HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN potx

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng 2;+00.. Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [2:+= khi và chỉ khi Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics Universit

Trang 1

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Trang 2

Hàm só nghịch biến trên các khoảng (—o; —) và (0:2); đồng biến trên các khoảng

(-v2:0)và (ý2:+=)

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tai x = +2; Vy =—3 đạt cực đại tại x=U;y,„ =]

- Giới hạn: lim y= lim y = +00,

8

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 3

+ Tap xac dinh: D= R\{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng (—s;—1)và (—1;+œ)

Giới hạn và tiệm cận: lim ye lim y = 2; tiệm cận ngang y =2

lim y=+œ, lim y= —oo;tiém can ding x=—-1

Dang Thanh Nam

Auditing Sla, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Trang 4

Hàm số f(x) d6ng bién trên khoảng (ø:b)khi và chỉ khi ƒ'{x)>0,V+x e(a:b)

Hàm số f(x) nghich biến trên khoảng (a;b)khi và chỉ khi ƒ'(x)<0,Vx e(a;b)

Ta thường biến đổi bất phương trình ƒ'(x) >0thành hai về một về là hàm của x còn một về chứa

tham số m

Có hai dạng bât phương trình sau

#Œ)>g(m).Vx e(a;b) © g(m) < min f(x)

F(x) <g(m),Vxe(asb) <= g(m)>max f(x)

Trong đó g(m) 1a ham s6 theo tham s6 m

BAI TAP MAU

+ Tap xac dinh D=R

Bài 2.Cho hàm số y=

X+M

Tim tat cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;1)

Lời giải:

+ Tập xác định D= RÑ`{-m)}

2

Ta có y'= a -

(x+m)

Hàm so nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y'<0<>m”—4<0<©-2<m <2

Đề hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;1)thì ta phải có —m >I<© m <I

Kết hợp 2 điêu kiện trên suy ra —2 <m <1

10

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 5

Bai 3 Cho ham so y=x°+3x°—mx-4

Tìm tât cả các gia tri cua tham so mde ham so dong bién trên khoảng (—œ;0)

Lời giải:

+ Tập xác định D = R

Ta có y'=3x”+6x—m

Hàm số đồng biến trên khoảng (—œ;0) khi và chỉ khi

y'>0,Vx e(—œ;0)© m < ƒ(x)= 3x” +6x,Vx e(—œ;0) ©m < min f(x)

Bài 4.Cho hàm số y=2xÌ~ 3(2m+1)x” + 6m (m+1)x + 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+00)

+Néu m<0> y'>0,Vxc (Lš}= im S0 thỏa mãn

+ Nếu m >0—> y'=0có nghiệm phân biệt x = —fm,x =Oe= im

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng § m;0.(xjm:+s) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

(1:2) khi và chỉ khi Am <l© m <I

Vậy giá trị cần tìm của m 1a (—09;1]

1]

Dang Thanh Nam

Trang 6

Bai 7 Cho ham so y= ye — 2%" 4+ mx—2:

Tim tat cả các giá trị của tham sô m dé ham so dong bién trên khoảng (—œ; 1)

Loi gidi:

+ Tập xác định D = R

12

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 7

Taco y'= 3(x° —2mx+ 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 2

nghiệm x,,x, thoa man x, —x;|= 1;

Bai 9 Cho ham so y=x° —(m +1)x° —(2m? —3m + 2)x-+m(2m- 1)

Tim tat cả các giá trị của tham số ¡m đề hàm số đồng biến trên [2;+œ)

Loi giải:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ;x, ).(x;:+œ) Vậy hàm số đồng biến

trên đoạn [2:+=) khi và chỉ khi

Dang Thanh Nam

Trang 8

Cho hàm số y=—x`—3x°+mx+4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

nghịch biến trên khoảng (0:+œ)

Cho hàm số y= xÌ—3(2m+1)x? +(12m+5)x +2 đồng biến trên cả hai khoảng (—œ;—l)

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 9

b Hàm số đồng biến trên [0; +00)

|

c Hàm số nghịch biến trên đoạn 5

d Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng I

1.8 Tìm m để hàm sô y= que —(m—])x”+3(m~ 2)z+- đồng biên trên khoảng [2.+œ)

1.9 Tìm để hàm số y=xÌ+3x”+ (m+ l)x+ 4m nghịch biến trên khoảng (—1,1)

m—|

1.10 Tìm m để hàm số y= x +mx° +(3m—2)x dong bién trén R

1.13 Cho hàm số y=—

X-

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b Hàm số đồng biến trên khoảng (0.+œ})

KHAO SAT SU TON TAI NGHIEM CUA PT, HPT

Phương pháp:

Xét hàm số ƒ(3) liên tục trên miền

- Nếu f(x) don điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên Ø khi đó phương trình ƒ(x)= 0 nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

- Néu ton tai a,beD thoa man f(a) f(b) <Okhi do phương trình ƒ(x)=0có nghiệm

ko (a,b)

BAI TAP MAU

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình x`—x”—2x—l=0có đúng | nghiém thuc

kLời giải:

15

Dang Thanh Nam

Trang 10

Phương trình tương đương với: x° =(x+1) 20>x20 Voi x20> (x+1) >1 Khi do dé phương trình có nghiệm thì xÌ >l— x >]

Vậy ta xét nghiệm của phương trình trên khoảng [I.+=) ,

Xét hàm số /(x)= x.2'—l trên khoảng (0.1)

Ta có ƒ{x)=2'+x2'ln2=2"(I+xIn2)>0,V+x e (0,1) Nên hàm số ƒ(x) đơn điệu tăng trong

khoảng (0.1)

Mặt khác ta lại có ƒ{0)=—l; #()=l— ƒ(0).Z()=—l<0 Từ đó suy ra phương trình da cho có

nghiệm duy nhất trên khoảng (0.1)

Phương trình tương đương với: e* = x(x+ ly

Voixe sft lấy logarit tự nhiên hai về của phương trình trên ta được

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 11

Bài 4 Chứng minh rằng phvong trinh x**' = (x+ 1)’ có nghiệm thực dương duy nhất

Loi gidi:

Mặt khác ta có /()=—la2<0, lim ƒ(x)= lim In (Si) « = 40

x—>+œ x->+œ x -E

Từ đó suy ra phương trình ƒ(x)= 0có nghiệm duy nhất X,€ (1,+00) Ta co dpem

BAI TAP DE NGHI

1.1 Ching minh rang phvong trinh x»° —10x° + 9x—1=0c6 5 nghiệm thực phân biệt

1.2 Ching minh rang phvong trinh 4° (4x + 1) = lcó đúng ba nghiệm thực phân biệt

1.3 Chứng minh răng với mỗi nguyên dương n thì phương trình

eae eee + 20125" = 2004 có nghiệm thực duy nhất

1.4 Ching minh răng phương trình :

1.7 Ching minh rang voi mỗi n nguyên dương, ¡>2 thì phương trình

=0,ne ÑÏ luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng (0,1)

17

Dang Thanh Nam

Trang 12

7 1 1 ;

tan xi] tan{ 94+} tan 24 | Oco nghiém thuc duy nhat trong khoang (0,4)

1.8 Cho n=2k,k e N Ching minh rang phvong trinh :

BAI TOAN VE SU TUONG GIAO

Phương trình hoành d6 giao diém cta hai dong cong y = f(x) va y = g(x)

Ff (x)— g(x) =0 (*)

Khi đó số giao điểm của hai đường cong chính là số nghiệm của phương trình (*)

Trong ki thi Tuyền sinh Đại học va Cao dang chi xét bài toán giao điểm của đường thăng với đồ thị của hàm số bậc ba, hàm trùng phương và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Kiến thức cần vận dụng:

Hai dwong cong tiép xuc nhau:

Hai duong cong (C): y= f(x) va (C'): y= g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: [ZGạ) = g(X,)

Tương ơiao Với làm da thirc bac ba:

(i) Xét phương trình: y = ax’ + bx’ +cx+d =0 (*),a#0

Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đô thị hàm số

18

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 13

<0

y=ax'+bx?+cx+d =0c6 hai diém cue tri thoa man y

¡.I- Nêu phân tích phương trình (*) thành

Một số biến đồi thường dùng:

Bigs By es he ws ae se sae see ¬

x +X, +h, = (4,+2, +4, ) — 2(x,x, + x,X, + X,%, )

ee ee eee 3 HUIỂ 9 oe Sơ ` :

Mấy đái” = (Ah) — Bij (4+, ) (Xj ay)

i.3- Phuong trinh (*) có ba nghiệm lập thành cấp cô cộng khi x, + x, = 2x, thay vao (1) suy ra

¡.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì #€ © ”; lúp này ta thay vào (3)

(ii) Xét với a >0, ft có:

ii.I- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ >ø, khi và chỉ khi

phương trình y'= 0 có hai nghiệm phân biệt a < x, < x, va thoa man

y(œ)<0

ve ).v(x,) <0

19

Dang Thanh Nam

Trang 14

ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ <ø, khi và chỉ khi

phương trình y'= 0 có hai nghiệm phân biệt +x, < x, < ở và thỏa mần

y(z)>0

y(,).y(x,)<0

Với a<0, ta biến đôi phương trình hoành độ giao điểm về phương trình có hệ số ø dương và áp dụng với trường hợp z >0

Tương giao với hàm trùng phương :

(i) Xét phương trình: ax’ + bx’ +c,a#0 (*)

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm O<¿¡, <f, Luc nay phuong trinh (*) sé co bốn nghiệm là:

i.2- Vay phương trình (*) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

Luu y: Dang toan nay luôn cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét

BAI TAP MAU

Bai 1 Cho ham so y =x° —2x° +(I—m)x+m (1),m là tham số thực

20

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 15

= x(x" +3x+m) =0<> x=0hoặc x” + 3x+m = 0(*)

Kihiéu g(x)=x°+3x+m

Duong thang d cat d6 thi ham s6 (1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai

nghiệm phân biệt, khác 0

<© m <—,m # 0

Khi đó hoành độ của Z.C' là nghiệm của phương trình (Š)

Hệ số góc của tiếp tuyến tại Ø,C lần lượt là

Bai 4.Cho ham sé y =2x° —3m’x+2m (1)

Tìm m để đỏ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt

kLời giải:

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số (1) phải có hai điểm cực

trị© y'= 3x” — 3mm” = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m #0 (*)

Bài 5 Cho hàm số y=x'—2(m+1)x?+2m +1 (1)

Tìm m đẻ đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giải:

22

Dang Thanh Nam

Trang 16

Phuong trinh hoanh d6 giao diém: x* —2 (m + 1)x° +2m+1=0

Đặt t=x° 20, khido phvong trinh tro thanh t° —2(m+1)t+2m+1=0 (*)

Dé do thi ham so (1) cat truc hoanh tai 4 diém phan biét khi va chi khi phvong trinh (*) có 2 nghiệm đêu dương

A'>0 m >0

©48>0 © 2(m+1)>0<>-—<m +0 (2)

P>0 2m+1>0

Khi đó (*) có hai nghiệm la 0<¢, <t, Suy ra hoanh d6 bén giao điểm lần lượt là

X, =—aft, 5X, lễ s8, = lÉ T88 ill, , Bon điểm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

Bài 7 Cho hàm số y=2xÌ—3(m+1)x” + 6mx—2(C,)

Tìm z để đồ thị (C.) cat truc hoanh tai mét diém duy nhat

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 17

Phuong trinh hoanh d6 giao diém: 2x° —3(m+1)x* + 6mx—2 =0

<> 2x? — 3x? -2=3m (x7 — 2x) (*)

Nhận thấy x=0,x=2không là nghiệm của phương trình (*), khi đó phương trình (*) tương

1 Ham so luôn đông biên hoặc luôn nghịch biên

2 Hàm số có cực đại, cực tiểu nhưng y,„y.; >0

Bạn đọc tự làm theo hướng này và so sánh với kêt quả trên

Bai 8 Cho ham so y=x°+mx+2(C,)

Tim m dé d6 thi (sẽ ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: xÌ+mx+2= 0

Ta có bảng biến thiên:

24

Dang Thanh Nam

Trang 18

Bài 9 Cho hàm số y=x—3x” + 4(C)

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm 4(—1;0)với hệ số góc là & Tìm & để đường thẳng đ cắt đồ

thị (C) của hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C va 2 giao diém B,C cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng l

+ Đường thăng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 0< # # 9(**)

Khi đó các giao điểm của đ và (Œ)là

Bai 10 Cho ham so y = x° +2mx’ +(m+3)x+4(C, )

Tìm giá trị của m để đường thắng đ: y= x+4 cắt đồ thi (C, )cua hàm số tại ba điểm phân biệt

A(0;4),B,C sao cho tam giac KBC co diện tích bằng 84/2, biết K (1;3)

25

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 19

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x” + 2x +(m+ 3)x+4=x+4

3.4 -L2 ME” + (im + 2)z =0<©= x(x" + 2mx+m-+ 2) =O

<> x= O0hoacx’ + 2mx+m+2=0(*)

Kí hiệu g(x)=x”+2mx+m +2 Khi đó đường thắng ở cất đô thị (C,, )tai ba điểm phân biệt khi

và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 0

Bài 11 Cho ham s6 y= x° —3mx” +3(m? —1)x—(m? — I)()

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

dương

Loi giải:

Dang Thanh Nam

Trang 20

Bài 12 Cho hàm số y =xÌ—3x” +4(C)

Goi d là đường thắng đi qua điểm 4(2;0)có hệ số góc # Tìm & để đường thắng đ cắt do thị

(C)của hàm số tại 3 điểm phan biet A,B,C sao cho tiếp tuyến của (C)tai B.C vuông góc với

nhau

kLời giải:

+ Phương trình đường thăng đ: y = k(x-2)

+ Phương trình hoành độ giao diem: x° —3x°+4=k(x-2)

c© (x-2)(z' -x-k-2)Ì=0© x= 2hoac x’ —x—k-2=0(*)

Ki higu g(x)=x°—x-k-2 dcat(C)tai3 diém phan biét khi va chi khi phương trình (*) có 2

nghiệm phân biệt khác 2

Bai 13 Cho ham so y = x° -3x(C)

Chứng minh rằng khi mthay doi duong thang d: y = m(x+ I)+2 luôn cắt đồ thị (C)tai mot điểm cô định M và xác định các gia tri m dé d cat (C)tai ba diém phân biệt M,N,P sao cho tiếp tuyến của (C)tai N,Pvuong goc với nhau

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 21

+ d cat(C) tai 3 điểm phân biệt khi va chi khi phvong trinh (*) co 2 nghiém phan biét, khac -1

Bai 14 Cho hàm số y Euro —m>x”—*+m to bu)

Tìm m đẻ đỏ thị hàm số (C,, ) cat trục hoành tại ba điểm phân biệt có tông bình phương các hoành độ lớn hơn 1Š

Bai 15 Cho ham so y = x*—(3m+2)x’ +3m+1(C, )

Tim m dé duéng thang d: y =—1 cat đồ thị (C,, )tai bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

kLời giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm: x' —(3m+2)x” + 3m+1= 0

Dang Thanh Nam

Trang 22

Phương trình hoành độ giao diém: x* —4x° +m =0

Dat t=x° >0=> phwong trinh tré thanh £?— 4 + = 0(1)

Vậy (C)cắt Øx tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

dương 0Ö<¡, <í,

'=4-m >0

©4ð=4>0 © 0<m <4 (¡)

P=m>0

Khi đó hoành độ 4 giao điểm của (Œ)và Øx là

x, = aft, <x, =—jt <Sx;,=Alh <4, =alt,

Yêu câu bài toán tương đương với

f (0 -lY m )dx = ri (2 —4x° +m jax c© 3Ï (x' 4x? 4 m)dx = 2 (x4 Ax? + m \dx

Bài 18 Cho hàm số y = x*-2(m+1)x’?+2m+1(C, ) Tim tat ca cae gid tri thyc cia tham số m

dé (C,, )cat truc hoành tại bốn điểm phân biệt 4, 8,C,Ð có hoành độ lần lượt là x, <x, <x, <x,

sao cho tam giác 4ŒK có điện tích bằng 4 Biết rằng K{3,-2):

29

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 23

Loi gidi:

Phương trình hoành độ giao điểm : x*-2(m+1)x’?+2m+1=0, dat t=x° (£>0) khi đó phương

trình trở thành :

t? —2(m+1)t+2m+1=0(*) Dé dé thi (C,, )cat trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương

trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt /, >í, >0

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Bài 19 Biết rằng đường thẳng d di qua điểm M (2:0) và có hệ số góc k cắt đồ thị hàm số

v= [xf —3|x|— 2tại bốn điểm phân biệt Tìm giá trị của k

Dang Thanh Nam

Trang 24

Phần 1: Giữ nguyên phân đồ thị (C)bén phai truc tung

Phần 2: Lấy đối xứng phần | qua truc tung

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 25

Để đường thắng đ cắt (C,)tại bốn điểm phân biệt thì đ phải năm trong miền giới hạn bởi hai

đường thẳng trên

2 Đường thắng thứ nhất đi qua điểm 4 (2:0)và 4(0:—2) có hệ số góc là #, =l

° Đường thăng thứ hai là tiếp tuyến với (C,)ứng với x< 0, ta xác định #,

1.6 Viết phương trình đường thắng đ cắt đồ thị hàm số y= xÌ—3x+ 2tại ba điểm phân biệt

A,B,C sao cho x, =2va BC= eX

1.7 Viết phương trình đường thắng đsong song với trục hoành và cắt đồ thị hàm số

y sẽ m1 CN tại hai điểm phân biệt 4, sao cho tam giác OAB can tai goc toa

độ O

32

Dang Thanh Nam

Trang 26

Tim tat ca cac gia tri cla tham so m dé tiép tuyên của đô thị hàm sô

y =.x —(2m+1)x? t(m+2)x+S (C,, ) tai giao điểm 4 của (Cy) Với trục tung tạo

¬~ ¬ oe we |

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích băng x"

Tìm m để đường thắng đ:y=m cắt đồ thị hàm số y=x°—2x”—3tại bốn điểm phân biệt M,N,P,Qco hoanh do lần lượt X,<x, <1,<x,sao cho Ä⁄V,NP, PO là độ dai ba cạnh tam giác

Giả sử đồ thị hàm số y = xf —3(m + 1)x° +3m+2 cat truc hoanh tai bon điểm phân biệt,

khi m >0 gọi 4 là giao điểm có hoành độ lớn nhất ; tiếp tuyến với đô thị hàm số tại 4 cất

trục tung tại Tìm m đê tam giác 24 có điện tích băng 24

Tìm m để đồ thị hàm số y=x`—3(m+l)x” + 2(m’ +4m + 1) x—4m(m+ L) cắt trục hoành

tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

Chứng minh rằng đô thị hàm số y=xÌ—6x”+9x+m cắt trục hoành tại ba điểm phan

biệt x, <x, <x; thỏa màn 0< x,<l<x,<3<x,<4

Tìm m để đô thị hàm số y= x°-2(m+2)x° +7(m+1)x—3(m+4)cat truc hoanh tai 3 điểm phân biệt có hoành độ x,,x,,x, hoa man x, +x,’ +.x,°+3x,x,x, >53

Ching minh rang khi m thay đổi đường thắng dd :y=mx-m luôn cất

(C,, ): y=? —(3m—1)x* + 2m(m—1)x+m* tai mét điểm 4 có hoành độ không đồi Tìm

m để đ„ cắt (C,, )tai mot điểm nữa khác 4 mà tiếp tuyến của (Œ„ )tại hai điểm đó song

song với nhau

Tim m dé đường thắng đ: y=—x+ lcắt te.) y =4x° —6mx’ +1 tai 3 diém A(0;1),B,C biet B,C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất

Tìm m để đồ thị (C,,):y=x°—4x° +m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện

tích hình phẳng giới han boi (C,, )va trục hoành có phần trên bằng phần dưới

Cho ham so y =—x* +2(m+ ae —2m ~3(C,) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

(e )cat trục hoành tại bốn điểm cách déu nhau

Tìm m để đồ thị hàm số y= xÌ— 2(m+1)x°+2m+l cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

đêu có hoành độ nhỏ hơn 3

Ching minh rang voi m<Othi đồ thị hàm số y=x°-2m x?+2m+im° luôn cắt trục

hoành tại ít nhất hai điểm phân biệt —_

Tìm tât cả các giả trị củ tham sô m đề đường thăng đ: y =mx— 2m — 4 cat do thi ham so y=xÌ—6x”+9x~ 6 tại ba điểm phân biệt

33

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 27

1.22 Tìm m để đồ thị hàm số y=x`—3x°+mx+2—m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

A,B,C sao cho tong hé so goc cac tiếp tuyên với đồ thị hàm số tại 4, Ø,C bang Ẳ

1.23 Tìm tất cả các cặp số (m,n)sao cho trong các giao điểm của đồ thị hàm số

y = mx”T— nx” — mx+n (C)co hai điểm cách nhau 2011 va khoảng cách từ tâm đối xứng

của (C) đến trục hoành băng 2012

1.24 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thắng đ:y=3—x cất đồ thị ham s6

y=x`~3xÌ+mx+4—m (C)tại ba điểm phân biệt 4(1;2).,C sao cho tiếp tuyến với

(C)tai B,C lan lwot cat (C)tai M,Nvatt giac BMNC là hình thoi

1.25 Tim tat cả các cặp giá trị (m.n)để duong thang d:y=mx+ncat do thi hàm số

ýs-#°%4xz°— đt bón điểm phân biệt A,B,C,Dco hoanh do lan lượt là

X,<x, <x,<x, sao cho 48=CD=—BC

2

1.26 Cho ham so y= af +(2-m)x”+3(2m~—3)x+m (C,„) Tìm những giá trị của tham sô

m để đường thắng đ: y=—x+m cắt (C, )tại ba điểm phân biệt 4(0,/), 8, CC, đồng thời

OA la phan giac trong goc BOC

1.27 Tìm những giá trị của tham số m dé d6 thi ham số y=>#`—3x°+3mx+m cắt trục hoành

(x,- 2) +(x„— 2} +Íxv— 2} =3,

1.28 Tìm m đẻ đồ thị hàm sô y=x`—3/mx°+m—l cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

A,B,C sao cho 4B = BC

Tuong giao voi ham phân thức bac nhất trên bậc nhất :

BAI TAP MAU

Chứng minh rằng với mọi 7m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị (C)tai hai điểm phân biệt 4

và B Goi k,,k,lan lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)tại 4và Z Tìm m để tổng

k, +k, lớn nhất

Loi gidi:

Hoành độ giao điêm của d: y = x+m và(C) là nghiệm phương trình: x+m =

2x-—]

34

Dang Thanh Nam

Trang 28

<> (at m)(2x- 1)=-x+1(dox= 5 khong là nghiệm) © 2x” + 2mmx— m—l = 0(*)

Ta có A'=m”+2m+ 2>0,Vm Suy ra d luôn cat (C)tai hai điểm phân biệt với mọi mm

Goi x,,x, la nghiệm của (Š), ta có

Tu dé suy ra k, +k, =—4m’ —8m-6=—4(m+1) —2<-2 Dau bang xay ra khi va chi khi

Hoành độ giao điêm của đ : y =—x—?m và(C yla nghiệm phương trình: —x — =

2x-—]

> (x+ m)(2x—1)= —x+1(dox= = khong là nghiém) <> 2x° + 2mx—m—1= 0(*)

Taco A'=m’+2m+2>0,Vm Suyra d luén cat (C)tai hai điểm phân biệt với mọi 7n

Goi x,,x, la nghiệm của (*), ta có

35

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 29

Theo dinh li Vi-et ta co: x, +x, =m—4;x,x, =|—2m Tudo suy ra

Ap = 2(m? +12) >2= 4B >4/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của 48 = V2 khi va chikhi m=0

+ Phuong trinh duong thang d: y =k(x+1)+1

x-3

+ Hoành độ giao diém ctia d va (C)1a nghiém phuong trinh: =k(x+1)+1

x+l

<> kx’ + 2hv+k+4 = 0(*)(do x =—1 khong la nghiệm)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x,,x, thỏa man

Dang Thanh Nam

Trang 30

Goi d la dudng thang đi qua I(1;1) co hé so goc k Tim kdé d cat (C)tai hai điểm phân biệt

M và Nsao cho độ dài MN bang 3⁄0

Lời giải:

+ Phương trình đường thắng đ: y = k(x-1)+1

2x+4

+ Hoành độ giao điểm của d va (C)la nghiệm phương trình: =k(x-1)+1

Do x=1khong la nghiém nén phvong trinh tuong duong voi "

kx’ —(2k-3)x+k+3 = 0(*)

d cat(C)tai hai diém phân biệt M,Nkhi va chi khi phuong trinh (*) có hai nghiệm phân biệt

[k#0

“?|A=9-24k>0

Do M⁄,Med= y„ =k(x„T—1)+l:y„ =k(xy—1)+1 Suy ra

MN? =(x,,-Xy) +(¥y—Yw) = (1 +k? )(x„ —xy) = (1 +k? )|(xz 3Ÿ = 4xyxy | =90

Bài 6 Cho ham so y= (Cc)

Tim mdé duwong thang d: y=x+m cat (C)tai hai diém phan biét Ava Bsao cho Ava B cing VỚI gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tạiO

A=m”—2m+5>0,Vm Từ đó suy ra đ luôn cat (C)tai hai diém phan biét A,B

Dohaidiem 4,Bed => V,=X, +My, =X, +m

Suy ra tọa độ cha A(x,;x,+m),B(x,;x, +m)

37

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 31

Va Ode (2%, +m),OB=(x ;x, +m) Tam giac OAB vu6ng tai O khi va chi khi

nhánh của (C và thỏa mần

X;g— yg +r=0 Lời giải:

(d):y=x+m cat d6 thi (C)tai hai diém phan biét 4,Bsao cho OA? +OB’ =—

kLời giải :

Dang Thanh Nam

Trang 32

Goi A(x,,x, n m):B(x,.3x, +m)là tọa độ giao điểm của (d)va lây khi đó theo định lý viét, ta

Vay m= ¬gim = 2là hai gia tri can tìm

BAI TAP DE NGHI

; 2x—

1.1 Cho ham so y= =

mx+Ì

đrự=32 (x—m) tại hai điểm phân biệt 44, thuộc một đường (7) co định Dường thắng

(C„) Chứng minh rằng với mọi m # 0, (C,, )cat đường thang

đd cắt trục hoành tại hai điêm M,N Tim nhitng giá trị của m đề S_„ = 3Š y:

(C) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thang

1.4, Cho hàm so „H—— (C) Tim mde duong thang y=x+2cat (C, )tai hai diém

phan biet Ava Bsao cho AB= 2/2

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 33

2 2

1.6 Cho đường thăng y= 2

(C) và điêm A(-2:4) Việt phương trình đường thăng d

cat đỏ thị hàm số (C)tai hai diém phan biét B,C sao cho tam gidc ABC déu

1.7 Tim m để đường thắng d: y=x+2m cat d6 thiham sé y= tai hai diem phan biét

x+2 A,B sao cho AB < 4/2

1.8 Tìm m để đường thắng y=x+m cắt đô thị hàm số y= x+2 tại hai điểm phân biệt

2(x-I) A,B sao cho OA’ +OB* =—

CAC BAI TOAN VE CUC TRI HAM SO

Loai 1 : Điêu kiện hàm sô y= ƒ(x) có cực trị

Phương trình ƒ'(x)= 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trở lên

Loại 2 : Điều kiện dé mot điểm là cực trị của hàm só

Cho ham so y= f(x)diém M (a3) E€(C) 1a điểm cực trị của hàm số khiđó ƒ'x¿)=0

Loại 3 : Đường thăng đi qua các điểm cực trị của hàm sô

Xét với hàm số đa thức bậc 3 : y = øxÌ+bx?+cx+đ có đạo hàm y'= 3x? +2bx+e

Lấy y chia cho y'ta được

Ham so dat cuc tri tai x,,x,thikhido y'(x,)=y'(x,) = Onén

40

Dang Thanh Nam

Trang 34

= Hai điêm cực trị của hàm sô năm trên đường thăng

Lưu ý : Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo cách này, nhưng có chứa tham sô thì đây là lựa chọn khôn ngoan

Loại 4 : Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chăng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác đêu, Lúc này chúng ta dựa vảo tính chât của tam giác

Dang toán : Liên quan đến điều kiện tồn tại cực, cực tiểu- tọa độ cực trị

dầu từ dương sang âm khi đi qua x,„hay không

(C) , (x-a} +(y-b} =#ˆ

T =( Ax, + By, + C)( Ax, + By, + C)

V =((x,-a)' +(»,-b)' -R°)((x,-@)' +(y,-) - 2’)

Khi đó hai điểm 44, 8 nằm cùng phía với đ hoặc (C)khi và chí khi 7 >0 hoặc ƒ >0

Hai điểm A,B nam khác phía đối với đ hoặc (C )khi và chỉ khi 7 < hoặc ƒ < 0

Đặc biệt :

Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt y'=0có hai nghiệm trái dấu

Xét

Hai điểm cực trị năm khác phía đối với trục hoành thì 3cpJ:r < Öhoặc phương trình y =0 có

ba nghiệm phân biệt

4I

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 35

BAI TAP MAU

Taco y'=x —2mx= x(x" — 2m)

+ Nếu m = 0 > hàm số chỉ có cực tiểu tại x=0

+ Nếu m < 0thì hàm số chỉ có cực tiểu tại x=0

+ Nếu m > 0thì hàm số có 3 cực trị, nên không thỏa mãn

Thi lai voi m=—1thi ham sé y= (x41) —3x có y'= 3(x+1) —3= 3x(x+ 2)

đối dâu từ âm sang đương khi đi qua 0 Vậy nên hàm số đạt cực tiểu tai x = 0

42

Dang Thanh Nam

Trang 36

Vay m=-lla gia trị cần tìm ; ;

Bình luân : Rat nhiêu học sinh cũng như cả các thay cô không hiệu TỐ điêu kiện đề hàm sô đạt cực trỊ tại một điêm ; và tât nhiên như trên khi nói điêu kiện đề hàm sô đạt cực tiêu tại x = 0 thì học sinh lại việt :

y0)=0 y'(0)>0

Lưu ý: Sẽ không có điều tương đương trên, mà chỉ có là nếu đạt cực tiểu tại x=0thì

(y'(0)=0

ly "(0) > 0

Do đó khi tìm được giả trị của tham số m thì ta phải thử lại xem co théa man điều kiện đôi dấu của y'hay không

Đề hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi |

chứ không có điều ngược lại

Vay m=4 la gia tri can tim

Ta có y'=3x”—2(m+3)x+2m—I

Hàm sô có cực đại và cực tiêu thỏa mâần

*cp ` Nor =I khi và chỉ khi phương trình y'=0có hai nghiệm phân biét x,,x, thỏa mãn x2; =1, điều này tương đương với

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 37

Bài 7 Tìm các giá trị của tham so mdé do thi ham so y=—x° ~sứn +3)x° + 2(m+1)x+1c6

hai diém cuc tri voi hoanh do lon hon 1

Loi gidi:

Bai 7 Cho ham so y =2x° +mx’ -12x-13(C, )

Tim m dé (C,,) co cye dai va cue tiêu và các điêm này cách đêu trục tung

Lời giải :

Ta có ÿ'= 2(3x° +mx— 6)

Phương trình y'=0có A=m”+72 >0 nên hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm Si

Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cách đều trục tung khi và chỉ khi

Bai 8 Cho ham so y= 7 max + (mỉ -3)z Tim tat cả các giá trị của tham sô m đề hàm sô

có cực đại, cực tiêu sao cho x cø3 3; là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ

đài cạnh huyên băng „Í—

Z Lời giai :

Ta có y'=x”—mx+m”—3

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y'=0có hai nghiệm dương phân biệt x,,x, và

thỏa mãn x,° +x, ==

44

Dang Thanh Nam

Trang 38

Bai 9 Tim tat ca cac gia tri cla tham so m dé cac diém cuc dai, cực tiêu của đô thị hàm sô

y=—x +(2m + Da? NI —3m + 2)x — 4 năm về hai phía trục tung

Lời giải :

Đề đồ thị hàm số có cực đại, cực tiêu năm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương

trình y'=0có hai nghiệm trái dấu

<> 3x” +2(2m +1)x—(m* —3m +2) cé hai nghiệm trái dầu

Hàm số có cực trị khi và chỉ phương trình y'=3x” -6x —n =0có hai nghiệm phân biệt

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Trang 39

8 2m m Suy ra đường thắng đi qua hai điêm cực trị là đ: )' = (a 2): +2-— n7

Vậy đề hai điểm cực trị cách đêu đường thắng y=x— thì hoặc đ song song với đường thăng

y =x— lhoặc trung điểm của 4Ö thuộc đường thẳng Z=#~—l

Theo định lý vi-ét ta có : x, + x, -z¬-|T¬ 2): 2-—=1-1e>m=0

Ca hai gia tri nay déu thoa man diéu kién

Ta có ÿy'=3x“ —6nx =0 <> 2m” vậy đê hàm sô có cực trị khi và chỉ khi m # 0

X =.H'

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là A(0;4m’ ); B(2m;0) => AB =(2m;—4m’* ) va trung

điểm cũa AB a I(m;2m’),

Bài 12 Tìm m để hàm số y= x`-3mx7 +3(m’ — Ix—m' + có cực trị đồng thời khoảng cách

từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng 42 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ

46

Dang Thanh Nam

Trang 40

Bài 14 Tìm m để hàm số y= xÌ—3(m+1)x” +3m(m+2)x—2+m có cực trị, đồng thời khoảng

cách từ điêm cực đại đên trục hoành băng khoảng cách từ điêm cực tiêu đên trục tung

Lời giải :

47

Dang Thanh Nam

www.VNMATH.com

Tiêu đề	Hàm số và các bài toán liên quan
Trường học	University of Hanoi
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	13,34 MB