hệ phương trình hàm phương pháp lặp cấp hai và triển khai tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ---o0o--- ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-o0o -

ĐẶNG THỤC HIỀN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM:

PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẶNG THỤC HIỀN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1 01 01

Người hướng dẫn:TS Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2003

Luận văn được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học,

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán- tin học,

Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2: TS Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê-Toán- tin học,

Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trường Cao đẳng Giao thông khu vực 3

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học

Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2003

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Sư Phạm

TP Hồ Chí Minh

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2003

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

Mục lục:……….………trang 0 Chương 1: Phần tổng quan……….…… ….…trang 1 Chương 2: Các ký hiệu và không gian hàm……… ….… …trang 4 Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………….……… ….trang 6 Bổ đề 3.1………… ……….……… ….trang 6 Bổ đề 3.2……… ……….……… ….trang 6 Định lý 3.1……….……….……… … trang 9 Chú thích 3.1……… ……… trang 10 Chú thích 3.2………trang 10 Chương 4: Thuật giải hội tụ cấp hai……… ….……trang 11 4.1 Thuật giải lặpï cấp hai……….……….……… …….trang 11

Định lý 4.1……… ……… … …….trang 12 Định lý 4.2……… ……….trang 13 4.2 Sự hội tụ của thuật giải lặpï cấp hai……… …….……trang 16 Định lý 4.3……… ……… ….trang16 Chú thích 4.1……….……… ….trang 19 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé……… trang 20 Bổ đề 5.1……… ………trang 21 Bổ đề 5.2……… …………trang 22 Bổ đề 5.3……… ………trang 23 Định lý 5.1……… ……… trang 25 Chú thích 5.1…….……… …….trang 26 Định lý 5.2……… ……….trang 26 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể……… ………trang 28 6.1 Khảo sát thuật giải lặp cấp hai……… trang 28 6.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm……… …… trang 33 Phần kết luận ……… ……… ….trang 39 Tài liệu tham khảo……….…… trang 40

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây

ijk j ijk

f

1 1

))(()

1 1

x g x S f

m k

Φ : là các hàm số liên tục cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà ta sẽ

chỉ rõ sau đó Các hàm f i :Ω→IR là các ẩn hàm, ε là một tham số bé

Trong trường hợp riêngΦ(y)= y2,R ijk = S ijk, hệ (1.1) được nghiên cứu bởi các

tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm[6]; L.T Vân [11]

Trong [12], các tác giả C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1)

sau đây ứng với Ω=[−b,b], m = n=2, a ijk =0 và S ijk là các nhị thức bậc nhất

++

+

=

+++

++

+

=

),()(

)(

)(

)(

),()(

)(

)(

)(

2 23 23 2 23

22 22 2 22 21 21 1 21 2

1 13 13 1 13

12 12 2 12 11 11 1 11 1

x g c x b f a

c x b f a c x b f a x f

x g c x b f a

c x b f a c x b f a x f

(1.2)

với mọi x∈Ω=[−b,b], trong đó, các hằng số a ij,b ij,c ij,b cho trước thỏa các điều

kiện:

,1)(

max],1

[max,

ij

ij j

i

b

c b

b (1.3)

các hàm số g1, g2 liên tục cho trước và f1, f2 là các ẩn hàm Nghiệm của hệ (1.2) lúc

này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các g i

Trong [9], các tác giả Nghĩa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây

để làm kiểm tra một thuật toán số

=

+++

++

++

=

),()4

34

(200

1)2

(100

1)3

12

(200

1)4

(100

1)

(

),()4

13

(100

1)4

14

(100

1)2

13

(200

1)2

(100

1)

(

2 2

2 1

1 2

1 2

2 1

1 1

x g

x f

x f

x f

x f x

f

x g

x f

x f

x f

x f x

thức hội tụ đều Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long, Nghĩa[4] cho miền ⊂Ω IR p nhiều chiều và S là các hàm affine Hơn nữa, trong [4] ijk

cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Nghĩa, Diễm [6] và Long [8]

Gần đây, N.T Long, P.H Danh, N.K Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân-hàm

2

x g dt t f c

x b f a x

j

x j ij ij ij j ij i

ij ij

=

+ γ β

α i=1,2, x∈[−b,b] (1.7)

Sau đó P.H Danh, H.T.H Dung, N.T Long[1] đã xét hệ

),()

()

()

(

x g dt t f c

x b f a x

k

n j

x j ikj

ijk ijk

j ijk i

ijk ijk

= =

+ γ β

Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn

Trong chương 2, là phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chương sau

Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) Điều nầy cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε Chúng tôi thu được trong chương nầy một khai triển tiệm

cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N +1 theo ε, với ε đủ nhỏ theo nghĩa

r i

r i

x

C x f x

trong đó C là một hằng số độc lập với ε

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với m = n1, =2,Ω=[−1,1],Φ(y)= y p,p≥2, ở đó một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ được khảo sát

Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn

2.1 Các ký hiệu

Ta ký hiệu Ω=[ b a, ] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR

Với Ω=[ b a, ], ta ký hiệu X =C(Ω;IR n) là không gian Banach của các hàm số

), ,

(f1 f n

f = :Ω→IR n liên tục trên Ω đối với chuẩn

∑

= Ω

Tương tự, với số nguyên không âm ,m ta đặt

}

1,0

),

;(:

)

;(), ,({)

),

;(:

)

;(), ,({)

n n

m

Mặt khác, C m(Ω;IR n) và C b m(Ω;IR n) cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

.)(sup

max

1

) (

1 ∑

= Ω

m k

f (2.2)

2.2 Định lý điểm bất động Banach

Định lý điểm bất động sau đây được sử dụng nhiều lần trong các chương sau

Định lý 2.1.( Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn

g f Tg

Tf − ≤σ − ∀f,g∈K (2.3)

Khi đó ta có

(i) Tồn tại duy nhất f ∈K sao cho f =Tf

(ii) Với mỗi f(0) ∈K, xét dãy {f(ν)} cho bởi f(ν) =Tf (ν−1), ν=1,2, ta có

f , ν =1,2,

Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích.„

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương nầy, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)

Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trongX ≡C(Ω;IR n)( hoặc trong X =C b(Ω;IR n)) như sau

g Bf Af

f =ε + + (3.1) trong đó

),, ,(f1 f n

f =

),)(, ,)(Af 1 Af n

Af =

),)(, ,)(Bf 1 Bf n

ijk j ijk

ijk j ijk

Bf

1 1

,))(()

()( (1≤i≤n) với mọi x∈Ω

Ta ký hiệu: [b ijk] = n ijk

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 3.1 Giả sử [b ijk] <1 và S ijk :Ω→Ω liên tục Khi đó:

i) Bf X ≤ [b ijk] f X ∀f ∈X

ii) Toán tử tuyến tính I −B:X → X là khả đảo và

][1

1)

ijk

b B

∑ ∑ ∑∑

= = = Ω

n j

ijk j ijk x

n i

i x

Bf

1 1 1 1

))((sup

)()(sup

= = = Ω

i

m k

n j

ijk j ijk x

x S f b

1 1 1

))((sup

n j

ijk j x

ijk n

1 11 1

))((sup

b f

X X

Khi đó, δ là ánh xạ co

Ta có:

X X

B

g g

11

1)

(sup)

(

1 0

1

ijk X

X X

g B I B

và Bổ đề 3.1 được chứng minh.„

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau:

−

][)0()(2

][10

M MC

b M

Φ+

−

<

<ε

Với mỗi M >0, ta đặt K M ={f ∈X : f X ≤M}

Khi đó, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2 Giả sử (H1)-(H4)đúng Khi đó, ta có

i) Af X ≤ [a ijk] (C1(M) f X +nΦ(0)) ∀f ∈K M,

ii)

X ijk

n j

ijk j ijk n

i

Af

1 1 1 1

))(()

()(

n j

ijk j x

ijk n

1 11 1

))((sup

n j

j x

ijk n

1 11 1

)(sup

n j

j x

ijk n

1 1 1

1 1

)0()()(sup

max

( ( ) (0)).]

≤ a ijk C M f X n

Vậy: Af X ≤ [a ijk] (C1(M) f X +nΦ(0))

(ii) ∀f,~f ∈K M, ta có

i

m k

n j

ijk j ijk

j ijk n

))((

~))

(()

()

~()

≤ n

i

m k

n j

ijk j ijk

j x

ijk n

1 11 1

))((

~))

((sup

≤ n

i

m k

n j

j j

x

ijk n

1 11 1

)(

~)

(sup

n j

j j

x

ijk n

M C

1 11 1

1( ) max sup ( ) ~ ( )

~]

[)(

f A

Khi đó, ta có định lý sau đây

Định lý 3.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, với mỗi ε, với ε ≤ε0, hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈K M

Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈X, với mọi f ∈X Xét f,~f ∈K M, ta dễ dàng nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

M MC a

ε , (3.3)

X X

ijk

f f b

a M

][1

][)(

1 0

−

−

≤ ε

(3.4) Chú ý rằng, từ (H5)ta có

2)

0()(]

0 a ijk MC M +nΦ + g X ≤ M − b ijk

Từ đây ta suy ra

( )

M b

g n

M MC a

ijk

X ijk

≤

−

+Φ+][1

)0()(]

][)(

1 0

Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi

thuật giải sau:

),(

)( 1 ( 1)

) 1 ( )

,1

) 0 ( ) 0 ( )

f

f ∀ν =1,2, , (3.8)

][1

][)(

1 0

εσ

Chú thích 3.2

Trong trường hợp riêng Φ(y)= y2,R ijk = S ijk, hệ (1.1) được chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm [6]; L.T Vân [11]

CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau

4.1 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Xét hệ phương trình hàm

1 1

x g x S f

m k

n

j ijk j ijk

++∑∑

= =

,, ,

()(

)( ( ) ≅Φ ( −1) +Φ/ ( −1) ( ) − ( −1)

(

)))(((

k

n j

ijk j

ijk j ijk

( )

1 ( /

)) ( ( ))

( ( ))) ( (

ε

),())((

1 1

) ( S x g x f

m k

n

j ijk j ijk

++∑∑

= =

ν x∈Ω,1≤i≤n,ν =1,2, (4.2)

Ta viết lại (4.2) dưới dạng

),())

(())

(()()

1 1

) (

1 1

) ( ) ( )

( x x f R x b f S x g x

j

m k

ijk j ijk n

j

m k

ijk j ijk

, ≤ ≤ =

Ω

∈ i nν

x (4.3) trong đó αijk(ν), ( ν )

i

g phụ thuộc vào f( − 1 ) cho bởi:

1 ( / )

1 (

R f

Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 4.1 Giả sử (H1)-(H3) là đúng Nếu f( ν− )1 ∈X thỏa

.1][)(supmax

1 1

) (

1 + <

= = ≤ ≤ Ω ijk

n i

m

k j n x ijk

b x

ν

f = (4.7) Với

),())

(())

(()()

()

1 1

1 1

) ( x f R x b f S x g x x

1≤ ≤ =

Ω

∈ , i n ,ν

x , f =(f1, ,f n)∈X (4.8) Hiển nhiên rằng Tν :X →X Ta chỉ cần nghiệm lại rằng

X

h T f

Tν − ν ≤αν − ,∀ ,f h∈X (4.9) Thật vậy, với f,h∈X, đặt ~f = f −h, ta có

n j

m k

ijk j ijk n

j

m k

ijk j ijk

n

i

i i

x S f b x

R f x

x h T x

f

T

) ( 1

))((

~))

((

~)(

)()()

m

k ijk j ijk

n i

n j

m

x S f b x

R f x

1 1 1

1 1 1

) (

))((

~))

((

~)(να

n j

ijk j ijk

n j n

i

m k

n j

ijk j ijk

maxα ν

X n

i

m k

ijk n j X

n i

m k

ijk x n

i

m

k j n ijk

n i

m

f b

x) max ~(

supmax

1 1 1

1 1

) (

~][)(supmax

1 1

) (

n i

m

h f f

()()()(sup

n i

i i

x

h T f

= Ω

ν

Sử dụng định lý điểm bất động Banach, định lý 4.1 được chứng minh.„

Định lý 4.2 Giả sử (H1)−(H3) đúng Cho a ijk ∈IR Khi đó, tồn tại hai hằng số

Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

) 1 (

≤

n

n i

n j

m k

ijk j ijk

n i

n j

m k

ijk j ijk

n

x g x

S f b

x R f x x

f

1

) (

1 1 1

) (

1 1 1

) ( )

( 1

)

(

)())

((

))(()()

(

ν ν

ν ν

X

n i

m k

n j

ijk j ijk

n j

n i

m k

n

ijk n j

g x S f b

x R f x

) (

1 1 1

) ( 1

) ( )

( 1

))((max

))(()

(max

ν ν

ν ν

α

++

n i

m k

ijk n j

X

n i

m

g f

b

f x

) ( )

(

1 1 1

) (

1 1

) ( 1

max

)(supmax

ν ν

ν ν

α

++

[)(sup

1 1

) (

n i

m

g f

ijk n

)

(

][)(sup

)(

(sup

1 1

) (

)()

ijk j

ijk j

a

1 1

) 1 ( )

1 ( / )

1 (

))(()))

(((

)))((

Chú ý rằng số hạng trong dấu móc […] được đánh giá như sau

))(()))((()))(((f j( −1) R ijk x −Φ/ f j( −1) R ijk x f j( −1) R ijk x

)0())(()))((()0()))((( ( 1) −Φ −Φ/ ( 1) ( 1) +Φ

Φ

= f jν− R ijk x f jν− R ijk x f jν− R ijk x

)0())(()))((())(()))((( ( 1) ( 1) / ( 1) ( 1)

2 1 ( 1) + Φ

≤ M f jν− R ijk x

trong đó số thực θ,0<θ <1xuất hiện do việc áp dụng định lý Lagrange cho hàm :Φ

)()

x g x

g

1 1

)

(

)()

+ n

i

m k

n j

ijk j

ijk j

ijk j

a

1 1 1

) 1 ( )

1 ( / )

1 (

))(()))

(((

)))((

n j

ijk j

ijk n j

g

) 1 ( 1

2)0(]

][

][][

1

) ( 1

)

(

MM n

a g

f b

a M f

ijk X

X ijk

ijk X

+Φ+

Với M >0 đã chọn như trong (H5), ta chọn ε sao cho hai điều kiện sau được thỏa:

,1][]

[b ijk + ε M1 a ijk < (4.18)

.)][1()0(3

(]

g X +ε ijk + Φ ≤ − ijk (4.19) Khi đó, ta suy ra từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng:

.]

[]

[1

2)0(][

1

1 )

a M b

MM n

a g

f

ijk ijk

ijk X

−

−

+Φ+

≤

ε

ε

Điều nầy khẳng định (4.10)

Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:

Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất.„

4.2 SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Định lý 4.1 và 4.2 đã khẳng định sự tồn tại của một dãy lặp cấp hai trong K M

xác định bởi (4.3)−(4.5) Kết quả sau đây cho ta kết luận dãy nầy là dãy lặp cấp hai và cho một điều kiện đủ để thuật giải nầy hội tụ

Định lý 4.3 Giả sử (H1),(H2), (H3)đúng Cho a ijk∈IR Khi đó, tồn tại hai hằng số 0

>

M và ε, sao cho:

(i) Với f ( 0 )∈K M cho trước, dãy {f(ν)}xác định bởi hệ (4.3)−(4.5) là dãy lặp cấp hai Chính xác hơn, ta có

,

2,1 ,

2 ) 1 ( )

( ν − ≤β ν − − ∀ν =

X M

[1

][2

1 2

ijk ijk

ijk M

a M b

a M

ε

εβ

−

−

= M2 sup //(y),

M y

Φ

=

≤ (4.23)

và f là nghiệm của hệ (1.1)

(ii) Nếu f( 0 ) được chọn đủ gần f sao cho

,1

) 0 ( − <

()()(

))]

(()))(((

)))((([

)()

(

)

(

) ( )

(

1 1

) ( )

1 ( /

) ( )

(

x g x g x Be

x R f x R f

x R f a

x f x

f

x

e

i i

i

n

j

m k

ijk i

ijk j

ijk j ijk

i i

i

ν ν

ν ν

ν ν

ε

−+

+

Φ

−Φ

(()))(((

)))(((

1 1

) ( )

1 ( / f R x f R x Be x x

R f

j ijk

− m

k

n j

ijk j

ijk j

ijk j

a

1 1

) 1 ( )

1 ( / )

1 (

))(()))

(((

)))((

+

j

m k

ijk j

ijk j ijk

Be

1 1

) 1 ( )

(

)))]

(((

)))((([)

()

k

n j

ijk j

ijk j ijk

( )

1 ( /

))(())

(()))((

Mặt khác, ta có

,)())((2

1))(())(())(())((f j y −Φ f j( −1) y =Φ/ f j( −1) y e(j −1) y + Φ// h(j ) y e(j −1) y 2

với y=R ijk (x), h(jν)(y)= f j(ν−1)(y)+θj e(jν−1)(y), 0<θj <1

Vậy:

.]))(()))((([2

))]

(()))(((

[

)()(

)

(

1 1

2 )

1 ( )

( //

1 1

) ( )

1 ( /

) (

Φ+

=

n j

m k

ijk j

ijk j ijk

n

j

m k

ijk j ijk

j ijk

i i

x R e

x R h a

x R e x R f

a

x Be

x

e

ν ν

ν ν

ν ν

n

x ijk n j X

n

x R e a

M Be

x

e

) ( 1

1 )

( 1

)

(

))((sup

max)

ijk j

x ijk n

M

2 )

1 ( 1

2

νε

n j

j x

ijk n j X

b

) ( 1

1 )

(

)(sup

max]

∑∑ ∑

− Ω

j x

ijk n

M

2 ) 1 ( 1

2

νε

X ijk

X

1 )

(

][]

2

2 ) 1 (

2 a ijk e X

(4.28) Điều nầy dẫn đến

2 )

(

2]

[]

[

1

X ijk

X ijk

ε suy ra

2 ) 1 ( 2

) 1 ( 1

2 )

(

][]

[1

][2

X M

X ijk

ijk

ijk

a M b

a M

[1

][2

1 2

ijk ijk

ijk M

a M b

a M

ε

εβ

) 1 ( )

M X M

1 2

) 2 ( 2

M X

β

( ) 2 23

) 3 ( 2 2 1

β

X M M X

−

(4.30) Bất đẳng thức đánh giá nầy cho phép ta kết luận dãy {f(ν)}hội tụ cấp 2 đến

nghiệm f của hệ (1.1) nếu f( 0 )được chọn thỏa (4.24).„

Chú thích 4.1:

Về việc chọn bước lặp ban đầu f( 0 ) ∈K M thỏa (4.24) ta cần qua một công đoạn phụ như sau:

- Trước hết ta lấy z(0) ∈X,

- Xây dựng dãy lặp đơn {z(η)} liên kết với ánh xạ co T :K M →K M (như trong định lý 3.1, chương 3):

),(

)

) 1 ( ) ( Tz I B Az g

,1

) 0 ( ) 0 ( )

X

z

f (4.32) với

.1][1

][2

X M

X

M f z z Tz (4.34) Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f (0) = z(η 0).„