on tap lop 10 chuyen khtn

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:2 2 1... Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó.

Chuyên đề: Bất đẳng thức Phần I : các kiến thức cần lu ý

1 1

2

1 [(x−y) 2 + (x−z) 2 + (y−z) 2]≥ 0đúng với mọi x;y;z∈R

Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz )

= x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z)2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z∈R

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

a

c) Hãy tổng quát bài toán

giảia) Ta xét hiệu 2 2 2

n

a a

a n

a a

Giải:

0 1 4

4 4

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2

0 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

⇔ (a− 2b) (2 + a− 2c) (2 + a− 2d) (2 + a− 2c)2 ≥ 0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2:

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y

Chứng minh

y x

y x

⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

<

+ +

=

z y x z y x

z y x

1 1

1 1

1 + + )=x+y+z - (1+ 1 +1) > 0

z y

z y x

1 1

1 + + < x+y+z theo gt) →2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra ờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

a a

a a

3 2 1 3

2

2 1 2 2

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 1+1+1≥ 9

c b

2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z≥ 4 ( 1 −x)( 1 −y)( 1 −z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

4)Cho x≥ 0,y≥ 0 tháa m·n 2 x− y = 1 ;CMR: x+y

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2

2

3 3

2 1

VËy

2

1 3 3

3

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

3 1

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

2 2 2

x

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4

ab ab cd

ab c

b

MÆt kh¸c: a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

ac ab

>

+

>

d c b

d c a

d c a

2+b +c =

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1

6

5

≤ 〈 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

c a b

c a b

a d

c b

1 < 2

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

b

a

a

+ + +

+

<

+ +

a c

b a

a

+ + +

a

+ +

+ + +

+ (3) T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c b a

d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b

a d

d d

c b

a

d

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

+ + +

+ + +

d a

d c

c d

c b

b c

ab <

d

c d

cd d

b

cd ab b

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a +

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

≤ Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

a

≤ +

a + =

d c

a

999

1 khi a=d=1; c=b=999Ph

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

2 2

1

+ +

=

n n

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

= +

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

+ +

>

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

1 1

1

1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

2

2

<

+ + +

u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

c a b

c b a

) (

) ( 2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

+ +

+

c a c

b c b

y+ − ; b =

2

y x

z+ − ; c =

2

z y

x+ −

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

2

3

≥ ⇔ + − 1 + + − 1 + + − 1 ≥ 3

z

y z

x y

z y

x x

z x y

⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;

y

x x

y

+ ≥ 2

z

x x

z

y y

z

nên ta có điều phải chứng minh

1 2

1

2 2

+

+ +

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz

≥ + +

z y x

1 1

z y x z y x

Mà x+y+z < 1

Vậy 1+ 1+1 ≥ 9

z y

+

c a c

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

( m n p) (m n p)

b a

pc a c

nb c b

+

+ +

+ +

2 2

Ph ơng pháp 9: dùng tam thức bậc hai

L

u ý :

Cho tam thức bậc hai f( )x =ax2 +bx+c

2

2 2

− +

−

=

y

y y y

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1 + < − (đúng)

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

⇔

k k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

) 1 (

1

+

+ +

k k

k k k

b a b

2

2

1 1 1

+ + + + ≤ +

= +

1 1

1 1

≥ + + +

a ≥ ≥ ⇒ (a k −b k).(a−b)≥ 0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b ⇔ k k k k

b a b

a < ⇔ < ⇔ (a k −b k).(a−b)≥ 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K− ⇒G−

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 1

1 + + thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1 1

+ + ) vì xyz = 1 theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Phần iii : các bài tập nâng cao

1/dùng định nghĩa

1) Cho abc = 1 vµ a3 >36 Chøng minh r»ng +

3

2

a b2+c2> ab+bc+acGi¶i

Ta cã hiÖu: +

3

2

a b2+c2- ab- bc – ac = +

12

36

3 − >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 )VËy : +

≥

−

+

y x

y x

2) Cho xy ≥ 1 Chøng minh r»ng

xy y

2 1

1 1

1

2 2

Gi¶i :

Ta cã

xy y

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

2

≥ + +

− +

+ +

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

) ( 1

1

) (

2

+ +

− +

+ +

−

xy y

y x y xy

x

x y x

(1 )( 1 ).(1 ) 0

1 2 2

2

≥ + +

+

−

−

xy y

x

xy x

1 1

2 +b +c ≥

a (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng

c b a c b

c c

b a

b c

a b a

b

c c

b a

c c

a a

b b a

¸p dông B§T phô + ≥ 2

x

y y

c b a c b

c b c

b

2 3

3

2 3

- NÕu f(x) ≥ A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x) ≤ B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 1 ≤ ≤x 4

(2) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 2 ≤ ≤x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 ≤ ≤x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 +y4 +z4

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1 ( ) 2

2 x y h a h a h+ = = =a xy Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất ⇔ =x y

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0 ⇒ x = -1

x y

VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau

Tõ ph¬ng tr×nh (1) ⇒ − 8 y2 ≥ 0 hay y ≤ 8

Tõ ph¬ng tr×nh (2) ⇒x2 + = 2 x y ≤ 2 2 x

x x x

⇒ =

⇒ = ± Nếu x = 2 thì y = 2 2

Nếu x = - 2 thì y = -2 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm 2

2

x y

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

x y

y z z

x y z

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

=



 =

