Hệ phương trình Hàm 4

Luận án thạc sĩ khoa học -ngành giải tích -Chuyên đê :Hệ phương trình Hàm

CHUONG 2 cAc BJNII LY vE SV TON T~I~

A' ,:1 "1 "1

BUY MIA T VA ON BIND CU A LOI GIAI

(2.1) 1II1Ix = supll/(x)ll,xeI

trong d6 11/(x)!1= III/x)l,

;=1

f= (f1, ,fn) EX

khong gian Banach cac ham f: 1-7 Rn lien tt;lC,bi ch~n lIen I d6i voi chuti'n (2.1)

Chung ta thliong sa dt;lngk€t qua sau day

Dinh If Binh ly di~m bfl'tdOngBanach

Cho X la khong gian Banach WJichudn 11.11.

Cho T: X -7X la anh X(,lthoa man:

T8n t(,lisfI th1!Ca, 0:::;; a < 1 saDcho IIT(f) - T(I)II ~ alii - III, Vf,f EX.

Khi do ta co

i} T8n t{)i duy nhflt I EX saD choI = T(I)

ii) Vai m6ifo E X, xet day (fv) cho biJi

fv = T (fv-]), v= 1, 2,

ta co

j) ~~llfv - f*ll=o,

v

jj)ll/v - 1*11 ~ 11/0 - Te/o)111~ a \1'v=1,2,

Chung minh dinh ly nay co th~ Om th1y trong cae quy~n sach v€ nh~p

man giiii tich

Ta vie't h~ (1.1) du'oi dc~lllgphuong trlnh toan tITtrong X nhu san:

(2.2)

trong do

f= Tf, f= (f], ,fn) , Tf= ((Tf)], , (Tf)n) voi

(2.3)

n m (Tf)Jx) = IIaiik[x,~(Siik(X))]+ gi(X),

.H k=1

i = 1,2, , n, x E 1

Ta thanh l~p cae giii thie't san:

(H2) g EX,

lien t1;}C,

(H3) aijk: IxR -7R lien t1;}Cthoa cae di€u ki~n

5

(2.5)

t6n t<;li aUk: I ~ R bi chi;in,kh6ng am sao cho

laUk(x,y) - aUk(x,y)l:::; aiik (x)ly - yl,

n 111 a:= LLsupaUk(x) <1

;';=1 k=1 xEI

Vy,y E R, v X E I,

2.2 CAC E)INH LY TON TAl, DUY NHAT VA ON E)INH

Ta co dinh Iy sau:

Dinh If 2.1:

Duai cae gid thilt (Hi), (H2), (H3), t6n tqi duy nhtlt ml)t ham f E X saG cho f =Tf H(/n mla, [Ciigidi f thu du(1c cung an djnh d5i vai g trang X.

Chung rninh:

+ Hi€n nhien Tf E X, voi rnQi f EX

(2.6)

(2.7)

+ Coif, 1 E x, ta nghi~rn l(;lid€ dang tu (H3) va (2.5) ding

IITI- TIt ~ alii - It,

Do do, sa d1;mgdinh Iy di€rn ba"tdQng Banach, ta co duy nha"trnQt f E X

III-It ~ 1~ a jig - gllx.

Do do f 6n dinh d6i voi g

.

7

Chti thich 2.1:

(2.8)

(2.9)

Binh I;' 2.1 cho mQt thu~t gi,}i xfip Xl lien tie'"p

{

f(V) =Tf(v-1) , V = 1,2,

Khi do day {/(V)} hQi tv trong X v€ Wi giai f cua (2.2) va co mQt danh

gill sai s6

Ilf(V)-fllx:S; I-a x.av,\iv=I,2,

Bay gio, ta xet tru'ong hejprieng aijk(x,y) co d.;mg(1.2) Khi do ta co

Dinh If 2.2:

(2.10)

(2.11 )

Gid thitt (Hi), (H2) la dung va

/3:= tIlaUkl

i,i=1k=1

<1,

Khi do t6n tc;tiduy nh6t f =(fj, ,in) E X la liYigidi cua h~ phU(/flgtrlnh

ham sau day

n m J;(x) = IIaiikJ/Siik(X))+ gi(X),

j=1 k=1

1::::: i :::::n, XEI

H(/fl nila liYi gidi cua h~ (2.11) ciing an dtnh ddi VlJig trang X.

Chung minh:

Ap dvng dinh I;' 2.1 voi = aiikY'

Khi d6 theo (2.4) thl aUk=jaukl,

.

Chu thich 2.2:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Ne'u ta xet Sijk(X)Ia nhi thuc b~c nha"t

Sijk(X)=bijk x + Cijk

Gia sii' ding cac sf) th1!c bijk,Cijkthoa man cac di€u ki<$n

IbUkl< 1, \j i,j=l, ,n \j k=l, ,ill,

I CO"k

1

illax If :::::b

bi,js.n 1

-I

b

I

ls.ks.m ijk

Khi d6 gia thie't (HI) dung

Ta c6 dinh ly sau day

Dinh If 2.3:

Gid sa 1= [-b, bi va cac s6 th1!C aUk' bijh Cijk thoa (2.10), (2.13), (2.14) va

Sijk(x) co d(,lng (2.12).

Khi do Val mJi g E x, tan t(,liduy nh[{t f E X [a [ai gidi cila h~ (2.11) Han

nz7:a [al gidi f Gang fln dtnh d6i Val g trang X.

9

Chu thich 2.3:

(a) K6t qua trong [1] la ffiQt tru'ong h<;5prieng cua dinh I)"2.3

yoi ffi =n=2

(b) Dinh I)" 2.3 y§:n dung yoi I =R, trong d6 cac s6 tht;t'cbijk>Cijk

khong c§n thoa cac diSu kit$n (2.13), (2.14)