TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12 TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12TÓM TẮT KIẾN THỨC MÔN GIẢI TÍCH LỚP 12
Trang 1GIẢI TÍCH 12
@ Bổ túc về đại số:
1 phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1,
x2 là nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b=b 2-4ac ( ’=b’=b 2
-ac với b’=b/2)
a
b x
a
b
x
2
' '
2 1,2
2
,
1
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0
thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2 tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a +=b
0 ) (
2
x
+
0
0 0
)
0
0 0
)
f
+
0 2
0 ) (
0
2
1
S
af x
0 2
0 ) (
0
2
1
S
af x
x
3 phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = 0x + ) = 0 ) = 0
với =a+b; = +cx + ) = 0 ) = 0 x + ) = 0
4 các công thức về lượng giác, cấp số và
lôgarit:
);
2 cos 1
(
2
1
cos
);
2 cos(
sin );
2 sin(
cos
x x
x
x
) 2 cos 1
(
2
1
sin2x x ; 1+tg2x=
x
2 cos 1
x
2
sin
1 cotg
1
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b b
c
q
I ĐẠO HÀM:
1 Qui Tắc:
1 (u v)’ = u’ v’ v)’ = u’ v’ v)’ = u’ v’
2 (u.v)’ = u’v + v’u
' v
u ' v v '
u v
4 (ku)’ = ku’ (k:const)
2 Công thức:
(xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’
2
' x
1 x
1
2
' u
' u u
1
x 2
1
u 2
' u
u ' (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ =
x cos
1
2 (tgu)’ =
u cos
' u 2
(cotgx)’ =
x sin
1 2
(cotgu)’ =
u sin
' u 2
(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu (ax)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna (lnx)’ = x1 (lnu)’ = uu' (logax)’ = xlna
1
(logau)’ = ulna
' u
II KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1 Hàm bậc ba y = ax 3 +bx +cx+d: 2
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- để hs tăng trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs giảm trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 ny’=0 có 2 n 0 pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có y’=0 có 2 n nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
Trang 2- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị
thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau y’=0 có 2 n
ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc y’=0 có 2 n
y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox
2 Hàm trùng phương y = ax 4 +bx +c: 2
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có y’=0 có 2 n
3 n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 ny’=0 có 2 n 0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0; y’=0 có 2 n =b
S>0
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc y’=0 có 2 n
>0; P>0; S>0; x
=b 2 = 9x1 và sử dụng đlý
Vieet
3 Hàm nhất biến
d cx
b ax y
Miền xác định D=R\ c
Tính
'
d cx
bc ad y
(>0, <0)
TCĐ x d c vì lim 0
y
c d
x
TCN y a c vì y a c
x
lim
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
4 Hàm hữu tỷ
e dx
x e
dx
c bx
ax
y
2
chia bằng Hoocner
Miền xác định D=R\ d
Tính y’=
2 2
e dx
p nx mx e
dx
d
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có
TCĐ
d
e
x vì xlime d y 0
TCX y x vì lim 0
dx e
x
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2 y’=0 có 2 n nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là
d
b ax
y i 2 i
và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb axy’=0 có 2 n 2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) y=f(x) y=f(x) tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x0)+y0
pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.y=ax+b có hệ số góc k = -1/a
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
(2)
(1)
k x f
y x x k x f
) ( '
) (
)
thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và
y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
(x) ' ) ( '
) ( ) (
g x f
x g x f
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
Trang 33/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
a/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong ( ,+ ) a>0; 0 trong (,+) a>0; ,+) a>0; ) a>0; y’=0 có 2 n
a
b
2 ; g( ) 0.,+) a>0; 0 trong (,+) a>0;
b/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong ( ,+ ) a<0; 0 trong (,+) a<0; ,+) a>0; ) a>0; y’=0 có 2 n
a
b
2 ; g( ) 0.,+) a>0; 0 trong (,+) a<0;
c/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong ( , ) ag( ) 0; 0 trong (,+) a>0; ,+) a>0; x + ) = 0 y’=0 có 2 n ,+) a>0; 0 trong (,+) a<0;
ag( ) 0x + ) = 0 0 trong (,+) a<0;
{áp dụng cho dạng có m2}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
tăng trên ( ,+ ) y’ 0; x,+) a>0; ) a>0; y’=0 có 2 n 0 trong (,+) a>0; 0 0 trong (,+) a<0;,+) a>0;
giảm trên ( ,+ ) y’ 0; x,+) a>0; ) a>0; y’=0 có 2 n 0 trong (,+) a<0; 0 0 trong (,+) a<0;,+) a>0;
4 Cực trị:
* y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và đổi y’=0 có 2 n
dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0) 0)0)
* y=f(x) có cực đại tại x0 y’=0 có 2 n
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
* y=f(x) có cực tiểu tại x0y’=0 có 2 n
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
1 T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = RTập xác định D = R
Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n0 pb
0
0
a
2 T.Hợp 2: Hàm số / /
2
b x a
c bx ax y
P.Pháp: Tập xác định
/
\
a
b R D
Tính
/ /2
/ ( )
b x a
x g y
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0
có hai nghiệm pb thuộc D
0 )
(
0
/
/
/
a
b
g
g
5 GTLN, GTNN:
a Trên (a,b)
Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
KL: maxa b; yy CD, min ; CT
a b yy
b Trên [a;b]
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
0 ;
x a b
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL:maxa b; y M Chọn số nhỏ nhất m , KL:mina b; y m
III Hàm số mũ và logarit:
1 Công thức lũy thừa : Với a>0, b>0; m, n y=f(x) R ta có:
a n a m =a n+m ; a
n
a m=a
n−m
; ( a1n =am ;
a0=1; a1= 1a ); (a n)m =a nm ; (ab) n =a n b n;
a bn= a n
b m ; a m n=na m
2 Công thức logarit : loga b = cy’=0 có 2 na c =b ( 0< a 1; 0) b>0) Với 0< a 1, 0<0) b 1; 0) x, x1, x2>0; y=f(x) R ta
có: loga (x1 x2)=loga x1+loga x2 ; loga
x1
x2
= loga x1log a x2;
aloga x
=x ; loga x = log a x;
loga α x=1
αloga x ; (loga a x =x);
loga x=loglogb x
b a ; (loga b=log1
b a ) logb a.log a x=log b x; alog
b =xlog
b
3 Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng ax= b ( a> 0 , a )0
b 0 : pt vô nghiệm b>0 : x log
a
a b x b
* Đưa về cùng cơ số:
Af(x) = Bg(x) f(x) = g(x)y’=0 có 2 n
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng loga x b ( a> 0 , a )0 Điều kiện : x > 0
a x b x a
logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x)y’=0 có 2 n
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4 Bất PT mũ – logarit:
* Dạng a x > b ( a> 0 , a )0
b 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : x log
a
a b x b , khi a>1
x log
a
a b x b, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
Trang 4* Dạng loga x b ( a> 0 , a 0, x>0 )
a x b x a , khi a >1
loga x b x a b , khi 0 < x < 1
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
I I I Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm
của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
F/ x f x
, xa;b
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1. 1.dxxc
1
x
3. dx x c
1
4. Cosx dxSinxc
5. Sinx dxCosxc
6. dxtgxc
x
1
2
x Sin2
1
8. e x.dxe x c
a
a dx
ln
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
c b
ax a dx b ax
1
1
1
a
dx b
1 1
3. Sinaxbc
a dx b ax
4. Cosaxbc
a dx b ax
5.
a
dx b ax
1
1 2
6.
a
dx b ax
1
1
2
a dx
e ax b 1 ax b
a
a m dx
ln
1
Các phương pháp tính tích phân:Tích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức
Phương pháp đổi biến số :
b
a
x d x x
f
P.Pháp:
Đặt : t = x dt / x.d x
Đổi cận:
a t a x
b t b x
Do đó:
b
a
b a t F dt t f
Các dạng đặc biệt cơ bản:
a x a
dx I
0 2 2
P.Pháp:
Đặt: xa.tgt
2
2 t
dt a tg tdt
t Cos
a
Đổi cận:
2.Tính J a a x dx
0
2 2
P.Pháp:
2 2
int
a x
dxa.Cost.dt
Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
A= dx
Cosx Sinx
e x P
b
a
x
)
(
Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp:
Đặt u = P(x) du = P(x).dx
dv =
Cosx Sinx
e x
.dx v =
Áp dụng công thức tích phân từng phần
Trang 5A =
b
a
b
a v du v
b
a
dx b ax Ln x
P( ) ( )
Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b) dx
b ax
a
dv = P(x).dx v =
Áp dụng: B =
b
a
b
a v du v
-Dạng :
Sin x dx
A n Hay BCos n x.dx
1 Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
2 1
2a Cos a
Sin ;
2
2 1
2a Cos a
2 Nếu n lẻ:
ASin n1x.Sinx.dx
Đặt t Cosx (Đổi sinn 1 x thành Cosx )
-Dạng :
Atg m x.dx Hay BCotg m x.dx
PP:Đặt tg2 làm thừa số
Thay 2 12 1
x Cos
tg
IV Diện tích hình phẳng:
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp: DTHP cần tìm là:Tập xác định D = R
S b f x dx
a
) (
(a < b)
Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:
b
a dx x f
Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
a; b Giả sử x = , x = thì
S f x dx f x dx b f x dx
a
) (
) (
)
a
dx x f
dx x
f ).( +
b
dx x
f ).(
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y
=f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
b x
a x
b
a
b
a
dx x f dx x f
3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
(c1): y = f(x) và(c2): y = g(x) và hai đường
x = a; x = b:
P.Pháp
DTHP cần tìm là:
dx x g x f
a
) ( ) (
HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)
= 0 Lập luận giống phần số 1
V Thể tích vật thể:
1 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
a; b Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
f x dx
a
) (
2
2 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
a; b Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
g y dy
a
) (
2
IV SỐ PHỨC:
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,b R y=f(x)
Modun của số phức : 2 2
z a b
Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi
Trang 6' '
; ' '
; z z z z z z z z
z
0
z với mọi z ,
z z
z z ; zz z z ; z z
z z
;
z z z z
z là số thực z z ; z là số ảo
z
z
a+ bi = c + di a c
b d
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
2 2
a bi c di
a bi
Ta có: i1 i i , 2 1, i3 i i , 4 1
i i i i i i
1 i 2 2 i; 1 i 2 2 i
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a
Xét phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;a b c R, , )
Đặt b2 4ac
o Nếu = 0 thì phương trình
có một nghiệm kép(thực) : x
= 2
b a
o Nếu > 0 thì phương trình
có hai nghiệm thực : 1,2
2
b x
a
o Nếu < 0 thì phương trình
có hai nghiệm phức :
1,2
2
b i x
a
Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai
az bz c (a b c , , , a 0) có hai nghiệm z z1, 2 thì :
b
z z
a
và 1 2 c
z z
a
Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số z z1, 2 có tổng
z z S và z z1 2 P thì z z1, 2 là
nghiệm của phương trình :
z Sz P
