Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình: toán năng suất, chuyển động và quan hệ số Câu 5: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?. Câu 6: Góc tạo bởi tia tiếp t
Trang 1MÔN TOÁN 9
A.LÍ THUYẾT
Câu 1: Hàm số y = ax2 (a khác 0): Tính chất và đồ thị?
Câu 2: Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn.(Khi hệ số b chẵn và khi hệ số
b lẻ)
Câu 3: Hệ thức Vi-et: Phát biểu và ứng dụng.
Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình: (toán năng suất, chuyển động và quan
hệ số)
Câu 5: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?
Câu 6: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn: Định nghĩa, số đo, tính chất?.
Câu 7: Liên hệ giữa cung và dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.
Câu 8: Cung chứa góc:
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 90 0
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc α ( 0 < α < 180 0 )
Câu 9: Tứ giác nội tiếp:
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu 10: Độ dài đường tròn, cung tròn Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: Vẽ hình, viết công thức tính.
B.BÀI TẬP
*DẠNG 1: TOÁN RÚT GỌN:
Bài 1: Cho biểu thức P=
+ +
+
−
−
−
−
+
1
2 1
: 1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a) Rút gọn P b/Tính P khi x=30 + 10 5
Bài 2: Cho biểu thức:P=
1 2
1
2 1
1 2
1
−
−
−
+
−
−
−
− + +
a
a a a
a
a a a a a
a a
6 1
6
+ , tìm giá trị của a?
b) Chứng minh rằng P >
3 2
Bài 3: Cho biểu thức :P= 2 1
1
2
+
+
− +
−
+
a
a a a
a
a a
a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
b ab a
b a a
b a b b a a
a b
ab a
a
2 2
2
1 : 1 3
3
+ +
−
−
−
+
−
− + +
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Trang 2Bài 5: Cho biểu thức: P=
−
+
−
−
+
−
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >
2 1
Bài 6: Cho biểu thức :P=
x
x y xy x
x
x y
xy
x
−
−
−
− +
−
1 2 2
2 2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
*DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET:
Bài 1: Cho phương trình x2 −2(m+2)x+m+1=0
Giải phương trình khi m =2
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để:
2 1 2
2
1(1 2x ) x (1 2x) m
Bài 2: Cho phương trình : x2 −2(m+1)x+m2 −4m+3=0
a) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính M = 2
2
2
x + theo m Tìm giá trị nhỏ nhất của M ( nếu có)
Bài 3: Cho phương trình: x2−2mx+2m−1=0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m
b) Đặt A= 2 1 2
2
2
(
2 x +x − x x
b1) Chứng minh rằng: A=8m2 −18m+9
b2) Tìm m sao cho A= 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
Bài 4: Cho phương trình x2+mx+n−3=0 (1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0 CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm: x1 ; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:
=
−
=
−
7
1
2 2
2 1
2 1
x x
x x
Bài 5: Cho phương trình : x2−(2m−3)x+m2 −3m=0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 0<x1 <x2 <5
Bài 6*: Cho phương trình x2−2(m+1)x+2m+10=0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 2
2
2 1 2 1
10x x +x +x đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 3Bài 7*: Cho phương trình x2 −4x 3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x
M
+
+ +
=
Bài 1: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ; ( )
=
− +
+
=
− +
2 1
1 1
y m x
m y x m
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 2:Cho hệ phương trình :
= +
=
− +
a y x a
y x a
3 )
1 (
a) Giải hệ phương rình khi a= - 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện:
x + y > 0
Bài 3*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :
=
− +
= +
− +
0 2
0 3 4 2
2 2 2
2 3
b b a a
b b a
Tính a2+b2
*DẠNG 4: CÁC BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Y = AX 2 ( A ≠ 0 )
Bài 1 Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y =
2
1
x2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên
Bài 3: Cho (P)
4
2
x
y =− và (d): y=x+ m a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng - 4
Bài 4: Cho (P) 2
4
1
x
y = và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là -2 và 4
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x∈[−2;4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Trang 4(Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ x∈[−2;4] có nghĩa là A(-2; y ) A
và B(4; y ) B ⇒ tính y ; A; y B )
Bài 5: Cho đường thẳng (d): 2(m−1)x+(m−2)y=2
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y= x2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
d) * Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất
Bài 6:* Cho (P) y =−x2
a) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
Bài 7*: Cho (P)
4
2
x
y =− và điểm M (1;-2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Gọi x ; A x B lần lượt là hoành độ của A và B Xác định m để 2 2
B A B
A x x x
x + đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B
d1) Tính S theo m
d2) Xác định m để S =4(8+m2 m2+m+2)
Bài 1
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm
Bài 3:
Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng Lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng Tính số xe ban đầu biết số xe của đội không quá 12 xe
Bài 4:
Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ cũng đi từ bến A dọc theo bờ sôngvề hướng bến B Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay chở lại gặp người đi bộ tại một địa điểm D cách bến A một khoảng 8 km Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc của dòng nước đều bằng nhau và
Trang 5bằng 4 km/h
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút
sẽ đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn Tính mức kế hoạch đã định
Bài 7: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch
*DẠNG 6: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ
BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp
b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì B ˆ + M D B ˆ không đổi. C D
c) DB DC = DN AC
Câu 2: Cho đường tròn tâm O A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM,
AN với đường tròn, cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C ) Gọi
I là trung điểm của BC
1) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên một đường tròn
2) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của BF
Câu 3: Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại D Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại E
và F
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng
2) Khi E F vuông goc với AD ̀Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn
3) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn
c) AC song song với FG
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy
Câu 5:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC
Trang 61) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh góc AMB = góc HMK
3) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK
Câu 6: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của DE
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường
tròn đó
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE CMR: AB2 = AI.AH
BH cắt (O) ở K Chứng minh rằng: AE song song CK
Câu 7: Cho ∆ ABC ( AC > AB ; B ˆ > 90 A C 0 ) I, K theo thứ tự là các trung điểm của
AB, AC Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE
Câu 8:* Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA =R 2, một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M, N; gọi I là trung điểm của đoạn MN
a) CMR: OI ⊥ MN Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)