HUỲNH BỬU TÍNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60... NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA Luận văn Thạc sỹ Toán h
Trang 1HUỲNH BỬU TÍNH
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005
Trang 2NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA
Luận văn Thạc sỹ Toán học
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn: Ts Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Huỳnh Bửu Tính
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005
Trang 3Người hướng dẫn khoa học: Ts Nguyễn Thành Long
Khoa Toán − Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh
Người nhận xét 1: Ts Nguyễn Văn Nhân
Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh
Người nhận xét 2: Ts Nguyễn Công Tâm
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Huỳnh Bửu Tính
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tp Cần Thơ
Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc 7 giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005
Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005
Trang 4Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, đã tận tâm
hướng dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn này
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô của Khoa Toán – Tin học trường Đại học
Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tận tâm truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm
cho chúng tôi trong suốt thời gian học tập
Xin chân thành cảm ơn Ts Nguyễn Văn Nhân, Ts Nguyễn Công Tâm, PGS Ts Đặng Đức Trọng, Ts Tô Anh Dũng, PGS Ts Đinh Ngọc Thanh đã giành thời
gian đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích
Xin chân thành cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học – Hợp tác Quốc tế – Sau Đại học
Trường Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học
tập
Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục – Đào tạo Tp Cần Thơ, Ban Giám Hiệu
trường THPT chuyên Lý Tự Trọng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thời gian học
tập và làm luận văn
Cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các Anh, Chị của khóa trước, các bạn
học viên lớp Cao học Toán khóa 10, đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời
gian học tập và làm luận văn
Huỳnh Bửu Tính
Trang 6x g dt t f c x S f b x R f x a x
k
n j
x X j ijk ijk
j ijk ijk
j ijk i
Φ ε
= =
(1.1)
+ +
+
=
+ + +
+ +
+
=
), ( ) (
) (
) (
)
(
), ( ) (
) (
) (
)
(
2 23 23 2 23 22 22 1 22 21 21 1 21 2
1 13 13 2 13 12 12 2 12 11 11 1 11 1
x g c x b f a c x b f a c x b f a
x
f
x g c x b f a c x b f a c x b f a
, 1
max
ij
ij j
b
c b
Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn
Trong [4], Long, Danh, Khôi đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính
), ( )
( ))
( ( )
1
) (
0
2 1
x g dt t f x
S f a x
j
x X j ij
j ij j ij i
ij
+ α
với mọi i = 1,2, và x ∈ Ω ⊂ IR, trong đó Ω là một khoảng đóng bị chận của IR Các
), ( )
( )
( )
(
x g dt t f c
x b f a x
k
n j
x j ijk
ijk ijk j ijk i
ijk ijk
= =
γ + β
(1.5)
Trang 7với mọi i = 1,2,…,n, và x ∈ Ω = [−b,b] Với g i: Ω → IR là các hàm liên tục, nghiệm
max
, 1
, 1
1 11
<
α +
max
; 1
max
1 , , 1 1
, ,
ijk m k n j
1 1
1 1
x g x S f b x
R f x a x
k
n j
ijk j ijk m
k
n j
ijk j ijk
= =
= =
(1.6)
xét trong [8]
Trong [3], các tác giả Nghĩa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra một thuật toán số
Các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy [5] đã nghiên cứu một trường hợp riêng của
Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, trong [5] đã thu được kết quả về
tác giả trong [5] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho
một dãy các đa thức hội tụ đều Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi
điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình hàm cũng được đề cập [6]
Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo
đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của luận văn
một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn
dựa vào định lý điểm bất động Banach
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1)
Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm tích phân (1.1)
Trang 8Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm Φ, gi , R ijk , S ijk , X ijk
Chương kết luận, nêu lên một số kết quả trình bày trong luận văn
Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo
Trang 9CHƯƠNG 2
CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM
một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn
2.1 Các ký hiệu
f = ( f1,…, f n) : Ω → IRn liên tục trên Ω đối với chuẩn
) ( sup
1
∑
= Ω
max
1
) (
∑
= Ω
k i
f = εAf + Bf + g, (2.3) trong đó
f = ( f1,…, f n ), Af = ((Af )1,…, (Af ) n ), Bf = ((Bf )1,…, (Bf ) n), với
( , ( ( )), )
( ) (
ijk j ijk
= =
= =
x n i dt t f c x
S f b x
k
n j
x X j ijk m
k
n j
ijk j ijk i
ijk
), 1
( , ) ( ))
( ( )
( ) (
1 1
) (
Trang 10Định lý 2.1 Cho X là không gian Banach với chuẩn , K ⊂ X là tập đóng và
T : K → K Giả sử tồn tại số thực σ ∈ [0,1) sao cho
g f Tg
Tf − ≤ σ − , với mọi f, g ∈ K
Khi đó ta có
(i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf
Trang 11CHƯƠNG 3
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3)
Đầu tiên, ta cần bổ đề sau
Bổ đề 3.1 Giả sử [b ijk] +b [c ijk] <1 và S ijk , X ijk : Ω → Ω liên tục Khi đó
] [ ] [ 1
1 )
ijk
b B
n j
x X j ijk m
k
n j
ijk j ijk x
ijk
dt t f c x
S f b
) (
0
1 1
) ( ))
( ( sup
n j
x X j ijk ijk
j ijk x
ijk
dt t f c
x S f b
1 1 1
) (
0
) ( )
( ( sup
n j
ijk j x
ijk n j n
j
ijk j x
ijk n
) ( ( sup max
) ( ( sup max
( [b ijk] +b [c ijk] ) f X.
≤
1 ] [ ] [ sup
c b b f
Bf B
Trang 12Do đó,
1 ] [ ]
≤ b ijk b c ijk
f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈ X Thật vậy, xét ánh xạ
g Bf f q f
X X q
+
=
→ ) (
: a
Khi đó, q là ánh xạ co Do đó tồn tại duy nhất f ∈ X sao cho f = Bf + g
Do đó
X X X
B
g g
11
1)
(sup)
X X
g B I B
Ta thành lập các giả thiết sau
(H1) R ijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω liên tục;
(H3) [b ijk] +b [c ijk] < 1;
Trang 13Af ≤ ⎢⎣⎡ + ΩΦ ⎥⎦⎤ ∀ ∈
X ijk
f A
( ] [
) 0 ( ) ( ) ( sup max
) ( sup
max
) ( ( , sup
max
) ( ( , )
( ) (
Φ +
≤
Φ +
n i
m k
n
x ijk n j
n i
m k
n
x ijk n j
n i
m k
n
x ijk n j
n i
m k
x f M C a
x f a
x R f x a
x R f x a x
Af
Vậy
) 0 , ( sup )
( ]
≤
Ω x n
f M C a Af
x X ijk
R f a x
f A x Af
1 1 1 1
)) ( (
~ )) ( ( )
( )
~ ( ) ( ) (
R f a
1 11 1
)) ( (
~ )) ( ( sup
j j
x
m k
ijk n
1 11 1
) (
~ ) ( sup
max
Trang 14M C
1 11 1
1 ( ) max sup ( ) ~ ( )
.
~ ]
[ ) (
[ ) (
~
1 ijk X
f A
Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp
xỉ bởi thuật giải sau
), (
)
) 1 ( )
Trang 15Khi đó
0
) ( − →
) 0 ( ) 0 ( )
Trang 16CHƯƠNG 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
(3.2) là hội tụ cấp một Sự hội tụ này thể hiện qua đánh giá sai số
2 , 1 ,
) ( − f ≤Cσ ∀v=
X
trong đó 0 ≤ σ < 1, C > 0 là các hằng số độc lập với v
Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), tức
2 , 1 ,
2 ) 1 ( )
( − f ≤ β f − − f ∀v=
f
X
v X
lặp cấp hai Nếu bước lặp ban đầu f( 0 ) được chọn đủ gần f sao cho
, 1
) 0 ( − ≤ β
≡ σ
1 1
) (
0
x g dt t f c x S f b x R f x a x
k
n j
x X j ijk ijk
j ijk ijk
j ijk i
Φ ε
, ( ) , ( ) ,
∂
Φ
∂ + Φ
≅
j
v j
v j
v j
v
y f
x f
trong đó f j(v) = f j(v)(R ijk(x)),
Trang 17Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)
(i) Cho trước f(0) = (f1(0), ,f n(0)) ∈X.
(ii) Giả sử biết f(v−1) = (f1(v−1), ,f n(v−1)) ∈X, ta xác định f(v) = (f1(v), , f n(v)) ∈X như sau
∑∑
= =
Φ ε
k
n j
v ijk ijk
)) (
1 1
) ( x f R x f R x W
y
m k
n j
v ijk
1 1
) ( ( ))
, , 2 , 1 , 1
, ), ( )
(
1 1
) (
x g dt t f
m k
n j
x X v j ijk
ijk
(4.6) trong đó W ijk(v)(x) = (x,f j(v−1)(R ijk(x))).
Ta viết lại (4.6) dưới dạng
, , 2 , 1 , 1
, ), ( ))
( (
) ( ))
( ( ) , ( )
(
) (
1 1
) (
1 1
) (
0
) ( )
(
1 1
) ( )
(
=
≤
≤ Ω
∈ +
+
+ ε
x g x S f b
dt t f c x
R f x x
f
v i n
j
m
v j ijk
m k
n j
x X v j ijk ijk
v j n
j
m k
v ijk
= ε
, )) ( ( ) , ( ))
( ( )
( ) (
1 1
) 1 (
1 1
) ( )
− Φ
ε +
j
m k
ijk
v j ijk
n j
m k
v ijk ijk i
m k
v ijk x n j
1 1
) (
Khi đó tồn tại duy nhất f(v) ∈X là nghiệm của (4.7) − (4.9)
Trang 18Chứng minh Ta viết hệ (4.7) − (4.9) dưới dạng hàm trong X = C(Ω; R n)
trong đó
, )) ( (
) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 ) ( 0 ) ( 1 1 ) ( v i m k n j ijk j ijk m k n j x X v j ijk m k n j j ijk v ijk i v g x S f b dt t f c x R f x x f T ijk + + + α = ∑∑ ∑∑ ∫ ∑∑ = = = = = = (4.12) ∀x ∈ Ω, i = 1,2,…,n và f = ( f1,…,f n ) ∈ X Hiển nhiên rằng T v : X → X Ta chỉ cần kiểm nghiệm lại rằng X v X v v f T f f f T − ~ ≤ α − ~ , ∀f,~f ∈X. (4.13) Thật vậy, với f,~f ∈X, đặt h= f − f~, ta có ∑ = − n i v i v i x f T x f T 1 ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ = = = = = = = + + α = n i ijk n j m k ijk j n j m k x X ijk ijk n j m k j v ijk x h R x c h t dt b x h S x ijk 1 1 1 1 1 ) ( 0 1 1 ) ( ( )~ ( ) ~( ) ( )~ ( ) ( ) ( ( )) ~ ) (
) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( 0 1 1 1 ) ( x S h x b dt t h x c x R h x ijk j n i n j m k ijk n i n j m k x X ijk ijk j n i n j m k v ijk ijk ∑∑∑ ∑∑∑ ∫ ∑∑∑ = = = = = = = = = + + α ≤ ( ) ( ) ∑ ∑∑ ∑ ∫ ∑∑ ∑ ∑ ∑ = = = ≤ ≤ = = = ≤ ≤ = = ≤ ≤ = + + α ≤ n j j ijk n i m k j n ijk n j x X n i m k ijk n j n i n j ijk j m k v ijk n j x S h x b dt t h x c x R h x ijk 1 1 11 1 ) ( 0 1 11 1 1 1 ) ( 1 ) ( ~ ) ( max
) (
~ )
( max )
(
~ ) ( max
X n
i
m
k j n ijk X
n i
m
k j n ijk
n i
m
v ijk n
j
max
1 11
1 11
1 1
)
∑∑
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤ Ω α + +
≤
X n
i
m
k j n ijk
n i
m
k j n ijk
n i
m k
v ijk n
j
1 11
1 11
1 1
) (
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
α
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤
= = ≤ ≤ Ω
X ijk
ijk n
i
m k
v ijk n
j
imax sup (x) b [c ] [b ] h~
1 1
) (
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ +
α
= = ≤ ≤ Ω
.
~
X
v f − f
γ
=
Vậy
.
~
~
X v
X v
Trang 19Khi đó, áp dụng định lý điểm bất động của Banach, tồn tại duy nhất hàm f (v) ∈ X là
Định lý 4.2 Giả sử Φ ∈ C2(Ω×IR;IR), và (H1) − (H3) đúng Cho a ijk ∈ IR Khi đó,
tồn tại hai hằng số M, ε sao cho, nếu f( 0 ) ∈K M cho trước, hệ (4.7) − (4.9) tồn tại
duy nhất nghiệm f (v) thỏa điều kiện ( ) ,
+ ε
α
≤
n i
v i n
i
n j
m k
ijk
v j ijk
n i
n j
m k
x X v j ijk n
v j n
j
m k
v ijk n
i
v
i
x g x
S f b
dt t f c
x R f x x
f
ijk
1
) (
1 1 1
) (
1 1 1
) (
0
) ( 1
) (
1 1
) ( 1
)
(
) ( ))
( (
) ( ))
( ( ) , ( )
(
X v n
j
x X v j n
i
m k
ijk n j
n i
m k
n
v j ijk
n j
n i
m k
n
v j
v ijk n j
g dt t f x
c
x S f x b x
R f x
ijk
) ( 1
) (
0
) (
1 11
) ( 1
) ( )
( 1
) ( )
( max
) ( )
( max )
( )
( max
+ +
+ α
i
m
k j n ijk
X v n
i
m k
ijk n j n
i
m
v v
ijk n
j i
g f
c b
f b f
x
) ( )
(
1 11
) (
1 11
1 1
) ( ) (
max
max )
( sup max
+ +
+ α
[ ] [ ) ( sup
1 1
) (
X
v X
v ijk
ijk n
i
m k
v ijk n
[ ] [ ) ( sup
1 1
) ( )
(
X
v X
v ijk
ijk n
i
m k
v ijk n
j i X
) ( )
(
ijk M
y x ijk
v ijk ijk
v
y a
x W y a
∂
Φ
∂ ε
≤
∂
Φ
∂ ε
( sup
1 1
) (
ijk n
i
m
k
v ijk n
j
∑∑
Trang 20Mặt khác, ta cũng có từ (4.9) rằng
1 1
) 1 ( ) ( )
( )
ε +
v ijk
v ijk ijk
i
v
y x W a
x g x
Chú ý rằng số hạng trong dấu móc […] của (4.19) được đánh giá như sau:
Dùng công thức khai triển Taylor
, 1 0
, ) , ( 2
1 ) , ( ) 0 , ( ) ,
=
y y y x y x
1
)) ( ( )) ( ( ) 0 , ( )) ( (
2 )
1 ( ) ( 2 2
) 1 ( ) ( )
(
x R f x w y
x R f x w y x
x w
ijk
v j
v ijk
ijk
v j
v ijk
= Φ
với ˆ( )( ) = ( , − θ (v−1)( ijk( ))), 0 < θijk < 1
j ijk
)) ( ( )) ( ( )) ( (
2 )
1 ( 2
) 1 ( ) ( )
(
x R f M x
x R f x w y x W
ijk
v j x
ijk
v j
v ijk
v ijk
− Ω
−
+ Φ
1 (
1 1 1 2
1 1 1 1
1
)
(
)) ( ( 2
1
) 0 , ( sup )
( )
(
x R f a M
x a
x g x
g
ijk
v j n
i
m k
n
j ijk
x
n i
m k
Φ ε
Ω
ε +
Φ ε
+
≤
n j
ijk
v j x
ijk
x ijk X
x R f a
M
x a
n g
1
2 )
1 (
2 [ ] sup ( ( )) 2
1
) 0 , ( sup ] [
2 ) 1 (
2 [ ] 2
1 ) 0 , ( sup ] [
X
v ijk x
ijk
Ω Φ + ε ε
+
≤
2
1 ) 0 , ( sup ]
ε +
≤
n a g
x ijk
Trang 21Vậy
2
1 ) 0 , ( sup ]
)
(
⎥⎦
⎤
⎢⎣
ε +
≤
n a g
g
x ijk X
X
Từ (4.16), (4.18) và (4.23), ta được
2
1 ) 0 , ( sup ]
[
] [ ] [ ] [ 2 2 ) ( 1 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ + ε + + + + ε ≤ Ω x M M n a g f c b b a M f x ijk X X v ijk ijk ijk X v (4.24) hay
( ) 2 1 ) 0 , ( sup ] [
] [ ] [ ] [ 1 2 2 ) ( 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ + ε + ≤ − − ε − Ω x M M n a g f c b b a M x ijk X X v ijk ijk ijk Với M > 0 đã chọn như trong (H5), tiếp theo ta chọn ε sao cho hai điều kiện sau được thỏa , 1 ] [ ] [ ] [ 1 + + < εM a ijk b ijk b c ijk (4.25) (1 [ ] [ ] [ ] )
2 1 ) 0 , ( sup ] [ 1 2 2 M c b b a M M M x n a g ijk ijk ijk x ijk X − − ε − ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ + ε + Ω (4.26) Khi đó, ta suy ra từ (4.24) − (4.26) rằng ] [ ] [ ] [ 1 2 1 ) 0 , ( sup ] [ 1 2 2 ) ( M b c b a M g M M x n a f ijk ijk ijk X x ijk X v ≤ − − ε − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Φ + ε ≤ Ω (4.27) Định lý 4.2 được chứng minh xong.■ Định lý 4.3 Giả sử Φ ∈ C2(Ω×IR;IR) và (H1) − (H3) đúng Cho a ijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M, ε sao cho (i) Với f( 0 ) ∈K M cho trước, dãy {f (v)} xác định bởi hệ (4.7) − (4.9) là dãy lặp cấp hai Chính xác hơn, ta có , 2 , 1 ,
2 ) 1 ( )
( − f ≤ β f − − f ∀v=
f
X
v M X
trong đó
0 ] [ ]
[ ] [ 1
] [ 2
1
1
2
>
ε
−
−
−
ε
= β
ijk ijk
ijk
ijk M
a M c
b b
a M
và f là nghiệm của hệ (1.1)
Trang 22(ii) Nếu f( 0 ) được chọn đủ gần f sao cho
, 1
) 0 ( − <
thì dãy {f (v)} hội tụ cấp hai đến f và thỏa một đánh giá sai số
( ) , 1 , 2
1 (0) 2 ) ( β − ∀ = β ≤ − f f f v f v X M M X v (4.29) Chứng minh Trước hết ta sẽ đánh giá X v f f( ) − (i) Ta có ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( x f x f x e i v = i − i v ), ( ) ( ) ( ) (
))] ( ( ))) ( ( , ( ))) ( ( , ( [ ) ( ) ( 1 1 ) ( ) 1 ( x g x g x Be x R f x R f x y x R f x a v i i i v n j m k ijk v i ijk v j ijk j ijk − + + ∂ Φ ∂ − Φ ε = ∑∑ = = − ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ∑∑ ∑∑ = = − − − = = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Φ ∂ − Φ ε − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Φ ∂ − Φ ε = n j m k ijk v j ijk v j ijk v j ijk i v n j m k ijk v i ijk v j ijk j ijk x R f x R f x y x R f x a x Be x R f x R f x y x R f x a 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ,
) ( ) (
)) ( ( ) ( , ) ( , ( ) ( ) ( ( ) ) [ ] ( ) ( , ( )) [ ( ( )) ( ( )) ]
) ( , ) ( , ) ( ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) ( ∑∑ ∑∑ = = − − = = − − ∂ Φ ∂ ε + Φ − Φ ε + = n j m k ijk v j ijk v j ijk v j ijk n j m k ijk v j ijk j ijk i v x R e x R e x R f x y a x R f x x R f x a x Be (4.30) Mặt khác, ta có ( ) ( ) ( )( ) ( , ( )) ( ) , 2 1
) ( ) ( , ) ( , ) ( , 2 ) 1 ( ) ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( y e y h x y y e y f x y y f x y f x v j v j v j v j v j j − − − − ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = Φ − Φ với = ( ), ( )( ) = ( −1)+ θ ( −1)( ), 0 < θ < 1 j v j j v j v j ijk x h y f e y R y Vậy ( )( ) ( , ( ( ))) ( ( )) 2
)) ( ( )) ( ( , )
( ) ( ) (
1 1
2 )
1 ( )
1 ( 2 2
1 1
) ( )
1 ( )
( )
(
∑∑
∑∑
= =
−
−
= =
−
∂
Φ
∂ ε
+
∂
Φ
∂ ε
+
=
n j
m k
ijk
v j ijk
v j ijk
n j
m k
ijk
v j ijk
v j ijk
i v v
i
x R e x R h x y a
x R e x R f x y a x
Be x e
(4.31)
Trang 23Đặt sup 2 ( , )
2 ,
y
M
M y
2
) ( 1
1 )
( 1
)
(
)) ( ( sup
max 2
)) ( ( sup
max )
ε +
≤
n i
m k
n
v j x
ijk n j
n i
m k
n j
ijk
v j x
ijk n j X
v n
i
v
i
x R e a
M
x R e a
M Be
2
) ( 1
1 )
(
)) ( ( sup
max 2
)) ( ( sup
+
ε +
≤
n i
m k
n
v j x
ijk n j
n i
m k
n j
ijk
v j x
ijk n j X
v
x R e a
M
x R e a
M Be
2 ]
[ ]
[ ]
X
v ijk X
v ijk X
v ijk
+ ε
+ +
≤
Điều này dẫn đến
2 ]
[ ]
[ ] [
X
v ijk X
v ijk ijk
≤ ε
[ ] [ 1
] [ 2
1
2 ) 1 ( 2
) 1 ( 1
2 )
(
X
v M X v ijk ijk
ijk
ijk X
a M c
b b
a M
2 ) 1 ( )
( − f ≤ β f − − f ∀v=
f
X
v M X
với
] [ ]
[ ] [ 1
] [ 2
ijk ijk
ijk
ijk M
a M c
b b
a M
(ii) Từ (4.32), ta suy ra
2 2 ) 2 ( 2
) 1 ( )
≤ β
X
v M M X
v M X
) 2 ( 2
≤ β
X
v M M
2 1
) (
X
M)1 2 22 2 1 e(0) 2
( ≤ β + + + + −
≤
( )
1)
2
X M M X
β
=β
−