Vành phân bậc
Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậcR là một vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn các tính chất
R n là tổng trực tiếp các nhóm con Abel R n đối với phép cộng;
R n là vành phân bậc Một R−môđunM được gọi là môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
M n là tổng trực tiếp của các nhóm con Abel M n đối với phép cộng;
Ví dụ 1.1.2. i) Cho R là một vành Khi đó R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường
Tương tự, cho M là R−môđun Khi đó M là R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường
Mn, M0 = M, M1 = 0 với mọi n ≥ 1 ii) Cho A = R[x 1 , , x k ] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R. Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A ∞
A n = {f(x 1 , , x k ) ∈ A | f(x) là đa thức thuần nhất bậc n}.
Đa thức thuần nhất bậc d có dạng f(x) = P kαk=d a α x α Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, thì phần tử x của R i (hoặc M i) được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, với ký hiệu deg(x) = i Một lý thuyết quan trọng là ideal I ⊂ K[x0, , xn] được coi là thuần nhất nếu nó có tập sinh là các đa thức thuần nhất.
Ví dụ 1.1.5 Cho trường K và vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi đó i) I 1 = hx n +y n −z n i là iđêan thuần nhất của R. ii) I 2 = hx+y 2 i không là iđêan thuần nhất của R.
Tập lồi
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và đặc điểm cơ bản liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng với các số thực a0, a1, , an và a = (a0, , an) không bằng 0, siêu phẳng affine H được xác định bởi tập hợp {x ∈ R n : a 0 + a 1 x 1 + + a n x n = 0}.
R n \H có hai phần rời nhau
Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi
H, và được kí hiệu lần lượt là H ◦ + và H ◦ − tương ứng với dấu dương và âm. Nửa không gian dương (đóng) là
H + = {x ∈ R n : a 0 +a 1 x 1 + +a n x n ≥ 0} Một tập hợp P ⊆ R n được gọi là một đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng Một tập lồi S trong R n là một tập trong R n sao cho với mọi x1, x2 ∈ S và λ ∈ [0,1], ta có λx 1 + (1−λ)x 2 ∈ S.
Ví dụ 1.2.4. i) Trong R 2 , các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi Trong
R 3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ R n : kxk ≤ 1} là tập lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈ B và λ ∈ [0,1], ta có k(1−λ)x+λyk ≤ k(1−λ)xk+kλyk
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B. iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ R n : kx− ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ R n và r ≥ 0) Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0,1] ta có kλx+ (1−λ)y −ak= kλ(x−a) + (1−λ)(y −a)k
Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B(a, r). Định nghĩa 1.2.5 Với một tập hữu hạn X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n , ta gọi conv(X) = { s
Bao lồi của hai điểm \(x_1\) và \(x_2\) là đoạn thẳng, trong khi bao lồi của ba điểm không thẳng hàng \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) tạo thành hình tam giác Một tập con khác rỗng \(P\) của \(\mathbb{R}^n\) được gọi là đa diện lồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn \(X \subset \mathbb{R}^n\) sao cho \(conv(X) = P\) Định nghĩa về nón đa diện trong \(\mathbb{R}^n\) là bao dương của tập con hữu hạn \(X = \{v_1, , v_s\}\) trong \(\mathbb{R}^n\).
Nón đa diện còn được biểu diễn là một tập có dạng
C(X) = {x∈ R n : Ax ≤ 0}, với A là ma trận kích thước d×n Định nghĩa 1.2.9 cho biết một quạt đa diện là tập hợp hữu hạn các nón đa diện, trong đó giao của hai nón đa diện bất kỳ tạo thành một mặt của hai đa diện.
Hình 1.2: Không là quạt đa diện Định nghĩa 1.2.10 Cố định một đa diệnP ⊆R n Cho một véc tơw ∈ R n Đặt face w (P) ={x ∈ P | xãw ≤ yãw, với mọi y ∈ P}.
Tập face w (P) được gọi là một mặt của P.
Bổ đề 1.2.11 Với mỗi tập hợp X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n và w ∈ R n , đặt λ = min{w ãu i | 1≤ i ≤ s},
Khi đó face w (P) = conv(X w ), trong đó P = conv(X).
Chứng minh Đầu tiờn, ta chỉ ra λ = min{wãu | u ∈ P} Khi đú ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì w ãu s
Do đúmin{wãu |u ∈ P} ≥ λ Mặt khỏc, ta cú λ = min{wãu i | 1 ≤ i ≤ s}.
Do đú tồn tại u j ∈ X sao cho λ = wãu j Do X ⊂ P nờn λ ≥ min{w ãu | u ∈ P} Vậy λ = min{w ãu | u ∈ P}.
Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng X w {u 1 , ,u r } Cho u ∈ conv(X w ) Khi đó, u r
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì wãu r
Mặt khác, u ∈ conv(X w ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P Do đó u ∈ P và w ãu = λ = min{w ãv | v ∈ P} Vỡ vậy w ãu ≤ w ãv với mọi v ∈ P. Khi đó u ∈ face w (P) Do đó ta có conv(X w ) ⊆ face w (P).
Ngược lại, cho u ∈ face w (P) Khi đú ta cú w ãu = λ Do u ∈ P, ta cú u s
Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì λ = wãu s
Do đó r i = 0 với mọi i = r+ 1, , s Do đó ta cóu r
Nhận xét 1.2.12 Từ Bổ đề 1.2.11, face w (P) là một đa diện Ngoài ra, face w (P) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng xãw = min{xãw | x ∈ P}.
Bổ đề 1.2.13 Cho F = face w (P) là một mặt của đa diện lồi P và cho
F 0 = facev(F) là một mặt của đa diện lồi F Khi đó F 0 là một mặt của P. Hơn nữa, với một > 0 đủ nhỏ, ta có
Chứng minh Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X) Cho λ = min{w ã u | u ∈ X}, X w = {u ∈ X | u ã w = λ}, λ 0 = min{vã u | u ∈ X w } và X w,v = {u ∈ X w | vãu = λ 0 } Cho là một số thực thỏa món điều kiện
Theo Bổ đề 1.2.11, ta có F = face w (P) = conv(X w) và F 0 = face v (F) conv(Xw,v) Ngoài ra, với mọi u ∈ Xw,v, ta có wãu + vãu = λ + λ 0 Do đó, cần chứng minh rằng với u ∈ Xw,v và a ∈ X − Xw,v, ta có wãu + vãu < wãa + vãa.
Trường hợp 1 a ∈ Xw, ta có
= 0 +vã(u −a) < 0 Trường hợp 2 a - inX w và vã(u−a) ≤ 0, ta cú
Trường hợp 3 a 6∈ X w và vã(u −a) < 0, ta cú
Do đú ta cú (w+v)ã(u−a) < 0 với mọi u ∈ X w,v và a ∈ X −X w,v Do đó
F 0 = mặt w+v (P) Phức đa diện là tập hợp hữu hạn Σ của đa diện thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, nếu P thuộc Σ thì mọi mặt của P đều nằm trong Σ Thứ hai, nếu P và Q đều thuộc Σ, thì giao của P và Q hoặc là rỗng, hoặc là một mặt chung của cả P và Q.
Hình 1.3: Phức đa diện Định nghĩa 1.2.15 Cho Γlà một nhóm con của(R,+) Mộtđa diện Γ-hữu tỷ là
P = {x ∈ R n : Ax≤ b} với A là ma trận kích thước d×n và b ∈ Γ d Một phức đa diện Σ được gọi là Γ-hữu tỷ nếu tất cả các đa diện trong Σ đều là Γ-hữu tỷ Ở đây, Γ = Γ val là nhóm giá trị của trường K Định nghĩa 1.2.16: Cho f = Σ u∈ Z n c u x u ∈ K[x 1 , , x n ], đa diện Newton của f là một đa diện.
Cơ sở Gr¨ obner trong Hình học
Định giá
Định nghĩa 2.1.1: Cho K là một trường và K ∗ là tập hợp các phần tử khác không của K Một định giá trên K được định nghĩa là hàm val : K → R∪ {∞} thỏa mãn ba tiên đề: i) val(a) =∞ nếu và chỉ nếu a = 0; ii) val(ab) = val(a) + val(b); iii) val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} với mọi a, b ∈ K ∗ Ảnh của ánh xạ hàm được ký hiệu là Γ val, và thường giả sử rằng nhóm Γ val chứa 1.
Xét tập tất cả trường các phần tử với định giá không âm:
R val là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó được xác định bởi m val = {c ∈ K | val(c) > 0} Định nghĩa 2.1.2 cho biết vành thương k = R val /m val là một trường, được gọi là trường thặng dư của (K,val).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét định giá p-adic trên trường K = Q của các số hữu tỷ Giả sử p là một số nguyên tố, ánh xạ val : Q → R được xác định bởi val p (q) = k với q = p k a/b, trong đó a, b ∈ Z và p không chia hết a và b, cho thấy rằng đây là một định giá.
+ q = 0 nếu và chỉ nếu val p (q) = ∞.
+ Với mọi q 1 , q 2 ∈ Q, ta có q 1 = p k 1 a 1 /b 1 với a 1 , b 1 ∈ Z và p -a 1 hoặc p- b 1 , q 2 = p k 2 a 2 /b 2 với a 2 , b 2 ∈ Z và p - a 2 hoặc p- b 2
Vì p - a1 và p - a2 nên p - (a1a2), p - b1 và p - b2 nên p - (b1b2) Do đó, q1 q2 = pk1 + k2 (a1 a2)/(b1 b2) với a1, a2, b1, b2 ∈ Z, p - (a1 a2) hoặc p - (b1 b2) Vì vậy, val p (q1q2) = k1 + k2 = val p (q1) + val p (q2) Với a1, a2, b1, b2 ∈ Z, p - (a1 a2) hoặc p - (b1 b2), ta có q1 + q2 = (pk1 a1 b2 + pk2 a2 b1)/(b1 b2) Đặt = min{k1, k2}, ta có q1 + q2 = p (pk1 − a1 b2 + pk2 − a2 b1)/(b1 b2) Với a1, a2, b1, b2 ∈ Z, p - (b1 b2) hoặc p - (pk1 − a1 b2 + pk2 − a2 b1), ta có val p (q1 + q2) ≥ min{k1, k2} = min{val p (q1), val p (q2)}.
Ví dụ, val 2 (120) = val 2 (12) +val 2 (10) = 3.
Vành địa phương R val p là vành địa phương hóa của các số nguyên Z tại một số nguyên tố p, trong đó các phần tử là các số hữu tỷ a/b với điều kiện p không chia hết cho b Iđêan tối đại m val p bao gồm các số hữu tỷ a/b mà p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b Trường thặng dư k là một trường hữu hạn với p phần tử, được ký hiệu là Z/Z p.
Ví dụ 2.1.5 Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường số phức C Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức a(t) ∞
X i=1 a i t q i, trong đó a i là các số phức khác không và q 1 < q 2 < q 3 < là các số hữu tỷ có mẫu số chung Kí hiệu C{{t}} đại diện cho trường của chuỗi Puiseux trên C.
Trong trường hợp này, val(a) = q1 và lc(a) = a1 Trường C{{t}} có một định giá tự nhiên val : C{{t}} → R, được xác định bằng cách chọn một phần tử khác không a(t) ∈ C{{t}} ∗ với số mũ thấp nhất q1 xuất hiện trong chuỗi khai triển của a(t).
+ a 1 (t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a 1 ) = ∞.
X i=1 c i t b i trong đó c i = P k=1,∞,j=1,∞ a 1k a 2j , a 1k +a 2j = b i ∈ Q, có mẫu số chung Do đó val(a1a2) = b1 = a11 +a21 = val(a1) +val(a2) + Với mọi a1(t), a2(t) ∈ C{{t}}, ta có a 1 (t) + a 2 (t) ∞
Do đó val(a 1 + a 2 ) =b 1 = min{a 11 , a 21 } = min{val(a 1 ),val(a 2 )}.
Mệnh đề 2.1.6 Nếu val(a) 6= val(b) thì val(a+ b) = min{val(a),val(b)}.
Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng val(b) > val(a) Vì 1 2 = 1 nên val(1) = 0 và vì vậy (−1) 2 = 1 suy ra val(−1) = 0.
Do đó, val(−b) = val(b) với mọi b ∈ K Từ tiên đề thứ ba, suy ra val(a) ≥ min{val(a+b), val(−b)} = min{val(a+b), val(b)}, dẫn đến val(a) ≥ val(a+b) Ngược lại, val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} = val(a), do đó kết luận rằng val(a+b) = val(a).
Cơ sở Gr¨ obner
Định nghĩa 2.2.1 Cho K là một trường với một định giá val : K ∗ → R.
Cho f = P u∈ Z n cux u ∈ K[x] = K[x1, , xn] là một đa thức Nhiệt đới hóa của đa thức f là hàm số giá trị thực trên R n sao cho
Trop(f)(w) = min u∈ Z n :c u 6=0(val(c u ) +uãw) với mọi w ∈ R n
Giả sử ánh xạ val : K ∗ → Γ val có thể chẻ ra với φ : Γ val → K ∗, ta kí hiệu φ(w) = t w Nếu val(a) ≥ 0, thì a thuộc về vành định giá R val của K, và ta kí hiệu ¯a là ảnh của a trong trường thặng dư k Định nghĩa 2.2.2 nêu rằng dạng khởi đầu in w (f) được xác định bởi công thức in w (f) = t −Trop(f )(w) f(t w 1 x 1 , , t w n x n ).
Cho I là iđêan trong K[x] Khi đó in w (I) =< in w (f) | f ∈ I > được gọi là iđêan khởi đầu của I đối với w Iđêan khởi đầu của I là iđêan của k[x].
Ví dụ 2.2.3. i) Cho f = (t+t 2 )x 0 +t 2 x 1 + 2t 4 x 2 ∈ C{{t}}[x 0 , x 1 , x 2 ] Khi đó
Nếu w = (0,0,0) thì Trop(f, w) = min{1,2,4} = 1 Vì vậy in w (f) (1 +t)x 0 = x 0
Nếu w = (4,2,0) thì Trop(f, w) = min{5,4,4} = 4 Vì vậy in w (f) x 1 + 2x 2
Nếu w = (2,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,4} = 3 Vì vậy in w (f) x0 +x1. ii) Cho K = Q với định giá 2-adic, vì vậy k = Z/2Z Cho f = 3x 0 + 4x 1 + 24x 2 ∈ Q[x 0 , x 1 , x 2 ] Khi đó
Trop(f, w) = min{val 2 (3) +w0,val 2 (4) +w1,val 2 (24) +w2}
Nếu w = (0,0,0)thì Trop(f, w) = min{0,2,3} = 0 Vì vậy in w (f) = ¯3x 0 x 0 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].
Nếu w = (2,0,0) thì Trop(f, w) = min{2,2,3} = 2 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x 1 = x 0 +x 1 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].
Nếu w = (3,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,3} = 3 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x 1 + 24.2 −3 x 2 = x 0 +x 1 +x 2 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].
Nếu w = (3,1,0) + α(1,1,1), thì Trop(f, w) = min{3 + α, 3 + α, 3 + α} = 3 + α Do đó, in w (f) = ¯3x0 + x1 + 24.2 − 3x2 = x0 + x1 + x2 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2] Giả sử K = Q với định giá 2-adic, do đó k = Z/2Z Với f = ax0 + bx1 + cx2 ∈ Q[x0, x1, x2], ta có Trop(f)(w) = min{val(a) + w0, val(b) + w1, val(c) + w2} Các trường hợp sẽ được trình bày dưới đây.
+ in w (f) = at −val(a) x 0 khi w ∈ S 0 = {w | val(a) + w 0 < val(b) + w 1 ;val(a) +w 0 < val(c) +w 2 }.
+ in w (f) = bt −val(b) x1 khi w ∈ S1 = {w | val(b) + w1 < val(a) + w 0 ;val(b) +w 1 < val(c) +w 2 }.
+ in w (f) = ct −val(a) x 2 khi w ∈ S 2 = {w | val(c) + w 2 < val(b) + w1;val(c) +w2 < val(a) +w0}.
+ in w (f) = at −val(a) x 0 + bt −val(b) x 1 khi w ∈ S 3 = {w | val(a) + w 0 val(b) +w 1 ;val(a) +w 0 < val(c) +w 2 }.
+ in w (f) = at −val(a) x0 + ct −val(c) x2 khi w ∈ S4 = {w | val(a) + w0 < val(b) +w 1 ;val(a) +w 0 = val(c) +w 2 }.
+ in w (f) = bt −val(b) x 1 + ct −val(c) x 2 khi w ∈ S 5 = {w | val(b) +w 1 < val(a) +w0;val(b) +w1 = val(c) +w2}. Định nghĩa 2.2.4 Tập hợpG = {g 1 , , g s } ⊆ I là một cơ sở Gr¨obner của
I đối với w nếu iđêan khởi đầu in w (I) = (in w (g 1 ), ,in w (g s )).
Mệnh đề 2.2.5 Cho f = P i∈A g i ∈ K[x 0 , , x n ] sao cho {số hạng của f} S i∈A
{số hạng của g i } Khi đó
Chứng minh Ta sử dụng minA = min{minB,minC}nếuA = B∪C vàA hữu hạn (2.1)
Ta có min{Trop(g i ) | i ∈ A} = min{min(val(c u i ) + u i ãw)}.
Do (2.1) và giả thiết { số hạng của f} = S i∈A
{ số hạng của gi} nên min{Trop(g i ) | i ∈ A} = min{val(c u ) +u ãw} = Trop(f)
Mệnh đề 2.2.6 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x0, , xn] sao cho Trop(f) = min{Trop(g i ) | i ∈ A}, {hạng tử của g i } ∩ {hạng tử của g j }= ∅,∀i 6= j.
Khi đó in w (f) = X i:Trop(g i )(w)=Trop(f )(w) in w (g i ).
Chứng minh Ta có in w (f) = P u:val(c u )+uãw=Trop(f )(w) c u t −val(c u ) x u Đặt B {i : Trop(g i ) =Trop(f)} Do{hạng tử của g i }∩{hạng tử của g j } = ∅,∀i 6 j nên
Bổ đề 2.2.7 khẳng định rằng, cho I ⊆ K[x0, , xn là một iđêan thuần nhất và w ∈ R n được cố định, thì in w (I) cũng là một iđêan thuần nhất Điều này cho phép chúng ta lựa chọn một cơ sở Gr¨obner thuần nhất cho I Hơn nữa, nếu g thuộc in w (I) d, thì tồn tại một phần tử f trong I d sao cho g = in w (f).
Chứng minh Trước hết, in w (I) thuần nhất Thật vậy, xét f = P i
I ⊆ K[x 0 , , x n ] với mỗi f i thuần nhất bậc i Khi đó in w (f i ) thuần nhất.
Như vậy, {số hạng của f} = S i
Theo Mệnh đề 2.2.6, số hạng của fi trong dạng khởi đầu in w (I) là tổng các dạng khởi đầu của các fi với Trop(f)(w) và Trop(fi)(w) Mỗi thành phần fi thuần nhất tồn tại trong I, do đó, ý tưởng khởi đầu in w (I) được tạo ra từ các phần tử in w (f) với f thuần nhất Vì f thuần nhất nên in w (f) cũng thuần nhất, dẫn đến việc in w (I) cũng thuần nhất.
Ta thấy in w (I) được sinh bởi một số hữu hạn các in w (f), vì vậy f tương ứng tạo thành một cơ sở Gr¨obner thuần nhất đối với I.
Nếu g thuộc in w (I) d, thì g có thể biểu diễn dưới dạng in w (f) với một số f thuộc I d Cụ thể, g được xác định là P u a u x u in w (f u) với f u thuộc I cho mọi u Đặt f u = P v c uv x v, ta có x α f u = P v c uv x α+v cho mọi α Do đó, in w (f u) có thể được biểu diễn là X v:val(c uv )+vãw=Trop(f)(w) c uv t −val(c uv ) x v.
Suy ra x α in w (fu) = X v:val(c uv )+vãw=Trop(f )(w) cuvt −val(c uv ) x α+v
Ta có in w (x α f u ) = X α+v:val(c uv )+(α+v)ãw=Trop(x α f )(w) c uv t −val(c uv ) x α+v
Trop(x α f)(w) = min α+v∈ Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) + (α +v)ãw)
= min α+v∈ Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) +α ãw +vãw)
Mà Trop(x α f)(w) = val(cuv) + (α + v) ãw nờn val(cuv) + (α + v)ãw αãw + Trop(f)(w) Suy ra val(cuv) + vãw = Trop(f)(w), dẫn đến α in w (fu) in w (x α fu) Từ g = Puau xu in w (fu) suy ra g = Puau in w (xu fu) Với mỗi au, chọn cu ∈ R với val(cu) = 0 và c¯u = au, đặt Wu = Trop(fu)(w) + w ã u Cho f = Pu cu t − Wu xu fu, khi đó Trop(f)(w) = 0.
Trop(f)(w) = min{Trop(c u t −W u x u f u )(w) | ∀u ∈ Z n } Đặt fu = P v bvx v ,∀v ∈ Z n Ta có
(val(c u ) +val(t −W u ) +val(b v ) +uãw +vãw)
Do đó, Trop(f)(w) = 0 Theo Mệnh đề 2.2.6 thì in w (f) = X u:Trop(g u )(w)=Trop(f )(w) in w (g u ) trong đó g u = c u t −W u x u f u = P v c u t −W u x u b v x v = P v c u t −W u b v x u+v Ta có in w (g u ) = X v:val(c u t −Wu b v )+(u+v)ãw=Trop(g u )(w) c u t −W u b v t −val(c u t −W u b v ) x u+v
= X v:−W u +val(b v )+uãw+vãw=0 cut −W u bvt W u −val(b v ) x u+v
Do đó in w (f) = X u:Trop(g u )(w)=Trop(f)(w) cu x u in w (fu)
Bổ đề 2.2.8 Cố định f ∈ K[x 0 , , x n ], w ∈ Γ n+1 val và v ∈ Q n+1 Khi đó tồn tại ≥ 0 sao cho với mọi 0 ∈ Γ với 0 < 0 < , ta có in v (in w (f)) = in w+ 0 v (f).
Chứng minh rằng cho đa thức f = P u∈ Z n c u x u ∈ K[x], ta có in w (f) = X u:val(c u )+uãw=W c u ãt −val(c u ) ãx u ∈ k[x], trong đó W = Trop(f)(w) Đặt W 0 = Trop(in w (f))(v) = min{u ãv : u : val(c u ) + uãw = W} Do đó, ta có in v (in w (f)) = X u:val(c u )+uãw=W và uãv=W 0 c u ãt −val(c u ) ãx u ∈ k[x].
Cho X = {(val(c u ),u) | x u là một hạng tử của f}, P = conv(X), F face (1,w) (P) và F 0 = face (0,v) (F) Từ Bổ đề 1.2.13, với mọi > 0 đủ nhỏ, ta có
Mặt khác, với mọi > 0 đủ nhỏ, ta có
Trop(f)(w+v) = min{val(cu) +uãw+ uãv : cu 6= 0} = W +W 0
{u : val(c u )+uãw = W,uãv = W 0 }= {u : val(c u )+uã(w+v) = W+W 0 }. Khi đó in v (in w (f)) = X u:val(c u )+uãw=W và uãv=W 0 c u ãt −val(c u ) ãx u
= X u:val(c u )+uã(w+v)=Trop(f )(w+v) cuãt −val(c u ) ãx u
Bổ đề 2.2.9 Cho I là iđêan thuần nhất trong K[x 0 , , x n ] và cố định w ∈ Γ n+1 val Khi đó với mọi v ∈ Q n+1 , tồn tại > 0 sao cho với mọi 0 < ta có in v (in w (I)) ⊆ in w+ 0 v (I).
Chứng minh rằng in v (in w (I)) =< g i với i = 1, , s Theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại f i 0 ∈ in v (I) sao cho g i = in v (f i 0 ) Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.2.7, ta có f i ∈ I sao cho f i 0 = in w (f i ) Do đó, g i = in v (in w (f i )) Theo Bổ đề 2.2.8, tồn tại i sao cho g i = in v (in w (f i )) = in w+v (f i ) với mọi i < n Chọn i = min{ i | i = 0, , n} Lấy x ∈ in v (in w (I)) Khi đó, x s.
Do đó x ∈ in w+ 0 v (I) Khi đó ta có in v (in w (I)) ⊆ in w+ 0 v (I) với mọi 0 0 đủ nhỏ Giả sử w 0 = w + v, ta có in w 0 (I) = (x u 1 , ,x u s ) Vì in w 0 (I) là đơn thức, theo Bổ đề 2.2.11, các đơn thức x a không nằm trong in w 0 (I) sẽ tạo thành một
K-cơ sở của S K /I Do đó, x u i = P x a 6∈in w 0 (I) c ia x a + g i với một số g i ∈ I.
Do vậy, \( g_i = x u_i - P x a \) với \( 6 \in in w_0 (I) \) và \( in w_0 (g_i) \in in w_0 (I) \) khi \( in w_0 (I) \) là đơn thức Mọi hạng tử của \( in w_0 (g_i) \) đều nằm trong \( in w_0 (I) \) Bằng cách xây dựng \( g_i \), ta có \( in w_0 (g_i) = x u_i \) Tương tự, \( in v (in w (g_i)) = x u_i \) Do đó, đa thức \( \{g_1, g_2, , g_s\} \) tạo thành cơ sở Gr¨obner đối với \( I \) theo \( w_0 \) Để chứng minh Định lý 2.3.4, ta cần các Bổ đề sau.
C I (w 0 ) = {z |zãu i ≤val(c ia )+zãa và x a là một hạng tử của g i , i= 1, , s}
Giả sử w 0 ∈ C I (w 0 ) nhưng không thỏa mãn bất đẳng thức zãu i ≤ val(c ia ) +zãa Khi đó, tồn tại chỉ số i sao cho w 0 ãu i > val(c ia ) +w 0 ãa, dẫn đến in w 0 (gi) 6= x u i Vì in w 0 (gi) thuộc in w 0 (I) và in w 0 (I) là đơn thức, mỗi số hạng của in w 0 (g i ) phải nằm trong in w 0 (I), tạo ra mâu thuẫn với việc xây dựng của g i Do đó, ta có C I (w 0 ) ⊆ {z | zãu i ≤ val(c ia ) +zãa và x a là một số hạng của gi, i = 1, , s}.
Ngược lại, nếu w 0 ãu i < val(c ia ) + w 0 ãa với mọi i, thì in w 0 (g i ) = x u i với mọi i Điều này dẫn đến in w 0 (g i ) = in w 0 (g i ) ∈ in w 0 (I) cho mọi i, do đó in w 0 (I) ⊆ in w 0 (I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, từ đó ta kết luận rằng w 0 ∈ C I [w 0 ].
Chú ý rằng các đa thức {in w (g 1 ),in w (g 2 ), ,in w (g s )} tạo thành cơ sở Gr¨obner của in w (I) đối với v Khi đó ta có Bổ đề sau
Bổ đề 2.3.6 Nếu w0 ∈ CI[w] thì ta có in w 0 (g i ) = in w (g i ), với mọi i = 1, , s.
Chứng minh rằng nếu w0 ∈ CI[w], thì in w0(I) = in w(I) Nếu in w0(gi) không bằng in w(gi), thì in w0(gi) - in w(gi) thuộc in w(I), dẫn đến in v(in w0(gi) - in w(gi)) thuộc in v(in w(I)) Bởi vì in v(in w(I)) = in w0(I) là đơn thức, mọi hạng tử in v(in w0(gi) - in w(gi)) nằm trong in w0(I) Từ việc xây dựng gi, ta có in v(in w0(gi) - in w(gi)) = xu i, chứng tỏ xu i không phải là số hạng của in w0(gi) hoặc in w(gi) Do đó, từ in v(in w)(gi) = xu i, suy ra xu i là số hạng của in w(gi), nhưng không phải của in w0(gi) Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì mọi hạng tử của in w0(gi) không nằm trong in w0(I) Vì in w0(I) là đơn thức và in w0(gi) ∈ in w0(I), điều này không thể xảy ra, do đó ta có in w0(gi) = in w(gi) cho mọi i = 1, , s.
Bổ đề 2.3.7 Nếu in w 0 (g i ) = in w (g i ) với mọi i = 1, , s thì w 0 ∈ C I [w].
Chứng minh rằng từ các đa thức {in w (g 1 ), in w (g 2 ), , in w (g s )} tạo thành cơ sở Gr¨obner của in w (I) đối với v Do đó, in w (I) được biểu diễn dưới dạng (in w (g i ), in w (g 2 ), , in w (g s )) với I là thuần nhất Điều này dẫn đến in w (I) ⊆ in w 0 (I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, từ đó suy ra chúng bằng nhau, kết luận rằng w0 ∈ CI[w].
Bổ đề 2.3.8 C I [w] là một mặt của C I [w 0 ].
Chứng minh rằng tập hợp F gồm các điểm z thỏa mãn điều kiện zãu i = val(c ia) + zãa cho mọi i và các số hạng x a của in w (gi), đồng thời z ãui < val(cia) + z ãa với mọi i và các số hạng x a của g i nhưng không thuộc in w (g i) Do đó, F được xác định là một mặt của C I [w 0].
Từ Bổ đề 2.3.6, Bổ đề 2.3.7 và cách xây dựng gi thì CI[w] = F.
Cuối cùng, với bất kỳ đa thức thuần nhất f ∈ K[x 0 , , x n ], ta có in w (f) = in w+λ1 (f) với mọi λ ∈ Γ val Từ các ý tưởng khởi đầu của I sinh bởi các đa thức thuần nhất và theo Bổ đề 2.2.7, suy ra in w (I) = in w+λ1 (I) với mọi λ ∈ Γ val Do đó, không gian tuyến tính của các đa diện C I [w] chứa đường thẳng R1.
Mọi đa diện trong không gian R n+1 có thể được biểu diễn dưới dạng P = {x ∈ R n+1 : Ax ≤ b}, với A là ma trận kích thước d×(n+1) và b ∈ R d Được gọi là Γ val-hữu tỷ, P có nghĩa là các phần tử của A là hữu tỷ và b thuộc Γ d val, đồng thời tất cả các mặt pháp tuyến của P là các véc tơ trong Q n+1 và các đỉnh của P là các phần tử của Γ n+1 Một phức đa diện Σ được coi là Γ val-hữu tỷ nếu mọi đa diện trong Σ đều thỏa mãn điều kiện này Theo Định lý 2.3.9, với một lý thuyết thuần nhất I ⊆ K[x 0, , x n], tập hợp {C I [w] : w ∈ Γ n+1 val} tạo thành một phức đa diện Γ val-hữu tỷ hữu hạn trong không gian n chiều R n+1 /R1.
Chứng minh Từ Định lý 2.3.4, ta suy ra điều phải chứng minh.
Phức Gr¨obner, được hình thành từ Định lý 2.3.9, là một phức đa diện phức tạp Trong trường hợp này, trường thặng dư k là trường con của K, và lý thuyết về I được định nghĩa trên k, với điều kiện I ⊆ C[x₀, , xₙ], trong đó K = C{{t}} Phức Gr¨obner được xem như một quạt đa diện hữu tỷ, thường được gọi là quạt Gr¨obner Vấn đề này đã được nghiên cứu trong các tài liệu về Gr¨obner, như [15], [6], hoặc [3, Chương 2] và [10, Chương 2].
Không gian tuyến tính của phức đa diện Σ là không gian con L lớn nhất, với điều kiện nếu u thuộc σ (σ ∈ Σ) và l thuộc L, thì tổng u + l cũng thuộc σ Từ Chú ý 2.3.3, có thể kết luận rằng R1 chính là không gian tuyến tính của phức Gr¨obner.
Ví dụ 2.3.10 Cho I = hy 2 z −x 3 − x 2 z −p 4 z 3 i ⊆ Q[x, y, z], trong đó Q có định giá p-adic với số nguyên tố p Với f = y 2 z−x 3 −x 2 z−p 4 z 3 , ta có Trop(f) = min(2y + z,3x,2x + z,3z + 4) Phức Gr¨obner được minh họa trong Hình 2.2.
Việc xây dựng phức Gr¨obner và quỹ tích tuyến tính của một hàm nhiệt đới cho thấy rằng phức đa diện có tính chất phân chia chính quy Khái niệm này được phát triển bởi Gelfand, Kapranov và Zelevinsky.
7], ở đây, phân chia chặt; xem thêm [12, Chương 5].
Bổ đề 2.3.12 Cho I là iđêan thuần nhất trong S = K[x 0 , , x n ] Có hữu hạn các iđêan đơn thức khởi đầu khác nhau inw(I) như w chạy trên Γ n+1 val
Giả sử I có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu, ta định nghĩa Σ0 là tập hợp tất cả các iđêan đơn thức khởi đầu của I Từ Σ0, I không phải là iđêan không, do đó có thể chọn phần tử f1 ∈ I Vì f1 chỉ có hữu hạn số hạng và mỗi iđêan đơn thức khởi đầu M ∈ Σ0 chứa một số hạng của f1, nên phải tồn tại một số hạng m1 của f1 nằm trong vô hạn các iđêan trong Σ0 Đặt Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M} và J1 = (m1) Vì có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu chứa J1, nên tồn tại một số iđêan khởi đầu thực sự chứa J1.