b Tìm các số nguyên dương x y, khác nhau sao cho: xy y x.. Gọi F là giao điểm của AE và BD.. a Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất.. Dấu
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1.(2,0 điểm)
a) Cho hàm số y=ax+b Biết f(1) f(2); f(5) f(6) và f(999)=1000
Tính f(2010)
b) Rút gọn biểu thức: A 2( x2 y2 x)( x2 y2 y) x2 y2
với mọi x y , 0.
Câu 2.(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng a2 a 1 không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a b) Tìm các số nguyên dương x y, khác nhau sao cho: xy y x
Câu 3.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 3x2 x 1 4
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 4x 5y 7.
Câu 4.(1,5 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng a bc b ca c ab 1 ab bc ca
Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc
với AB M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại D, E và H Gọi F là giao điểm của AE và BD
a) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất
b) Chứng minh EA EF= 2
4
AB
====HẾT====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN 9
( Đáp án có 3 trang)
1
a) Vì f(1) f(2) nên a0 (1)
f(5) f(6) nên a0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a=0
Do đó f(2010)=f(999)=1000
0,5
0,5 b) A 2( x2 y2 x)( x2 y2 y) x2 y2 =
2(x2 y2 ) 2 x2 y2 (x y ) 2 xy x2 y2
x2y2 (x y ) 2 x2y2
(x y ) x2 y2 x2 y2 x y (vì x y x2 y2 )
0,25 0,5 0,25
2
a) N a 2 =a 1 (a 2)(a3) 5
Vì (a 2) ( a3)5 chia hết cho 5 nên a 2;a3 hoặc cùng
chia hết cho 5 hoặc cùng không chia hết cho 5
*Nếu a 2;a3 cùng chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) chia hết cho
25 mà 5 không chia hết cho 25 suy ra N không chia hết cho 25
*Nếu a 2;a3 cùng không chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) không
chia hết cho 5 ( do 5 là số nguyên tố) suy ra N không chia hết cho 5,
do đó Nkhông chia hết cho 25
Vậy N không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 3b) Giả sử 1 x y Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: y x x
x
y x x
Vì y x x xmà xlà số nguyên dương nên y x Đặt y kx (kN k, 2)
Theo bài ra ta có x kx ( )kx x ( )x k x ( )kx x x k kx x k 1 k
Ta thấy x 2 (vì nếu x 1thì k 1) Do đó x k 1 2k 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra k 2k 1
nên 2k 2k (3)
Dễ thấy k 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra Do đó k 2.
Thay k 2 vào (1) ta được x 2 y 2.2 4
Thử lại x 2;y 4 thỏa mãn đề bài Vì vai trò của x, y như nhau vậy (
,
x y) 2; 4 , 4; 2
0,25 0,25 0,25
0,25
3
a) ĐKXĐ: x 1.
x x x x x x x
(x 2) ( x 1 1) 0
2 0
2( / )
1 1 0
x
x T m x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2
0,5
0,5
x y y x
5
x
t t Z
Do đó x 5t 2 y 3 4t Vậy nghiệm của phương trình là 5 2( )
3 4
x t
t Z
0,5
0,5
4
b c bc a a bc a bc
a a a bc a bc a a bc bc
a bc a bc a bc a bc
(1)
Chứng minh tương tự ta có: b ca b ca (2)
c ab c ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được
a bc b ca c ab a b c ab bc ca
0,25 0,5
0,25
Trang 4Hay a bc b ca c ab 1 ab bc ca
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1.
3
5
a) Ta có AE//BH( cùng vuông góc với AB) nên tứ giác ABHE là hình
thang vuông Do đó ( ). .
ABHE
AE BH AB EH AB
S (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
ABHE
S nhỏ nhất EH nhỏ nhất EH BH ABHElà hình chữ nhật
M là điểm chính giữa của cung AB
Vậy MinS ABHE 2R2 M C
0,5
0,5 b) Xét hình thang ABHE có OA=OB, OD//AE//BF DE DF
DE DHB g c g E
mà BH HM EA EM; (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AE E F=EM.MH (1)
Lại có OE là tia phân giác của AOM ; OH là tia phân giác của BOM
mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên EOH 90 0
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông tại H ta có
2 2
.
4
AB
EM MH OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra F 2
4
AB
AE E
0,5
0,5
0,5
A
F
C
E
H M
D
