Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông.. Chứng minh rằng: AM = AN.. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM.. Chứng minh rằng E là trực tâm của
Trang 13(m + n + p) = mnp b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb
Câu 2 ( 4 điểm):
a/ Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
( x 2 x 3 x 4 x 5 24+ ) ( + ) ( + ) ( + ) −
b/ Giải phương trình: x3−2x2+ − =x 2 0 Câu 3 ( 3 điểm):
Cho tam giác ABC (góc A nhỏ hơn 900) Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông
Chứng minh rằng: AM = AN
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM H
là hình chiếu của M trên CD AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E
Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABN
Trang 2
-Câu 1
(2 đ)
Câu 2
(4 đ)
a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa mãn:
3(m + n + p) = mnp
HD: Không mất tính tổng quát nếu giả sử rằng m np p ; Khip
đó ta có: mnpp9p⇒mnp9
sau: (m; n) = (2; 3),
Thay m = 2, n = 3 ta tìm được p = 5 thỏa mãn.
Đáp số: (m, n, p) = ( 2; 3; 5) và các hoán vị của nó.
b/ Tìm số chính phương có dạng: aabb ?
HD: Đặt aabb = k2, trong đó k là số nguyên dương
Đưa về dạng: k2= 11.aOb
Từ đó, lập luận aOb chia hết cho 11, suy ra a + b chia hết cho
11; kết hợp với các chữ số tận cùng của số chính phương suy ra a
= 7, b = 4 Thử lại aabb = 7744 = 882
a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
Ta cã: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)( x2 + 7x + 16)
b/ Giải phương trình:
x3−2x2+ − =x 2 0
Đưa về dạng: (x2 +1)(x− =2) 0
Do x2 + 1 0; f ∀x x2+1 0;f ∀x nên suy ra x = 2
Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 900) Trên đường cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC
0,5
0,5 0,5 0,5
0,25 0,25 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5 1,0 1,0
Trang 3Câu 3
(3 đ)
Câu 4
(1đ)
và ANB vuông Chứng minh rằng: AM = AN.
HD:
Xét ba cặp tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp (g, g):
1/ AMC và ADM (g, g)
2/ ANB và AEN (g, g)
3/ ADB và AEC (g, g)
Rồi rút ra các tỷ số bằng nhau Suy ra: AM2 = AN2
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
E D
A
M
H
N
HD:
Ta thấy hai tam giác vuông MHD và CMD đồng dạng (g,g)
Suy ra: HD HM
MD = CM hay HD HM
Mặt khác, ta có:
·ADH = 90 0 + ·DMH = ·BMH
Suy ra:∆HDA đồng dạng với ∆HMB(c,g,c)
Do đó: ·AHD BHM= · .
0,5 0,5 0,5 1,0 0,5
0,25 0,25
Cho tam giác ABC cân tại A M, D
tương ứng là trung điểm của BC, AM.
H là hình chiếu của M trên CD AH cắt
BC tại N; BH cắt AM tại E.
Chứng minh rằng E là trực tâm của
tam giác ABN.
Trang 4Từ đó: ·AHB DHM= · = 90 0 hay BH⊥AN.
Kết hợp với AM⊥BC ta suy ra E là trực tâm của tam giác ABN
(đpcm).
-0,25 0,25