Dãy số và các bài toán liên quan

Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy.. 6 1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt.. Cấp số cộng, cấp số nhân,

Mục lục

Lời nói đầu 0

Lời cảm ơn 2

Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy 4

1.1 Khái niệm cơ bản 4

1.1.1 Cấp số cộng 4

1.1.2 Cấp số nhân 4

1.1.3 Công thức tổng quát của dãy 5

1.1.4 Cách xác định dãy số 5

1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 5

1.1.6 Dãy số bị chặn 6

1.1.7 Dãy số tuần hoàn 6

1.1.8 Dãy số dừng 6

1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt 6

1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân 29

Chương II Giới hạn dãy 44

2.1 Khái niệm cơ bản 44

2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy 45

2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn 45

2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 56

2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác 62

2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy 68

2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy 74

Chương III Các dạng bài toán khác về dãy số 77

3.1 Bài toán về số học của dãy số 77

3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạng 85

3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm 87

3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số 88

Kết luận 94

Tài liệu tham khảo 95

Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức

tổng quát của dãy

1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d , nghĩa là

u n là cấp số cộng   n 2,u nu n1d Số d được gọi là công sai của cấp số

cộng

Định lý 1 : Nếu cấp số cộng  u n có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng

quát u n được xác định bởi công thức u n u1n1d, n 2

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát

Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu

và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2

1 1, 2

k k k

u u  u   k

(hay u k  u k1.u k1 )

Định lý 3: Cho cấp số nhân u n với công bội q 1

Đặt S n u1u2 u n Khi đó 11 

1

n n

Khi đó S nn u 1

1.1.3 Công thức tổng quát của dãy

Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi

là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

u u n được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

VD: Cho dãy số u n với 1

n

n u n

n

u u

1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng

Dãy số u n được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu u n1u n, n 1

Dãy số u n được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu u n1u n, n 1

Dãy số u n được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu u n1u n, n 1

Dãy số u n được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu u n1u n, n 1

1.1.6 Dãy số bị chặn

Dãy số u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu M :u nM, n 1

Dãy số u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu  m :u n m, n 1

Dãy số u n được gọi là dãy số bị chặn nếu M m,  : mu nM,  n 1

1.1.7 Dãy số tuần hoàn

Dãy số u n được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu u n k u n, n 1

Ví dụ 1.1

Xác định công thức tổng quát của dãy   1

1

2:

n

u u

Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy u n không phải là cấp số cộng hay cấp

số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát Nếu không có  1xuất hiện ở vế trái thì dãy u n sẽ là một cấp số nhân với công bội q 3 Ta sẽ tìm cách làm mất  1 và chuyển dãy u n về cấp số nhân

22

Dãy  v n là một cấp số nhân với công bội q 3

n

u u

n n

u u

Bài toán 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy

Nếu a 1 thì g n ag n 1 là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g n  một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g n , mà f n  là đa thức bậc k nên

để có (*) ta chọn g n  là đa thức bậc k  , có hệ số tự do bằng 0 Khi đó ta được 1

hệ gồm k  phương trình, giải hệ này ta tìm được 1 g n 

Nếu a 1 thì g n ag n 1 là đa thức cùng bậc với g n  nên ta chọn g n là

đa thức bậc k , trong đẳng thức (*), ta cho k  giá trị 1 n bất kì, ta được hệ gồm

1

k  phương trình, giải hệ này ta tìm được g n 

Như vậy ta đi đến kết quả sau đây

Kết quả 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy

Ta viết f n g n ag n 1 với g n  cũng là một đa thức theo n

n n

u u

Trường hợp 1: a thì 1 n

u u  b

Ví dụ 1.5: Tìm công thức tổng quát của dãy

n n

u u

 1

Vậy ta có công thức tổng quát của dãy   un là un   6.2n  5.3 ,n   n 1

Kết quả 1.5: Để tìm công thức tổng quát của dãy

  0 0 1 1

,:

Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình: x2 ax b   0(đây là phương trình đặc trưng của dãy)

2 2

Do vậy ta xác định được công thức tổng quát của dãy  v n từ đó xác định được công thức tổng quát của dãy  u n

Vấn đề còn lại là ta xác định được đa thức g n  ở (1)

Vì f n  là đa thức bậc k nên ta phải chọn g n  sao cho

g n ag n bg n cũng là một đa thức bậc k theo n Khi đó ta chỉ cần

thay k  giá trị bất kì của n vào (1) ta sẽ xác định được 1 g n 

i) Nếu phương trình: x2 ax b   0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì

1 a b nên vế phải (1) là một đa thức bậc 0 m

ii) Nếu phương trình: x2 ax b   0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 thì 1 a b , khi đó vế phải (1) là một đa thức bậc 0 m 1

iii) Nếu phương trình: x2 ax b   0 có nghiệm kép x 1 thì a   2, b  1 nên vế phải của (1) là một đa thức bậc m 2

Vậy để chọn g n  ta chú ý như sau:

i)Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt khác 1, hoặc có nghiệm kép khác 1 thì ta chọn g n  là đa thức cùng bậc với f n 

ii) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g n nh n , trong đó h n  là đa thức cùng bậc với f n  iii)Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép bằng 1thì ta chọn   2  

g n n h n , trong đó h n  là đa thức cùng bậc với f n 

Kết quả 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy

Nếu phương trình đặc đặc trưng: x2 ax b   0 có hai nghiệm phân biệttrong đó có một nghiệm bằng 1, ta phân tích:

f n ng n a n g n b n g n rồi ta đặt v n u nng n  Nếu phương trình đặc đặc trưng: x2 ax b   0 có nghiệm kép bằng 1, ta phân tích: f n n g n2  a n 12g n 1b n 22g n 2

Vậy ta đi đến kết quả sau:

Kết quả 1.7: Tìm công thức tổng quát của dãy

Xét phương trình đặc trưng: x2 4 x     4 0 x 2 là nghiệm kép

Ta cóx 2  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

2

n n

Bằng cách xây dựng tương tự ta đi đến kết quả sau:

Kết quả 1.8: Tìm công thức tổng quát của dãy

Do u10,u2 1,u3 3nên ta có hệ

1316

Kết quả 1.9: Cho dãy     1 1 1

Để xác định công thức tổng quát của dãy    x n , y n ta làm như sau:

Ta biến đổi được: x n ps x n1psqr x n2 0

Từ đây ta xác định được x n , thay vào hệ đã cho ta có được y n

Để ý rằng: ta có thể tìm công thức tổng quát của dãy trên theo cách đưa thêm vào tham số phụ   như sau ,

Giải hệ này ta tìm được    x n , y n

Ví dụ 1.17: Tìm công thức tổng quát của dãy  

1

1 1

1 1

Ví dụ 1.18: Tìm công thức tổng quát của dãy  

1

1 1

Bài toán này không còn đơn giản như bài toán trên vì ở trên tử số còn có hệ số tự

do, do vậy ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số Muốn vậy, ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt u n x nt , thay vào công thức truy hồi, ta có:

1

2 1 1

Để tìm công thức tổng quát của dãy  u n ta làm như sau:

Đặt: u n x nt , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:

1 1

n n

2

n n

n

u v

 , ta được dãy  

1 2 1 1

u x v

 (1) bằng phương pháp quy nạp

2 2

 

1

2

1 1

Do u11,u29 nên giải ta tìm được   , từ đó ta nhận được công thức tổng quát ,của dãy  u n là: 6 25 2 6 1 6 25 2 6 1, 1

n

u u

Do f t  là số chẵn nên ta suy ra m t  2 5 t x  với x 6,8,10,12

Thử trực tiếp ta thấy t 4 là thỏa mãn Vậy a 24

,ta xác định công thức tổng quát như sau:

Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: 2

Ví dụ 1.22: Tìm công thức tổng quát của dãy  

1 2 2 1 2

n

u u u

   , như thế theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

Ta sẽ tìm công thức số hạng tổng quát của   1 2

1:

n

u u u

1.3Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân

Ví dụ 1.23

a) Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140 Hãy tìm cấp số cộng đó

b) Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng

11 Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6

Giải

Với mỗi n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , kí hiệu u n là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm

a) Theo giả thiết của bài ra, ta có 3 5

28140

b) Theo giả thiết cấp số cộng có công sai d  nên 0 u3u5

Vì thế, từ giả thiết hiệu của u3 và u5 bằng 6 ta được

và công sai của cấp số cộng đó

b) Cho cấp số cộng  u n có công sai d  , 0 u31u34 11 và 2 2

31 34 101

u u  Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó

Giải:

a) Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng đã cho Ta có

b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1

3 , số hạng thứ hai bằng 1

c) Cho cấp số cộng tăng  u n có 3 3

1 15 302094

u u  và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

Yêu cầu bài toán  g t 0 có 2 nghiệm t2t10, khi đó f x   0 có nghiệm

Giải

Với mỗi n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, kí hiệu u n là số hạng thứ n của cấp số nhân cần tìm

Theo giả thiết của bài ra, ta có

36

3

12 3

u u u

Vậy cấp số nhân cần tìm là :  3, 6, 12 3, 72, 144 3,864, 1728 3  

Ví dụ 1.30 Cho cấp số nhân  u n có u208u17 và u3u5272 Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

Giải

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có

1

312

12

Giải

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho Dễ thấy u q 1, 0 Do đó, ta có

3 1

57645 23058 55

5

15

Ví dụ 1.35 Ba số x y z, , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân, đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13

Giải

Vì dãy số x y z, , là một cấp số nhân nên y2 xz

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng nhận các số x y z, , lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín, ta có

13

5 13

32

13

39 7

32

133

x y z

x y z đều thỏa mãn điều kiện của đề bài

Dễ thấy 4 nghiệm trên lập thành cấp số nhân

Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số a 170

Giả sử phương trình f x x ax b 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộngx x x1, ,2 3, khi đó theo định lý Vi-ét ta có

2 1

1 1

2 2

33

Vậy giá trị cần tìm của a là a  3

Ví dụ 1.43 Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2 3 x a   0 và x x3, 4

là hai nghiệm của phương trình x2 12 x b   0 Tìm a b , để x x x x1, 2, ,3 4 theo thứ

Nếu x3 0 x20 thì không tồn tại cấp số nhân x x x x1, 2, ,3 4

Vậy x x 2 3 0 nên x x 1 4 0, khi đó

22

48

328

2

232

x x

b x

a b

28824

18

18288

x x

b x

a b

a b

 





 

 là các giá trị thỏa mãn bài toán

Ví dụ 1.44Cho tam giác ABC có tan tan 1

2 2 sin 2 sin 2.2 sin sin sin 2sin

Ví dụ 1.45Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a) tan , tan , tan

22cos cos cos

 cos , cos , cosA B C lập thành cấp số cộng

b) Ta có cot , cot , cot

22sin sin sin

2sinB sinA sinC

    sin ,sin ,sin A B C lập thành cấp số cộng (đpcm)

Ví dụ 1.46 (VMO 1987 bảng A) Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng,với số hạng đầu 1

Vậy S 0.

Chương II Giới hạn dãy

2.1 Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1: Dãy số  u n được gọi là có giới hạn bằng L khi n   và kí hiệu

lim

n

n n n

Định lý 3 (điều kiện đủ để tồn tại giới hạn hữu hạn)

a) Nếu  u n là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy

2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn

Ví dụ 2.1: Cho dãy số  

1 1

n u



Giải

Ta chứng minh quy nạp rằng u n  1, n 1 (1) Thật vậy, với n 1 thì (1) hiển nhiên đúng

Giả sử (1) đúng với n ta chứng minh (1) đúng với n 1

Vậy theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với  n 1

Từ đó ta có dãy  u n là dãy bị chặn dưới bởi 1

Ta sẽ chứng minh dãy  u n là dãy giảm

Như thế dãy  u n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1

nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

n

u u

n u



Ta có 0 1, 1 1, 2 4 0 1 2

Ta dự đoán  u n là dãy số giảm

Để chứng minh  u n là dãy có giới hạn hữu hạn thì ta sẽ chỉ ra  u n là dãy bị chặn

Do 3 5

,2

1:

Như thế sẽ có hai khả năng xảy ra:

Trường hợp 1:  u n là dãy bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn, ta đặt

Trường hợp 2:  u n là dãy không bị chặn trên, khi đó lim n

 là dãy đơn điệu tăng

Ta có u n  1, n nên dãy  u n bị chặn trên bởi 1

Vậy  u n là dãy có giới hạn hữu hạn, ta gọi lim n

n





n n

n

x x

Từ (3) và (2a) ta có x n1 x nn ta suy ra nếu 0 a 1 thì dãy đơn điệu tăng và

bị chặn trên bởi 1 nên  x n có giới hạn hữu hạn

Từ (3) và (2b) có x n1 x nnta suy ra nếu a 1 thì dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên  x n có giới hạn hữu hạn

Trường hợp 4: Nếu a 0 thì ta xét dãy  y n với y n  x n n 1 , khi đó

ta đưa dãy  y n về các trường hợp như đã xét ở trên

Từ đó có lim n 1 lim n 1

Ví dụ 2.8: Cho dãy  

1 1

49:

Ta chứng minh  u n có giới hạn hữu hạn

Ta chứng minh  u n là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

n x

b) Đặt 2

1

13

Giả sử (3) đúng với k   Do n 1 x  n 3 nên    3 

1 3

n u

Ví dụ 2.11: Cho dãy  

1 2012

n

n n

x x

412

Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được b 1 u nb, n 1

Từ đó có dãy  u n bị chặn trên bởi b , khi đó dãy  u n có giới hạn hữu hạn Vậy điều kiện cần tìm là : b 1 a b

2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp

Ví dụ 2.14: Cho dãy số  

1

2 1

13:

12:

Ví dụ 2.15: Cho dãy số  

1 1

n

u u

Nhận xét: Ta có bài toán tương tự sau

Cho dãy số Cho dãy số  

1 1

11

32

Ta chứng minh quy nạp maxx3n,x3n1,x3n2a n, n 1 (1)

Ta kiểm tra (1) với n 1

Như vậy là (1) đúng với n 1 Theo nguyên lý quy nạp (1) được chứng minh

Dễ thấy x n0, n 1 và từ (1) ta có 0x3n i a n, i 1, 2, 3 , theo nguyên lý kẹp ta có lim 3n i 0, 1, 2,3 lim n 0

Mặt khác 1 1 1

1lim n lim 2 n n 2

Hoàn toàn tương tự ta dễ dàng chứng minh  b n là dãy tăng dần về 2

Vậy ta có lim n lim n 2

n a n b

   

Ta chứng minh quy nạp maxx3n,x3n1,x3n2a n, n 1 (1)

Ta kiểm tra (1) với n 1

Ta chứng minh dãy  a n là dãy giảm dần về 2

Ta có

1 2

Hoàn toàn tương tự ta dễ dàng chứng minh  b n là dãy tăng dần về 9

Vậy ta có lim n lim n 9

Vậy (1) đúng với n 1 Theo nguyên lý quy nạp (1) được chứng minh

Từ đó theo nguyên lý kẹp ta suy ra

2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác

Ví dụ 2.20:Tìm giới hạn của dãy  u n biết