Khảo sát hàm số.. Tìm các điểm A trên trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số sao cho hai tiếp điểm tương ứng có hoành độ dương.. Tính VS.ABCD; Xác định tâm và bá
Trang 1TRƯỜNG THPT YÊN THỦY C
TỔ: TOÁN – LÍ - TIN
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN LỚP 12A1
Ngày kiểm tra: 21/4/2011
(Thời gian làm bài: 180 phút)
-Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
a Khảo sát hàm số
b Tìm các điểm A trên trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số sao cho hai tiếp điểm tương ứng có hoành độ dương
Câu II (2 điểm).
cos sin
1 sin 1
cot cos 1
x x
x x
x
+
−
= + +
b Giải hệ PT:
−
=
−
−
=
−
1 log 1 log 3
log 5 log 5 3
3 5
5 3
y x
x y
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: =∫1 +
0
2x e x
e
dx
Câu IV (1 điểm) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B Hai mặt phẳng (SAB),
(SAD) vuông góc với đáy Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD=2a 5 Tính V(S.ABCD); Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD
Câu V (1 điểm) Tìm m để PT sau có nghiệm
4
9 3 4
1−x+ +x+ x2+ x+ =m
Câu VI (2 điểm).
a Trong mp(Oxy), viết PT các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3), phân giác trong và trung tuyến kẻ từ A lần lượt có PT: x + 2y – 5 = 0, 4x + 3y – 10 = 0
b Trong Kg(Oxyz) cho các điểm A(0;1;1), B(2;-1;1), C(4;1;1) và mặt phẳng P: x + y + z – 6
= 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA+2MB+MC nhỏ nhất
Câu VII (1 điểm) Với các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số TN có 5 chữ số chia hết cho 4.
HẾT
Trang 2GỢI Ý GIẢI – BÀI TẬP LÀM THÊM Câu I.
b Tiếp tuyến d của (C) tại ( )
1
1
t
t t
−
+
) 1 (
2 1
1
2 x t t
t
t
−
−
=
−
+
khi và chỉ khi:
= + + +
−
−
=
≠
⇔
−
−
−
=
−
+
−
0 1 )
1 ( 2 ) 1 ( ) (
1 )
0 ( ) 1 (
2 1
1
2
t t t
t
t a Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi T(t) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1 (ẩn t), tức là:
1 0
1
1 ,
0 1
)
1
(
2
0 2
2
0 )
1
(
,
1
>
−
+
=
>
−
+
=
>
+
=
∆
≠
≠
a a
a P a
a
S
a
T
a
, suy ra các điểm cần tìm có tung độ lớn hơn 1
Câu II.
a ĐK:
≠ +
≠
0 cos sin
0 sin
x x
x
2 )
( 1 cos
1 sin
0 ) 1 )(cos 1
−
=
−
=
⇔
= +
l x
x x
x
b Đặt a= 5−log3y, b= log5x−1 (a,b≥0), ta có hệ:
−
=
−
=
2
2
4 3
4 3
a b
b a
, hệ này có một cặp nghiệm dương (a; b) = (1; 1), từ đó hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (25; 81)
=
+ +
−
= +
e e
e
e t
t
t dt
t t t t
t
dt I
2 1
2
1 ln 1
1 ln 1
1 1 1 ) 1 (
Câu IV
+ AD là đáy lớn của hình thang, tính được AD = 5a Suy ra: V(S.ABCD) = ( ) 2
3
a ABCD
S
+ Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(SAD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J của AD suy ra O là tâm mặt
2
26
2
2 AI a OI
OA
S
J
Trang 3Câu V Đặt t = 1−x + 4+x, với x∈[−4;1]⇒t∈[ 5; 10]
Bài toán quy về tìm m để PT f(t)=m có nghiệm t∈[ 5; 10], với
2
10 )
(t t t2 t4
10
5 10
)
(
4 2
3 4
2 '
t t
t t t t t
f
−
− +
−
=
2
21 9 0
15 9 5
10 0
)
Có f'( 6)>0,f'(3)<0 mà f ’ (t) không đổi dấu trên mỗi khoảng ( 5;t0) (, t0; 10) nên suy ra dấu của
f ’ (t) trên mỗi khoảng này và lập được BBT của f(t) trên đoạn [ 5; 10] như sau:
t 5 t 0 10
f ’ (t) 0
f(t)
Suy ra Min(f( 5), f( 10))≤m≤ f(t0) (cồng kềnh quá?!).
Lưu ý: Có thể khảo sát trực tiếp hàm số
2
3 4
1 ) (x = −x+ +x+ x+
f
Câu VIb Trung điểm của AC là D(2;1;1), trung điểm của BD là E(2;0;1).
Có MA+2MB+MC = 2MD+2MB =4ME Suy ra M là hình chiếu vuông góc của E trên
mp(P), từ đó tìm được tọa độ của M
Câu VII Số cần lập có dạng abcde thì a có 5 cách chọn, b và c mỗi số có 6 cách chọn Với mỗi cách chọn trên, ta cần đếm số cách chọn d, e để de chia hết cho 4 (xét cả d bằng 0), có 8 cách chọn
số de thỏa mãn yêu cầu này là 20, 04, 40, 12, 24, 52, 00, 44
Vậy có 5.6.6.8 số thỏa mãn bài toán
MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP
1 Cho hypebol (H) có phương trình
3 2
2 )
(
+
+
=
x
x x
a) Xét các đường thẳng d tiếp xúc với (H) Chứng minh rằng nếu khoảng cách từ tâm đối xứng của (H) đến đường thẳng d lớn nhất thì d cùng với trục hoành và tiệm cận đứng của (H) giới hạn một tam giác cân và ngược lại
b) Tìm các điểm trên trục hoành để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (H) sao cho các tiếp điểm nằm cùng phía của đường thẳng (d): x + y + 1 = 0
c) Viết PT các đường thẳng tiếp xúc với (H) biết rằng tổng khoảng cách từ tiếp điểm đến hai đường tiệm cận ngắn nhất
2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4 ; 1), phân giác trong góc A có PT: x + y – 5 = 0
Viết PT cạnh BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương
3 Cho tam giác ABC có AC đi qua điểm M(0;-1), AB = 2AM, phân giác trong AD: x-y=0,
đường cao CH: 2x+y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Trang 44 * Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2); B(3; 0) Gọi H là trực tâm tam
giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; -3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 Tìm m để PT x3− + =3x 1 m x4+ +x2 1 có nghiệm
6 CMR các PT sau có đúng ba nghiêm thực phân biệt: a 2 1
2
2
x= +x , b 4x(4x2 + 1) = 1
7 Tìm m để hệ 3
có nghiệm (x ; y) thoả mãn ĐK : x≥4.
8 Tìm trên mp(P): x + y + z + 3 = 0 điểm H để HA+HB đạt GTNN biết A(3; 1; 1), B(7; 3; 9).
9 Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(2; -1; 0), C(1; 0; 1) Tìm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai
mp: x + y – z = 0 và 2x – y = 0 điểm M sao cho MA+MB+MC đạt GTNN.
10 Người ta lấy một cách ngẫu nhiên một số TN có 7 chữ số Tìm xác suất để chọn được số TN
mà ít nhất hai chữ số của nó không khác nhau?