200 bài tập hình oxy

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P2; –1 sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2... Trong mặt

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x1: -7y+17 0= ,

d x y2: + - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d5 0 1 2, một tam giác cân tại giao điểm của d d1 2,

· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:

x y ( )1

1 ( 7) 1 1

D D

Û ê - - =ë

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D hoặc 1 D 2

KL: x+3y - = và x y3 0 3 - + = 1 0

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x y- + = 5 0

d2: 3x+6 – 7 0y = Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng

đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường

thẳng d1, d2

· d1 VTCP a r1=(2; 1)- ; d2 VTCP a

2 =(3;6)

r

Ta có: a a uur uur1 2 =2.3 1.6 0- =

nên d1^d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x: ( - +2) B y( + = Û1) 0 Ax By+ -2A B + = 0

d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 45 0

2 ( 1)

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y: 3 + - = 5 0

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x: -3y - = 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d x y: 3 + - = ; d x5 0 : -3y - = 5 0

Câu hỏi tương tự:

a) d x1: -7y+17 0= , d x y2: + - = , P(0;1) 5 0 ĐS: x+3y - = ; x y3 0 3 - + = 1 0

Câu 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y + + = , d5 0 2: 3x y+ + = và điểm 1 0

I(1; 2)- Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho

AB 2 2=

· Giả sử A a( ; 3- - Îa 5) d1; B b( ; 3- - Î ; IA b 1) d2 uur=(a- - -1; 3a 3); IB uur=(b- - +1; 3b 1)

I, A, B thẳng hàng IB kIA b k a

b1 (k 1)a

3 1 ( 3 3)

ì - =

-Þuur= uurÛ í- + = - -î

· Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả)

a

1

1

-AB= (b a- )2+éë3(a b- +) 4ùû2 =2 2Ût2+(3 4)t+ 2=8 (với t a b= - )

5

Û + + = Û = - = -

+ Với t= - Þ - = - Þ =2 a b 2 b 0,a = - 2 Þ D:x y + + = 1 0

+ Với t 2 a b 2 b 4,a 2

-= Þ - = Þ = = Þ D: 7x y - - = 9 0

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + + = , 1 0

d2: 2 – –1 0x y = Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB uuur uuur r+ =0

· Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)

Từ điều kiện 2MA MB uuur uuur r+ =0

tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d)

đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y1: + + =1 0, d x2: –2y+ = lần lượt tại A, B sao cho 2 0

MB = 3MA

B ( )( )d12 B b( ; 1(2 2; )b) MB ((2b1; 13; )b )

ì

ì Î Ûì - - Þï =

uuur

Từ A, B, M thẳng hàng và MB=3MA Þ MB uuur=3MA uuur

(1) hoặc MB uuur= -3MA uuur

(2)

B

2 1;

( ) : 5 1 0

3 3 ( 4; 1)

-

ï

-î

hoặc (2) Þ A( ) d x y

B

0; 1 ( ) : 1 0 (4;3)

í î

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d)

đi qua M và cắt hai đường thẳng d1: 3x y- - =5 0, d x y2: + - = lần lượt tại A, B sao cho 4 0

2 –3 =0

· Giả sử A a a( ;3 - Î , B b5) d1 ( ;4- Î b) d2

Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA=3MB nên MA MB

ê

= -ë

uuur uuur uuur uuur

2( 1) 3( 1) (1) 2(3 6) 3(3 ) 2 ; , (2;2)

2 2 2

ï

(2)Ûìí2(3- = -6) 3(3- )Ûìí =1Þ (1; 2), (1;3)

Vậy có d x y: - = hoặc 0 d x: - =1 0

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi

qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất

· PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y

a b + = (a,b>0) 1

1= + ³- 2 Þ ³12

a b

min

2

ì =

Þ + = Ûíïî = = Ûí =î

Phương trình đường thẳng d là: x y 1 x 3y 6 0

6 2+ = Û + - =

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1)

và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất

· x+2y - = 6 0

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho

OA2 OB2

9 + 4

nhỏ nhất

· Đường thẳng (d) đi qua M (1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên

A a ( ;0); (0; ) với B b a b ¹0 Þ Phương trình của (d) có dạng x y

a b + = 1

Vì (d) qua M nên

a b

1 2 1+ = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :

2 2

=ç + ÷ =ç + ÷ £ç + ÷ç + ÷

a2 b2

10

+ ³ Û

OA2 OB2

10

Dấu bằng xảy ra khi

1 3: 1:2

3 = và 1 2 1a b + = Û a 10,b 20

9

= = Þ d x: 2 +9y-20 0=

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1)

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2)

· x+3y- =6 0;x y - - = 2 0

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo

với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4=

· Gọi A a( ;0), (0; ) ( ,B b a b ¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: 0) d x y

a b

: + = 1

Theo giả thiết, ta có: a b

ab

2 1 1 8

ì + = ï

í

ï = î

Û b a ab ab

2 8

ì + =

í =

· Khi ab 8= thì 2b a+ =8 Nên: b=2;a= Þ4 d x1: +2y - = 4 0

· Khi ab= -8 thì 2b a+ = -8 Ta có: b2+4b- = Û = - ±4 0 b 2 2 2

+ Với b= - +2 2 2Þd: 1( - 2)x+2 1( + 2)y - = 4 0

+ Với b= - -2 2 2Þd: 1( + 2)x+2 1( - 2)y + = 4 0

Câu hỏi tương tự:

a) M(8;6),S=12 ĐS: d x: 3 -2y-12 0= ; d x: 3 -8y+24 0=

Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

x y

2 – + = Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 3 0 1

10

=

· PT đường thẳng (D) có dạng: a x( –2)+b y( + = 1) 0 Û ax by+ –2a b + = a0 ( 2+b2 ¹0)

a2 b2

cos

10

2 – 8ab + b 2 = 0 Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7

Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x: 2 +3y+ = 4 0 Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 45 0

· PT đường thẳng (D) có dạng: a x( –2)+b y( - =1) 0Û ax by+ –(2a b+ ) 0= a( 2+b2¹0)

0

2 2

2 3 cos45

13

+

=

+ Û a5 2-24ab-5b2= 0 Û aé =ê5a= -5b b

ë

+ Với a= b Chọn a=5,b = 1 Þ Phương trình D: 5x y+ -11 0=

+ Với 5 = -a b Chọn a=1,b = - 5 Þ Phương trình D:x-5y + = 3 0

Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 - - = và điểm I(1;1) 2 0 Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng

d một góc bằng 45 0

· Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c 0+ + = a( 2+b2¹0)

Vì ·( , ) 45d D = 0 nên a b

a2 b2

2 5

-= +

b 33a

é =

Û ê = -ë

· Với a= b Þ D: x y c3 + + = Mặt khác d I0 ( ; )D = 10 4 c

10 10

+

c 614

é =

Û ê = -ë

· Với b= - a Þ D: x-3y c + = Mặt khác d I0 ( ; )D = 10 2 c

10 10

- +

c 128

é =

-Û ê =ë

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x y+ + =6 0;3x y+ -14 0= ; x-3y - = x8 0; -3y+12 0=

Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1, d2có phương trình lần lượt là 3x y + + = và x2 0 -3y + = Gọi A là giao điểm của d4 0 1và d2 Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2lần lượt tại B , C

(B vàC khác A ) sao cho

AB2 AC2

1 + 1

đạt giá trị nhỏ nhất

· A d= 1Çd2ÞA( 1;1)- Ta có d1^d2 Gọi D là đường thẳng cần tìm H là hình chiếu vuông góc của A trên D ta có:

AB2 AC2 AH2 AM2

1 + 1 = 1 ³ 1

(không đổi)

Þ

AB2 AC2

+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng

AM2

1

khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M

và vuông góc với AM Þ Phương trình D: x y 2 0 + - =

Câu hỏi tương tự:

a) Với M(1; 2) - , d1: 3x y + + = , d x5 0 2: -3y + = 5 0 ĐS: D:x y + + = 1 0

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : –3 – 4 0d x y = và đường tròn ( ) :C x2+y2–4y = Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm 0 A(3; 1)

· M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)

N Î (C) Þ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 Þ b 0; b 6

5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M 38 6; , N 8 4;

Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: x2 +3y+ = Tìm 4 0 điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 45 0

· D có PTTS: xì = -í = - +îy 1 32 2t t và VTCP u ( 3;2) r = - Giả sử B (1 3 ; 2 2 ) D- t - + t Î

( , ) 45D = Þ cos( ; )AB u 1

2

=

AB u

Û uuur r =

t

2

15 13

169 156 45 0

3 13

é

= ê

ê = -ë

Vậy các điểm cần tìm là: B1 32 4; , B2 22 32;

13 13 13 13

Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: -3y - = và điểm N(3;4) 6 0

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích

bằng15

2

· Ta có ON uuur=(3;4)

, ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x-3y = Giả sử M m0 (3 +6; )m Î d

ON

2

Û 4.(3m 6) 3m 3 9m 24 15 m 1; m 13

-+ Với m= - Þ1 M(3; 1)- + Với m 13 M 7; 13

Câu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x: -2y+ = Tìm 2 0

trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC

· Giả sử B b(2 -2; ), (2b C c-2; )c Î d

Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û AB u uuur r d =0 Û B 2 6;

5 5

è ø Þ AB 2 5

5

5

=

BC 1 125 300 180c2 c

5

5 Û c c 17 C C(0;1)4 7;

é = Þ

ê = Þ çè ÷ø ë

Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + - = , d x y3 0 2: + - = và 9 0 điểm A(1;4) Tìm điểm B d C dÎ 1, Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A 2

· Gọi B b( ;3- Îb) d C c1, ( ;9- Î c) d2 Þ AB uuur=(b- - -1; 1 b)

, AC uuur= -( 1;5c -c)

DABC vuông cân tại A Û AB AC

AB AC. 0

í = î

uuur uuur

( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) (5 )

í + + = +

Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên

(*) Û

b

c c

c

2

2

( 1)(5 )

1 (5 ) ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2)

( 1)

ì - = +

-ï

-î

Từ (2) Û b( +1)2 = -( 1)c 2 Û b cé = -ê = -ëb c 2

+ Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c=4,b = 2 Þ B (2;1), (4;5) C

+ Với b= -c , thay vào (1) ta được c=2,b = - 2 Þ B( 2;5), (2;7)- C

Vậy: B (2;1), (4;5) hoặc B C ( 2;5), (2;7)- C

Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có

phương trình: d1: ( –1)m x+( –2)m y+2 –m = ; d0 2: (2 – )m x+( –1)m y+3 –5 0m = Chứng

minh d1 và d2 luôn cắt nhau Gọi P = d1 Ç d2 Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất

· Xét Hệ PT: m x m y m

m m

2

-= = ç - ÷ + > "

Þ d d1 2, luôn cắt nhau Ta có: A(0;1)Îd B1, (2; 1)- Îd d2, 1^d2 Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB Ta có: (PA PB+ )2£2(PA2+PB2) 2= AB2=16

Þ PA PB 4+ £ Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung » AB

Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc

m 2=

Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x–2 –2 0y = và hai điểm A( 1;2)- ,

B(3;4) Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA2 2+ MB2 có giá trị nhỏ nhất

· Giả sử M M t(2 2; )+ t Î ÞD uuur AM=(2 3;t+ t-2), BM uuur=(2 1;t- t-4)

Ta có: 2AM2+BM2=15t2+ +4 43t = f t( )Þ min ( )f t f 2

15

= ç- ÷

è ø Þ M 26; 2

15 15

Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 - + = và 2 điểm A3 0 (1;0), (2;1) B Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất

· Ta có: (2x A-y A+3).(2x B-y B+ =3) 30 0> Þ A, B nằm cùng phía đối với d

Gọi A ¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x¢ : +5y - = 7 0

Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B+ = ¢+ ³ ¢

Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d

Khi đó: M 8 17;

11 11

æ- ö

è ø

TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):

x y

2 – –5 0= và đường tròn (C’): x2+y2-20x+50 0= Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1)

· A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x2+y2-4x-8y+10 0=

Câu 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2, A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d x y: 3 – –8 0= Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

· Tìm được C 1 - , C(1; 1) 2( 2; 10)- -

+ Với C1(1; 1) - Þ (C): x 2 y 2 11x 11y 16 0

+ Với C2( 2; 10)- - Þ (C): x 2 y 2 91x 91y 416 0

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2x y+ - = , 3 0

d2: 3x+4y + = , d5 0 3: 4x+3y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d2 0 1 và

tiếp xúc với d2 và d3

· Gọi tâm đường tròn là I t( ;3 2 )- t Î d1

Khi đó: d I d( , 2)=d I d( , )3 Û 3 4(3 2 ) 5t t t t

5

4 3(3 2 ) 2

5

t 24

é

êë ==

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x 2 y 2 49

25

( - 2) ( + + 1) = và (x 4)2 (y 5)2 9

25

Câu hỏi tương tự:

a) Với d x1: –6 –10 0y = , d2: 3x+4y + = , d5 0 3: 4x-3y - = 5 0

ĐS: (x-10)2+y2=49 hoặc x y

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x+3y+ = , 8 0

' :3 4 10 0

D - + = và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường

thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢

· Giả sử tâm I( 3 8; )- -t t Î D Ta có: d I( , )D¢ = IA

2 2

3( 3 8) 4 10

( 3 8 2) ( 1)

3 4

- - - +

= - - + +

PT đường tròn cần tìm: (x-1)2+ y( +3)2 =25

Câu 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D: 4x-3y+ = và 3 0

' : 3 4 31 0

D - - = Lập phương trình đường tròn C ( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm

có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D Tìm tọa độ tiếp điểm của C' ( ) và 'D

· Gọi I a b ( ; ) là tâm của đường tròn (C) C ( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C ( ) tiếp

54 3

4

D

b

25 150 4 6 85 10; 6

4

Vậy: ( ) : (C x-10)2+ -(y 6)2 =25 tiếp xúc với D tại N' (13;2)

hoặc ( ) : (C x+190)2+ -(y 156)2 =60025 tiếp xúc với D tại N' ( 43; 40)-

-Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp xúc với các trục toạ độ

· Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a

ê

êë

a) Þ a=1;a = 5 b) Þ vô nghiệm

Kết luận: (x-1)2+ +(y 1)2= và x1 ( -5)2+ +(y 5)2 =25

Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2d x y- - = Lập phương 4 0

trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d)

· Gọi I m m( ;2 - Î4) ( )d là tâm đường tròn cần tìm Ta có: m 2m 4 m 4,m 4

3

· m 4

3

= thì phương trình đường tròn là: x y

· m 4= thì phương trình đường tròn là: (x-4)2+ -(y 4)2=16

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D):

3 – 4 + = Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D) 8 0

· Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB

d qua M(1; 2) có VTPT là uuur AB (4;2)=

Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a)

Ta có IA = d(I,D) Û 11a- =8 5 5a2-10a+10 Û 2a 2 – 37a + 93 = 0 Û a

a

3 31 2

é = ê

= ê ë

· Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 25

· Với a = 31

2 Þ I 312 ; 27

è ø, R =

65

2

2

31 ( 27) 4225

Câu 9 Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x: +2y- = và 3 0 D:x+3y- = Lập 5 0 phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10

5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D

· Tâm I Î d Þ I( 2- +a 3; )a (C) tiếp xúc với D nên:

d I( , )D = R a 2 2 10

5 10

a 62

é =

Û ê = -ë

Þ (C): x( 9)2 (y 6)2 8

5

+ + - = hoặc (C): x( 7)2 (y 2)2 8

5

- + + =

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2+4 3x - = Tia Oy 4 0 cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại

A

· (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I¢ là tâm của (C¢)

PT đường thẳng IA : x t

y 2 22 3t

ì =

í = +

î , I'ÎIA Þ I¢(2 3 ;2 2)t t+

AI 2I A t 1 I'( 3;3)

2

¢

uur uur

Þ (C¢): x( - 3)2+ -(y 3)2= 4

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2– 4 –5 0y = Hãy viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2;

5 5

· (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3 Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M

Þ I¢ 8 6;

5 5

æ - ö

Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2-2x+4y+ = Viết 2 0 phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

AB= 3

· (C) có tâm I(1; –2), bán kính R= 3 PT đường thẳng IM: 3x-4y-11 0= AB= 3 Gọi H x y ( ; ) là trung điểm của AB Ta có: H IM

IH R2 AH2 3

2

ì Î ï

3 4 11 0

9 ( 1) ( 2)

4

ï

í - + + = ïî

1; 29

11; 11

é

= - =

-ê

ê

ê = =

-ë

Þ H 1 29;

5 10

è ø hoặc H 11 11;

5 10

è ø

· Với H 1 29;

5 10

è ø Ta có R¢ =2 MH2+AH2 =43 Þ PT (C¢): x( -5)2+ -(y 1)2=43

· Với H 11 11;

5 10

è ø Ta có R¢ =2 MH2+AH2 =13 Þ PT (C¢): x( -5)2+ -(y 1)2 =13

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+ -(y 2)2 = và điểm 4

K(3;4) Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao

cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C)

· (C) có tâm I (1;2) , bán kính R 2 = S D IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2=

Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT

+ ( ) có bán kính R T1 1= = R 2 Þ T( ) : (1 x-3)2+ -(y 4)2= 4

+ ( ) có bán kính R T2 2= (3 2)2+( 2)2 =2 5 Þ T( ) : (1 x-3)2+ -(y 4)2 =20

Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

với các đỉnh: A(–2;3), B 1 ;0 , (2;0)C

4

æ ö

ç ÷

· Điểm D(d;0) 1 d 2

4

< <

è øthuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A

khi và chỉ khi

( ) ( )

d

2

2

2 2

9

4

æ ö +

-ç ÷

+

Phương trình AD: x 2 y 3 x y 1 0

+ = - Û + - =

x 2 y 3 3x 4y 6 0

+ = - Û + - =

-Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là 1-b và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:

( )b b

2 2

3 5

3 4

- +

-= Û - -=

4

3 5

3 1

3 5

2

é

- = Þ = -ê

ê

ê - = - Þ = ë

Rõ ràng chỉ có giá trị b 1

2

= là hợp lý

Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y

Câu 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x-3y-12 0= và (d2):

4 +3 -12 0= Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy

· Gọi A d= 1Çd B d2, = 1ÇOy C d, = 2ÇOy Þ A(3;0), (0; 4), (0;4)B - C Þ DABC cân đỉnh A

và AO là phân giác trong của góc A Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC

Þ I 4;0 ,R 4

æ ö

=

ç ÷

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có phương trình: (C1): (x-3)2+ +(y 4)2= , (C8 2): (x+5)2+ -(y 4)2 =32 Viết phương trình

đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2)

· Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2) Giả sử I a a ( ; –1)Î d (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1= +R R II1, 2= +R R2ÞII1–R1=II2–R2

Û a( -3)2+ +(a 3)2 -2 2= (a-5)2+ +(a 5)2 -4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2

Þ Phương trình (C): x2+ +(y 1)2 = 2

Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC