

x y

y

 









  









 





Ví dụ 2.Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm

Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho tam giác vuông tại

Bài giải:

+) Khi đó tam giác vuông tại

+) Vậy hoặc

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác cân tại và đường thẳng

Biết và là trung điểm của Tìm tọa độ hai điểm và biết đi qua điểm

và có hoành độ là số nguyên

Oxy : 2x  y 5 0 A( 2;3), (4;1) B

( 2; 2 8) ( ; 2 5)

( 4; 2 6)

M t t









0 ( 2)( 4) (2 8)(2 6) 0

 



(2; 1)

M  M(4;3)

(1; 4)

M

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

Bài giải:

+) Tam giác cân tại

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có trọng tâm và Đường

thẳng đi qua Tìm tọa độ điểm và biết và có hoành độ dương

Bài giải:

+) Khi đó

hoặc (loại)

( 2 1; )

M  t t   I(2; 2) AM







2

4 6

(3; 2) 6

4 6

5

t

M

 



 



    





7 6

;

5 5

M  

(3; 2) (1; 2)

(1; 2)

A  M(3; 2)

Oxy MAB G(2; 1) A(1; 3) : 2x y 4 0

( ; 2 4)

(5 ; 4 2 )







5 25 (2 5) (4 8) 25 ( 1) (2 1)

MB MAMB  MA  t  t   t  t 

2

105t 66t 39 0 t 1

35

(4; 2)

M B





 



Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

4 Các ví dụ mở rộng

Ví dụ 1 (THPT QG – 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC , D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử H( 5; 5),  K(9; 3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng

10 0

x y  Tìm tọa độ điểm A

Giải :

Gọi I là trung điểm của AC , khi đó :

2

AC

IH IK  (*) (như vậy lúc này ta sẽ nhìn điểm I theo góc nhìn của điểm Loại 2 hoặc điểm Loại 1 theo 2 cách trình bày sau)

Cách trình bày 1 (Tìm I theo góc nhìn của điểm Loại 2)

Do I thuộc đường thẳng x y 100, suy ra I t t ( ; 10)

Từ (*), suy ra IH2 IK2 (t5)2(t15)2 (t9)2(t13)2  t 0I(0;10)

Cách trình bày 2 (Tìm I theo góc nhìn của điểm Loại 1)

Từ (*), suy ra I thuộc đường trung trực của HK có phương trình : 7xy100

Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : 10 0 0 (0;10)

I

Ta có HCAHKA (cùng chắn cung AH) và HCAHAB (cùng phụ với góc ABC )

Mặt khác, AH vừa là đường cao và vừa là trung tuyến trong tam giác ABD nên HABHAK

Suy ra HKAHAK nên tam giác AHK cân tại H HAHK

Mà IAIK , nên HI là đường trung trực của AK

Ta có HI  (5;15)5(1;3)

, suy ra phương trình AK là : x3y0

Khi đó A( 3 ; ) a a Ta có

I

K D

H

C B

A

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

Vậy A ( 15;5)

góc nhìn của điểm Loại 4, bằng cách giải hệ : AI IK

AH HK











Ví dụ 2 (Khối D – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác

trong của góc A là điểm D(1; 1) Đường thẳng AB có phương trình 3x2y 9 0, tiếp tuyến tại A của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x2y 7 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Giải :

+) Gọi phương trình :x2y 7 0

Do  AB A nên tọa độ điểm A là

nghiệm của hệ:

A

+) Khi đó phương trình AD là x  không 1

vuông góc với  nên  và BC sẽ giao nhau

Gọi  BC T Ta có :

  

1 1 1

D C A ( tính chất góc ngoài tam giác)

Mà  

1 2

A  A (giả thiết) và  

1 3

C  A (cùng chắn cung AB )

1 2 3

    , suy ra tam giác TAD cân tại T hay TATD (*)

+) Gọi T(7 2 ; ) t t  , khi đó : (*)TA2 TD2 (2t6)2(t3)2 (2t6)2(t1)2   t 1 T(5;1)

+) Khi đó BC là đường thẳng đi qua hai điểm T(5;1) và D(1; 1) nên có phương trình x2y 3 0

Ví dụ 3 (A,A1 – 2013 – CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật có điểm

thuộc đường thẳng và Gọi là điểm đối xứng của qua , là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng Tìm tọa độ các điểm và , biết rằng

Giải :

Suy ra là đường trung bình trong

: 2 5 0

 

ACBN  H ACMD

/ /

AC DM CH/ /MN

CH BN

HB HN





 





90 AN NC

( ; 2 5)

C t  t d NC(t5; 2 t1)

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

Do

+) là trung điểm của nên suy ra B( 4; 7) 

Vậy B  ( 4; 7) và C(1; 7)

Ví dụ 4 Cho hình thoi có tâm và Điểm thuộc đường thẳng , điểm

thuộc đường thẳng Viết phương trình đường chéo biết đỉnh có tung độ nguyên

Giải :

+) Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra

thuộc đường thẳng khi đó nhận

làm véctơ chỉ phương ,

suy ra Phương trình

+) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

nên

Mặt khác Khi đó xét tam giác ta có :

hoặc (loại)

+) Vậy , khi đó đường chéo đi qua hai điểm và nên có phương trình:

hay xy 6 0

Nhận xét: Vì hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông nhận giao điểm hai đường chéo là tâm

đối xứng cùa hình đó Nên nếu trong đề bài cho một điểm thuộc một cạnh thì các bạn nên nghĩ tới việc tìm

điểm đối xứng của điểm đó qua tâm của hình chứa nó (ở đây tâm đã biết tọa độ)

(9; 12)

AN  



0 9( 5) 12( 2 1) 0 33 33 0 1

 

(1; 7)

(5; 15) 5(1; 3)

:

7 3

AC

 





  



(1 ; 7 3 )

H m   m AC NH(m4; 3 m3)

NH  ACNH AC m   m  m  H  

 







ABCD I(3; 3) AC2BD 2;4

3

M 

13

3;

3

N 

'

5

' 3;

3

N  

1 1

' 1; 3;1

3 3

MN  

 



(1; 3)

AB

n  



: 3 2 0

AB x y 

2 2

( , )

10

IH d I AB    



2

IB  IA  IH  IB  IB     

(3 2; )

B t t AB t   IB2 2(3t5)2(t3)2 2

2

5t 18t 16 0 t 2

5

t 

(4; 2)

4 3 2 3

x y



Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AB//CD và CD2AB Biết CD có

phương trình xy40 và M(1;3) thuộc đoạn AB sao cho AD3AM Tìm tọa độ các đỉnh B C, , biết diện tích hình thang ABCD bằng 9

2 và đường thẳng CB đi qua điểm E  ( 3; 5)

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên DC

AD MD AH  d M CD    

Diện tích hình thang

9 2

2

2

3

2

ABCD ABCD

S

AB CD AH AB AH

AH



Từ M kẻ đường song song với CD cắt BC tại N , suy ra phương trình MN x: y 2 0

Gọi I là giao điểm của AD và BC

Khi đó AB là đường trung bình của tam giác IDC ( vì AB//CD và CD2AB)

Do NMNN t t( ; 2), khi đó: 2 2 2

7 13

1

3 3

N



E H

I

N M

B A

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

 Với 7 13;

3 3

N 

 , suy ra phương trình BC: 7x4y 1 0

C

Mặt khác CN2NB

1

(1; 2) 2

B

B B B

x

x

B y

y





 Với 1 5;

3 3

N 

 , suy ra phương trình BC: 5x2y 5 0

C

Mặt khác CN2NB

1 2

1

( 1;0) 0

5 2

B

B B B

x

x

B y

y





 Vậy B(1; 2), (5;9)C hoặc B( 1; 0), (1;5) C

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có ABADCD, điểm

(1; 2)

B , đường thẳng BD có phương trình y 2 Biết đường thẳng : 7x y 250 cắt các đoạn thẳng

,

AD CDlần lượt tại hai điểm M N, sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của



MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương

Giải:

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , khi đó ABHD là hình vuông

CBHMBA (hai góc cùng phụ với MBH )

Từ đây ta có được CBH  MBA (g.c.g)CBMB CBN MBN (c.g.c), khi đó:

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

BH d B CN d B MN    

Mà tam giác DHB vuông cân tại H nên BD 2BH  4

+) Gọi D t( ; 2)BD với t  , khi đó: 0 BD2 16(t1)2 16  hoặc t 5 t   (loại) 3  D(5; 2)

II CÁC BÀI TẬP LUYỆN THÊM

2 2

( ) :C x y 4x2y0 Gọi I là tâm của ( )C , M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB

đến ( )C (A, B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và cắt tại sao cho tam giác có diện tích bằng và có hoành độ dương

2

I 

 

, phương trình đường thẳng AB là x2y20

và AB = 2AD Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D biết rằng A có hoành độ âm

B,C thuộc đường thẳng :x  y 4 0 Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18

3 0

xy  , điểm M ( 1; 2) thuộc đường thẳng AB, điểm N(2; 2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các

đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương

thuộc đoạn sao cho Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết có hoành độ dương

3x  y 5 0, trực tâm H  ( 2; 1) và 1; 4

2

M 

  là trung điểm của cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC , biết BC  10 và B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ của C

Giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường thẳng Xác định tọa độ còn lại của hình thang để , tam giác có diện tích bằng 12, điểm có hoành độ dương

và điểm có hoành độ âm

45

BCD  Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3xy0 và x2y0 Viết phương trình đường thẳng

BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B có tung độ dương

2 2

( 3; 2)

2

AD AB

(3; 3), (5; 3)

A

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm với Đường cao từ đỉnh cắt đường tròn

tại điểm với Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết có hoành độ dương

đi qua và đường phân giác trong của góc cắt tại điểm sao cho diện tích tam giác

bằng diện tích tam giác Viết phương trình đường thẳng biết có hoành độ dương

Giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường thẳng Xác định tọa độ còn lại của hình thang để , tam giác có diện tích bằng 12, điểm có hoành độ dương

và điểm có hoành độ âm

trung điểm của các cạnh và có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh và , biết điểm

nằm trên đường cao đi qua đỉnh của tam giác đã cho

CD sao cho CN = 2ND Giả sử 11 1;

2 2

M 

  và AN có phương trình 2x  y 3 0 Tìm tọa độ điểm A

2 2

( ) :C x y 6x10y 9 0 Gọi M là một điểm thuộc đường tròn ( )C và N là điểm thuộc đường thẳng  1 sao cho M và N đối xứng nhau qua  Tìm tọa độ điểm N 2

cho EB2EA , FA3FD, F(2;1) và tam giác CEF vuông tại F Biết rằng đường thẳng x3y 9 0 đi qua hai điểm C E, Tìm tọa độ điểm C , biết C có hoành độ dương

có phương trình , đường thẳng đi qua điểm , đường thẳng đi qua điểm

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết điểm có tung độ lớn hơn và điểm có hoành độ

lớn hơn

góc với nhau và AD3BC Đường thẳng BD có phương trình x2y 6 0 và tam giácABD có trực tâm là

( 3; 2)

H  Tìm tọa độ các đỉnh C và D

Phương trình đường thẳng AC: 4x3y320 Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác MAC bằng 5 5

2

17 6

;

5 5

N  

:x y 4 0

(3; 3), (5; 3)

A

(1; 3)

2 9 0

, ,

3

Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng ) Hocmai.vn

của và , là giao điểm của và Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

biết nằm trên đường thẳng và có hoành độ lớn hơn 2

thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3x5y 2 0 và xy 2 0 Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(2; 2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết

B có tung độ âm

, trung điểm của là điểm , đường thẳng có phương trình Tìm tọa độ điểm biết có tung độ nguyên

Đường tròn có bán kính bằng Tìm tọa độ tâm của đường tròn , sao cho cắt theo

một dây cung qua có độ dài nhỏ nhất

Gọi theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông với trục hoành và trục tung ( và khác gốc tọa độ ) Tìm tọa độ điểm trên sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

DA lấy điểm E sao cho DE AB Phương trình cạnh BC x: 3y130, phương trình AC x: y 1 0

Tìm tọa độ đỉnh A B, biết A có hoành độ nhỏ hơn 3 và E(14;1)

Bài 26 Trongmặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (T x1)2(y1)2 2 và hai điểm A(0; 4), (4; 0) B Tìm tọa độ hai điểm C D, sao cho ABCD là hình thang ( AB// CD ) và đường tròn ( )T nội tiếp hình thang đó

(1; 0)

I Trung điểm BC nằm trên đường thẳng có phương trình x2y 1 0 Tìm tọa độ đỉnh B C, biết rằng

đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; 1) và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4

tiếp Trung điểm của nằm trên đường thẳng có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua điểm và hoành độ điểm nhỏ hơn

II GIẢI CÁC BÀI TẬP LUYỆN THÊM

Sẽ được cập nhật tới các bạn ở các tài liệu sau

Oxy ABCD A ( 1; 2) M N,

Oxy (C1) x2y2 25 M(1; 2)

2

M

,

(1; 0)