Dãy số và các bài toán liên quan

Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế.. Nội dung và mục tiê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ ĐỨC VIỆT

DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ ĐỨC VIỆT

DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội, Năm 2014

Lời nói đầu

Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế Các dạng toán về dãy

số rất phong phú và đa dạng nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên đề riêng

biệt Nội dung và mục tiêu của luận văn : “ Dãy số và các bài toán liên quan “ là hệ

thống lại một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, chứng minh

sự tồn tại giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của dãy số, ứng dụng của dãy số trong việc giải một số bài toán liên quan thông qua các ví dụ minh họa và tổng quát hóa các kết quả đơn giản

Bố cục của luận văn gồm 3 chương

Chương I.Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy

Chương này trình bày các khái niệm, công thức và tính chất cơ bản về cấp số cộng , cấp

số nhân ,công thức tổng quát của dãy, một số dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy sử dụng tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân và một số bài toán liên quan đến cấp số cộng

và cấp số nhân

Chương II.Giới hạn dãy

Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về giới hạn dãy số và hệ thống các

ví dụ minh họa về chứng minh sự tồn tại của giới hạn dãy số, tìm giới hạn dãy số Một số các phương pháp tìm giới hạn dãy số

Chương III Các bài toán về số học và dãy

Chương này trình bày các bài toán liên quan đến số học và dãy số trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố và Olympic 30/4 thông qua các ví dụ minh họa

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Vũ Đỗ Long Thầy

đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tọa điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2014

Mục lục

Lời nói đầu 0

Lời cảm ơn 3

Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy 5

1.1 Khái niệm cơ bản 5

1.1.1 Cấp số cộng 5

1.1.2 Cấp số nhân 5

1.1.3 Công thức tổng quát của dãy 6

1.1.4 Cách xác định dãy số 6

1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 7

1.1.6 Dãy số bị chặn 7

1.1.7 Dãy số tuần hoàn 7

1.1.8 Dãy số dừng 7

1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt 7

1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân Error! Bookmark not defined

Chương II Giới hạn dãy Error! Bookmark not defined

2.1 Khái niệm cơ bản Error! Bookmark not defined 2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy Error! Bookmark not defined 2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn Error!

Bookmark not defined

2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp Error! Bookmark not defined 2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác Error! Bookmark not defined 2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy Error! Bookmark not defined 2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy Error!

Bookmark not defined

Chương III Các dạng bài toán khác về dãy số Error! Bookmark not defined

3.1 Bài toán về số học của dãy số Error! Bookmark not defined 3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạngError! Bookmark not defined

3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm Error! Bookmark not defined 3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số Error! Bookmark not defined

Kết luận Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo 10

Chương I Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy

1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng

thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

, nghĩa là

 u n là cấp số cộng   n 2,u n u n1d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

Định lý 1 : Nếu cấp số cộng  u n có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát

n

u được xác định bởi công thức u n u1n1d, n 2

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung

bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

, 2 2

k k

k

u      k

Định lý 3: Cho cấp số cộng  u n , đặt S n    u1 u2 u n Khi đó:

2

n

n

 hay 2 1  1

2

n

S    



1.1.2 Cấp số nhân

Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)

 u n là cấp số nhân   n 2, u n u n1.q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n

được xác định bởi công thức 1

1 n , 2

n

u u q   n

Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và

cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2

1 1, 2

k k k

u u  u   k (hay

1 1

k k k

u  u  u  )

Định lý 3: Cho cấp số nhân  u n với công bội q1

Đặt S n    u1 u2 u n Khi đó 11 

1

n

n

S

q







Chú ý: Nếu q1 thì cấp số nhân là u u1, , , , 1 u1

Khi đó S n n u 1

1.1.3 Công thức tổng quát của dãy

Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Kí hiệu: : *u 

 

n u n

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số

 

1 1

u u được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

…

 

n

u u n được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

1, 2, , n,

Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1, 2, , m với mỗi m * được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u u1, 2, ,u m trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

1.1.4 Cách xác định dãy số

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

VD: Cho dãy số  u n với 1

3 1

n

n u n







Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp)

VD: Cho dãy số   1

1

1 :

n

n n

u u







1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng

Dãy số  u n được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu u n1u n, n 1

Dãy số  u n được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu u n1u n, n 1

Dãy số  u n được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu u n1u n, n 1

Dãy số  u n được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu u n1u n, n 1

1.1.6 Dãy số bị chặn

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu  M :u n M, n 1

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu  m :u n   m, n 1

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn nếu M m,  : mu n M,  n 1

1.1.7 Dãy số tuần hoàn

Dãy số  u n được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu u n k u n, n 1

1.1.8 Dãy số dừng

Dãy số  u n được gọi là dãy số dừng nếu

     (c là hằng số, gọi là hằng số dừng )

1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1

Xác định công thức tổng quát của dãy   1

1

2 :

n

n n

u u

 





Giải:

Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy  u n không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát Nếu không có  1 xuất hiện

ở vế trái thì dãy  u n sẽ là một cấp số nhân với công bội q 3 Ta sẽ tìm cách làm mất

1

 và chuyển dãy  u n về cấp số nhân

 1  1

u   k u     k u u    k k

1

1 3

2

1

3

     

1

5 1

2 2

n n

n n

v

v u

v v n

  



 Dãy  v n là một cấp số nhân với công bội q 3

1

5 3

2

n

v v q   

Vậy 1 5 1 1

.3 , 1

n

n n

Bài toán 1.1

Xác định công thức tổng quát của dãy   1 0  

1

n

n n









Giải:

Trường hợp 1: a  1 thì dãy  u n là cấp số cộng có công sai d b nên

n

u u  n d  x  n b

Trường hợp 2: a  1

Ta đặt un   k a u  n1   k  un aun1  k ak

Ta phân tích

1

b

b k ak k

a

b

Khi đó: 1

1 1

u a u



1

1 1

n n

n n

b

v x b

a

v a v 

  



Dãy  v n là cấp số nhân có công bội qa 1 1

1

n

b

a



Vậy

1

1

n

n n



Kết quả 1.1: Dãy   1 0  

1

n







 thì có công thức số hạng tổng quát là

0

1 1

0

1

1

n

a









Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy   1

1

2 :

n

n n

u u







Giải:

Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3 n  1 để chuyển về dãy

số là một cấp số nhân

Ta đặt u n anb2u n1a n  1 b

1

        

3n 1 an b 2 a n 1 b

        

Cho n1,n2 ta có hệ 2 3



    

1

        

1

10

n n

n n

v





       

 Dãy   vn là cấp số nhân với công bội q2

1 1

1 n 10.2n , 2

n

Vậy công thức tổng quát của 1

10.2n 3 5, 1

n

u    n  n

Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy   1

1

2 :

n

n n

u u





     



Giải:

Xét f n 2n1 là đa thức bậc 1 đối với n

Đặt un  g n    un1 g n   1 

suy ra f n g n g n 1, trong đó g n  là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số tự do bằng 0 Từ đó có   2

g n  an  bn

2 n 1 an bn  a n 1 b n 1 

Cho n  0, n  1 ta được hệ: 1 1   2

2

1

Đặt:  2  1

1

1 2

n n

n n

v

 



 Dãy   vn là cấp số nhân với công bội q1

1

1 n 1 1, 2

n

Vậy công thức tổng quát của 2

2 n 1, 1

n

u n    n

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề

chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo dục

[2] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học và dãy số, NXB Giáo dục

[3] Tuyển tập các đề thi Olympic Toán Trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB

Giáo dục

[4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXB Đại học quốc gia Hà

Nội

[5] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2012, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ

XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm

[6] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, NXB Giáo dục

[7] Nguyễn Tất Thu, 2008-2009, Chuyên đề hội giảng Một số phương pháp xác định

công thức tổng quát của dãy số, lưu hành nội bộ

[8] Phạm Thành Luân, 2001, 1001 bài toán về dãy số, NXB Đà Nẵng

[9] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2014, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ

XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm

[10] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2011, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ

XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm

[11] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4, 2013, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ

XVIII-2012, NXB Đại học sư phạm.