Hàm số và các bài toán liên quan

Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan Hàm số và các bài toán liên quan

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015

CHUYỀN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN

BÀI 1 KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Định lý: Hàm số y = f(x) xác định trên miền D

+ Nếu y’≥0 trên D thì hàm số đồng biến trên K ( Dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn)

+ Nếu y’≤0 trên D thì hàm số đồng biến trên K ( Dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn)

Dạng 1 Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số dạng : y = f(x)

- Phương pháp:

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính y’ và giải pt y’ = 0

+ Lập BBT ( hoặc chỉ cần xét dấu y’ ) kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn

• Chú ý cách xét dấu của hàm đa thức và phân thức

Bài tập điển hình :

Bài 1 Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y = −2x3+3x2 +1 b) y x= 3 −3x2+3x+1

x

Bài 2 Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

x

y

x

+

=

1

y

x

=

+

1

x

= − +

+

d) y= x2 −2x+2

x y

x

+

=

−

BT tự luyện cho dạng 1:

c) y= −2x3+3x2 +2 d) y= − +x4 4x2 −1

1

x y x

−

= +

g)

1

y

x

+ +

=

1

1

x

= − −

+

Dạng 2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số m

Phương pháp 1: Sử dụng với tam thức bậc 2.

Phương pháp 2: Sử dụng hàm số

Bài tập điển hình :

Bài 1 Tìm m để hàm số:

a)

3

3

x

y= −x + m− x m+ đồng biến trên R

b)

3

3

x

y= − +mx + m− x+ nghịch biến trên R

2

1

3

Bài 2 Cho hàm số y = − +x3 3x2 +3mx−1 (1) (ĐHA,A1 _2013)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

Bài 3 Cho hàm số y= 2x3− 3(2m+ 1)x2+ 6 (m m+ 1)x+ 1 có đồ thị (Cm)

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞ )

3

y=− x + m− x + m+ x− đồng biến trên (0, 3)

Bài 5 Cho hàm số 1 ( 1) 3 (2 1) 2 (3 2)

3

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

Bài tập luyện tập:

1. Cho hàm sốy x= 3+ − (1 2 )m x2+ − (2 m x m) + + 2.Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0;= +∞)

2. Cho hàm số y 1 (m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

= − + − − + Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2)= −∞

3. Cho hàm số y 1 (m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

= − + − − + (m≠ ±1)

Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K (2;= +∞)

4. Cho hàm số y x= 3+ 3x2+mx m+ (m là tham số).

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

5. Cho hàm số y= − 2x3+ 3mx2− 1

Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng ( ; )x x1 2 với x2− =x1 1

6. Cho hàm số y x= 4− 2mx2− 3m+ 1 , (m là tham số).

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).

7. Cho hàm số y mx

x m

4 +

= +

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) −∞

1

x x m y

x

=

−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1)−∞ −

9. Cho hàm số 2 2 3

1

y

x

− +

=

−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

10. Cho hàm số 2 2 3

1

y

x

− +

=

−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)

11. Cho hàm số 2 2 3 2

2

y

m x

− +

=

−

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1)−∞

12. Cho hàm số 2 2 3 2

2

y

m x

− +

=

−

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ )

Dạng 3 Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải pt, bpt, hpt,bđt

* Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải pt, bpt, hpt

Bài 1 Giải phương trình: x5 + x3 − 1 3− x + =4 0

Bài 2 Giải phương trình: x2 + 15 3 = x− + 2 x2 + 8

Bài 3 Giải bất phương trình: x+ + 1 3 5x− + 7 4 7x− + 5 5 13x− < 7 8 (*)

Bài 5 Giải các hệ phương trình:

( ) ( )

1)

1 2

 − = −





 + =



( )

3

4

2)

 − − = −





 − =



( ) ( )

2 2





 + − + =



Đề thi đại học A,A1 năm 2012

( ) ( )

2

1 4)







Đề thi thử chuyên Hạ Long năm 2013

Bài 6 Giải phương trình 2014sin2x −2014cos2x =cos 2x

Bài 7 Tìm x y, ∈ ( 0, π ) thỏa mãn hệ cotg cotg

x y x y

x y



 + = π



Bài 8 Giải hệ phương trình

 + = + +

 + = + +



 + = + +



(*)

Bài 9 (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

 + + + =









* ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BĐT

x− < x x< − + ∀x > 0

Bài 2 Chứng minh rằng: sin 2 0,

2

x

∀ ∈ ÷

Bài 3 Chứng minh rằng: x+2y >lnx y x−−lny ∀x > y > 0

 − >

−  − −  x y, ( )0,1

∀ ∈





≠

Bài 5 Chứng minh rằng: a b <b a ∀a > b ≥ e

Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau:

a, Sinx < x Với 0

2

x π

< <

b, 3 sin

6

x

x− < x Với x > 0

Bài 7 (Đề TSĐH khối D, 2007)

Chứng minh rằng (2 1 ) (2 1 ) , 0

+ ≤ + ∀ ≥ >

Bài 8 (Bất đẳng thức Nesbitt)

2

+ + + ∀a, b, c > 0 (1)

Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt ra đời năm 1905 và là một bất đẳng thức rất nổi tiếng trong suốt thế kỷ 20

Trên đây là một cách chứng minh bất đẳng thức này trong 45 cách chứng minh.

Bµi 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x− + 1 4x2 − = 1 1.

Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 − +x x2 − 2 + −x x2 = 1.

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:

4 2x+ 2x+ 2 6 4 − +x 2 6 − =x m (ĐH- Khối A 2008).

Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệp thực:

2 4

3 x− + 1 m x+ = 1 2 x − 1 (ĐH- Khối A 2007).

Bài 5: Xác địng m để phơng trình sau có nghiệm: m( 1 +x2 − 1 −x2 + = 2) 2 1 −x4 + 1 +x2 − 1 −x2 (ĐH- Khối B 2004)

Câu 6: Chứng minh rằng phơng trình sau có đúng 1 nghiệm: x5 -x 2 -2x-1 =0 (ĐH- Khối D 2004)

Bài 7: Tìm m để bất phơng trình m x( 2 − 2x+ + + 2 1) x(2 − ≤x) 0 có nghiệm x∈0;1+ 3 

Bài 8: Tìm m để phơng trình 4 x2 + − 1 x m= có nghiệm.

Bài 9: Tìm m để phơng trình 4 x4 − 13x m x+ + − = 1 0 có đúng 1 nghiệm.

Bài 10: Xác địng m để ph.trìmh 2(Sin4 x+cos 4 x) +cos4x+2sin2x+m=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn

0;

2

π