chương 2,3 - Hóa lượng tử

Khái niệm về obital nguyên tử Hàm sóng ψr,θ,ϕ là hàm mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử.. ħ Nh vậy, hàm không gian ψn,l,m phụ thuộc vào 3 số lợng tử và mô tả trạng

Chơng 2 Bài toán nguyên tử hệ 1 electron

2.1 Trờng xuyên tâm - Hệ toạ độ cầu

2.1.1 Trờng xuyên tâm:

Một trờng thế đợc gọi là trờng xuyên tâm khi:

- Mọi lực tác dụng lên hạt đều đi qua một điểm cố định goị là tâm của trờng và ngời

ta lấy điểm này làm gốc toạ độ

- Lực đó chỉ phụ thuộc khoảng cách R từ tâm đến hạt chứ không phụ thuộc vào phơng của vectơ R, do đó U = U(r)

Ví dụ: Trờng lực của hạt nhân đối với electron là trờng xuyên tâm

U = -

r

Ze2

2.1.2 Toạ độ cầu:

Vì trờng xuyên tâm là trờng đối xứng cầu, nên các bài toán trong trờng xuyên tâm

ng-ời ta sử dụng hệ toạ độ cầu Giữa toạ độ Descartes và toạ độ cầu có mối quan hệ sau:

- Toán tử Laplace

2

2 2

1)(

1

r r

r r

sin

1)(sinsin

1

ϕθθ

θθ

∂+

ˆ

ϕϕθθ

ϕ

∂

∂+

ˆ

ϕϕθθ

1

r r

r r

r r

2.1.4 Các toán tử giao hoán trong trờng xuyên tâm:

Trong trờng xuyên tâm các toán tử Hˆ, Mˆ 2 và Mˆ z giao hoán với nhau từng đôi

một: [Hˆ , Mˆ 2] = [Hˆ , Mˆ z] = [Mˆ 2, Mˆ z] = 0 Do đó, các trị riêng của chúng E, M2, Mz là

đồng thời xác định Chúng có chung hàm riêng và lập thành một hệ toán tử đầy đủ, xác định hoàn toàn hàm sóng của hệ

2.2 Bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro

Nguyên tử hidro và ion giống hidro nh He+, Li2+ có một electron duy nhất chuyển

động trong trờng lực của hạt nhân với điện tích dơng +e (hay +Ze) có thế năng U = -Ze2/r ( r: khoảng cách từ electron đến hạt nhân)

So với electrron, hạt nhân có khối lợng rất lớn và chuyển động rất chậm, nên một cách gần đúng ngời ta xem nó đứng yên và đặt gốc toạ độ tại nhân Nh vậy, bài toán nguyên

tử hidro và ion giống hidro chuyển thành bài toán xét chuyển động của electron trong trờng xuyên tâm

2.2.1.Phơng trình Schrodinger của nguyên tử hidro

0)(21

)(

1

2 2

r r

Toán tử Mˆ z và Mˆ 2có hàm riêng chung là Y (θ,ϕ) ( hàm cầu)

ψ(r, θ , ϕ ) là hàm riêng của toán tử Hˆ Để ψ(r, θ , ϕ ) cũng là hàm riêng của Mˆ 2và Mˆ z thì ψ phải bằng tích của hàm cầu Y( θ , ϕ ) với một hàm chỉ phụ thuộc r ( gọi là hàm bán kính R (r) )

ψ(r, θ , ϕ ) = R(r) Y ( θ , ϕ ) = R.Y (2.4)

Thay (2.4) vào (2.3) ta đợc:

0)

(

2)

(

1

2 2

RY r r

R r r r

Y M U E

mr r

R r r

2 2

2

)(

2)(

2

2 2

sin

1)(sinsin

1

ϕθθ

θθ

∂+

2

=ΘΦ+

∂

Φ

∂Θ+

θθθ

1[

2

1Φ

- 2

2

1Φ

1[

*Phơng trình (2.13) đợc viết lại:

0

2 2

2

=Φ+Φ

θθ

2

sin)(sinsin

1

2

2

l l

m

θθ

θθ

Phơng trình (2.15) là phơng trình hàm số cầu, phơng trình này chỉ có thể có nghiệm

đơn trị, hữu hạn, liên tục

12)

(

m l

m l l

+

−+

12

m l

m l l

+

−+

P m(cosθ)

l eim ϕ (2.17)

b.Trị riêng của toán tử Mˆ 2 , Mˆ z

-Trị riêng của M 2 : Mˆ 2 = A2= l(l+1) 2 (2.18)

l = 0,1,2,

l gọi là số lợng tử phụ ( số lợng tử obital)

Theo qui ớc những trạng thái của hệ ứng với các giá trị của l là:

l = 0 1 2 3 4 5 6 7

s p d f g h i k-Trị riêng của Mz : Mˆ zφ = Mzφ

Một số dạng hàm cầu đã đợc chuẩn hoá nh bảng 1

Chỉ những hàm cầu có ml =0 mới là hàm thực, còn các hàm cầu có ml ≠ 0 đều là phức vì có chứa eim ϕ Song vì hàm cầu Y là phần góc của ψ = R.Y, trong đó hàm bán kính R là thực, cho nên để cho AO là thực thì cần biến đổi hàm cầu phức thành hàm thực Để làm điều này ta tiến hành tổ hợp tuyến tính các hàm cầu phức một cách thích hợp có tính đến định lí Euler:

Cosϕ = (ei ϕ + e-i ϕ)/2Sinϕ = (ei ϕ - e-i ϕ)/2i

Ví dụ: Với l = 1 Từ các giá trị ở bảng 1 ta có:

Pz = ψpz = Y1,0 = θ

83

π

θπ

ϕ ϕ

cossin4

3)2(sin4

32

1 , 1 1 ,

1 +Y − = e i +e−i =

Y

Py = ψpy = θ ϕ

π

θπ

ϕ ϕ

sinsin4

3)2(sin4

32

1 , 1 1 ,

1 − − = e i −e−i =

i

Y Y

Các giá trị của các hàm đã tổ hợp đợc đa ra ở bảng 2

3

sinθ ei ϕ

21

(Y1,1+ Y1,-1) px

1 -1

Y1,-1 =

π8

Các dạng hàm Px, Py, Pz thu đợc từ sự tổ hợp tuyến tính gọi là các obital nguyên tử Px,

Py, Pz và kết hợp với các giá trị của x, y, z trong hệ toạ độ cầu ta đợc:

Pz =

π4

3

(z/r); Px =

π4

3

(x/r); Py =

π4

m dr

dR r dr

R d

Từ phơng trình (2.19) ta phải tìm giá trị E và R(r)

Đối với electron có hai khả năng xảy ra:

- Khi electrron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E > 0

- Khi electrron còn tơng tác với hạt nhân, nghĩa là tồn tại liên kết hoá học, E < 0 Đây

Tìm giá trị của các hàm dr, dr2, dR/dr, d2R/dr2 (2.21)

Thay các gía trị ở (2.20) và (2.21) vào (2.19) và biến đổi để đa về dạng Laguerre, giải

ta đợc nghiệm của phơng trình hàm bán kính:

R(r) = -C2 ) / 2 1(2 )

o

l l n na Zr

Zr L

e na

])!

[(

)!

1(

4

l n n

l n

Phơng trình bán kính chỉ có nghiệm khi n-l-1 ≥ 0 và nguyên, tức là n≥ l + 1 và nguyên, mà l = 0, 1, 2, ; do đó n = 1, 2, n đợc gọi là số lợng tử chính

Nh vậy ứng với một giá trị của n có n giá trị l

n = 3 l = 0, 1, 2 : 3s, 3p, 3d

n = 4 l = 0, 1, 2, 3 : 4s, 4p, 4d, 4fMột số hàm bán kính R (n,l) của các ion giống hidro đợc trình bày ở bảng 3

Bảng 3: Một số hàm bán kính của các ion giống hidro

o

e a

.)(

o o

e a

Zr a

)

21()(2

o

e r a

.)(62

o

a Zr

o o

o

e a

r Z a

Zr a

2

2 2 2

/

9

22

3()(39

o o

e a

Zr a

)32()(627

Z 7/2 2 /3

)(3081

E đợc lợng tử hoá vì n nhận giá trị gián đoạn

E1 : ứng với trạng thái n = 1: Trạng thái cơ bản E min.

Trong nguyên tử hidro và ion giống hidro thì những trạng thái ứng với n ≥ 2 gọi là trạng thái kích thích

2.2.4 Một số tính chất của các hàm sóng

2.2.4.1 Khái niệm về obital nguyên tử

Hàm sóng ψ(r,θ,ϕ) là hàm mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử Hàm ψ(r,θ,ϕ) là tích của hàm bán kính và hàm góc

ψn,l,m (r,θ,ϕ) = Rn, l (r) Y l,m (θ,ϕ)

Trong quá trình giải phơng trình Schrodinger ta thấy xuất hiện 3 số lợng tử:

- n: Số lợng tử chính nhận các giá trị 1, 2, 3 Số lợng tử này xác định những mức năng lợng trong nguyên tử:

E = - 22 24

2 n

me Z

- l: Số lợng tử phụ hay số lợng tử orbital nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, (n -1) Số lợng tử này xác định momen động lợng orbital:

M = l(l+1)

- ml: Số lợng tử từ nhận các giá trị 0, ±1, ±2 ± l Số lợng tử này xác hình chiếu của mômen động lợng theo một phơng nào đó, chẳng hạn theo trục z

Mz = ml ħ

Nh vậy, hàm không gian ψn,l,m phụ thuộc vào 3 số lợng tử và mô tả trạng thái chuyển

động của electron trong nguyên tử hidro và ion giống hidro Theo Mulliken, những hàm nhthế gọi là orbital nguyên tử (viết tắt là AO - Atomic Orbital)

Trong cơ học lợng tử khái niệm quỹ đạo (orbit) đợc thay bằng orbital Đó chính là những hàm sóng mô tả trạng thái của electron, sự phân bố xác suất có mặt của electron trong nguyên tử

Một số obital nguyên tử của nguyên tử hiđro đợc đa ra ở bảng 4

Bảng 4: Một số orbiatl nguyên tử của nguyên tử hidro

100 1s 2ao-3/2e-r/ao

π2

π2

211 2px r a o

o r e

a ) 5 / 2 / 2

(62

π8

π8

o o

a

r a

r

2

2 2

/

9

22

3()(39

π2

π8

π8

π4

π4

π4

π4

π4

15

sin2θsin2ϕ -1,5

2.2.4.2 Sự suy biến năng lợng của AO

Qua bảng trên ta nhận thấy các AO phụ thuộc vào 3 số lợng tử n, l, ml nhng năng lợng

E chỉ phụ thuộc vào n mà thôi không phụ thuộc vào l và ml Khi năng lợng không phụ thuộc vào số lợng tử nào thì nó suy biến đối với số ;ợng tử đó, nghĩa là E suy biến theo l và ml

ứng với mỗi giá trị của n có n giá trị của l từ 0, 1, 2, (n-1) và ứng với mỗi giá trị của l có 2l + 1 giá trị ml từ -l đến + l Nh vậy ứng với mỗi giá trị của n ta có:

∑−

=

1 0

n

l

(2l + 1) = n2 AO với các giá trị của l và ml khác nhau

Ví dụ: ứng với n = 2 có 22 = 4 AO, ta nói mức năng lợng E2 bị suy biến bậc 4

2.2.4.3 Xác suất có mặt của electron

Mỗi trạng thái của electron đợc xác định bằng một hàm sóng ψn,l,m và ứng với mỗi hàm sóng này có một sự phân bố xác suất của electron quanh một điểm M nào đó trong không gian

Theo lý thuyết xác suất, mật độ xác suất đợc xác định bằng bình phơng mođun của hàm ψ 2

Trong toạ độ cầu một đơn vị thể tích dτ là:

dτ = r2sinθdrdθdϕXác suất có mặt của electron đợc biểu diễn:

π θ θ

ϕθθ

2

0

* 0

1

Y Y

Ta sẽ xét mật độ xác suất theo bán kính và theo góc

/ 2 /

3 )

r R d

hay 8r.e-2r(1-r) = 0 ⇒ rmax = 1 = a0 = 0,53 A0

Hình 1 Sự phân bố mật độ electron theo bán kính

Từ đồ thị thu đợc cho thấy, electron không khu trú trên một quỹ đạo (orbit) xác định

mà chúng đợc giải toả đều trong toàn không gian orbital xung quanh hạt nhân, nghĩa là electron có mặt ở khoảng cách bất kỳ quanh hạt nhân với những mật độ xác suất khác nhau, trong đó có mật độ xác suất lớn nhất: r1s (max) = ao; r2p(max) = 4ao

Nh vậy, một lần nữa khái niệm quỹ đạo trùng với quỹ đạo Bohr của cơ học cổ điển không còn ý nghĩa trong cơ học lợng tử

b Đồ thị hàm cầu và mật độ xác suất theo góc

Đây là sự phân bố mật độ xác suất trong trờng xuyên tâm theo một hớng cho trớc đợc xác định bởi góc θ, ϕ

Hàm Yl,m(θ, ϕ) chỉ phụ thuộc vào các số lợng tử l và m và độc lập với số lợng tử chính n

Xác suất theo góc đợc biểu diễn bằng biểu thức:

dP(θ, ϕ) = Y*Ysinθdθdϕ = Y*YdΩVới dΩ = sinθdθdϕ

Mật độ xác suất đợc biểu diễn nh sau:

*

)()(

Y Y Y D

1

Đồ thị hàm cầu Y00 là một hình cầu bán kính bằng

π

4

1

, nó không phụ thuộc vào góc θ,ϕ và dơng ở khắp nơi

+Mật độ xác suất theo góc cũng không phụ thuộc vào θ,ϕ

Y2

00 =

π41

- Khi l = 1 ( trạng thái p):

Px =

π4

3

sinθcosϕ; Py =

π4

3

sinθsinϕ; Pz =

π4

3

cosθ

+ Đồ thị Pz và Pz2 có thể biểu diễn nh sau:

Sự biến thiên của Pz phụ thuộc vào góc θ Từ hình trên ta thấy khi θ =0o, cosθ = 1,

đoạn OA = 3 nằm trên trục OZ Nh thế giá trị lớn nhất là 3, khi θ =90o,

cos θ = 0, đoạn OA tíên tới gốc toạ độ và nằm tại O, nghĩa là mặt phẳng xOy vuông góc với trục Oz làm thành một mặt nút của hàm Pz Khi θ = 45o, cosθ =

Khi bình phơng Pz2 ta sẽ có một hình số 8 tròn xoay quanh trục Z Những điểm nằm trên vành số 8 biểu thị mật độ xác suất có mặt của electron quay quanh hạt nhân

Tơng tự đối với Px, Py, Px, Py nhng phân bố theo trục X và Y

- Khi l = 2 ( trạng thái d), lí luận tợng tự ta có đồ thị cuả các hàm dz2 , dx2-y2, dxy, dxz,

dyz

Đồ thị các hàm mật độ xác suất theo góc tơng ứng với 5 hàm d trên thu đợc bằng cách bình phơng các hàm sóng này, do đó các múi dơng và thon hơn

2.2.4.4 Khái niệm mây electron

Vì electron vừa có tính chất sóng, tính chất hạt nên sự chuyển động của electron xung quanh hạt nhân nh loang ra, nh nhoè ra giống hình ảnh của đám mây Vậy mây electron là hình ảnh về s chuyển động của electron quanh hạt nhân

Mây electron tỉ lệ với –e.ψ 2 ; điều đó có nghĩa là mây dày tức mật độ xác suất lớn thì khu vực đó dễ tìm thấy electron, trái lại mây mỏng hay tha, nghĩa là mật độ xác suất nhỏ thì khó tìm thấy electron Vậy mây electron không phải là AO

2.2.4.5 Hình dạng của AO

Để biểu diễn hình dạng của AO, có thể có các cách sau:

- Biểu diễn AO thông qua hàm góc Y (θ,ϕ)

- Biểu diễn AO thông qua hàm Y(θ,ϕ2

- Biểu diễn AO bằng cách vẽ bề mặt giới hạn khoảng không gian tìm thấy phần lớn (~ 95%) mây điện tích electron Hình dạng các bề mặt giới hạn này đợc xác định bởi đồ thị hàm mật độ xác suất theo góc

Từ các biểu thức toán học cho thấy, không gian mà electron có mặt không có một giới hạn rõ ràng Tuy nhiên, trong trờng hợp chung, phần lớn xác suất có ặmt của electron tập trung chủ yếu trong một không gian xác định Vì vậy, trong trờng hợp chung ngời ta th-ờng biểu diễn các obital bằng một mặt cong giới hạn bao gồm phần lớn (khoảng 95%) xác suất có mặt của electron

Số lợng tử chính n nhận những giá trị: n = 1, 2, 3

Tất cả các orbital đợc đặc trng bởi cùng một giá trị của n thuộc cùng một lớp

Ngời ta dùng các chữ cái in để đặc trng cho các lớp

E = - 2 2 2

4 2

)4(

1

me Z

2.2.5.2 Số lợng phụ l Phân lớp Mômen động lợng của electron

Các orbital trong cùng phân lớp, về cơ bản có hình dạng giống nhau, chỉ khác nhau về

độ lớn của hàm bán kính Ví dụ: orbital s ở lớp nào cũng có hình cầu, orbital p có dạng hình quả tạ đôi

b) Mômen động lợng M của electron

Từ phơng trình góc ta có biểu thức momen động lợng của electron:

π2)1

02)10(

=

π

h M

Các electron thuộc phân lớp p có :

π

2)11(

b) Hình chiếu của momen động lợng

Kết quả giải phơng trình góc cho hệ thức:

π2

h m

Số lợng tử từ m xác định hình chiếu của momen động lợng trên một phơng xác định

Ví dụ phân lớp d có 5 orbital ứng với 5 trị của m (0, ± 1; ± 2) Electron trên 5 orbital

có momen động lợng nh nhau, nhng có MZ khác nhau: MZ = -2h/2π; -1h/2π; 0; 1h/2π; 2h/2π Các orbital trong một phân lớp khác nhau về cách định hớng trong không gian

c) Số orbital trong một lớp

Ta đã biết, ứng với những tổ hợp khác nhau của các giá trị khả dĩ của n, l, m ta có những orbital ψnlm khác nhau ỉng với một giá trị của n (một lớp) có n giá trị của l (phân lớp)

và ứng với một trị của l (một phân lớp) có (2l +1) gía trị của m

Nh vậy, ứng với một trị của n (lớp n) ta có:

∑= −

=

=+

1 0

2

)12(

n l

l

n

l orbital

Do đó, lớp n có n2 orbital

2.2.6 Giản đồ năng lợng và phổ phát xạ nguyên tử của hidro

2.2.6.1 Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro

Biểu thức năng lợng của electron trong nguyên tử hidro:

En = - 2 2 2

4 2

)4(

1

me Z

πε



2.2.6.2 Phổ phát xạ của nguyên tử hidro

ở điều kiện bình thờng, electron ở trạng thái cơ bản 1s; khi đợc kích thích, electron chuyển lên một orbital có năng lợng cao hơn Tuy nhiên, trạng thái kích thích là trạng thái không bền, chỉ sau một thời gian rất ngắn (khoảng 10-8s) electron lại chuyển về những trạng thái có năng lợng thấp hơn, có thể qua nhiều bớc nhảy và cuối cùng về lại trạng thái cơ bản

Khi chuyển từ mức năng lợng cao (Ec) về mức năng lợng thấp (Et) năng lợng của electron giảm: ∆E = Ec - Et Theo nguyên lý bảo toàn năng lợng, electron sẽ giải phóng một năng lợng: ε = hν = hcν đúng bằng ∆E

Ta có: ν =

hc

E hc

− (ν = 1/λ : số sóng)

Hay ν = 2 3 ( 12 12) ( 12 12)

4 2

c t

H c

n c h

109678

c h

e

mπ gọi là hằng số Rydberg

Nh vậy, ứng với mỗi bớc nhảy xác định từ nc→ nt nguyên tử phát ra một bức xạ đơn sắc với số sóng đợc tính theo công thức trên Khi qua máy quang phổ, mỗi bức xạ đơn sắc cho một vạch phổ Tập hợp nhiều vạch phổ cho một dãy vạch phổ

Hình 2: Giản đồ năng lợng và sự xuất hiện các dãy phổ phát xạ của hidro

* Dãy Lyman: Tập hợp các vạch phổ ứng với những bớc chuyển electron từ những mức năng lợng cao (nc) về mức cơ bản (nt =1) tạo nên một dãy vạch phổ gọi là dãy Lyman,

đợc Lyman tìm ra năm 1916

Đối với dãy Lyman: nt = 1; nc = 2; 3; 4; ; ∞

Bức xạ thuộc dãy Lyman có ν lớn và thuộc miền tử ngoại

* Dãy Balmer: Tập hợp các vạch phổ ứng với bớc chuyển electron từ nc về

nt = 2 Các bức xạ thuộc dãy Balmer nằm trong miền khả kiến đã đợc Balmer tim ra đầu tiên năm 1885 và là dãy phổ quan trọng nhất của H

Một số vạch thờng hay nói đến trong dãy Balmer:

Hα (màu đỏ): nc = 3  nt = 2; λ = 6562,8 Ao

Hβ (màu lam): nc = 4  nt = 2;λ = 4861,3Ao

Hγ (màu chàm): nc = 5  nt = 2; λ = 4340,5 Ao

Hδ (màu tím): nc = 6  nt = 2; λ = 4101,7 Ao

* Dãy Paschen gồm tập hợp những bức xạ phát ra khi có sự chuyển electron từ nc về nt

= 3 đợc Paschen tìm ra năm 1908 Những bức xạ này nằm trong miền hồng ngoại

* Dãy Brackett gồm tập hợp những bức xạ có bớc nhảy electron từ nc về nt =4 đợc Brackett tìm ra năm 1922

* Dãy Pfund gồm tập hợp những bức xạ có bớc chuyển electron từ nc về nt = 5, đợc Pfund tìm ra năm 1924

2.2.6.3 Phổ phát xạ của những ion giống hidro

Đối với những ion giống hidro nh He+ (Z = 2); Li2+ (Z = 3); Be3+ (Z = 4); thì năng ợng của electron đợc tính theo công thức:

2

6,13

n n Z

RX có giá trị khác so với RH vì số sóng phụ thuộc ít nhiều vào hạt nhân

2.2.7 Spin của electron - Hàm spin- orbital

a Spin của electron: Theo cơ học lợng tử phi tơng đối tính, khi giải phơng trình

Schrodinger ta thu đợc 3 số lợng tử n, l, ml Ba số lợng tử này cha đủ để đặc trng cho trạng thái của electron

Ví dụ: khi cho một chùm nguyên tử H đi qua một từ trờng không đều thì chùm H chia làm hai phần theo hai hớng ngợc nhau Ta đã biết với nguyên tử H : n = 1 ⇒

l = 0 , M = l(l+1)  = 0 Nghĩa là H không có momen động lợng, nên phải đi thẳng qua

từ trờng, điều này mâu thuẫn với thực tế

Ngoài ra, khi nghiên cứu chi tiết về phổ phát xạ của nguyên tử H và kim loại kiềm, năm 1925 hai nhà bác học Hà Lan Uhlenbeck và Goudsmit đã đa ra giả thuyết về spin Theo Uhlenbeck và Goudsmit thì ngoài momen động lợng xác định bằng số lợng tử l, electron còn

có momen phụ thêm, đợc gọi là momen động lợng riêng hay momen spin Uhlenbeck và Goudsmit giải thích sự tồn tại của momen spin bằng sự chuyển động tự quay của electron chung quanh trục riêng của nó ( tiếng Anh spin có nghĩa là quay)

Tuy nhiên, sự tự quay cuả electron chỉ là một cách diễn tả hình tợng và không đợc khoa học hiện đại chấp nhận Mặc dù vậy sự tồn tại của momen spin là một thực tế khách quan

Năm 1928 Dirac (Anh) đã dựa vào thuyết tơng đối Einstein để hiệu chỉnh khối lợng của electron và giải phơng trình Schrodinger đã đợc tơng đối hoá thì thu đợc số lợng tử thứ 4 gọi là số lợng tử spin- kí hiệu là S; S = 1/2

ứng với mỗi giá trị của S có 2S + 1 giá trị khác nhau của ms (số lợng tử spin của e)

ψn,l,m,s(r, σ ) = ψn,l,m,(r) χms( σ ) Hàm toàn phần hàm vị trí hàm spin

Vì ms = ± 1/ 2, nên có hai hàm spin : χ1/2( σ ) = α

χ-1/2( σ ) = β

Suy ra: ψn,l,m,ms(r, θ,ϕ,σ ) = ψn,l,m(r, θ,ϕ) α

= ψn,l,m(r, θ,ϕ) β

ứng với một hàm vị trí có hai hàm toàn phần

* Dirac khi giải phơng trình Schrodinger tơng đối tính thì thu đợc biểu thức tính năng lợng:

4

32/1

1(1

[2

2

4 2

Z e