Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm-Lê THu Vân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HỒ CHÍ MINH Lê Thu Vân XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Luận văn Thạc sỹ Toán học Chu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TP.HỒ CHÍ MINH

Lê Thu Vân

XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01

Người hướng dẫn : TS Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Tp Hồ Chí Minh

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2001

Luận văn được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn :

TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1 :…………

Học viên cao học: Lê Thu Vân

Trường Phổ thông Trung học Lê Quý Đôn, Q.3, TP Hồ Chí Minh

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Nhà Nước tại Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2001

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện

Trường Đại Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2001

hội tụ cấp hai………….……….……….trang 10 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm

theo tham số bé……… …….……….trang 20 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể……….trang 27 Chương kết luận ……… ……….trang 38 Tài liệu tham khảo………trang 39

Chương 1 TỔNG QUAN

Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây

ijk j ijk

f

1 1

2( ( )))

1 1

x g x S f

m k

n j

ijk j

+∑∑

= = ∀x∈Ω⊂R p;i=1, ,n (1.1)

trong đó là một miền compact hay không compact của , a

là các hằng số thực cho trước; , là các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm, là một tham số bé

ijk

S

ε

f i:Ω→

Trong [1], các tác giả C.Q.Wu, Q.W.Xuan, D.Y.Zhu (1991) nghiên cứu

hệ (1.1) sau đây ứng với , , , và là các nhị thức bậc nhất

++

+

=

+++

++

+

=

),()(

)(

)(

)(

),()(

)(

)(

)(

2 23 23 2 23

22 22 1 22 21 21 1 21 2

1 13 13 2 13

12 12 2 12 11 11 1 11 1

x g c x b f a

c x b f a c x b f a x f

x g c x b f a

c x b f a c x b f a x f

với mọi , trong đó, các hằng số , cho trước thỏa các điều kiện:

],[ b b

max

],1

[max

,1

3

1

,

j ij i

ij

ij j

i ij

a b c b

b (1.3)

các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các

+

++

=

+++

++

++

=

),()4

34

(200

1)2

(1001

)3

12

(200

1)4

(100

1)(

),()4

13

(100

1)4

14

(1001

)2

13

(200

1)2

(100

1)(

2 2

2

1 1

2

1 2

2

1 1

1

x g

x f

x f

x f

x f x

f

x g

x f

x f

x f

x f x

f

(1.4)

với mọi x∈[−1,1]

32

3993

22800

12

,4

1316

)1(2

13

596400

11

2 2

2 2

x x x

(x) g

x x

x (x)

x

f = ;

4)( 2

Trong trường hợp và là các nhị thức bậc nhất,

và các tác giả trong [2] đã thu được một khai

C

g∈ Ω Ω=[−

triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp Hơn nữa, nếu là các đa thức bậc r , thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r Kế đó, nếu là các hàm liên tục, nghiệm của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [3] bởi các tác giả Long, Nghĩa (2000) cho miền

nhiều chiều và là các hàm affine Hơn nữa, trong [3] cũng cho một điều kiện đủ về hội tụ bậc hai của hệ phương trình hàm [3] Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Diễm [5] (2001)

Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết qủa đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn

Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ(1.1)

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1)

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N+ theo ε thu được, với ε đủ nhỏ

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ

Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo

Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn

2.1 Các ký hiệu

Một điểm trong được ký hiệu bởi Ta gọi

là một đa chỉ số và ký hiệu để chỉ đơn thức , có bậc

f

)

;( R n C

X = Ω

n

R

→Ω:), ,(f1 f n

=

∑

= Ω

= n

i

i x

f

1)(sup (2.1)

Khi Ω không compact, ta ký hiệu là không gian Banach của các hàm số liên tục, bị chận trên đối với chuẩn (2.1)

Ta chú ý rằng, khi là mở, các hàm trong C không nhất thiết bị chận trên Nếu bị chận và liên tục đều trên Ω , khi đó nó có duy nhất một nới rộng liên tục, bị chận trên bao đóng

ΩΩ

Tương tự, với số nguyên không âm , ta đặt m

C m(Ω;R n)={f =(f1, ,f n)∈C(Ω;R n):Dα f i∈C(Ω;R),

α ≤m,i=1, ,n}với Ω ⊂R p một miền trong R p, và

C m(Ω;R n)={f =(f1, ,f n)∈C(Ω;R):Dα f i ∈C(Ω;R),

α ≤m,i=1, ,n} Với Ω⊂R p một tập mở trong R p

C m(Ω;R n) cũng là một không gian Banach đối với chuẩn:

f C m(Ω;R n)= ∑

= Ω

≤

n i

i x

1

)(sup

= =

= m

k

n j

ijk j ijk

Af

1 1

2( ( )))

()

ijk j ijk

Bf

1 1

))(()

()

2.2 Định lý điểm bất động Banach

Chúng ta thường sử dụng định lý điểm bất động Banach sau :

Định lý 2.1.Cho là không gian Banach với chuẩn X , là tập đóng Cho T là ánh xạ thỏa mãn

X

K ⊂

K K

f

−) (

f , ν =1,2,

Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về

nhập môn giải tích „

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương nầy, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3)

Đặt [b ijk] = n ijk

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 3.1 Giả sử [b ijk] <1 và S ijk :Ω→Ω liên tục Khi đó:

i) Bf X ≤ [b ijk] f X ∀ f ∈X (3.1)

ii) Toán tử tuyến tính I −B:X → X là khả đảo và

][1

1)

ijk

b B

I

−

≤

Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết „

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau:

f =(I−B)−1(ε Af +g) ≡Tf (3.2)

Ta thành lập các giả thiết sau:

(H1) S ijk :Ω→Ω liên tục;

(H2) g =(g1, ,g n)∈X ;

(H3) [b ijk] <1;

(H4) ( )

X ijk

ijk

g a

b

][8

][

][8)][1(]

[1

0

0 2 1

ijk

X ijk

ijk ijk

a

g a

b b

][8)][1(]

[1

0

0 2 2

ijk

X ijk

ijk ijk

a

g a

b b

−

Đặt

K M ={f ∈X : f X ≤M}

Khi đó, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2 Giả sử (H1),(H2) đúng Khi đó, ta có

i) Af X ≤M2 [a ijk] ∀f ∈ K M

ii)

X ijk

f A

Af − ~ ≤2 [ ] − ~ ∀f,~f ∈K M

Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết „

Khi đó, ta có định lý sau đây

Định lý 3.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, với mỗi ε , với ε ≤ε0, hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất fε ∈K M

Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf , với mọi Xét

, ta dễ dàng nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

X

M

K f

f,~∈

)()(

][

2 0

ijk

X ijk

b

g a

M

−

+ε

, (3.3)

X X

f T

Tf − ~ = ( − )−1ε( − ~) ≤ε0 ( − )−1 − ~

X ijk

ijk

f f b

a

][1

][

M

K

fε ∈ fε =Tfε

Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm của hệ

(3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau:

X

Tf f

f

f , ∀ν =1,2, , (3.8)

với 1

][1

][

ε

CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1.Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau

4.1 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Xét hệ phương trình hàm

ijk j ijk

f

1 1

2( ( )))

1 1

x g x S f

m k

n j

ijk j

+∑∑

= = ∀x∈Ω⊂R p;i=1, ,n (1.1)

Ta dựa vào xấp xỉ sau đây :

1 ) 1

f ν − = ν − nν − ∈

f =(f ( ) f n( ))∈X

1 ) (ν ν , , ν bởi

ijk j

ijk j ijk j

1 ( )

( )

1 ( )

n j

ijk j

+∑∑

= =

ν x∈Ω , 1≤i≤n , ν =1,2,

Ta viết lại (4.2) dưới dạng ( ) ( ) ( ( )) ( )( ),

1 1

) ( ) ( )

j

m k

ijk j ijk

= =

x∈Ω , 1≤i≤n , ν =1,2, (4.3) trong đóα(ν ), phụ thuộc vào như sau:

ijk j

ijk i

g

1 1

2 )

1 ( )

(ν ( ) ( ) ε ν ( ( ))

= g i(x)−ε (Af(ν−1))i(x) (4.5) Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 4.1 Giả sử (H1), (H2) là đúng

Nếu f(ν− )1 ∈X thỏa

maxsup ( ) 1

1 1

) (

≡∑∑

= = ≤ ≤ Ω

n j

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )( ),

1 1

) ( x f S x g x x

f

j

m k

ijk j ijk

Định lý 4.2 Giả sử (H1),(H2),(H3 ) đúng Cho Khi đó, tồn tại hai hằng số ,ε , sao cho:

R

a ijk∈0

(ν

f

f(ν ) ∈K M , ∀ν =0,1,2, (4.10)

Chứng minh

Giả sử f( 0 ) ∈K M , với hai hằng số M >0,ε >0 mà ta sẽ chọn sau

Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

n j

m k

ijk j ijk

n

x g x

S f x x

f

1

) (

1 1 1

) ( )

( 1

) (ν ( ) α ν ( ) ν ( ( )) ν ( )

∑

X

n i

m k

n j

ijk j ijk

n

) ( )

n i

m

g f

x ( ) ( )

1 1

) (

X X

n i

) (ν ≤∑∑ max sup α ν ( ) ν + ν

= = ≤ ≤ Ω

(4.13)

Mặt khác, với mọi x∈Ω, ta có từ (4.4), (4.11) , rằng:

αijk(ν)(x) ≤ b ijk +2ε a ijk f j(ν−1)(S ijk(x))

X ijk

b +2ε (ν−1)

≤ ≤ b ijk +2εM a ijk (4.14)

Ta suy từ (4.14) rằng:

∑∑

= = ≤ ≤ Ω

n j

1maxsupα ν ( ) ≤ [b ijk] +2εM [a ijk] (4.15) Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) và bổ đề 2, (i), chương 3, rằng:

X X

g(ν) ≤ +ε (ν−1) ≤ g X +ε M2 [a ijk] (4.16) Từ (4.13) , (4.15) và (4.16), ta được:

( ) ( [ ] 2 [ ] ) ( ) X 2 [ ijk]

X ijk

a M g

f

ijk ijk

ijk X

][

2 )

(

ε

ε

ν (4.20)

Điều nầy khẳng định (4.10)

Bây giờ ta chỉ ra cách chọn M >0,ε >0 thỏa (4.18) và (4.19)

Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:

g X +εM2 [a ijk] ≤(1− [b ijk] −2εM [a ijk] )M (4.21)

Như vậy, ta chỉ cần chọn M >0,ε >0 thỏa (4.19)

Ta coi vế trái của (4.19) như là một tam thức bậc hai theo

Do

M

1][b ijk < , tam thức nầy sẽ có hai nghiệm dương phân biệt :

][6

][11

][12

ijk

ijk

a

b M

ε

∆+

−

= , (4.22)

nếu ta chọn ε >0 đủ nhỏ sao cho ∆=(1− [b ijk] )2 −12ε [a ijk] g X >0 (4.23) Như vậy (4.19) xảy ra nếu ta chọn nằm trong khoảng hai nghiệm

Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất „

Định lý 4.3 Giả sử (H1), (H2), (H3 ) đúng Cho Khi đó, tồn tại hai hằng số , , sao cho:

R

a ijk∈0

f

f (4.25) trong đó

0

][2][1

][

ijk M

a M b

a

ε

ε

β (4.26)

và f là lời giải của hệ (1.1)

(ii) Nếu f( 0 ) được chọn đủ gần f sao cho (0) − <1

X

β , (4.27) thì dãy { f (ν)} hội tụ đến cấp 2 và thỏa một đánh giá sai số

f

f (4.28)

Chứng minh

(i) Đặt e( ν ) = f − f( ν ), từ (1.1) và (4.2) ta thu được

e i(ν)(x)= f i(x)− f i(ν)(x) ∑∑ ( )

= =

−+

= m

k

n j

ijk j

ijk j

a

1 1

2 )

1 (

2( ( )) ( ( ))

ε −2f j(ν −1)(S ijk(x))f j(ν)(S ijk(x))]

+∑∑

= =

m k

n

j ijk j ijk

x S e b

1 1

) (ν ( ( ))

∑∑ ( )

= =

−+

x S f a

1 1

2 )

1 (

2( ( )) ( ( ))

ε −2f j(ν−1)(S ijk(x))f j(ν)(S ijk(x))−2f j(ν−1)(S ijk(x))e(jν)(S ijk(x))] ∑∑

= =

−+

+ m

k

n j

ijk j ijk

j ijk

b

1 1

) ( )

1 ( ( ( ))] ( ( ))2

= ∑∑ ( )

= =

−+

m k

n j

ijk j

ijk j

a

1 1

2 )

1 (

2( ( )) ( ( ))

ε −2f j(ν−1)(S ijk(x))f j(S ijk(x))]

1 1

) ( ) (ν ( ) ν ( ( ))α

1 1

2 )

1 (ν ( ( ))

1 1

) ( ) (ν ( ) ν ( ( ))α

ijk j

1 1

) ( ) (ν ( ) ν ( ( ))

= =

−+ m

k

n j

ijk j

a

1 1

2 )

1 (ν ( ( ))ε

Với mọi x∈Ω, ta có từ (4.29) rằng:

m k

ijk j ijk

n

x S e x x

e

1 1 1

) ( ) ( 1

) (ν ( ) α ν ( ) ν ( ( ))

i

m k

n j

ijk j

a

1 1 1

2 )

1 (ν ( ( ))ε

n j

ijk j ijk

n

) ( )

n

ijk n

2 )

1 (

1max ν ( ( ))ε

X

n i

i

m k

n

ijk n

X

n i

1 1

2 ) 1 (

a −

ε+ (4.30) Vậy

1maxsupα ν ( ) ≤ [b ijk] +2εM [a ijk] (4.32)

Ta suy ra từ (4.31), (4.32) rằng

e(ν) ≤( [b ijk] +2εM [a ijk] ) e(ν) +ε [a ijk] e(ν−1 ) 2 (4.33)

Điều nầy dẫn đến

( 1 ) 2

2 ) 1 ( )

(

][2][1

][

X

M ijk

ijk

X ijk

a M b

e a

(ν) − ≤β (ν−1) − 2 , ∀ν =1,2,

X M

][

ijk M

a M b

) 1 ( )

M X M

1 2

) 2 ( 2

M X

β 1 2 22 2 1 ( 0 ) 2

= , (4.35) tức là (4.28)

Bất đẳng thức đánh giá nầy cho phép ta kết luận dãy { hội tụ đến cấp 2 đến lời giải của hệ (1.1) nếu được chọn thỏa (4.27).„

}) (ν

Khi đó dãy { }z(η ) hội tụ trong về lời giải của (1.1) và ta có một đánh giá sai số

1,2,

1

) 0 ( ) 0 ( )

][2

ε

σ (4.38)

Từ (4.37) ,(4.38), ta chọn η0∈N đủ lớn sao cho:

X

M f z z Tz (4.39)

Vậy ta chọn f( 0 ) =z( η0).„

CHƯƠNG 5

Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N+1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm , và các số thực

,b , ε , thỏa các giả thiết (H1)-(H5), lần lượt

2 [ 2

với s=3,4, ,N,

=]

n j ijk

1 1

, ,

] 1 [ ]

1 [ 1 1

) (

)(

s

f f

γ γ

γ γ

γγ

k

n

j ijk

f f a

các số nguyên không âm γ1, ,γs−1 thỏa

] [ ]

thỏa hệ

Lv=ε[A(v+h)−Ah]+Eε, (5.8)

trong đó ∑ (5.9)

=

−

−+

r

r

r P f

A U f

A E

2

] [ ]

0 [ ]

Với một đa chỉ số γ N, ta đặt

f =rj (f j[1],f[j2], ,f[j N]),

N N (5.10)

j j

j

fr γ =( [1])γ1( [2])γ2 ( [ ])γ

Khi đó, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 5.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, tồn tại một hằng số sao cho

) 1 (

N

C

Eε X ≤C N( 1 )ε N+1, (5.11)

trong đó ( 1 ) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào ,

m k

n

j j

a

1 1

2 ] 0 [ 2 ]

0 [ ( ) ( )) ( ( )) ][(

ε

trong đó, ta ký hiệu Bằng việc khai triển Maclaurin của hàm xung quanh điểm , sau khi sắp xếp lại theo bậc của , ta thu được ( ta bỏ qua đối số

trong các cách viết)

))((( ) [0]]

0

f j = j ijk

f A U f

A( ) ( ))( [0] + − [0]

n j ijk N

s

a

1 1

1 2

3

s s

j

f εγ

γ η γ

k

n j ijk N

r

r i

r i

0 [ ]

n j ijk N

N s

a

1 1

1 2

1

s s

j

f εγ

γ η γ

k

n

j ijk

f f

a ε

Do đó, ta suy ra từ (5.14) rằng

∑

=

n i

i x E

1

)(

n i

m

j n

j

ijk n j

N N s

f

γγ

η γ

1

( )

!

!2

s

j n

j

f

γ η γ

γγ

r

∑

∑∑ ∑

N

f N

1

2 ] [

1 1

2 ] [ ( )

ν

ν ν

i x E

1

)(

n i

m k

N

X ijk

n j

N N s

f N

1 2

Bổ đề 5.1 được chứng minh hoàn tất „

Định lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ε

Định lý 5.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, tồn tại một hằng số

sao cho, với mỗi ε , với

0

1 >ε1

ε

ε ≤ , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm

thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 như sau:

M

K

fε ∈

N r

0

] [ε

v+h X = fε X ≤M , h N f M

r X

~0

[)

~

1 M +M a ijk L− ≤

ε (5.24)

Do đó, ta có từ (5.23), (5.24) rằng

v X ≤ 2 L−1 C N( 1 ) ε N+1, hay

N r

r

fε ε ε

Định lý 5.1 được chứng minh hoàn tất „

Chú thích 5.1 Với a ijk ∈R và g =(g1, ,g n)∈X cho trước, giả thiết

1][b ijk < dẫn đến sự tồn tại của hai số dương ε0,M thỏa các giả thiết (H4) và (H5), lần lượt

Khi đó, ta có kết quả sau:

Định lý 5.2 Giả sử (H1)-(H3) đúng Cho trước Khi đó, tồn tại hai hằng số ,ε , sao cho, với mỗi , với

R

a ijk∈0

f[r], =0,1, ,